专题14 平行线的拐点模型（几何模型讲义）数学华东师大版2024七年级上册

专题14. 平行线的拐点模型 本专题包含猪蹄模型（M型）与锯齿模型、铅笔头模型、牛角模型、羊角模型、蛇形模型（5字模型）等。 1．（24-25七年级下·山东泰安·期末）某公司研发了一款新型护眼台灯，其侧面结构示意图如下（台灯底座高度忽略不计）．如图所示，，经光学测试发现，当，时，光线效果最佳，求此时灯臂与底座的夹角的度数为（   ）     A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：过C作， ，，，， ∵，，∴，， 故选：A 2．（2025·四川达州·二模）如图，两直线，平行，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：分别过E点，F点，G点，H点作，如图所示， ∵，∴， ∴，，， ∴ ， ．故选：D． 3．（24-25七年级下·重庆·开学考试）如图，已知，，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：分别过点，点作，则： ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴；故选D． 4．（2025·河南·统考三模）如图，已知，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，过点作， ∵，，∴．∴，． ∵，∴． ∴．故选C． 5．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）如图，已知，若，，则 °． 【答案】40 【详解】∵， 故答案为：40． 6．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）已知直线，点P为直线所在的平面内的一点．       (1)如图1，直接写出之间的数量关系：__________ (2)如图2，点E在射线上，过点E作，作，点G在直线上，作的平分线交于点H，，结合（1）中的结论，求的度数． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：，如图2，作，∴ ∵，∴，∴， ∵，∴； （2）由（1）知，， ∵，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵，∴，∵平分，∴， ∴． 7．（24-25七年级下·广西百色·期末）在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，李老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)【问题初探】如图1，已知，，试说明与的位置关系． 小明同学写出下列推理过程，请填写推理依据，补充完整． 解：，理由如下： 因为，所以，依据是______； 又因为，所以； 由得，依据是_______． (2)【拓展探究】在（1）的条件下，、、三个角的关系为：，请说明理由． (3)【迁移应用】路灯维护工程车的工作示意图如图2，工作篮底部与支撑平台平行，已知，请直接写出的度数之和． 【答案】(1)两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行(2)见解析(3) 【详解】（1）解：，理由如下： 因为，所以，依据是两直线平行，同位角相等； 又因为，所以； 由得，依据是内错角相等，两直线平行． 故答案为：两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行 （2），理由如下， 如图所示，过点作∴ ∵∴∴∴； （3）解：如图所示，的顶点分别为， 依题意，，作，∴∴， ∴． 8．（24-25七年级下·陕西汉中·期中）如图，，点是直线上一点，点是平行线、之间一点，连接、． 【问题提出】（1）如图1，过点作，若，，求的度数； 【问题初探】（2）如图2，平分，平分，与相交于点，若，求的度数； 【衍生拓展】（3）如图3，平分，平分，与相交于点，平分，过点作，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析 【详解】（1）解：，（两直线平行，内错角相等）， ，，（两直线平行，内错角相等）， ，， ，的度数为； （2）证明：由（1）得：，同理：， 平分，平分，， 平分，，，； ，； （3）解：如图3，作的角平分线交于点，， 平分，， ，，即， ，，即， ，由（2）得：，． 9．（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）已知点P为直线，之间的一点，且． (1)如图1，连接，，若，求的度数； (2)点Q为直线，之间的不同于点P的另一点． ①如图2，连接，，，求的度数； ②如图3，连接，，，若，，，求的度数． 【答案】(1)；(2)①；②． 【详解】（1）如图1，作， ，，，， ，即， ，； （2）①如图2，过P作，过Q作， ，， ，，， 三式相加，可得； ②如图3，过点P作，过点Q作， ，，， ，同理， ，． 10．（24-25七年级下·河南商丘·期末）已知直线，直线与、分别交于、两点，点是直线上的一动点， (1)如图①，若动点在线段之间运动（不与、两点重合），问在点的运动过程中是否始终具有这一相等关系？试说明理由；(2)如图②，当动点在线段之外且在的上方运动（不与、两点重合），则上述结论是否仍成立？若不成立，试写出新的结论，并说明理由； 【答案】(1)成立，证明见解析(2)不成立，新的结论为，证明见解析 【详解】（1）解：成立，理由如下：过点P作， ∴， ∵，∴，∴， ∵，∴； （2）解：不成立，新的结论为，理由为：过P作， ∴，∵，∴，∴， ∵，∴． 11．（24-25七年级下·广东茂名·阶段练习）【模型初探】（1）如图1，，，，求的度数．小颖同学的解题思路是：如图2，过点P作，请你接着完成解答； 【实际应用】（2）某小区为了方便管理，对小区地下车库加装智能识别系统，小区车库栏杆的平面图如图3所示，，，若，则_____； 【拓展推广】（3）如图4，点A、B在射线上，点C、D在射线上，，点P在射线上运动（点P与A、B、O三点不重合）．当点P在射线上运动时，判断与、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）当点在线段上时，；当在延长线时，；当在之间时，，见解析 【详解】解：（1）过作，∵，， ，； （2）过点作，∴ ∵，∴,∵，∴ ∴∴故答案为： （3）当点在线段上时，；理由：如图，过作交于， ，，，， ； 当在延长线时，；理由：如图，过作交于， ，，，， ； 当在之间时，．理由：如图，过作交于， ，，，， ． 综上所述，当点在线段上时，； 当在延长线时，；当在之间时，． 12．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知直线，点M、N分别是直线和上的两点，点G为直线和之间的一点，连接、 (1)如图1，若，，试说明； (2)如图2，在（1）的结论下，点P是直线下方一点，满足平分，平分若，求的度数； (3)如图3，点P是直线上方一点，连结，若点G为线段上一点，的延长线为的平分线，平分，，则______． 【答案】(1)证明见解答过程(2)(3) 【详解】（1）证明：过点G作点H在点G的左侧，如图1所示： ，，，， ，， ∵，，； （2）解：过点P作点E在点P的左侧，如图2所示： 平分，，， 平分，设， ，， ，，， 由的结论得：， ； （3）解：如图，过P作，过G作， ，，， 平分，平分，设，， ，，，， ， ，，， ，， ，，解得， 故答案为：． 13．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）已知直线、，点A、B为分别在直线、上． (1)如图1，点C为平面内一点，连接、，若，求证：； (2)如图2，点C，D为平面内两点，连接，，，若，猜想和，，的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析(2)，见解析 【详解】（1）证明：过作，如图所示，，， ，，，； （2）解：，理由是： 过点C作，则，过点D作，则， ∵，∴，∴， ∴，∴． 14．（24-25七年级下·广西玉林·期末）在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“系数补角”．例如，，，有，则是的“系数补角”． 【概念理解】（1）若，在，，中，的“系数补角”是__________； 【初步认识】（2）如图，在平面内，，点为直线上异于，的点，点为平面内一点，过点的直线交于点，交于点，连接，，若是的“系数补角”，求的大小； 【问题解决】（3）如图，在平面内，，点，分别为直线，上的点，连接．若为直线与之间的一动点（点不在直线，，上），与两个角的平分线交于点．若，，是的“系数补角”，求的大小（用含和的代数式表示）． 【答案】（）；（）；（）当点在左侧时，，当点在右侧时，． 【详解】解：（）设的“系数补角”是，∴， ∵，∴，∴的“系数补角”是（或），故答案为：（或）； （）如图，过点作， ∵，∴，∴，∵，∴， ∵，∴，∴， ∵是的“系数补角”，∴， ∴，即； （）当点在左侧时，如图，过作，则，过作，则， ∴，，，， ∴， ∵和分别是、的角平分线，∴，， ∴，∴， ∵，∴， ∵是的“系数补角”，∴， ∴； 当点在右侧时，如图，过作，则，过作，则， 同理可得，∴， ∵是的“系数补角”，∴，∴． 15．（24-25六年级下·山东济南·期末）学习完平行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题． (1)小明遇到了下面的问题：如图1：，点在、内部，探究，，的关系．小明过点作的平行线，可得到，，之间的数量关系是：_____． (2)如图2，若，点在、外部，，，的数量关系如何？为此，小明进行了下面不完整的推理证明．请将这个证明过程补充完整，并在括号内填上依据． 过点作．（_____） ，（_____）， ，_____．（_____） (3)我们生活中经常接触小刀，小刀刀柄外形是一个直角梯形（挖去一个小半圆）．如图3，刀片上、下是平行的，转动刀片时会形成和，那么的大小是否会随刀片的转动而改变？说明理由． 【答案】(1)(2)两直线平行，内错角相等；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；，等量代换(3)不会变，理由见解析 【详解】（1）解：如图，设过点P作的平行线为． ∵，，∴，∴，． ∵，∴．故答案为：； （2）证明：过点P作，（两直线平行，内错角相等）． ，（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）， ．，（等量代换）． 故答案为：两直线平行，内错角相等；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；，等量代换； （3）证明：过点作， ∵∴，∴，． ∵，∵为定值，∴的大小不会随刀片的转动而改变． 16．（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）【问题背景】光线照射到镜面会产生反射现象，根据光的反射原理，入射光线与镜面的夹角和反射光线与镜面的夹角相等，如：在图1中，． 【深入探究】某数学兴趣小组在学习完平行线的性质后，围绕“两个平面镜平行或垂直放置，入射光线经过两次反射后得到反射光线，与是否平行？”这一问题进行了探究． （1）如图，当平面镜与平行时，与是否平行？完成下列证明的填空； 证明：（已知），（_____①_____） 又，，（光的反射原理） （等量代换）（等式性质） 即：_____②____（_____③_____） （2）如图，当平面镜与互相垂直时，在图中画出反射光线的大致位置，并说明入射光线与反射光线是否平行？ 【实践应用】如图，在一口井上按如图方式放置平面镜，入射光线经过镜面反射后得到反射光线，与水平线的夹角为，求如何放置平面镜可使反射光线正好垂直照射到井底水面上？ 【答案】（1）两直线平行，内错角相等；；内错角相等，两直线平行（2），理由见解析（3）当平面镜与水平线的夹角为时，可使反射光线正好垂直照射到井底 【详解】解：（1）证明：（已知）， ，两直线平行，内错角相等）， 又，，（光的反射原理）（等量代换）， （等式性质）， 即：，（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：两直线平行，内错角相等；；内错角相等，两直线平行； （2），理由如下：如图， 为反射光线， 由题意得，，，由题意得，，， ，， ， 即， ，． （3），，， 由， ，， 当平面镜与水平线的夹角为时，可使反射光线正好垂直照射到井底． 17．（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“平行中的数量关系”为主题开展数学活动．已知，为的平分线，为的平分线，和相交于点． 【探究问题】（1）如图1，请直接写出之间的数量关系． （2）如图1，请写出之间的数量关系，并说明理由． 【知识迁移】（3）如图2，若，求大小． 【答案】（1）（2），理由见解析（3） 【详解】解：（1）如图所示，过点作， ，，，， ，； （2）由（1）证明可知，， 为的平分线，为的平分线， ，， ，； 故答案为：． （3），理由如下：如图所示，过点作，过点作， 设，，，， ，， ，，， ，， ，即， ，， ，， ，， 为的平分线，为的平分线， ，，， ，， ，． 18．（24-25七年级下·吉林四平·期末）如图：，点、分别在直线、上，点是、之间的一个动点． (1)如图①，当点在线段左侧时，求证：； (2)如图②，当点在线段右侧时，、、之间的数量关系为______； (3)若、的平分线交于点，且，则______． 【答案】(1)见解析(2)(3)或 【详解】（1）证明：如图①，过点作，，， ，，； （2）解：如图②，过点作， ，， ，，， ，； （3）解：如图，当点在线段左侧时， 由（1）可知，，，， ，， ， 、的平分线交于点，，， ， 同（1）理可证，，； 如图，当点在线段右侧时，由（2）可知，， ，， ，， ， 、的平分线交于点，，， ， 同（1）理可证，，； 综上可知，或． 19．（24-25七年级下·宁夏吴忠·期末）【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为，现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了． （1）如图1，过的顶点作的平行线，请你证明三角形的内角和为． 证明：∵，∴，______（______） ∵（平角的定义） ∴______（等量代换）即三角形的内角和为． 【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能． 【迁移应用】（2）近年来，我国一直提倡“绿色环保、低碳生活”，健康骑行越来越受到老百姓的喜欢．自行车的示意图如图，其中，请你求，，这三个角的关系．（提示：过点作） 【学以致用】（3）如图是超市购物车，图是其侧面示意图，已知，，测量得知，，则______． 【答案】（1），两直线平行，内错角相等，（2）（3） 【详解】（1）证明：∵，∴，（两直线平行，内错角相等） ∵（平角的定义） ∴（等量代换） 即三角形的内角和为． 故答案为：，两直线平行，内错角相等，． （2）解：过点作， ∵，∴（平行于同一直线的两条直线平行）， ∴，（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换）即 （3）如图，作，则， ∵，∴，作，则， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∵，，，∴，∴ ∴故答案为：． 20．（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）已知：直线，三角板中，． (1)如图，三角板的顶点落在直线上，并使与直线相交于点，若，则的度数 ； (2)如图，当三角板的顶点落在直线上，且顶点仍在直线上时，与直线相交于点，试确定、、的数量关系； (3)如图，当三角板的顶点落在直线上，顶点在之间，而顶点恰好落在直线上时得，在线段上取点，连接并延长交直线于点，在线段上取点，连接并延长交的角平分线于点，若，且． 探求：与的数量关系，并说明理由；求证：． 【答案】(1)；(2)，理由见解析； (3)，理由见解析；证明见解析． 【详解】（1）解：∵，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∴，∴，故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵，∴， ∵，∴； （3），理由如下： 设，则，， ∵，∴， ∵，∴， ∴，即； 证明：∵，∴， ∵，∴，∴， ∴， ∵平分，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴． 21．（24-25七年级下·吉林·阶段练习）【课题学习】平行线的“等角转化”．如图①，已知点是外一点，连接、．求的度数． 解：过点作，______，______，又，______． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程； 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将、、“类”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图②，若，点在、下方，请探究、、之间的数量关系，并说明理由； （3）如图③，已知，、交于点，若，则______． 【答案】（），；；（），理由见解析；（）． 【详解】解：（）过点作，∴，， 又∵，∴， 故答案为：，；； （），理由，如图，过点作， ∵，∴，∴，， ∵，∴； （）如图，过点作， ∵，∴，∴，， ∵，∴， ∴，∴，故答案为：． 22．（24-25七年级下·广东云浮·阶段练习）（1）如图1，直线与直线、分别交于点E、F，．请直接写出直线与的位置关系______； （2）如图2，动点P在直线，之间，且在直线左侧．连接，，探究，．之间的数量关系． （3）如图3，分别作出和的角平分线，若两条角平分线交于点Q．设，．α与β有何数量关系？写明过程． 【答案】（1）（2）（3），过程见解析 【详解】解：（1），理由如下： ，，， ，； （2）过点作，如图2， （两直线平行，内错角相等）． （已知）．（平行于同一条直线的两条直线平行）． （两直线平行．内错角相等）． ，（等量代换）． （3）由（2）得：，，， ，， ， 平分，平分，，， ， ， ∵，∴． 23．（24-25七年级下·广东珠海·期中）在科学实验课上，小明发现：．光线在不同介质中的传播速度是不一样的，当光线从一种介质射向另一种介质时，折射现象便会发生；2．经过实验，小明还发现凸透镜能让与主光轴平行的光线汇聚在主光轴上的某一点．基于这些发现，小明设计了以下三个问题： (1)如图，这是一块玻璃的，两面，且．现有一束光线从玻璃射向空气时发生折射，光线变成，为射线上的一点．已知，，求的度数； (2)如图，箭头所画的是光线的方向，是凸透镜的焦点，．若，，求的度数； (3)联想拓展：如图，，若的邻补角的角平分线与的邻补角的角平分线交于点，请直接写出，与的数量关系． 【答案】(1)；(2)；(3)． 【详解】（1）解：，， ，， ，， ； （2）解：，，， ，， ，， ； （3）解：设、相交于点， ，，， 即，， ， 的邻补角的角平分线与的邻补角的角平分线交于点， ， ， ，， ，， 中，，， ，． 24．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图1，，射线的端点在射线上（不与点重合），． (1)若，求的度数； (2)把“”改为“”，保持不变，然后将射线沿射线平移到的位置，如图2所示，探究和的数量关系； (3)在（2）的条件下，过点作的垂线，与的平分线交于点（如图3），若，请用含的式子表示（直接写出答案即可）． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：∵，，， ∴，； （2）解：如图，作，可得， ∴，， ∴， ∵，∴， ∴； （3）解：如图，过点作交于点，则， ， 又∵，点作的垂线，与的平分线交于点，，由（2）得，∴，， ，， ∴，∴ ，即． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14. 平行线的拐点模型 本专题包含猪蹄模型（M型）与锯齿模型、铅笔头模型、牛角模型、羊角模型、蛇形模型（5字模型）等。 1．（24-25七年级下·山东泰安·期末）某公司研发了一款新型护眼台灯，其侧面结构示意图如下（台灯底座高度忽略不计）．如图所示，，经光学测试发现，当，时，光线效果最佳，求此时灯臂与底座的夹角的度数为（   ）     A． B． C． D． 2．（2025·四川达州·二模）如图，两直线，平行，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·重庆·开学考试）如图，已知，，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·河南·统考三模）如图，已知，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）如图，已知，若，，则 °． 6．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）已知直线，点P为直线所在的平面内的一点．       (1)如图1，直接写出之间的数量关系：__________ (2)如图2，点E在射线上，过点E作，作，点G在直线上，作的平分线交于点H，，结合（1）中的结论，求的度数． 7．（24-25七年级下·广西百色·期末）在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，李老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)【问题初探】如图1，已知，，试说明与的位置关系． 小明同学写出下列推理过程，请填写推理依据，补充完整． 解：，理由如下： 因为，所以，依据是______； 又因为，所以； 由得，依据是_______． (2)【拓展探究】在（1）的条件下，、、三个角的关系为：，请说明理由． (3)【迁移应用】路灯维护工程车的工作示意图如图2，工作篮底部与支撑平台平行，已知，请直接写出的度数之和． 8．（24-25七年级下·陕西汉中·期中）如图，，点是直线上一点，点是平行线、之间一点，连接、． 【问题提出】（1）如图1，过点作，若，，求的度数； 【问题初探】（2）如图2，平分，平分，与相交于点，若，求的度数； 【衍生拓展】（3）如图3，平分，平分，与相交于点，平分，过点作，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 9．（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）已知点P为直线，之间的一点，且． (1)如图1，连接，，若，求的度数； (2)点Q为直线，之间的不同于点P的另一点． ①如图2，连接，，，求的度数； ②如图3，连接，，，若，，，求的度数． 10．（24-25七年级下·河南商丘·期末）已知直线，直线与、分别交于、两点，点是直线上的一动点， (1)如图①，若动点在线段之间运动（不与、两点重合），问在点的运动过程中是否始终具有这一相等关系？试说明理由；(2)如图②，当动点在线段之外且在的上方运动（不与、两点重合），则上述结论是否仍成立？若不成立，试写出新的结论，并说明理由； 11．（24-25七年级下·广东茂名·阶段练习）【模型初探】（1）如图1，，，，求的度数．小颖同学的解题思路是：如图2，过点P作，请你接着完成解答； 【实际应用】（2）某小区为了方便管理，对小区地下车库加装智能识别系统，小区车库栏杆的平面图如图3所示，，，若，则_____； 【拓展推广】（3）如图4，点A、B在射线上，点C、D在射线上，，点P在射线上运动（点P与A、B、O三点不重合）．当点P在射线上运动时，判断与、之间的数量关系，并说明理由． 12．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知直线，点M、N分别是直线和上的两点，点G为直线和之间的一点，连接、 (1)如图1，若，，试说明； (2)如图2，在（1）的结论下，点P是直线下方一点，满足平分，平分若，求的度数； (3)如图3，点P是直线上方一点，连结，若点G为线段上一点，的延长线为的平分线，平分，，则______． 13．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）已知直线、，点A、B为分别在直线、上． (1)如图1，点C为平面内一点，连接、，若，求证：； (2)如图2，点C，D为平面内两点，连接，，，若，猜想和，，的数量关系，并证明． 14．（24-25七年级下·广西玉林·期末）在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“系数补角”．例如，，，有，则是的“系数补角”． 【概念理解】（1）若，在，，中，的“系数补角”是__________； 【初步认识】（2）如图，在平面内，，点为直线上异于，的点，点为平面内一点，过点的直线交于点，交于点，连接，，若是的“系数补角”，求的大小； 【问题解决】（3）如图，在平面内，，点，分别为直线，上的点，连接．若为直线与之间的一动点（点不在直线，，上），与两个角的平分线交于点．若，，是的“系数补角”，求的大小（用含和的代数式表示）． 15．（24-25六年级下·山东济南·期末）学习完平行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题． (1)小明遇到了下面的问题：如图1：，点在、内部，探究，，的关系．小明过点作的平行线，可得到，，之间的数量关系是：_____． (2)如图2，若，点在、外部，，，的数量关系如何？为此，小明进行了下面不完整的推理证明．请将这个证明过程补充完整，并在括号内填上依据． 过点作．（_____） ，（_____）， ，_____．（_____） (3)我们生活中经常接触小刀，小刀刀柄外形是一个直角梯形（挖去一个小半圆）．如图3，刀片上、下是平行的，转动刀片时会形成和，那么的大小是否会随刀片的转动而改变？说明理由． 16．（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）【问题背景】光线照射到镜面会产生反射现象，根据光的反射原理，入射光线与镜面的夹角和反射光线与镜面的夹角相等，如：在图1中，． 【深入探究】某数学兴趣小组在学习完平行线的性质后，围绕“两个平面镜平行或垂直放置，入射光线经过两次反射后得到反射光线，与是否平行？”这一问题进行了探究． （1）如图，当平面镜与平行时，与是否平行？完成下列证明的填空； 证明：（已知），（_____①_____） 又，，（光的反射原理） （等量代换）（等式性质） 即：_____②____（_____③_____） （2）如图，当平面镜与互相垂直时，在图中画出反射光线的大致位置，并说明入射光线与反射光线是否平行？ 【实践应用】如图，在一口井上按如图方式放置平面镜，入射光线经过镜面反射后得到反射光线，与水平线的夹角为，求如何放置平面镜可使反射光线正好垂直照射到井底水面上？ 17．（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“平行中的数量关系”为主题开展数学活动．已知，为的平分线，为的平分线，和相交于点． 【探究问题】（1）如图1，请直接写出之间的数量关系． （2）如图1，请写出之间的数量关系，并说明理由． 【知识迁移】（3）如图2，若，求大小． 18．（24-25七年级下·吉林四平·期末）如图：，点、分别在直线、上，点是、之间的一个动点． (1)如图①，当点在线段左侧时，求证：； (2)如图②，当点在线段右侧时，、、之间的数量关系为______； (3)若、的平分线交于点，且，则______． 19．（24-25七年级下·宁夏吴忠·期末）【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为，现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了． （1）如图1，过的顶点作的平行线，请你证明三角形的内角和为． 证明：∵，∴，______（______） ∵（平角的定义） ∴______（等量代换）即三角形的内角和为． 【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能． 【迁移应用】（2）近年来，我国一直提倡“绿色环保、低碳生活”，健康骑行越来越受到老百姓的喜欢．自行车的示意图如图，其中，请你求，，这三个角的关系．（提示：过点作） 【学以致用】（3）如图是超市购物车，图是其侧面示意图，已知，，测量得知，，则______． 20．（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）已知：直线，三角板中，． (1)如图，三角板的顶点落在直线上，并使与直线相交于点，若，则的度数 ； (2)如图，当三角板的顶点落在直线上，且顶点仍在直线上时，与直线相交于点，试确定、、的数量关系； (3)如图，当三角板的顶点落在直线上，顶点在之间，而顶点恰好落在直线上时得，在线段上取点，连接并延长交直线于点，在线段上取点，连接并延长交的角平分线于点，若，且． 探求：与的数量关系，并说明理由；求证：． 21．（24-25七年级下·吉林·阶段练习）【课题学习】平行线的“等角转化”．如图①，已知点是外一点，连接、．求的度数． 解：过点作，______，______，又，______． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程； 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将、、“类”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图②，若，点在、下方，请探究、、之间的数量关系，并说明理由； （3）如图③，已知，、交于点，若，则______． 22．（24-25七年级下·广东云浮·阶段练习）（1）如图1，直线与直线、分别交于点E、F，．请直接写出直线与的位置关系______； （2）如图2，动点P在直线，之间，且在直线左侧．连接，，探究，．之间的数量关系． （3）如图3，分别作出和的角平分线，若两条角平分线交于点Q．设，．α与β有何数量关系？写明过程． 23．（24-25七年级下·广东珠海·期中）在科学实验课上，小明发现：．光线在不同介质中的传播速度是不一样的，当光线从一种介质射向另一种介质时，折射现象便会发生；2．经过实验，小明还发现凸透镜能让与主光轴平行的光线汇聚在主光轴上的某一点．基于这些发现，小明设计了以下三个问题： (1)如图，这是一块玻璃的，两面，且．现有一束光线从玻璃射向空气时发生折射，光线变成，为射线上的一点．已知，，求的度数； (2)如图，箭头所画的是光线的方向，是凸透镜的焦点，．若，，求的度数； (3)联想拓展：如图，，若的邻补角的角平分线与的邻补角的角平分线交于点，请直接写出，与的数量关系． 24．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图1，，射线的端点在射线上（不与点重合），． (1)若，求的度数； (2)把“”改为“”，保持不变，然后将射线沿射线平移到的位置，如图2所示，探究和的数量关系； (3)在（2）的条件下，过点作的垂线，与的平分线交于点（如图3），若，请用含的式子表示（直接写出答案即可）． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $