精品解析：福建省漳州市龙文区第一中学2025-2026学年九年级上学期数学期中卷

龙文一中2025-2026学年上学期九年级期中质量测试 数学试卷 测试时间：90分钟 满分：150分 范围：第一章到第四章 一．选择题（共10小题，每题4分，共40分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列式子不正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 关于x的方程 有两个相等实数根，则a的值为（ ） A. 0 B. 0或﹣8 C. ﹣8 D. 8 4. 点P的坐标是(m，n)，从﹣3，﹣2，0，2，4这五个数中任取一个数作为m的值，再从余下的四个数中任取一个数作为n的值，则点P(m，n)在平面直角坐标系中第二象限内的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，同学们在物理课上做“小孔成像”实验．若物距，像距，蜡烛火焰倒立像，则火焰的高度是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，点为边的中点，，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 7. 下列结论中正确的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 正方形的对角线相等且互相垂直 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 矩形、菱形、正方形都是关于其对角线所在直线对称的轴对称图形 8. 如图，在中，点，分别在边，上，那么下列条件中，不能判断的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，M是边的中点，N为线段与的交点，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是的边的垂直平分线，垂足为点O，与的延长线交于点E．连接，且与交于点F，则下列结论：①四边形是菱形；②；③；④．其中正确的结论有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（共6小题，每题4分，共24分） 11. 方程的解为：________． 12. 已知是关于的方程的一个根，则______． 13. 已知两个相似三角形的对应中线比为，较大的三角形的周长为，则较小的三角形的周长为______． 14. 衣中挂着3套不同颜色的服装，同一套服装的上衣与裤子的颜色相同，若从衣橱中各任取一件上衣和一条裤子，它们取自同一套的概率是________． 15. 如图，将等边三角形沿边上的高线平移到，阴影部分面积记为，若， ，则_____． 16. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发沿AC方向运动，点F同时以每秒1个单位长度的速度从点C出发沿CA方向运动，若AC＝12，BD＝8，则经过________秒后，四边形BEDF是矩形． 三．解答题（共9小题，共86分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为，且为正数，求的值． 19. 如图，在平行四边形中，邻边，上的高相等，即．求证：四边形是菱形． 20. 如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点A，B，C的坐标分别为，，． （1）以原点O为位似中心在第三象限内画一个，使它与位似，且相似比为，并直接写出点，，的坐标； （2）直接写出与的面积比是__________． 21. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小文购买了“二十四节气”主题邮票，他将“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四张邮票背面朝上洗匀放在桌面上（邮票背面完全相同）． （1）小文从中随机抽取一张邮票是“秋分”的概率是___________； （2）小文从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法求小文抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率（这四张邮票依次用字母，，，表示）． 22. 读材料：若，求m，n的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知，则______，______． （2）已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，求c的值． 23. 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变． （1）求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率； （2）从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价元，其销售量增加6个．若商场要想使4月份销售这种台灯获利4800元，则这种台灯售价应定为多少元？ 24. 在正方形中，对角线与交于点，是对角线上一动点，过点作，交射线于点．如图①，当点与点重合时，易证（不需证明）；当点在线段上时，如图②； （1）连接，求证：； （2）求证：； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙文一中2025-2026学年上学期九年级期中质量测试 数学试卷 测试时间：90分钟 满分：150分 范围：第一章到第四章 一．选择题（共10小题，每题4分，共40分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键在于熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 【详解】解：A．未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，不符合题意； B．中，当时，原方程不是一元二次方程，不符合题意； C．中，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D．是一元二次方程，符合题意． 故选：D． 2. 若，则下列式子不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质判断即可． 【详解】解：A，B，C选项分别对应比例的反比性质、合比性质、更比性质， 只有D选项不正确． 故选D． 3. 关于x的方程 有两个相等实数根，则a的值为（ ） A. 0 B. 0或﹣8 C. ﹣8 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据判别式的意义得到Δ＝ ，且a≠0，然后求解即可． 【详解】解：根据题意得Δ=，且a≠0， ∴a＝﹣8． 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键在于熟练掌握根的判别式的值大小与根的关系，注意a≠0． 4. 点P的坐标是(m，n)，从﹣3，﹣2，0，2，4这五个数中任取一个数作为m的值，再从余下的四个数中任取一个数作为n的值，则点P(m，n)在平面直角坐标系中第二象限内的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先画树状图展示所有20种等可能的结果数，再根据第二象限点的坐标特征找出点P（m，n）在平面直角坐标系中第二象限内的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：列表如下： -3 -2 0 2 4 -3 （-3，-2） （-3，0） （-3，2） （-3，4） -2 （-2，-3） （-2，0） （-2，2） （-2，4） 0 （0，-3） （0，-2） （0，2） （0，4） 2 （2，-3） （2，-2） （2，0） （2，4） 4 （4，-3） （4，-2） （4，0） （4，2） 由表可知，共有20种等可能结果，其中点P（m，n）在平面直角坐标系中第二象限内的有4种结果， ∴点P（m，n）在平面直角坐标系中第二象限内的概率为， 故选：A． 【点睛】本题考查了用列表法或画树形图法求随机事件的概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；得到所求的情况数是解决本题的关键． 5. 如图，同学们在物理课上做“小孔成像”实验．若物距，像距，蜡烛火焰倒立像，则火焰的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，设火焰的高度是，由题意可得：，从而得到，则，代入数据进行计算即可，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：设火焰的高度是， 由题意可得：， ， ， ，，， ， ， 故选：B． 6. 如图，在中，，点为边的中点，，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边中线的性质，推导得，再根据勾股定理性质计算，即可得到答案． 【详解】∵，点为边的中点，， ∴， ∴， 故选：D ． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理的性质，从而完成求解． 7. 下列结论中正确的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 正方形的对角线相等且互相垂直 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 矩形、菱形、正方形都是关于其对角线所在直线对称的轴对称图形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是平行四边形及特殊平行四边形的性质和判定、轴对称图形的识别，解题关键是熟练掌握特殊平行四边形的相关性质和判定． 根据矩形、正方形、菱形、平行四边形的性质和判定及轴对称图形的定义对选项进行逐一判断即可求解． 【详解】解：A. 对角线相等且平分的四边形是矩形，原说法错误； B. 正方形的对角线相等且互相垂直，说法正确； C. 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，原说法错误； D. 菱形、正方形都是关于其对角线所在直线对称的轴对称图形，矩形是关于过对边中点的直线对称，原说法错误； 故选：B． 8. 如图，在中，点，分别在边，上，那么下列条件中，不能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据已知条件可知，再利用相似三角形的判定定理依次判断即可得到答案． 【详解】解：A、，，可根据两角相等证明，不符合题意； B、，，可根据两角相等证明，不符合题意； C、，，不能证明，符合题意； D、，，可根据两边对应成比例，夹角相等证明，不符合题意， 故选C． 9. 如图，在矩形中，M是边的中点，N为线段与的交点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形性质得到，，再根据M是边的中点，得到，证明，得到，最后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得到答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 是边的中点， ， ， ， ， ， 故选D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键． 10. 如图，是的边的垂直平分线，垂足为点O，与的延长线交于点E．连接，且与交于点F，则下列结论：①四边形是菱形；②；③；④．其中正确的结论有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的判定方法、平行线分线段成比例定理、直角三角形斜边中线的性质一一判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，故①正确， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确， ∵， ∴， ∴，故③错误， 设的面积为a，则的面积为，的面积为，的面积＝的面积， ∴四边形的面积为，的面积为， ∴．故④正确， 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． 二．填空题（共6小题，每题4分，共24分） 11. 方程的解为：________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．将方程移项化为一般形式，再通过因式分解法求解即可． 【详解】解：， 移项得：， 因式分解得， 所以或， 解得：，． 故答案为：，． 12. 已知是关于的方程的一个根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据是关于的方程的一个根，通过变形可以得到值，本题得以解决． 【详解】解：是关于的方程的一个根， ， ， ， 故答案为：． 13. 已知两个相似三角形的对应中线比为，较大的三角形的周长为，则较小的三角形的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质．利用相似三角形对应中线的比等于相似比，周长的比也等于相似比，根据较大的三角形的周长求解． 【详解】解：∵两个相似三角形的对应中线比为， ∴相似比为， ∴周长的比也为， 设较小的三角形的周长为， 则， 解得． 故较小的三角形的周长为． 故答案为：． 14. 衣中挂着3套不同颜色的服装，同一套服装的上衣与裤子的颜色相同，若从衣橱中各任取一件上衣和一条裤子，它们取自同一套的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有等可能的结果，概率=所求情况数与总情况数之比． 画树状图，共有9种等可能结果，其中它们取自同一套的有3种可能，再由概率公式求解即可． 【详解】解：令3件上衣分别为A、B、C，对应的裤子分别为a、b、c，画树状图如下： 由树状图可知，共有9种等可能结果，其中取自同一套的有3种可能， ∴它们取自同一套的概率为， 故答案为：． 15. 如图，将等边三角形沿边上的高线平移到，阴影部分面积记为，若， ，则_____． 【答案】9 【解析】 【分析】根据平行的性质可知，进而可证得，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得结论． 【详解】解：∵等边三角形沿边上的高线平移到， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的面积记为，， ∴， 解得． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了平移的性质，相似三角形的性质，解题的关键是根据平移的性质证得阴影三角形与原来的三角形相似． 16. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发沿AC方向运动，点F同时以每秒1个单位长度的速度从点C出发沿CA方向运动，若AC＝12，BD＝8，则经过________秒后，四边形BEDF是矩形． 【答案】2或10##10或2 【解析】 【分析】设经过t秒后，四边形BPDE是矩形；由平行四边形的性质得出OA=OC=AC=6，OB=OD=BD=4，得出OE=OF，证出四边形BFDE是平行四边形，当EF=BD，即OE=OD时，四边形BFDE是矩形，得出6-t=4，或t-6=4，解方程即可． 【详解】解：设经过t秒后，四边形BPDQ是矩形； 则AE=CF=t， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC=AC=6，OB=OD=BD=4， ∴OE=OF， ∴四边形BFDE是平行四边形， 当EF=BD，即OE=OD时，四边形BFDE是矩形， 此时6-t=4，或t-6=4， 解得：t=2，或t=10， 即经过2秒或8秒后，四边形BPDE是矩形． 故答案为∶ 2或10． 【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质与判定；熟练掌握平行四边形的性质与判定，由对角线相等得出方程是解决问题的关键． 三．解答题（共9小题，共86分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）根据配方法解一元二次方程； （2）根据因式分解法解一元二次方程． 【小问1详解】 解： ∴ ∴ ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴或， 解得：． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为，且为正数，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解，熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系是解题的关键： （1）求出判别式的符号，进行判断即可； （2）把代入方程，进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 把代入，得：， 解得：或； ∵为正数， ∴． 19. 如图，在平行四边形中，邻边，上的高相等，即．求证：四边形是菱形． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵邻边，上的高相等，即， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定是解题的关键． 根据平行四边形的性质得出，利用先证，得出，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，即可证明四边形是菱形． 【详解】略 20. 如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点A，B，C的坐标分别为，，． （1）以原点O为位似中心在第三象限内画一个，使它与位似，且相似比为，并直接写出点，，的坐标； （2）直接写出与的面积比是__________． 【答案】（1） 如图，即为所求   点，，． （2） 【解析】 【分析】本题考查作图位似变换，熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键． （1）根据位似的性质作图，即可得出答案． （2）根据相似三角形的性质可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可得，与相似，相似比为， 与的面积比是． 故答案为：． 21. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小文购买了“二十四节气”主题邮票，他将“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四张邮票背面朝上洗匀放在桌面上（邮票背面完全相同）． （1）小文从中随机抽取一张邮票是“秋分”的概率是___________； （2）小文从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法求小文抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率（这四张邮票依次用字母，，，表示）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查概率的应用，掌握画树状图或列表求概率的方法是解题的关键． （1）根据概率公式直接求解； （2）通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【小问1详解】 解：小文从4张邮票中随机抽取一张邮票是“秋分”的概率是：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意画树状图如下： 由图可知，共有12种等可能的情况，其中抽到A和B（“立春”和“立夏”）的情况有2种， ， 故小文抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率为． 22. 读材料：若，求m，n的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知，则______，______． （2）已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，求c的值． 【答案】（1）6， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查配方法的应用及三角形三边关系，因此此题可： （1）根据题干所给方法可直接进行求解； （2）根据题干所给方法求出a、b的值，然后再根据三角形三边关系可进行求解． 【小问1详解】 解：∵ ∴ ∴ ∴， ∴； 故答案为6，； 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∴ ∴， ∴， ∵a，b，c是的三边长， ∴， ∵c是正整数， ∴． 23. 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变． （1）求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率； （2）从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价元，其销售量增加6个．若商场要想使4月份销售这种台灯获利4800元，则这种台灯售价应定为多少元？ 【答案】（1）20% （2）38元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设月份和月份两个月的销售量月平均增长率为，根据题意得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设这种台灯售价应定为元，利用总利润每台的销售利润四月份的销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设月份和月份两个月的销售量月平均增长率为， 根据题意，得， 解得，舍去， 答：月份和月份两个月的销售量月平均增长率为； 【小问2详解】 设这种台灯售价应定为元， 根据题意，得， 解得，， 售价在元至元范围内， ， 答：这种台灯售价应定为元． 24. 在正方形中，对角线与交于点，是对角线上一动点，过点作，交射线于点．如图①，当点与点重合时，易证（不需证明）；当点在线段上时，如图②； （1）连接，求证：； （2）求证：； 【答案】（1） 证明：连接，如图所示： ∵是正方形， ∴，， ∴在和中： ， ∴， ∴； （2） 证明：过点作的平行线交于，交于点，过点作的平行线交于，交于点，连接，如图所示： ∵是正方形，是对角线， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴和为等腰直角三角形， ∴四边形为正方形， ∴， 同理可证四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中： ， ∴， ∴， 由（1）得：， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题为正方形综合题，考查了正方形的性质及判定，全等三角形的性质及判定，等腰三角形的性质及判定，勾股定理等知识点，合理作出辅助线是解题的关键． （1）利用正方形的性质去判定出即可得到； （2）过点作的平行线交于，交于点，过点作的平行线交于，交于点，连接，利用等腰三角形的判定方法可得到和为等腰直角三角形，从而得到四边形为正方形，同理可证四边形为正方形，然后利用全等三角形的判定方法即可判定出，再利用边的比例关系即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $