精品解析：吉林省长春市第八十九中学2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

长春市第八十九中学11月份大练习（初二） 数学试卷 一、选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1. 下列数中是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 81的算术平方根为（ ） A. B. 3 C. D. 9 3. 工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法如下：如图所示，是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与重合，过角尺顶点的射线即是的平分线．这种作法的道理是（ ） A. B. C. D. 4. 已知：如图，∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是 （ ） A. AB＝AC B. BD＝CD C. ∠B＝∠C D. ∠BDA＝∠CDA 5. 下列各命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 全等三角形的对应角相等 C. 若，则 D. 等边三角形的三个内角都相等 6. 如图，在中，的垂直平分线l交于点D．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，乐乐在∠ABC的平分线上任取一点P，并作PE⊥AB于点E，经测量知PE＝2 cm，由此可以推断点P到BC的距离为(　　) A. 4 cm B. 3 cm C. 2 cm D. 1 cm 8. 如图，中，，是边的中线，点E是上的动点，点F是边上的动点，若的最小值为，则的面积为（ ） A. 12 B. 19 C. 24 D. 48 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 9. 的立方根是___________． 10. 如果关于x的多项式是完全平方式，则常数k的值为________． 11. 如图，以的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为，若，则的值为_________ 12. 若，则的值是_____________ 13. 如图，在中，的角平分线与的角平分线交于点，过点作的平行线分别交、于点、，若与的周长分别24、15，则的长为___________． 14. 如图，点为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．给出下列四个结论：；；；．上述结论中，正确的结论的序号有______． 三、解答题（共10小题，满分78分） 15. 因式分解： （1）； （2） 16. 先化简，再求值． ．其中m＝2，n＝1． 17. 计算： （1） （2） 18. 已知：如图，点E、F在上，且，，．求证：． 19. 如图，已知，过点的直线． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（不写作法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑）． （2）若（1）中所作的角平分线与直线交于点．求证：． 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、均为格点．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法． （1）在图①中以线段为一腰画一个等腰锐角三角形． （2）在图②中以线段为底画一个等腰直角三角形． （3）在图③中以线段为边画等腰钝角三角形． 21. 如图，将一个边长为a+b的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请用两种方法表示该图形的总面积（用含a、b的代数式表示出来）； （2）如果图中的a，b（a＞b）满足a2+b2＝57，ab＝12，求a+b的值． 22. 如图，在和中，，，． （1）试说明：； （2）与相交于点，求的度数． 23. 【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第105页的部分内容： 我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴．如图所示，是的平分线，P是上任意一点，作，，垂足分别为点D和点E，将沿对折，我们发现与完全重合．于是有： 角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等． 已知：如图1所示，是的平分线，P是上任意一点，作，，垂足分别为点D和点E． 求证：． 分析图中有和，只要证明这两个三角形全等，便可证得． （1）请根据教材内容，结合图1，补全定理的证明过程． （2）【应用】如图2，在中，，平分，于点E，点F在上，，若，，则的长为___________． （3）【拓展】如图3，在中，平分交于点D，于点E．若，，，，则的面积为__________． 24. 如图，ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒． （1）当点P在线段AB上时，BP＝ cm．（用含t的代数式表示） （2）若BCP为直角三角形，则t的取值范围是 ． （3）若BCP为等腰三角形，直接写出t的值． （4）另有一动点Q：从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．请直接写出t为何值时，直线PQ把ABC的周长分成相等的两部分． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市第八十九中学11月份大练习（初二） 数学试卷 一、选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1. 下列数中是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查实数的知识，解题的关键是掌握无理数和有理数的定义，进行解答，无理数的定义：无限不循环的小数；有理数的定义：除无理数之外的数都是有理数，即可． 【详解】解：∵，，是有理数；是无理数， 故选：B． 2. 81的算术平方根为（ ） A. B. 3 C. D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义即，解答即可． 本题考查了算术平方根，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故选：D． 3. 工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法如下：如图所示，是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与重合，过角尺顶点的射线即是的平分线．这种作法的道理是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 由三边相等得，即由判定三角形全等．做题时要根据已知条件结合判定方法逐个验证． 【详解】解：由图可知，， ∵，， ∴， ∴， 即即是的平分线． 故选：B． 4. 已知：如图，∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是 （ ） A. AB＝AC B. BD＝CD C. ∠B＝∠C D. ∠BDA＝∠CDA 【答案】B 【解析】 【分析】利用全等三角形判定定理ASA，SAS，AAS对各个选项逐一分析即可得出答案． 【详解】A、∵∠1=∠2，AD为公共边，若AB=AC，则△ABD≌△ACD（SAS）；故A不符合题意； B、∵∠1=∠2，AD为公共边，若BD=CD，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD≌△ACD；故B符合题意； C、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠B=∠C，则△ABD≌△ACD（AAS）；故C不符合题意； D、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠BDA=∠CDA，则△ABD≌△ACD（ASA）；故D不符合题意． 故选：B． 5. 下列各命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 全等三角形的对应角相等 C. 若，则 D. 等边三角形的三个内角都相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；题设与结论互换的两个命题互为逆命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题；经过推论论证得到的真命题称为定理． 分别写出四个命题的逆命题，根据相关知识进行判断即可． 【详解】解：A、“对顶角相等”的逆命题为“相等的角为对顶角”，此逆命题为假命题，所以A选项错误； B、“全等三角形的对应角相等”的逆命题为“角对应相等的两三角形全等”，此逆命题为假命题，所以B选项错误； C、“若，则”的逆命题为“若，则”，此逆命题为假命题，所以C选项错误； D、“等边三角形的三个内角都相等”的逆命题为“三个角都相等的三角形为等边三角形”，此逆命题为真命题，所以D选项正确． 故选：D. 6. 如图，在中，的垂直平分线l交于点D．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题关键．根据线段垂直平分线的性质得出，结合等边对等角即可得出． 【详解】解：∵的垂直平分线l交于点D， ∴， ∴． ∵， ∴． 故选A． 7. 如图，乐乐在∠ABC的平分线上任取一点P，并作PE⊥AB于点E，经测量知PE＝2 cm，由此可以推断点P到BC的距离为(　　) A. 4 cm B. 3 cm C. 2 cm D. 1 cm 【答案】C 【解析】 【分析】根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等即可得． 【详解】过P作PF⊥BC于F． ∵BP是∠ABC的平分线，PE⊥AB，PF⊥BC，∴PE=PF=2． 故选C． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质，解题的关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 8. 如图，中，，是边的中线，点E是上的动点，点F是边上的动点，若的最小值为，则的面积为（ ） A. 12 B. 19 C. 24 D. 48 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三线合一 ，中垂线的性质与判定，垂线段最短，作，根据等腰三角形三线合一的性质，与垂直平分线的性质定理得到，根据垂线段最短，得到，结合的最小值为，得到，根据三角形面积公式，即可求解． 【详解】解：连接，作，垂足为，连接， ∵，是边的中线， ∴，， ∴是的中垂线， ∴， ∵， ∴， ∴当三点共线，且点F与点H重合时，有最小值，最小值为的长 ∵的最小值为， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 9. 的立方根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解答问题的关键．根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根为， 故答案为：． 10. 如果关于x的多项式是完全平方式，则常数k的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据完全平方公式的特点，常数项等于一次项系数一半的平方，据此求解即可． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了完全平方式，熟知完全平方式中常项数等于一次项系数一半的平方是解题的关键． 11. 如图，以的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为，若，则的值为_________ 【答案】30 【解析】 【分析】根据正方形的面积公式，且结合勾股定理就可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和，即可得出答案．本题考查了勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：依题意，由勾股定理得：， ∴， ∵ ∴， ∴， 故答案为：30． 12. 若，则的值是_____________ 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先求出，再根据多项式乘以多项式的计算法则求出，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：1． 13. 如图，在中，的角平分线与的角平分线交于点，过点作的平行线分别交、于点、，若与的周长分别24、15，则的长为___________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查等边对等角，平行线的性质，角平分线的定义，由角平分线定义得到，由平行线的性质推出，因此，判定，同理：，得到的周长，而的周长，即可求出的长 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理得， ∴的周长， ∵的周长， ∴． 故答案为：9 ． 14. 如图，点为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．给出下列四个结论：；；；．上述结论中，正确的结论的序号有______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质可知，，，， 从而证得，证出，可推知，即可判断； 根据可推出， 结合对顶角相等， 利用三角形内角和定理可得，即可判断；根据， 得到，根据， 可求得的度数，从而得证，进而证得， 得到，证，从而得到，即可判断；根据，得到，从而证得是等边三角形，得到，根据内错角相等，两直线平行，即可判断． 【详解】解：和是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ， 故正确； ， ， ， ， 即，故正确； ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ，故错误； ， ， ， 是等边三角形， ， ， ，故正确； 综上，正确的结论有． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定，三角形角和边的关系，三角形内角和定理，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 三、解答题（共10小题，满分78分） 15. 因式分解： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）提取公因式分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 16. 先化简，再求值． ．其中m＝2，n＝1． 【答案】2mn ，4 【解析】 【分析】先利用平方差公式、完全平方公式进行计算，然后去括号合并同类项，最后把m与n的值代入求值即可． 【详解】解： = = 2mn 当m=2，n= 1时，原式= 22 1=4． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算、化简求值等知识点，熟练运用整式的相关运算法则是解答本题的关键． 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，理解幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法和除法的运算法则是解答关键． （1）根据同底数幂的运算，积的乘方和幂的乘方的运算法则来计算求解； （2）先利用积的乘方的运算法则计算，再利用整式除法的运算法则求解． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. 已知：如图，点E、F在上，且，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】证明即可作答． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，掌握利用“”证明三角形全等，是解答本题的关键． 19. 如图，已知，过点的直线． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（不写作法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑）． （2）若（1）中所作的角平分线与直线交于点．求证：． 【答案】（1） 射线即为所求： （2） 证明：∵平分， ∴， ∵直线， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图，角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可； （2）根据平行线的性质和角平分线的定义可证明，则由等角对等边可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、均为格点．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法． （1）在图①中以线段为一腰画一个等腰锐角三角形． （2）在图②中以线段为底画一个等腰直角三角形． （3）在图③中以线段为边画等腰钝角三角形． 【答案】（1） 如图，或或即为所求， 图 （2） 如图，或即为所求， 图 （3） 如图，即为所求， 图 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的定义画出图形即可； （2）根据等腰直角三角形的定义画出图形即可； （3）根据等腰钝角三角形的定义画出图形即可． 【小问1详解】 由勾股定理可知， 有图可知：， 或或都是满足条件的等腰锐角三角形； 【小问2详解】 由图可知，， ，，满足勾股定理逆定理， 或都是满足条件的等腰直角三角形； 【小问3详解】 如图，，且， 是满足条件的等腰钝角三角形． 【点睛】本题主要考查无刻度直尺作图，涉及等腰三角形的定义，勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握等腰三角形的定义是解答本题的关键． 21. 如图，将一个边长为a+b的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请用两种方法表示该图形的总面积（用含a、b的代数式表示出来）； （2）如果图中的a，b（a＞b）满足a2+b2＝57，ab＝12，求a+b的值． 【答案】（1）或；（2）9 【解析】 【分析】（1）由大正方形的边长为可得面积，由大正方形由两个小正方形与两个长方形组成，可利用面积和表示大正方形的面积，从而可得答案； （2）由（1）可得：再把a2+b2＝57，ab＝12，利用平方根的含义解方程即可. 【详解】解：（1） 大正方形的边长为 大正方形由两个小正方形与两个长方形组成， （2）由（1）得： a2+b2＝57，ab＝12， 则 【点睛】本题考查的是完全平方公式的几何背景，利用平方根的含义解方程，掌握“完全平方公式在几何图形中的应用”是解本题的关键. 22. 如图，在和中，，，． （1）试说明：； （2）与相交于点，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵∠AOB=∠COD， ∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC， 即∠AOC=∠BOD， ∵OA=OB，OC=OD， ∴△AOC≌△BOD（SAS）， ∴AC=BD； （2）50° 【解析】 【分析】（1）根据SAS证△AOC≌△BOD，即可得证AC=BD； （2）由全等三角形的性质得出∠OAC=∠OBD，设AC与BO交于点M，根据180°-∠OAC-∠AMO=180°-∠OBD-∠BMP即可得出∠APB=50°． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，设AC与BO交于点M，则∠AMO=∠BMP， ∵△AOC≌△BOD， ∴∠OAC=∠OBD， ∴180°-∠OAC-∠AMO=180°-∠OBD-∠BMP， 即∠MPB=∠AOM=50°， ∴∠APB=50°． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 23. 【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第105页的部分内容： 我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴．如图所示，是的平分线，P是上任意一点，作，，垂足分别为点D和点E，将沿对折，我们发现与完全重合．于是有： 角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等． 已知：如图1所示，是的平分线，P是上任意一点，作，，垂足分别为点D和点E． 求证：． 分析图中有和，只要证明这两个三角形全等，便可证得． （1）请根据教材内容，结合图1，补全定理的证明过程． （2）【应用】如图2，在中，，平分，于点E，点F在上，，若，，则的长为___________． （3）【拓展】如图3，在中，平分交于点D，于点E．若，，，，则的面积为__________． 【答案】（1） 证明：∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2） （3）16 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等角对等边．熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，是解题的关键． （1）利用，证明，即可得证； （2）证明，得到，证明，得到，根据，根据线段的转化，进行求解即可． （3）过点作，得到，根据三角形内角和定理，推出，进而得到：，利用三角形的面积公式进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴； 故答案为：； 【小问3详解】 解：过点作，交于点， ∵平分交于点D，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 24. 如图，ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒． （1）当点P在线段AB上时，BP＝ cm．（用含t的代数式表示） （2）若BCP为直角三角形，则t的取值范围是 ． （3）若BCP为等腰三角形，直接写出t的值． （4）另有一动点Q：从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．请直接写出t为何值时，直线PQ把ABC的周长分成相等的两部分． 【答案】（1）；（2）或；（3）为或或或时，为等腰三角形；（4）当或6秒时，直线把的周长分成相等的两部分 【解析】 【分析】（1）首先运用勾股定理求出，则，勾股定理再求出的长即可； （2）当在上运动时，为直角三角形，则；当在上时，时，为直角三角形，求出的长即可得出答案； （3）分类讨论：当时，为等腰三角形，若点在上得，若点在上，则；当时，为等腰三角形，作于，根据等腰三角形的性质得，则可判断为的中位线，则，易得；当时，为等腰三角形，则，易得； （4）分两种情况讨论：当点在上，在上，则，，；当点在上，在上，则，，，分别求得的值即可． 【详解】（1），，， ， 动点从点开始以每秒的速度运动， 出发4秒后， ， 此时点P在线段AB上，即点处， 当点P在线段AB上时，， ， 故答案是：； （2），动点从点开始按的路径运动，且速度为每秒， 当在上运动时，为直角三角形， ， 如图，当在上时，时，为直角三角形， ， ， ， ， ， ， 综上所述，当或时，为直角三角形， 故答案是；或； （3）如图， 当时，为等腰三角形， 若点在上，则， 解得； 如图， 当时，为等腰三角形， ， ； 如图， 若点在上，，作于，则根据面积法求得， 在中，由勾股定理得，， ， 此时； 如图， 当时，为等腰三角形，作于，则， 为的中位线， ， ； 综上所述，为或或或时，为等腰三角形； （4）如图， 当点在上，在上，则，， 直线把的周长分成相等的两部分， ， ； 如图7， 当点在上，在上，则，， 直线把的周长分成相等的两部分， ， ； 综上所述，当或6秒时，直线把的周长分成相等的两部分． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形、三角形面积的计算等知识的综合应用，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定与性质，进行分类讨论是解决问题的关键，同时需要作辅助线构造直角三角形或等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $