精品解析：广东省揭阳市华美实验学校2025-2026学年八年级上学期数学12月月考试题

2025年秋季学期第二次月考 八年级数学科试题 （总分：120分 时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各式中，属于勾股数的一组是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股数的定义，关键是熟练应用定义解题； 根据勾股数的定义（三个正整数满足 ），检查各选项是否均为正整数且满足勾股定理． 【详解】解：∵ 勾股数需为正整数且满足 ； 选项A：, , ， 和 不是整数，∴ 不是勾股数； 选项B：均为正整数，且 ，∴ 是勾股数； 选项C：均为正整数，但 ，∴ 不是勾股数； 选项D：不是正整数，∴ 不是勾股数； 故答案选：B． 2. 下列图象中，表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了函数的定义，掌握在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数是关键．根据函数的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、对每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，是函数图象，符合题意； B、对每一个x的值，不是有唯一确定的y值与之对应，不是函数图象，不符合题意； C、对每一个x的值，不是有唯一确定的y值与之对应，不是函数图象，不符合题意； D、对每一个x的值，不是有唯一确定的y值与之对应，不是函数图象，不符合题意． 故选：A． 3. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案． 【详解】解：A、原式＝，不是最简最简二次根式，故A不符合题意； B、原式＝3，不是最简最简二次根式，故B不符合题意； C、原式＝，不是最简最简二次根式，故C不符合题意； D、是最简最简二次根式，符合题意 故选：D． 【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是熟练运用最简二次根式的定义，本题属于基础题型． 4. 如图是战机在空中展示的轴对称队形．以飞机B，C所在直线为x轴、队形的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系．若飞机E的坐标为，则飞机D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-对称，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键，直接利用关于y轴对称，纵坐标相同，横坐标互为相反数，进而得出答案． 【详解】解：∵飞机与飞机D关于y轴对称， ∴飞机D的坐标为， 故选：A． 5. 如图，阴影部分是一个正方形，该正方形的面积为（ ） A. 3 B. 9 C. 16 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理，由勾股定理和正方形的面积公式解答． 【详解】解：由图可知正方形的边长为， ∴正方形的面积为， 故选：B． 6. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查算术平方根和立方根的概念， 逐一计算后判断即可． 【详解】解：A：，原运算结果错误； B：，原运算结果错误； C：，原运算结果正确； D：，原运算结果错误． 故选：C． 7. 、在一次函数的图象上，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据时的值随的增大而减小即可判断求解，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的值随的增大而减小， ∵， ∴， 故选：． 8. 如图在正方形网格图中有线段，点A，B，C在网格的格点上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，连接，证明，，可得，，再进一步利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴，， ∴，， 由平行线的性质可得：，， ∴； 故选：B 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，平行线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 9. 小强和爷爷去爬山，爷爷先出发一段时间后小强再出发，途中小强追上了爷爷并最终先爬到山顶，两人所爬的高度h（米）与小强出发后的时间t（分钟）的函数关系如右图所示，给出结论①山的高度是720米，②表示的是爷爷爬山的情况，表示的是小强爬山的情况，③小强爬山的速度是爷爷的2倍，④爷爷比小强先出发20分钟．其中正确的有（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据题干信息，结合图像逐一判断即可得解； 【详解】解：由图像可知，山的高度为720米，故①正确； 由于是爷爷先出发一段时间后小强再出发，结合图象可知表示的是爷爷爬山的情况，表示的是小强爬山的情况，故②不正确； 小强爬山的速度为，爷爷爬山速度为，小强爬山的速度是爷爷的2倍，故③正确； 爷爷提前出发，先爬了240米，时间为，故④不正确； 综上正确的个数是2个， 故选择：B 【点睛】本题主要考查函数的图像，根据函数的图像的特征提取关键性质是解题的关键． 10. 已知关于x，y的二元一次方程组（a是常数），若不论a取什么实数，代数式（k是常数）的值始终不变，则k的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，将方程组中的两个方程变形后联立消掉a即可得出结论，将方程组中的两个方程联立消掉是解题的关键． 【详解】解：关于x，y的二元一次方程组， 可得， 即， 故k的值为， 故选：A． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点在第______象限． 【答案】四 【解析】 【分析】本题主要考查了判断点所在的象限，第一象限内的点的横纵坐标都为正，第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，第三象限内的点的横纵坐标都为负，第四象限内的点的横坐标为正，纵坐标为负，据此可得答案． 【详解】解：∵点的横坐标为正，纵坐标为负， ∴点在第四象限， 故答案为：四． 12. 比较大小：________5（填“>”“<”或“=”）. 【答案】> 【解析】 【分析】先估算出的范围，然后对其与5进行进一步比较即可. 【详解】∵，∴， ∴， 故答案为：＞. 【点睛】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握相关方法是解题关键. 错因分析 容易题.失分原因是：①没有掌握对于含根号的实数比较大小的方法；②对于根式的运算法则掌握不扎实. 13. 中国象棋是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“帥”“炮”两枚棋子所在格点之间的距离是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握在直角三角形中运用勾股定理． 直接根据网格的特点和勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，“帥”、“炮”两棋子所在格点之间的距离为， 故答案为：． 14. 若关于，的方程组为则的值是_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，通过将方程组的两个方程相加，进行整体运算，直接求出代数式的值 【详解】解：给定方程组 ，将①和②相加，得， 即． 故答案为：6． 15. 如图，已知直线（n为正整数）与x轴、y轴分别交于点、，的面积为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点问题，数字类的规律性问题，解题的关键在于能够求出． 先利用一次函数与坐标轴交点的求解方法求出，，则，，从而得到，由此求解即可． 【详解】解：由题意得：和分别是直线与x轴，y轴的交点， 当时，当时， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ， 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和零指数幂是解决问题的关键． 先根据绝对值、零指数幂的意义和二次根式的乘法法则运算，然后合并即可． 【详解】解：原式 ． 17. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握代入消元法解方程组． 由代入消元法进行计算，即可求出方程组的解． 【详解】解：， 由①得， 将③代入②得 解得， 将代入③得， ∴原方程组的解为． 18. 如图，在中，，垂足为D．．求证：． 【答案】 证明：， ， 由勾股定理得： ，， ，， ， ， ， 是直角三角形， ． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，根据垂直定义得出，根据勾股定理求出和，求出，再根据勾股定理的逆定理得出答案即可, 能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 【详解】略 四、解答题（二）（本大题有3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，正方形网格中，每个小网格的边长是1，是格点三角形（顶点是网格线交点的三角形）， （1）请作出关于直线l对称的； （2）求出的面积； （3）试在直线上找一点，使最小（不写作图过程，保留作图痕迹） 【答案】（1） 如图为所求， （2）5.5 （3） 如图，点即为所求， 【解析】 【分析】本题考查作图轴对称变换，最短路径问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质即可作出关于直线对称的； （2）根据割补法即可求出的面积； （3）结合（1），连接交直线于点，根据两点之间线段最短得最小． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 略 20. 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． （1）应用一：最短路径问题 如图，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是 ； （2）应用二：解决实际问题 如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理求线段长的应用，理解题意，构造直角三角形由勾股定理求线段长是解决问题的关键． （1）将圆柱体展开得到平面图形，如图所示，求出直角边长，再由勾股定理求值即可得到答案； （2）由题意可得，，，，设，得到，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：将圆柱展开得到平面图形，如图所示： 一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，圆柱的高为，圆柱的底面半径为， ，， 在中，， 即最短的路线长是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意可得，，，， ， 设， 则， 在中，，，，， 则由勾股定理可得， 即， 解得， 故绳索的长为． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴交于两点，正比例函数的图象与交于点 （1）的值为______，的解析式为______； （2）直线上是否存在一点，使得的面积是面积的倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）一次函数的图象为，且，，不能围成三角形，直接写出的值． 【答案】（1）， （2）存在，点或 （3）或或 【解析】 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）求出点坐标，可得，设，则，即得，解方程求出的值即可求解； （）由题意可得或或直线经过点，再分三种情况解答即可求解； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的几何应用，一次函数的平移，熟练掌握知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：把点代入，得， ∴， 设正比例函数的图象的解析式为，把代入， 得， 解得， ∴的解析式为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：存在． 由（）可得，的解析式为， 把代入，得， ∴， ∴， ∴， 把代入，得， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵的面积是面积的倍， ∴， 即， 解得或， ∴存在点或，使得的面积是面积的倍； 【小问3详解】 解：∵直线，，不能围成三角形， ∴或或直线经过点， 当时，； 当时，； 当直线经过点时，把代入，得， ∴； 综上，当直线，，不能围成三角形时，的值为或或． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 学完勾股定理后，小宇碰到了一道题：如图1，在四边形中，，垂足为O，若，，，则的长为______． 他不会做，去问同桌小轩，小轩通过思考后，耐心地对小宇讲道：“因为，垂足为O，那么在四边形中有四个直角三角形，利用勾股定理可得，，，，…”小轩话没讲完，小宇就讲道：“我知道了，原来与之间有某种数量关系．”并对小轩表示感谢． （1）与有什么数量关系？请给出证明，并求出的长度． （2）如图2，分别在的边和边上向外作等腰和等腰，连接，． ①若，，连接，交于点D，当时，求的长； ②如图3，若，，，当时，求的面积． 【答案】（1） 解：，证明如下： ∵， ∴四边形中有四个直角三角形， 根据勾股定理：，，，， ∴，， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， ∴； （2）①的长为；②的面积为7 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理以及全等三角形的判定和性质，找出全等的三角形以及构造辅助线利用勾股定理求线段是解题的关键． （1）根据勾股定理得到，，，，分别表示出与，即可得出二者相等，最后可求出的长； （2）①根据勾股定理以及等腰直角三角形的性质求出多个线段的长度，证明可得角度的等量关系，证明出，于是可以利用（1）中的结论，即可求出的长；②同理利用①中的方法证明，过点A作交延长线于点E，即可得出与边上的高同长度的线段，结合和均为直角三角形求出的长度，最终求出的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①解：∵，，， ∴， ∵等腰，， ∴，，， ∵等腰，， ∴，，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）中结论可得， ∴， 解得， ∴的长为． ②连接，过点A作交延长线于点E，如下图所示： 同①中证明方法，可证， ∴， 由和均为直角三角形， ∴， 又∵， ∴， 即， 解得， ∵，， ∴， 故边上的高长度与长度一致， ∴， 故的面积为7． 23. 【阅读材料】建系法：通过构建平面直角坐标，借助点坐标、函数等方法，可以把几何关系转化成代数关系． 【初步运用】2025年陕西中考第7题：如图1，正方形的边长为4，点E为的中点，点F在上，，则的面积为多少？ 解决这道题目方法很多，其中一种就是“建系法”． 解题思路： ①如图2，以直线为x轴，以直线为y轴，以点A为原点建立直角坐标系． ②由题意得，点A坐标为，点E坐标为，点B坐标为，点C坐标为． ③由点E和点C的坐标求出直线的关系式为． ④由和点，可求出直线关系式为，即可求点F坐标为． ⑤由此得到线段和的长，从而求出面积为5． 【迁移探究】如图，长方形中，，，，，，点E是边上的一点，，交于点F． （1）请用“建系法”求四边形的面积．（要求：建立直角坐标系时，把长方形的边放在坐标轴上，并把长方形置于第一象限．） （2）在题（1）建立的直角坐标系基础上，点P是长方形边、边和边上的一个动点，沿着由的方向移动，点Q是点P在运动过程中关于x轴的对称点．请问在点P的运动过程中，是否存在某一时刻使得是一个等腰三角形，若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在题（1）建立的直角坐标系基础上，把沿着直线折叠，点D的对应点为点，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）点Q的坐标为或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据要求建立坐标系，利用待定系数法求函数解析式，通过联立解析式求出交点坐标，然后根据割补法求四边形的面积即可； （2）根据等腰三角的性质及判定定理，分情况进行讨论，分别利用勾股定理和两边长度相等，列出方程求解即可； （3）于相交于点，根据给出的示例，利用两直线垂直和待定系数法求出直线的解析式，联立解析式求出交点坐标，然后根据平移的性质求解即可． 【小问1详解】 解：如图建立坐标系，，，， ∵四边形为长方形，，， 且， ∴， 假设直线的解析式为， 将代入解析式得，， 解得， ∴直线的解析式为， 假设直线的解析式为， 将代入解析式得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 联立以上两个解析式得， ， 解得， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 解：①如图所示， 当点在线段上运动，时，， 此时，为等腰三角形， 根据勾股定理得， ∴； ②如图所示， 当点在线段的垂直平分线上时，假设点的坐标为，则， 根据勾股定理得，， ∴， 解得， ∵，不符合题意； 假设点的坐标为，则， 根据勾股定理得，， ∴， 解得， ∵，符合题意； ∴； 综上，点Q的坐标为或； 【小问3详解】 解：如图所示，与相交于点，根据翻折的性质可得，， 根据给出的例子可得， 由和得，直线的解析式为， 联立直线的解析式和直线的解析式得， ， 解得， ∴， 点平移到点和点平移到点轨迹一样， ∴由平移的性质得，，， 可以看作向左平移了，向下平移了， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了建立平面直角坐标系，一次函数的图象和性质，翻折的性质，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，平移的性质，解题的关键是理解题目给出的建立坐标系的方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期第二次月考 八年级数学科试题 （总分：120分 时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各式中，属于勾股数的一组是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 下列图象中，表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是战机在空中展示的轴对称队形．以飞机B，C所在直线为x轴、队形的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系．若飞机E的坐标为，则飞机D的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，阴影部分是一个正方形，该正方形的面积为（ ） A. 3 B. 9 C. 16 D. 25 6. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 、在一次函数的图象上，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 不能确定 8. 如图在正方形网格图中有线段，点A，B，C在网格的格点上，则（ ） A. B. C. D. 9. 小强和爷爷去爬山，爷爷先出发一段时间后小强再出发，途中小强追上了爷爷并最终先爬到山顶，两人所爬的高度h（米）与小强出发后的时间t（分钟）的函数关系如右图所示，给出结论①山的高度是720米，②表示的是爷爷爬山的情况，表示的是小强爬山的情况，③小强爬山的速度是爷爷的2倍，④爷爷比小强先出发20分钟．其中正确的有（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 已知关于x，y的二元一次方程组（a是常数），若不论a取什么实数，代数式（k是常数）的值始终不变，则k的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点在第______象限． 12. 比较大小：________5（填“>”“<”或“=”）. 13. 中国象棋是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“帥”“炮”两枚棋子所在格点之间的距离是_____． 14. 若关于，的方程组为则的值是_____． 15. 如图，已知直线（n为正整数）与x轴、y轴分别交于点、，的面积为，则______． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算： 17. 解方程组：． 18. 如图，在中，，垂足为D．．求证：． 四、解答题（二）（本大题有3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，正方形网格中，每个小网格的边长是1，是格点三角形（顶点是网格线交点的三角形）， （1）请作出关于直线l对称的； （2）求出的面积； （3）试在直线上找一点，使最小（不写作图过程，保留作图痕迹） 20. 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． （1）应用一：最短路径问题 如图，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是 ； （2）应用二：解决实际问题 如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴交于两点，正比例函数的图象与交于点 （1）的值为______，的解析式为______； （2）直线上是否存在一点，使得的面积是面积的倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）一次函数的图象为，且，，不能围成三角形，直接写出的值． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 学完勾股定理后，小宇碰到了一道题：如图1，在四边形中，，垂足为O，若，，，则的长为______． 他不会做，去问同桌小轩，小轩通过思考后，耐心地对小宇讲道：“因为，垂足为O，那么在四边形中有四个直角三角形，利用勾股定理可得，，，，…”小轩话没讲完，小宇就讲道：“我知道了，原来与之间有某种数量关系．”并对小轩表示感谢． （1）与有什么数量关系？请给出证明，并求出的长度． （2）如图2，分别在的边和边上向外作等腰和等腰，连接，． ①若，，连接，交于点D，当时，求的长； ②如图3，若，，，当时，求的面积． 23. 【阅读材料】建系法：通过构建平面直角坐标，借助点坐标、函数等方法，可以把几何关系转化成代数关系． 【初步运用】2025年陕西中考第7题：如图1，正方形的边长为4，点E为的中点，点F在上，，则的面积为多少？ 解决这道题目方法很多，其中一种就是“建系法”． 解题思路： ①如图2，以直线为x轴，以直线为y轴，以点A为原点建立直角坐标系． ②由题意得，点A坐标为，点E坐标为，点B坐标为，点C坐标为． ③由点E和点C的坐标求出直线的关系式为． ④由和点，可求出直线关系式为，即可求点F坐标为． ⑤由此得到线段和的长，从而求出面积为5． 【迁移探究】如图，长方形中，，，，，，点E是边上的一点，，交于点F． （1）请用“建系法”求四边形的面积．（要求：建立直角坐标系时，把长方形的边放在坐标轴上，并把长方形置于第一象限．） （2）在题（1）建立的直角坐标系基础上，点P是长方形边、边和边上的一个动点，沿着由的方向移动，点Q是点P在运动过程中关于x轴的对称点．请问在点P的运动过程中，是否存在某一时刻使得是一个等腰三角形，若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在题（1）建立的直角坐标系基础上，把沿着直线折叠，点D的对应点为点，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $