第八单元 垂线与平行线 （思维导图＋3考点＋2命题点+9种题型）-苏教版四年级上册数学单元复习易错易混专项讲义

第八单元 垂线与平行线 【思维导图＋4考点＋1命题点+5种题型（含1种解题技巧）】 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 直线、射线和线段 考点二 角 考点三 垂线 考点四 平行线 04题型精研·考向洞悉 命题点 线与角的认识与应用 题型01 直线、射线和线段和相交的综 合考查 题型02 运用角之间的关系解决问题 题型03 结合生活情境考查角的度量 和垂线 题型04 平行线和垂线的应用 题型05 数图形 单元考点 考查 频率 新课标要求 直线、射线和线段 ★ 新课标要求学生认识直线、射线、线段的端点特征与度量性，能辨析三者区别；结合实例理解 “两点确定一条直线”“两点之间线段最短”，会用符号表示，发展空间观念，为后续几何学习奠定直观认知基础。 角 ★★ 新课标要求学生认识角是射线组成的图形，会用符号表示角；掌握量角器量角、画角的方法，能区分锐角、直角等角的类型，理解角的大小关系与换算，建立角的直观概念，发展几何直观与空间想象能力，能解决简单角的实际问题。 垂线 ★★ 新课标要求学生认识垂线的定义（相交成直角的直线），掌握过点画已知直线垂线的方法，理解点到直线的距离是垂线段长度；结合实例体会垂线的特征，能运用垂线概念解决简单实际问题，发展空间观念与几何直观，提升画图与应用能力。 平行线 ★★ 新课标要求学生认识同一平面内平行线的定义（不相交的直线），掌握用三角尺、直尺画平行线的方法，理解平行线间距离处处相等的性质；结合实例辨析平行线，运用其特征解决简单问题，发展空间观念与几何直观，提升图形操作和应用能力。 【考情分析】本单元考试题型涵盖选择、填空、判断、作图与解答，作图和概念辨析占比高。核心考点包括直线、射线、线段的辨析，角的度量与分类，垂线和平行线的定义、画法及性质应用。易错点集中在忽略平行线“同一平面”前提、混淆点到直线的距离概念、量角时内外圈刻度误读。考试注重基础概念与实操结合，既考查图形操作能力，也侧重运用性质解决实际问题，需强化对易混概念的区分和作图规范训练。 考点一 直线、射线和线段 1、线段 · 定义：有两个端点的直的线。 · 特征：可度量长度；两点之间，线段最短。 2、射线 · 定义：有一个端点，向一端无限延伸的直的线。 · 特征：不可度量长度；延伸方向唯一。 3、直线 · 定义：没有端点，向两端无限延伸的直的线。 · 特征：不可度量长度；两点确定一条直线。 4、直线、射线、线段的区别与联系 名称 不同点 相同点 图示 端点个数 延长情况 长度 线段 •———• 2 个 不能向两端延长 有限长 （可测量） 都是直的 射线 •——— 1 个 只能向一端无限延长 无限长 （不可测量） 都是直的 直线 ——— 0 个 可以向两端无限延长 无限长 （不可测量） 都是直的 5、经过确定的点画射线和直线 从一点出发画射线 经过一点画直线 经过两点画直线 图示 数量 从一点出发可以画无数条射线 经过一点可以画无数条直线 经过两点只能画一条直线 6、两点之间的距离 （1）两点之间线段最短 （2）链接两点的线段的长度叫作这两点间的距离。 1.（2024•广西钦州•期末）判断：把一条线段向一端延长8米，就得到一条射线。( ) 2.（2024•贵州毕节•期末）把一条2厘米长的线段分别向两端延长30厘米后得到一条( )，向一端无限延长后得到一条( )，分别向两端无限延长后得到一条( )。 3.（2024•江苏•单元测） 在纸上任意画两个点，经过这两个点最多能画( )条直线；任意画三个点，每次经过其中的两个点，最多能画( )条直线。 4.（2024•江苏•单元测）下面图形中，( )是直线，( )是线段，( )是射线。 5.（2024•江苏•单元测）下面选项中，属于射线现象的是（ ）。 A．一条拉直的绳子 B．一条弯曲的小路 C．手电筒射出的光线 6.（2024•河南驻马店•期末）在数学课上，我们认识了线家族的三个兄弟：能测量长度的( )，可以向两端无限延长的( )和只有1个端点的( )，三个兄弟告诉我们：做事，要像( )那样“有始有终，坚持到底。学习，要像( )那样“有始无终，勇往直前”；想象，要像( )那样“无始无终，自由大胆”。 考点二 角 一、画角 第一步：确定顶点（在合适的位置画一个点）。 第二步：从顶点向两个不同的方向画出两条射线。 二、认识角的各部分的名称 从一点引出的两条射线可以组成角，这一点叫作角的顶点，两条射线叫作角的边。 三、角的符号、记法和读法 角通常用符号 “∠” 表示。右图的角可以记作∠1。∠1 读作角1。 四、角的度量 1、测量角 三角尺上的角大小不同，用这些大小不同的角去测量指定的角，得到的结果不同。 2、统一度量单位和计量单位 为了准确测量角的大小，要有统一的度量工具和计量单位。 五、认识量角器 1、认识量角器和角的计量单位 （1） 量角器上有很多刻度线，它们都指向量角器的中心。 （2） 量角器是半圆形的，把半圆分成 180 等份，每一份所对的角是 1 度的角。 （3） “度”是角的计量单位，用符号“°”表示，如 1 度记作 1°。 （4） 中心两边各有 1 条 0° 刻度线，量角器上有两圈刻度。 左边的 0°刻度线→外圈刻度 (顺时针方向) 右边的 0°刻度线→内圈刻度 (逆时针方向) 简记：左外右内 2、用量角器量角 用量角器测量角的大小的基本方法和操作要领，可以概括为 “两重合，一看刻”。 心点重合：量角器中心与角的顶点重合。 线边重合：0° 刻度线与角的其中一条边重合。 一看刻：角的另一条边与某一刻度线重合。 注意：读数时，一定要看清内、外圈刻度。 3、用量角器画角 画角的注意事项 （1）如果角的一条边与内圈0° 刻度线重合，就要看内圈刻度；如果角的一条边与外圈0°刻度线重合，就要看外圈刻度。 （2）用量角器画角，画出第二条射线后，不要忘了标上小弧线和度数。 5、 角的分类及大小关系 1、角的分类 类别 锐角 钝角 直角 平角 周角 图示 特点 小于 90° 大于 90°，小于 180° 等于 90° 等于 180° 360° 2.各类角的大小关系 锐角＜直角＜钝角＜平角 1周角＝2平角＝4直角 【易错易混】 1.角的符号和小于号的明显区别：“∠”的下面是平的，“＜”的下面是斜的。 2.度的符号“°”要写在数字的右上方，既不能写成数字0，也不能写成句号。 3.用量角器量角时，先根据角的一条边与量角器的哪一侧的0°刻度线重合，判断使用的是外圈刻度，还是内圈刻度，再读数。 4.周角并不是最大的角，一条射线绕着它的端点旋转几周，形成的角的度数就是几个360°。 5.画平角和周角时，不要忘记在顶点处画上弧线。 1.（2024•江苏•单元测） 用量角器度量一个角，中心点对准顶点后，发现角的一条边对着量角器上外圈刻度“100”，另一条边对着外圈刻度“30”，这个角是（ ）度。 A．70 B．130 C．140 2.（2024•江苏•单元测）先估计下面各角的度数，再量一量。 ∠1≈( )° ∠2≈( )° ∠3≈( )° ∠1＝( )° ∠2＝( )° ∠3＝( )° 3.（2024•河南信阳•期末） 两个锐角拼成的角不可能是（ ）。 A．直角 B．钝角 C．锐角 D．平角 4.（2024•江苏南京•期末）看图填一填。 已知∠2＝60°，∠1＝( )°，∠3＝( )°，∠4＝( )°。 考点三 垂线 一、认识垂直 两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫作垂足。如图: 直线 a 和直线 b 互相垂直，直线 a 是直线 b 的垂线，直线b 也是直线 a 的垂线。点O是它们的垂足。 二、点到直线的距离 1、从直线外一点到这条直线所画的线段中，垂直线段的长度最短。 2、从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度，叫作这点到直线的距离。 三、画垂线 1、借助支持和三角尺画垂线 2、借助量角器画垂线 【易错易混】 1.“点到直线的距离” 是点到直线的垂直线段的长度，“两点间的距离” 是两点之间线段的长度。 2.互相垂直的两条直线相交成直角，画垂线时要正确标注直角符号 “┐”。 3.无论是过直线上一点，还是过直线外一点，都只能画出已知直线的一条垂线。 4.画垂线时，应该沿着三角尺的另一条直角边画线，而不是沿着斜边画线。 1.（2024•江苏安•单元测） 如下图，四人同时过马路，他们的速度相同，( )和( )最先同时到达对边。 2.（2024•江苏•单元测）下图是小兰跳远后的示意图，CD是起跳线，A点是左脚的落点，B点是右脚的落点，如果用尺子量小兰跳远的成绩，尺子该怎样放？请你画出示意图。 3.（2024•江苏•单元测）从一点到已知直线的所有连线中，与已知直线垂直的线段有（ ）条。 A．1 B．2 C．无数 4.（2024•江苏•单元测） 要把水渠里的水引到果园A处，在条件允许的情况下，怎样铺水管最短？请画出示意图。 考点四 平行线 一、认识平行 1、在同一平面内，不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。 2、理解 “同一平面内”判断两条直线是否平行，先要判断两条直线是否在 “同一平面内”。 如图： 二、画平行线 1、利用三角尺和直尺画平行线 2、画已知直线的平行线 3、过直线外一点画已知直线的平行线 1.（2024•江苏•单元测）在下边的图形中，有（ ）组平行线。 A．2 B．4 C．8 2.（2024•海南海口•期末）判断：a和b是两条互相平行的直线，直线a和c平行，所以直线b和c也平行。( ) 3.（2024•江苏•期末）如图，如果直线a和直线b互相平行，那么，线段①的长度（ ）线段②的长度。 A．等于 B．小于 C．大于 4.（2024•江苏徐州•期末）画出一条经过点A，并且与已知直线平行的直线。 命题点 线与角的认识与应用 题型01 直线、射线和线段和相交的综合考查 1.（2024·贵州毕节·期末） 下列说法正确的是（ ）。 A．把一条线段向任意一端延长100米，就得到一条射线 B．把一条线段向任意一端延长100米，就得到一条直线 C．把一条线段向任意一端延长100米，就得到一条线段 D．把一条线段向任意一端延长100米，就得到一个直角 2.（2024·安徽合肥·期末）下列说法中，错误的是（ ）。 A．直线的两端都可以无限延长，所以直线比射线更长。 B．在一张纸上，经过1点可以画无数条直线，经过2点只能画1条直线。 C．把平角分成两个角，如果一个角是钝角，那么另一个角一定是锐角。 3.（2024·江苏宿迁·期末）经过纸上两个点可以画1条直线，（如图）经过4个点中的每两个点最多可以画（ ）条直线。 A．4 B．5 C．6 题型02 运用角之间的关系解决问题 1.（2024·安徽合肥·期末）钟面上的分针从12起转到2，形成的角是( )度，它是( )角。 2.（2024·河南平顶山·期末）下图是用一副三角尺拼成的图形，∠1是多少度？ 3.（2024·江苏常州·期末）两条直线相交，如果其中一个角是80°，那么和它相邻的角是（ ）。 A．80° B．10° C．100° D．20° 题型03 结合生活情境考查角的度量和垂线 1.（2024·江苏徐州·期末）如图，角的一条边被墨水挡住了，这个角不可能是（ ）。 A．60° B．50° C．40° 2.（2024·江苏南通·期末）残缺创造美！小华的量角器坏了，他用这个残缺的量角器测量一个角的度数。如图所示，这个角是（ ）度。 A．90 B．80 C．70 D．55 题型04 平行线与垂线的应用 1.（2024·安徽合肥·期末）如图是某街区的平面示意图。 （1）与人民路平行的是（ ）路。 （2）用量角器量出∠1＝（ ）度。 （3）庐州小区安装供水设备，需要连接供水主管道，供水主管道在光明路上，怎样铺设连接管道最节省材料，请在示意图中画出来。 2.（2024·安徽合肥·期末）一张长方形纸，先横着对折，再竖着对折，两次的折痕不可能（ ）。 A．互相平行 B．相交 C．互相垂直 3.（2024·河南平顶山·期末） 运动会跳远比赛，每名运动员有三次试跳机会，最好的一次成绩作为最终的成绩。李明第一次犯规，后两次分别跳到了图中位置。 （1）用线段画出两次跳远的距离。 （2）你所画的两条线段互相（ ）。（填“垂直”或“平行”） （3）李明后两次的成绩分别为420厘米和360厘米，张军三次的成绩分别为405厘米，410厘米和400厘米。你认为（ ）获胜。 题型05 数图形 1、 数直线：两点确定一条直线。n 个点都不在同一直线上时，总数＝ n×(n－1)÷2；按顺序固定一个点，和其他点连线，避免重复。 2、 数射线：先找所有端点，每个端点向不同方向各算1条射线，最后相加。3、数线段：直线上有n个点，从左到右固定左端点，依次和右边点配对，总数＝n×(n－1)÷2。 3、数角一个顶点引出n条射线，从第一条射线开始，依次和后面射线组合，总数＝n×(n－1)÷2。 1.（2024·湖南邵阳·期末） 图中能数出( )条线段，( )条直线。 2.（2024·江苏南通·期末）如图，经过纸上2个点可以画1条直线，经过3个点中的每两个点最多可以画3条直线，经过4个点中的每两个点最多可以画6条直线。根据你发现的规律，填写下表。 点/个 2 3 4 5 … 直线/条 1 3 6 … 45 3.（2024·江苏常州·期末）如图，以点A为端点再画一条射线，图中会增加( )个角。 4.（2024·江苏盐城·期末）下图中有( )个直角，( )个锐角，如果∠1＝30°，那么图中最大的角是( )°。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $知识梳理 垂线与平行线 学法指导 射线： 有一个端点，不可以测量长度 没有端点，不可以测量长度 射线、直线、线段 直线： 过两点只能画一条直线，过一点可以画无数条直线 有两个端点，可以测量长度 线段： 两点之间线段最短 从一点引出的两条射线组成的图形 角的认识 用符号“∠”表示 边 用量角器量角，1度记作1 顶点 边 角的度量 测量方法：将量角器的中心与角的顶，点重合，0° 刻度线与角的一条边重合，另一条边所对应的刻度 (0°刻度线所在的那一圈)就是角的度数 锐角：小于90 角 直角：等于90 角的分类 钝角：大于90°且小于180 周角>平角>钝角>直角>锐角 1周角=2平角=4直角 平角：180 周角：360 画角 用量角器画角 定线→定点→连线 定义 两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直， 其中一条直线是另一条直线的垂线 垂线 垂线的画法 过直线上或直线外一点画已知直线的垂线，可以 借助三角尺或量角器来画 点到直线的距离 点到直线的垂直线段的长度 定义 同一平面内，不相交的两条直线互相平行，其中 一条直线是另一条直线的平行线 一平行线 画法 可以借助三角尺和直尺来画 特点 平行线间的距离处处相等 掌握线的特征、角的度量与分类 重难点 会画垂线、平行线 结合图形灵活运用垂线、平行线的性质 混淆平行线“同一平面”的前提 易错点 错把非垂直线段当，点到直线的距离 Presented with xmind 第八单元 垂线与平行线 【思维导图＋4考点＋1命题点+5种题型（含1种解题技巧）】 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 直线、射线和线段 考点二 角 考点三 垂线 考点四 平行线 04题型精研·考向洞悉 命题点 线与角的认识与应用 题型01 直线、射线和线段和相交的综 合考查 题型02 运用角之间的关系解决问题 题型03 结合生活情境考查角的度量 和垂线 题型04 平行线和垂线的应用 题型05 数图形 单元考点 考查 频率 新课标要求 直线、射线和线段 ★ 新课标要求学生认识直线、射线、线段的端点特征与度量性，能辨析三者区别；结合实例理解 “两点确定一条直线”“两点之间线段最短”，会用符号表示，发展空间观念，为后续几何学习奠定直观认知基础。 角 ★★ 新课标要求学生认识角是射线组成的图形，会用符号表示角；掌握量角器量角、画角的方法，能区分锐角、直角等角的类型，理解角的大小关系与换算，建立角的直观概念，发展几何直观与空间想象能力，能解决简单角的实际问题。 垂线 ★★ 新课标要求学生认识垂线的定义（相交成直角的直线），掌握过点画已知直线垂线的方法，理解点到直线的距离是垂线段长度；结合实例体会垂线的特征，能运用垂线概念解决简单实际问题，发展空间观念与几何直观，提升画图与应用能力。 平行线 ★★ 新课标要求学生认识同一平面内平行线的定义（不相交的直线），掌握用三角尺、直尺画平行线的方法，理解平行线间距离处处相等的性质；结合实例辨析平行线，运用其特征解决简单问题，发展空间观念与几何直观，提升图形操作和应用能力。 【考情分析】本单元考试题型涵盖选择、填空、判断、作图与解答，作图和概念辨析占比高。核心考点包括直线、射线、线段的辨析，角的度量与分类，垂线和平行线的定义、画法及性质应用。易错点集中在忽略平行线“同一平面”前提、混淆点到直线的距离概念、量角时内外圈刻度误读。考试注重基础概念与实操结合，既考查图形操作能力，也侧重运用性质解决实际问题，需强化对易混概念的区分和作图规范训练。 考点一 直线、射线和线段 1、线段 · 定义：有两个端点的直的线。 · 特征：可度量长度；两点之间，线段最短。 2、射线 · 定义：有一个端点，向一端无限延伸的直的线。 · 特征：不可度量长度；延伸方向唯一。 3、直线 · 定义：没有端点，向两端无限延伸的直的线。 · 特征：不可度量长度；两点确定一条直线。 4、直线、射线、线段的区别与联系 名称 不同点 相同点 图示 端点个数 延长情况 长度 线段 •———• 2 个 不能向两端延长 有限长 （可测量） 都是直的 射线 •——— 1 个 只能向一端无限延长 无限长 （不可测量） 都是直的 直线 ——— 0 个 可以向两端无限延长 无限长 （不可测量） 都是直的 5、经过确定的点画射线和直线 从一点出发画射线 经过一点画直线 经过两点画直线 图示 数量 从一点出发可以画无数条射线 经过一点可以画无数条直线 经过两点只能画一条直线 6、两点之间的距离 （1）两点之间线段最短 （2）链接两点的线段的长度叫作这两点间的距离。 1.（2024•广西钦州•期末）判断：把一条线段向一端延长8米，就得到一条射线。( ) 【答案】× 【分析】射线有一个端点，可以向一端无限延伸，没有长度。线段有2个端点，有长度，将线段向一端延长8米，即延长部分仍是一条线段，所以得到的图就是一条线段。 【详解】把一条线段向一端延长8米，得到的还是一条线段，所以原题干说法错误。 故答案为：× 2.（2024•贵州毕节•期末）把一条2厘米长的线段分别向两端延长30厘米后得到一条( )，向一端无限延长后得到一条( )，分别向两端无限延长后得到一条( )。 【答案】线段 射线 直线 【分析】把一条2厘米长的线段分别向两端延长30厘米后，它的长度变为2＋30＋30＝62（厘米）。因为它有两个端点，并且长度是可以测量的，所以得到的是一条线段。把线段向一端无限延长后，它有一个端点，另一端可以无限延伸，这种图形是射线。把线段分别向两端无限延长后，它没有端点，可以向两边无限延伸，这种图形是直线。 【详解】把一条2厘米长的线段分别向两端延长30厘米后得到一条线段，向一端无限延长后得到一条射线，分别向两端无限延长后得到一条直线。 3.（2024•江苏•单元测） 在纸上任意画两个点，经过这两个点最多能画( )条直线；任意画三个点，每次经过其中的两个点，最多能画( )条直线。 【答案】1 3 【分析】过一点可以画无数条直线，过两点只能画一条直线。在纸上分别画 2 个点和 3 个点，尝试画出直线个数，即可解答。 【详解】如图： 即在纸上任意画两个点，经过这两个点最多能画 1 条直线；任意画三个点，每次经过其中的两个点，最多能画 3 条直线。 4.（2024•江苏•单元测）下面图形中，( )是直线，( )是线段，( )是射线。 【答案】② ③ ① 【分析】线段有两个端点且有一定的长度；射线有一个端点，它可以向一个方向无限延伸；直线没有端点，它可以向两端无限延伸。据此分析。 【详解】由分析可得，②是直线，③是线段，①是射线。 5.（2024•江苏•单元测）下面选项中，属于射线现象的是（ ）。 A．一条拉直的绳子 B．一条弯曲的小路 C．手电筒射出的光线 【答案】C 【分析】射线只有一个端点，可以向一端无限延伸，不可测量长度，据此解答。 【详解】A. 一条拉直的绳子有两个端点，相当于线段，可测量长度，不符合题意；B. 射线是直的，弯曲的小路是曲线，不符合题意；C. 手电筒射出的光线相当于是从一个端点向另一端无限延伸，符合题意。 故答案为：C 6.（2024•河南驻马店•期末）在数学课上，我们认识了线家族的三个兄弟：能测量长度的( )，可以向两端无限延长的( )和只有1个端点的( )，三个兄弟告诉我们：做事，要像( )那样“有始有终，坚持到底。学习，要像( )那样“有始无终，勇往直前”；想象，要像( )那样“无始无终，自由大胆”。 【答案】线段 直线 射线 线段 射线 直线 【分析】直线上任意两点之间的一段叫做线段；把线段的一端无限延长，得到一条射线；把线段的两端无限延长，得到一条直线；线段有两个端点，长度是有限的，射线只有一个端点，无限长，直线没有端点，无限长；据此即可解答。 【详解】在数学课上，我们认识了线家族的三个兄弟：能测量长度的线段，可以向两端无限延长的直线和只有1个端点的射线，三个兄弟告诉我们：做事，要像线段那样“有始有终，坚持到底。学习，要像射线那样“有始无终，勇往直前”；想象，要像直线那样“无始无终，自由大胆”。 考点二 角 一、画角 第一步：确定顶点（在合适的位置画一个点）。 第二步：从顶点向两个不同的方向画出两条射线。 二、认识角的各部分的名称 从一点引出的两条射线可以组成角，这一点叫作角的顶点，两条射线叫作角的边。 三、角的符号、记法和读法 角通常用符号 “∠” 表示。右图的角可以记作∠1。∠1 读作角一。 四、角的度量 1、测量角 三角尺上的角大小不同，用这些大小不同的角去测量指定的角，得到的结果不同。 2、统一度量单位和计量单位 为了准确测量角的大小，要有统一的度量工具和计量单位。 五、认识量角器 1、认识量角器和角的计量单位 （1） 量角器上有很多刻度线，它们都指向量角器的中心。 （2） 量角器是半圆形的，把半圆分成 180 等份，每一份所对的角是 1 度的角。 （3） “度”是角的计量单位，用符号“°”表示，如 1 度记作 1°。 （4） 中心两边各有 1 条 0° 刻度线，量角器上有两圈刻度。 左边的 0°刻度线→外圈刻度 (顺时针方向) 右边的 0°刻度线→内圈刻度 (逆时针方向) 简记：左外右内 2、用量角器量角 用量角器测量角的大小的基本方法和操作要领，可以概括为 “两重合，一看刻”。 心点重合：量角器中心与角的顶点重合。 线边重合：0° 刻度线与角的其中一条边重合。 一看刻：角的另一条边与某一刻度线重合。 注意：读数时，一定要看清内、外圈刻度。 3、用量角器画角 画角的注意事项 （1）如果角的一条边与内圈0° 刻度线重合，就要看内圈刻度；如果角的一条边与外圈0°刻度线重合，就要看外圈刻度。 （2）用量角器画角，画出第二条射线后，不要忘了标上小弧线和度数。 5、 角的分类及大小关系 1、角的分类 类别 锐角 钝角 直角 平角 周角 图示 特点 小于 90° 大于 90°，小于 180° 等于 90° 等于 180° 360° 2.各类角的大小关系 锐角＜直角＜钝角＜平角 1周角＝2平角＝4直角 【易错易混】 1.角的符号和小于号的明显区别：“∠”的下面是平的，“＜”的下面是斜的。 2.度的符号“°”要写在数字的右上方，既不能写成数字0，也不能写成句号。 3.用量角器量角时，先根据角的一条边与量角器的哪一侧的0°刻度线重合，判断使用的是外圈刻度，还是内圈刻度，再读数。 4.周角并不是最大的角，一条射线绕着它的端点旋转几周，形成的角的度数就是几个360°。 5.画平角和周角时，不要忘记在顶点处画上弧线。 1.（2024•江苏•单元测） 用量角器度量一个角，中心点对准顶点后，发现角的一条边对着量角器上外圈刻度“100”，另一条边对着外圈刻度“30”，这个角是（ ）度。 A．70 B．130 C．140 【答案】A 【分析】由题意得，用量角器度量一个角，中心点对准顶点后，发现角的一条边对着量角器上外圈刻度 “100”，另一条边对着外圈刻度 “30”，都是外圈刻度，那么直接用 100° 减去 30° 即可算出这个角的度数。 【详解】100°－30°＝70°这个角是70°。 故答案为：A 2.（2024•江苏•单元测）先估计下面各角的度数，再量一量。 ∠1≈( )° ∠2≈( )° ∠3≈( )° ∠1＝( )° ∠2＝( )° ∠3＝( )° 【答案】20 150 90 22 144 90 【分析】根据直角＝90°，锐角＜90°，90°＜钝角＜180° 等知识，结合经验，合理估计出各角的度数；再用量角器量出角的度数：先把量角器的中心点与角的顶点重合，再把量角器的0° 刻度线与角的一条边重合，看角的另一条边指着的度数就是这个角的度数；注意角的第一条边与量角器哪一边的0°刻度线重合，读度数时，就从那一边的0°刻度读起。 3.（2024•河南信阳•期末） 两个锐角拼成的角不可能是（ ）。 A．直角 B．钝角 C．锐角 D．平角 【答案】D 【分析】因为锐角是大于0° 小于90°的角，钝角是大于90° 小于180° 的角，直角是90°的角，两个锐角相加最大小于 90°+90°=180°，而平角是180°，所以两个锐角拼成的角不可能是平角。 【详解】A. 直角可拼成，如：45°＋45°＝90°； B. 钝角可拼成，如：60°＋70°＝130°； C. 锐角可拼成，如：20°＋30°＝50°； D. 平角不可以拼成，如：89°＋89°＝178°； 把锐角拼在一起，不可能为平角。 故答案为：D 4.（2024•江苏南京•期末）看图填一填。 已知∠2＝60°，∠1＝( )°，∠3＝( )°，∠4＝( )°。 【答案】 120 120 60 【分析】根据图示可知，∠2和∠1组成一个平角，所以用180°减去∠2的度数，即可求出∠1的度数；∠1和∠4组成一个平角，所以用180°减去∠1的度数，即可求出∠4的度数；∠4和∠3组成一个平角，所以用180°减去∠4的度数，即可求出∠3的度数。据此解答。 【详解】∠1: 180°－60°＝120° ∠4: 180°－120°＝60° ∠3: 180°－60° ＝120° 所以已知∠2＝60°，∠1＝120°，∠3＝120°，∠4＝60°。 考点三 垂线 一、认识垂直 两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫作垂足。如图: 直线 a 和直线 b 互相垂直，直线 a 是直线 b 的垂线，直线b 也是直线 a 的垂线。点O是它们的垂足。 二、点到直线的距离 1、从直线外一点到这条直线所画的线段中，垂直线段的长度最短。 2、从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度，叫作这点到直线的距离。 三、画垂线 1、借助支持和三角尺画垂线 2、借助量角器画垂线 【易错易混】 1.“点到直线的距离” 是点到直线的垂直线段的长度，“两点间的距离” 是两点之间线段的长度。 2.互相垂直的两条直线相交成直角，画垂线时要正确标注直角符号 “┐”。 3.无论是过直线上一点，还是过直线外一点，都只能画出已知直线的一条垂线。 4.画垂线时，应该沿着三角尺的另一条直角边画线，而不是沿着斜边画线。 1.（2024•江苏安•单元测） 如下图，四人同时过马路，他们的速度相同，( )和( )最先同时到达对边。 【答案】小亮 小杰 【分析】要走过人行横道，把人行横道的另一端看成一条直线，根据点到直线的距离可知，点到直线的距离，垂线段最短；据此解答。 【详解】根据分析可知，小亮和小杰走的是垂线，所以小亮和小杰用的时间最短；则四人同时过马路，他们的速度相同，小亮和小杰最先同时到达对边。 2.（2024•江苏•单元测）下图是小兰跳远后的示意图，CD是起跳线，A点是左脚的落点，B点是右脚的落点，如果用尺子量小兰跳远的成绩，尺子该怎样放？请你画出示意图。 【答案】具体画法见详解 【分析】落脚点与起跳线的最短距离为跳远的成绩，左脚的落点 A 与起跳线的距离更近，所以应该测量 A 点到起跳线的距离。从 A 点作起跳线的垂线段，A 点到 CD 的垂线段的长度为小兰的跳远成绩，所以尺应该沿 A 点到 CD 的垂线段放。画垂线时，三角尺的直角边靠着 CD 边，另一条直角边靠着点 A，沿着另一条直角边画线段，并标上垂直标记。据此画图即可解答。 【详解】具体画法如下： 3.（2024•江苏•单元测）从一点到已知直线的所有连线中，与已知直线垂直的线段有（ ）条。 A．1 B．2 C．无数 【答案】A 【分析】过直线上或直线外一点作垂线的步骤： 1、把三角尺的一条直角边与已知直线重合。 2、沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上。 3、沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就是已知直线的垂线。根据垂线的性质可知：过直线外一点，向已知直线作垂线，只能作一条，因此从一点到一条直线只能画一条垂线段。 【详解】根据分析可知：从一点到已知直线的所有连线中，与已知直线垂直的线段有 1 条。 故答案为：A 4.（2024•江苏•单元测） 要把水渠里的水引到果园A处，在条件允许的情况下，怎样铺水管最短？请画出示意图。 【答案】见详解 【分析】从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，因此要把水渠里的水引到果园 A 处，垂直铺水管最短。把三角尺的一条直角边与已知直线重合，沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上，沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号，这条直线就是已知直线的垂线。 【详解】要把水渠里的水引到果园 A 处，在条件允许的情况下，垂直铺水管最短。示意图如图所示： 考点四 平行线 一、认识平行 1、在同一平面内，不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。 2、理解 “同一平面内”判断两条直线是否平行，先要判断两条直线是否在 “同一平面内”。 如图： 二、画平行线 1、利用三角尺和直尺画平行线 2、画已知直线的平行线 3、过直线外一点画已知直线的平行线 1.（2024•江苏•单元测）在下边的图形中，有（ ）组平行线。 A．2 B．4 C．8 【答案】B 【分析】同一平面内不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。找互相平行的线段就是找不相交的线段。据此解答。 【详解】每个正方形中有 2 组平行线，这个图形中有 2 个正方形，一共有 4 组平行线。故答案为：B 2.（2024•海南海口•期末）判断：a和b是两条互相平行的直线，直线a和c平行，所以直线b和c也平行。( ) 【答案】√ 【分析】在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线也相互平行。 【详解】因在同一平面内，直线 a 和直线 b 相互平行，直线 a 和直线 c 相互平行，直线 b 和 c 都和直线 a 平行，所以直线 b 和直线 c 相互平行。原题说法正确。 故答案为：√ 3.（2024•江苏•期末）如图，如果直线a和直线b互相平行，那么，线段①的长度（ ）线段②的长度。 A．等于 B．小于 C．大于 【答案】A 【分析】在同一平面内，永不相交（也永不重合）的两条直线，叫做平行线，即互相平行，据此解答。 【详解】所以如果直线 a 和直线 b 互相平行，那么，线段①的长度等于线段②的长度。 故答案选：A。 4.（2024•江苏徐州•期末）画出一条经过点A，并且与已知直线平行的直线。 【答案】见详解 【分析】过直线外一点作已知直线的平行线的方法是：把三角板的一边与已知直线重合，另一边靠紧一直尺，沿直尺滑动三角板，当与直线重合的一边经过点 A 时，沿这边画直线，这条直线就与已知直线平行。 【详解】 命题点 线与角的认识与应用 题型01 直线、射线和线段和相交的综合考查 1.（2024·贵州毕节·期末） 下列说法正确的是（ ）。 A．把一条线段向任意一端延长100米，就得到一条射线 B．把一条线段向任意一端延长100米，就得到一条直线 C．把一条线段向任意一端延长100米，就得到一条线段 D．把一条线段向任意一端延长100米，就得到一个直角 【答案】C 【分析】线段有两个端点且有一定的长度；射线有一个端点，它可以向一个方向无限延伸；直线没有端点，它可以向两端无限延伸。射线和直线的长度无法测量。从一点引出的两条射线可以组成角。直角的度数是90°。据此解答。 【详解】A．射线的长度无法测量，该选项说法错误。B．直线的长度无法测量，该选项说法错误。C．线段的长度可以测量，该选项说法正确。D．把一条线段向任意一端延长 100 米，无法得到一个角，更无法得到一个直角。该选项说法错误。 故答案为：C 2.（2024·安徽合肥·期末）下列说法中，错误的是（ ）。 A．直线的两端都可以无限延长，所以直线比射线更长。 B．在一张纸上，经过1点可以画无数条直线，经过2点只能画1条直线。 C．把平角分成两个角，如果一个角是钝角，那么另一个角一定是锐角。 【答案】A 【分析】直线没有端点，两边可无限延长；射线有一端有端点，另一端可无限延长；线段，有两个端点，而两个端点间的距离就是这条线段的长度；过1点可以画无数条直线，经过2点只能画1条直线；平角为180度角，钝角为大于90度小于180度的角，直角为90度角，锐角为小于90度的角；据此分析每个选项解答此题。 【详解】根据分析： A． 直线和射线都是无限长的，直线向两端无限延伸，射线向一端无限延伸，它们的长度都无法度量，所以不能比较直线和射线谁更长，原题干说法错误； B． 纸上只有一个点时，可以朝任意方向画直线，所以能画出无数条直线。而当纸上有两个点时，两点就像两个固定的锚点，只能确定唯一的一条连线，这就是 “两点确定一条直线” 的原理；原题干说法正确； C．已知平角是180度，因为钝角大于90度小于180度，无论这个钝角具体是多少度，用180度减去它得到的另一个角必然小于90度，也就是锐角，原题干说法。 故答案为：A 3.（2024·江苏宿迁·期末）经过纸上两个点可以画1条直线，（如图）经过4个点中的每两个点最多可以画（ ）条直线。 A．4 B．5 C．6 【答案】C 【分析】经过一点可以画无数条直线；经过两点只能画 1 条直线；经过 4 个点中的每两个点最多可以画几条直线，可以先确定 4 个点，用连线的方法数出画出的直线条数。 【详解】如图： 经过 4 个点中的每两个点最多可以画 6 条直线。 故答案为：C 题型02 运用角之间的关系解决问题 1.（2024·安徽合肥·期末）钟面上的分针从12起转到2，形成的角是( )度，它是( )角。 【答案】 60 锐 【分析】钟面一周为360°，钟表上有12个数字，分12大格，每相邻两个数字之间的夹角为 30°，每个大格 30°，从12时到2时，时针走了2个大格，时针走了 2×30°＝60°，60°的角是锐角，据此解答即可。 【详解】2×30°＝60°钟面上的分针从12起转到2，形成的角是60度，它是锐角。 2.（2024·河南平顶山·期末）下图是用一副三角尺拼成的图形，∠1是多少度？ 【答案】75° 【分析】一副常见的三角尺分别是45°、45°、90°与30°、60°、90°的两个直角三角形。将它们如图所示放置在同一水平线上时：左边的45°三角尺的斜边与底边所成的角是45°；右边的30°、60°三角尺的斜边与底边所成的角是60°。45°、60° 和∠1在同一直线上组成了平角（180°），∠1就是180°－（45°＋60°）。 【详解】180°－（45°＋60°） ＝180°－105° ＝75° 答：∠1是75° 3.（2024·江苏常州·期末）两条直线相交，如果其中一个角是80°，那么和它相邻的角是（ ）。 A．80° B．10° C．100° D．20° 【答案】C 【分析】两条直线相交时，形成的相邻角组成平角（和为180°）。已知其中一个角是80°，所以用180° 减去80° 即可求出和它相邻的角的度数。 【详解】两条直线相交，如果其中一个角是80°，那么和它相邻的角是：180° －80°＝100° 故答案为：C 题型03 结合生活情境考查角的度量和垂线 1.（2024·江苏徐州·期末）如图，角的一条边被墨水挡住了，这个角不可能是（ ）。 A．60° B．50° C．40° 【答案】C 【分析】根据量角器的认识，量角器上每一大格表示10°，由图示可知，图中角的一条边指向70°，墨水挡住部分在 0°和 30°之间，从没有被墨水挡住的部分看，这个角的两条边之间超过 4 个大格，也就是这个角超过40°，不可能是 40°，据此解答即可。 【详解】根据分析：角的一条边被墨水挡住了，这个角不可能是40°。 故答案为：C 2.（2024·江苏南通·期末）残缺创造美！小华的量角器坏了，他用这个残缺的量角器测量一个角的度数。如图所示，这个角是（ ）度。 A．90 B．80 C．70 D．55 【答案】B 【分析】用量角器量角：用量角器内圈与角的一边重合大的刻度减去量角器内圈与角的一边重合小的刻度，可得出角的度数，据此选择即可。 【详解】角的一条边指向量角器外圈 45°，另一条边指向量角器外圈 125°。125°－45°＝80°这个角是 80 度。 题型04 平行线与垂线的应用 1.（2024·安徽合肥·期末）如图是某街区的平面示意图。 （1）与人民路平行的是（ ）路。 （2）用量角器量出∠1＝（ ）度。 （3）庐州小区安装供水设备，需要连接供水主管道，供水主管道在光明路上，怎样铺设连接管道最节省材料，请在示意图中画出来。 【答案】（1）和平 （2）60 （3）见详解 【分析】（1）同一平面内不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。根据图示可知，解放路垂直于人民路和和平路，所以与人民路平行的是和平路，据此解答； （2）角的度量方法：量角要注意两对齐：量角器的中心和角的顶点对齐；量角器的 0 刻度线和角的一条边对齐；做到两对齐后看角的另一条边对着刻度线几，这个角就是几度；看刻度要分清内外圈。据此用量角器量出∠1 的度数； （3）过直线外一点和已知直线的所有连线中，垂线段最短，则过泸州小区作光明路的垂线段即可。用三角板的一条直角边的已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和泸州小区点重合，过泸州小区点沿直角边向已知直线画直线即可。 【详解】（1）与人民路平行的是和平路。 （2）∠1＝60 度。 （3）如图所示： 2.（2024·安徽合肥·期末）一张长方形纸，先横着对折，再竖着对折，两次的折痕不可能（ ）。 A．互相平行 B．相交 C．互相垂直 【答案】A 【分析】将一张长方形的纸沿着同一个方向连续对折两次，折痕是互相平行的；若将这张纸先横着对折，再竖着对折，折痕是互相垂直的；垂直是相交的特殊情况；据此可解此题。 【详解】由分析可知，一张长方形纸，先横着对折，再竖着对折，两次的折痕不可能互相平行。 故答案为：A 3.（2024·河南平顶山·期末） 运动会跳远比赛，每名运动员有三次试跳机会，最好的一次成绩作为最终的成绩。李明第一次犯规，后两次分别跳到了图中位置。 （1）用线段画出两次跳远的距离。 （2）你所画的两条线段互相（ ）。（填“垂直”或“平行”） （3）李明后两次的成绩分别为420厘米和360厘米，张军三次的成绩分别为405厘米，410厘米和400厘米。你认为（ ）获胜。 【答案】（1）图见详解 （2）平行 （3）李明 【分析】（1）把踏跳板看作一条直线，跳到的位置看作一个点，画出点到直线的距离，就是两次跳远的距离； （2）根据在同一平面内，同时垂直于同一条直线的两条直线互相平行，可知所画的两条线段互相平行； （3）根据比赛规则，因为是以最好的一次成绩作为最终成绩，先分别比较出各自最好的成绩，再比较两人最好的成绩即可；据此解答。 【详解】（1）两次跳远的距离。如图所示： （2）所画的两条线段互相平行。 （3）李明：420 厘米＞360 厘米张军：410 厘米＞405 厘米＞400 厘米420 厘米＞410 厘米根据比赛规则，最好的一次成绩作为最终的成绩，张军的最好成绩是410厘米，李明虽然跳了两次，但其中一次的成绩为420厘米，比张军的最好成绩要好，所以我认为李明会获胜。 题型05 数图形 1、 数直线：两点确定一条直线。n 个点都不在同一直线上时，总数＝ n×(n－1)÷2；按顺序固定一个点，和其他点连线，避免重复。 2、 数射线：先找所有端点，每个端点向不同方向各算1条射线，最后相加。3、数线段：直线上有n个点，从左到右固定左端点，依次和右边点配对，总数＝n×(n－1)÷2。 3、数角一个顶点引出n条射线，从第一条射线开始，依次和后面射线组合，总数＝n×(n－1)÷2。 1.（2024·湖南邵阳·期末） 图中能数出( )条线段，( )条直线。 【答案】6 1 【分析】直线没有端点，是可以无限延伸的，线段有两个端点，任意两点间的一段都可以看作一条线段，据此解答。 【详解】根据图示可知，图中单独的线段有 3 条，分别是 AB、BC、CD，由两条单独的线段组成的线段有 2 条，分别是 AC、BD，由三条单独的线段组成的线段有 1 条，是 AD，所以一共有 6 条线段；直线没有端点，所以图中有 1 条直线。 2.（2024·江苏南通·期末）如图，经过纸上2个点可以画1条直线，经过3个点中的每两个点最多可以画3条直线，经过4个点中的每两个点最多可以画6条直线。根据你发现的规律，填写下表。 点/个 2 3 4 5 … 直线/条 1 3 6 … 45 【答案】10；10 【分析】根据过两点的直线有1条，过不在同一直线上的三点的直线有3条，过任何三点都不在一条直线上四点的直线有6条，按此规律，由特殊到一般，总结出规律：平面内任意三个点都不在同一直线上的几个点，从一个点出发都可以与其他（总点数－1）个点画出一条直线，共可以画出总点数×（总点数－1）条直线，但每条线会被重复计算一次，所以一共可以画出总点数×（总点数－1）÷2 条直线；即经过 5 个点中的每两个点最多可以画 5×（5－1）÷2=10（条）直线；10×9÷2＝45（条），因为每个点和另外9个点各连一条线，但每条线会被重复计算一次，所以除以 2，因此最多能画出45条直线的是10个点；据此解答即可。 【详解】2 个点可以画直线：1条3个点可以画直线：3×（3－1）÷2＝3×2÷2＝6÷2＝3（条）4 个点可以画直线：4×（4－1）÷2＝4×3÷2＝12÷2＝6（条）5 个点可以画直线：5×（5－1）÷2＝5×4÷2＝20÷2＝10（条）10×（10－1）÷2=10×9÷2＝90÷2＝45（条） 即10个点可以画45条直线。如图： 点/个 2 3 4 5 … 10 直线/条 1 3 6 10 … 45 3.（2024·江苏常州·期末）如图，以点A为端点再画一条射线，图中会增加( )个角。 【答案】3 【分析】根据题意，图中原有 3 个角，以点 A 为端点再画一条射线，图中就会有 6 个角，增加了 3 个角；例如：，左图中射线 AC 与原来的三条射线分别形成∠1、∠2、∠3，这 3 个角为新增的角。据此解答即可。 4.（2024·江苏盐城·期末）下图中有( )个直角，( )个锐角，如果∠1＝30°，那么图中最大的角是( )°。 【答案】2 3 150 【分析】直角等于90度，锐角小于90度， ∠ABD和∠CBE都是直角，∠ABC和∠CBD和∠DBE都是锐角。最大的角是∠ABE，∠ABE＝∠ABD＋∠DBE，∠DBE＝90° －∠1，据此解题。 【详解】90°－30°＋90°＝60°＋90°＝150°下图中有 2 个直角，3 个锐角，如果∠1=30°，那么图中最大的角是150°。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $