专题08 平行线中的拐点模型之猪蹄模型（M型）与锯齿模型（几何模型讲义）数学华东师大版2024七年级上册

该初中数学讲义以平行线拐点模型为核心，通过模型框架图系统梳理猪蹄模型（M型）与锯齿模型的知识体系，明确“见拐点作平行线”的通用解法和“和差拆分与等角转化”的基本思路，呈现模型的条件、结论及内在逻辑联系，突出几何直观与空间观念的培养。 讲义亮点在于真题驱动的分层设计，如山东青岛期中题引导模型探究，“木尺断口问题”深化锯齿模型多拐点关系推理，培养推理意识与模型意识。练习题覆盖选择、填空、解答题，适配不同层次学生，助力自主复习，为教师精准教学提供结构化资源。

专题08.平行线中的拐点模型之猪蹄模型（M型）与锯齿模型 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（猪蹄模型（M型）与锯齿模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.猪蹄模型（M型） 4 模型2.锯齿模型 7 10 猪蹄模型与锯齿模型名称均源于生活观察，因图形类似猪蹄的开口形状而得名，是平行线拐点模型中最基础的形态。在猪蹄模型基础上增加多个拐点，形成左右交替的锯齿状结构。锯齿模型是猪蹄模型的扩展，两者均基于“见拐点作平行线”的通用解法。 （24-25七年级下·山东青岛·期中）【提出问题】（1）如图1，将长方形纸片剪两刀，其中，则与、度数之间有何等量关系？请说明你的理由． 【类比探究】（2）如图2，将长方形纸片剪四刀，其中，则、、、、的度数之间的等量关系是________． 【综合应用】（3）如图3，直线，，，，，则____． （4）如图4，直线，点、分别是上两点，点在之间，连接．点是下方一点，平分平分，已知，则______． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）；（4） 【详解】解：（1），理由如下：如图1中，作， ∵，，∴，∴，， ∴，即． （2）如图2中，作，，，∵，∴， ∴，，，， ∴，即． 故答案为：． （3）如图3中，作，，， ∵，，， ∴，∴， ∵，∴，∴，， ∵，，∴，则， ∴．故答案为：； （4）如图，过点作 ∴即，∵，即 ∵平分平分，∴∴ ∵，∴∴∴ 由（1）可得∴ 故答案为：． 图1 图2 图3 模型1）：如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B； ②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN； 模型2）：如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2； 模型3）：如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.。 证明：（1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下：如图1，过点P作PQ∥AM， ∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ， ∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B． （2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， 故答案为：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， （3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 故答案为：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 模型1.猪蹄模型（M型） 例1（24-25下·四川·七年级统考期末）如图，AB//CD，则 【答案】40° 【详解】解：过点作，，， ，，．故答案为：． 例2（24-25下·河南郑州·七年级校联考阶段练习）卫星信号接收锅、汽车灯等很多灯具都与抛物线有关，如图，从点O照射到抛物线上的光线、等反射以后沿着与平行的方向射出，已知，，那么的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，∴，∵，∴， ∵，∴，故选：A． 例3（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，． (1)试问、、之间的数量关系为_______ (2)应用：如图a是我们常用的折叠式小刀，图b中刀柄外形是一个长方形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成如图b所示，经测量，求的度数． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：．理由：过C作，则， ∵，∴，∴，∴； （2）解：如图，设刀柄左下角顶点为A，过A作直线l平行于刀片边缘线，l与垂直方向夹角为，直线l与水平方向夹角为， ∵直线l平行于刀片边缘线，，∴，， ∵刀柄外形是一个长方形，∴， ∴，∴． 例4（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）如图1，是我国西北地区农村使用的太阳能烧水器，其原理是利用凹面镜的聚光技术，如图2是图1的轴截面示意图，太阳光线，经过凹面镜的反射后，反射光线，交于一点P． (1)如图2，若和，则　　　； (2)如图3，已知，点M，N分别在，上，点P是，之间右侧任意一点，连接，，若，请写出之间的数量关系，并说明理由； (3)如图4，在（2）的基础上平分，平分，若，，请直接求的值．（不需要写解答过程） 【答案】(1)(2)，理由见解析(3) 【详解】（1）解：过点P作（点R在点P的左侧），如图， ∵，∴，∴，， ∴；故答案为：； （2）解：，理由如下：过点P作（点H在点P的左侧），如图， ∵，∴，∴，， ∴, ∵，∴； （3）解：∵平分，平分，∴，， ∵，，∴，， 由（2）中的结论可知，， 同理可得， ∴． 模型2.锯齿模型 例1（24-25重庆七年级期中）如图（1）所示是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的断口一般是参差不齐的，那么请你深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口问题”．（1）如图（2）所示，已知，请问，，有何关系并说明理由； （2）如图（3）所示，已知，请问，，又有何关系并说明理由； （3）如图（4）所示，已知，请问与有何关系并说明理由． 【答案】见解析. 【解析】解：（1）∠E=∠B+∠D，理由如下： 过点E作直线a∥AB，则a∥AB∥CD，则∠B=∠1，∠D=∠2，∴∠BED=∠1+∠2=∠B+∠D . （2）∠E+∠B+∠D =360°，理由如下：过点E作直线b∥AB，则b∥AB∥CD∴∠B+∠3=180°，∠4+∠D=180° ∴∠B+∠3+∠4+∠D =360°即∠E+∠B+∠D =360°. （3）∠B+∠F+∠D=∠E+∠G，理由如下： 过点E，F，G作直线c∥AB，d∥AB，e∥AB，则c∥AB∥d∥e∥CD， 则∠B=∠5，∠6=∠7，∠8=∠9，∠10=∠D ∴∠B+∠EFG+∠D=∠5+∠7+∠8+∠10=∠5+∠6+∠9+∠10=∠BEF+∠FGD. 例2（24-25七年级下·福建莆田·期中）如图1，已知． (1)探索与之间满足的数量关系，并说明理由； (2)如图2，平分，平分，的反向延长线交于点P，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析(2) 【详解】（1）数量关系为， 证明：如图，分别过点E，F作，， ，，， 又，，，， 又，，，， ，； （2）如图，过点F作， 由（1）知，，设，则， 平分，GF平分，，， ，，， ∴，． 例3（24-25七年级下·湖北十堰·期中）已知，直线． (1)如图1，点E在、之间，写出三者之间的关系____________________ (2)如图2，在（1）的条件下，的平分线交的延长线于点，的平分线交的延长线于点，试探究，和这三个角之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，点E在直线的上方，，的平分线交于点，若，请直接写出的值． 【答案】(1)(2)，理由见解析(3) 【详解】（1）解：如图，过点作，∴， ∵，，∴，∴， 又∵，∴，故答案为：． （2）解：，理由如下： ∵是的平分线，是的平分线，∴，， 同（1）可得：，， ∴， 由（1）已得：，∴． （3）解：如图，过点作，∴， ∵，，∴，∴， ∴， ∵，的平分线交于点，∴，， 同理可得：， ∵，∴，∴． 1．（24-25上·江苏盐城·七年级统考期中）如图，已知，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点作直线，则． 又，，，．故选：B． 2．（24-25下·江苏无锡·七年级校联考期中）如图，，，，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，作，    ∵，∴，∴，，∴， ∵，∴，∴，故选：B． 3．（24-25·河南驻马店·九年级专题练习）已知， ， ，若，则为（   ） A．23° B．33° C．44° D．46° 【答案】C 【详解】如图，过点E作，则， ∴ ， ， 同理可得：， ， ∴， ，故选：C． 4．（24-25·安徽蚌埠·九年级校联考期中）太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，从点O照射到抛物线上的光线，反射后沿着与平行的方向射出，已知图中，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知∴， ∴故选：C． 5．（24-25下·广东佛山·七年级校考阶段练习）如图，已知直线，，，则∠3= ．    【答案】 【详解】如图，过点B作，∴．    ∵，，∴，∴， ∴，即．故答案为： 6．（24-25上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）已知：如图，，的平分线与的平分线交于点M，，，，则 ． 【答案】/88度 【详解】过点、、分别作， ∵，， 平分，平分 ，， ，， ，， ，故答案为：． 7．（24-25下·江苏苏州·七年级统考期末）如图，已知，，记，则m的值为 ．    【答案】 【详解】解：如图所示：过点F作．∵，∴． ∵，∴，∴． ∴．同理：． ∴ ∵，∴．故答案为：．    8.（24-25下·湖北鄂州·七年级统考期末）探究猜想验证是一种重要的数学思想方法，请运用这种思想方法解决以下问题：    (1)如图1，点P是直线之间一点，，连接． ①若，，则的度数为______；②若，，则的度数为______； ③猜想图1中，，之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，线段与长方形的边交于点E，与边交于点F，图2中①②分别是被线段隔开的两个区域（不含边界），P是位于以上两个区域内的一点，直接写出点P在各区域时，，之间的数量关系（不要求写理由）． 点P在区域①时，______；点P在区域②时， ． 【答案】(1)①；②；③，理由见解析 (2)； 【详解】（1）如图，过点P作，∴，    ∵，∴，∴，∴， ①∵，，∴，故答案为：； ②∵，，∴，故答案为：； ③，理由如下：如图，过点P作，∴，        ∵，∴，∴， ∴，即； （2）点P在区域①时，如图，过点P作，∴， ∵四边形是长方形，∴，∴，∴， ∴，故答案为：； 点P在区域②时，如图，过点P作，∴， ∵四边形是长方形，∴，∴，∴， ∴，即， 故答案为：． 9．（24-25下·河南驻马店·七年级统考期中）【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．    (1)如图①，，E为之间一点，连接，得到．试探究与之间的数量关系，并说明理由．(2)请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题： 【类比探究】如图②，，线段与线段相交于点E，，，平分交直线于点F，则 °． 【答案】(1)，理由见解析(2)58 【详解】（1）， 理由如下：过E作，如图，    ∵，∴，∴， ∴，即； （2）同（1）方法可知：， ∵，，∴，∴， ∵平分，∴． 10．（24-25·江苏·九年级专题练习）在图中，，与又有何关系？ 【答案】 【详解】分别过，，作的平行线， 则，，，， ，即，． 11．（24-25七年级下·湖北·课后作业）按图填空，完成下面的证明过程． 已知：如图，．求证：． 证明：过点作，___________（_____________________________）． （已知），（如果两条直线与同一直线平行，那么它们也平行）， ___________（_____________________________）． ，（等量代换）． 【答案】；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，内错角相等 【详解】证明：过点作，（两直线平行，内错角相等）． （已知），（如果两条直线与同一直线平行，那么它们也平行）， （两直线平行，内错角相等）． ，； 故答案为：；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，内错角相等 12.（24-25七年级下·北京·期中）在现代化的智能工厂中，机械臂的精准操作依赖于精确的方向控制．如图所示，有两条平行的机械轨道与，即，将机械臂与轨道的接触点记为，机械臂与轨道的接触点记为，为了实现复杂的操作任务，通过关节和关节来调节三个机械臂、和的位置，在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂、和不共线． (1)如图1所示，当机械臂时，证明． (2)如图2所示，当，，时，______（用含的式子表示） (3)当，时，直接写出与的数量关系．（用含的式子表示） 【答案】(1)见解析(2)(3)或或或 【详解】（1）证明：如图，延长交于E，∵，∴， ∵，∴，∴ （2）解：；理由：如图，分别过点P、Q作， ∵，∴，∴， 当，，时， ； （3）解：或或或； 理由如下：如图2-1，分别过点P、Q作， ∵，∴，∴， 当，时， ， ∴； 如图2-2，分别过点P、Q作， ∵，∴， ∴， 当，时， ∴； 如图2-3，分别过点P、Q作， ∵，∴， ∴， 当，时， ∴； 如图2-4，分别过点P、Q作， ∵，∴，∴， 当，时， ∴； 综上可得：或或或． 13.（24-25七年级下·山东临沂·期中）问题情境： 找两根长度差不多的木棒和平行放置在桌面上并固定，用一根橡皮筋将两根木棒的一个端点连接起来，并在橡皮筋上打一个结，如图1，，点在上． 探究一：一组同学是这样进行操作的：将橡皮筋点向外拉，变成如图2，使点在的右侧，同学们称这种模型为“铅笔头模型”，探究，，之间的关系，同学们的思路是：如图3，过点作的平行线，通过平行线性质和判定，可得之和是________，请你在图3中作出图形，并说明理由． 探究二：二组同学的操作正好相反，将橡皮筋向里推，变成如图4，点在的左侧，同学们称这种模型为“猪脚模型”，仿照一组同学们的思路可得，，之间的数量关系是________． 同学们随后结合一、二两个小组的探究结论进行深度探究． 探究三：三组的同学同时进行把橡皮筋向外拉和向里推两种操作，变成如图5所示的图形，通过分析研究，它们提出了如下的问题：已知，，求的大小（用含有，的代数式表示）． 探究四：四组的同学不甘示弱，提出如下问题：如图6，的平分线与的平分线相交于点，且，，探究与之间的数量关系，请你直接写出结果：________． 【答案】探究一：，理由见解析；探究二：；探究三：；探究四：或 【详解】解：探究一：，理由如下，如图所示，过点作， 又∵，， ∴，即，故答案为：； 探究二：，理由如下， 如图所示，过点作， 又∵，， ∴，即； 探究三：，理由如下， 如图所示，过点作，过点作，过点作， 又∵，， ， 即； 探究四：或，理由如下， 如图所示，过点作，过点作， 又∵，， , ， ∵平分，平分，， 又∵，， ， 故或． 14．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）课题学习：平行线的“等角转化”功能． （1）如图，，探索与，之间的关系． 阅读理解：如图1，过点作． ∵，∴．∵，∴， ∵，∴． ∵，∴． 解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，转化成，，得出角之间的关系，使问题得以解决． 方法运用：（2）如图2，已知，则________． （3）如图3，已知，，与之间数量关系是_______________． （4）如图4，已知，，则________． 深化拓展： （5）如图5，已知，点为平面内一点，于．过点作于点，求证：． 【答案】方法运用：（2）360；（3）；（4）20 深化拓展：（5）见详解 【详解】解：方法运用： （2）过点作，如下图，则， ∵，，∴，∴， ∴．故答案为：360； （3）过点作，如下图， 则，∴， ∵，，∴，∴， ∴， ∴．故答案为：； （4）过点作，如下图， ∵，，∴， ∵，，∴，∴， ∴．故答案为：20； 深化拓展：（5）证明：过点作，如下图， 则，∵，∴， 又∵，，∴，∴， ∵，∴， ∴，∴． 15．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，，点是直线上一点，点是平行线、之间一点，连接、． 【问题提出】（1）如图1，过点作，若，，求的度数； 【问题初探】（2）如图2，平分，平分，与相交于点，若，求的度数； 【衍生拓展】（3）如图3，平分，平分，与相交于点，平分，过点作，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）解：∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴，∴的度数为； （2）证明：由（1）得：，同理：， ∵平分，平分，∴，， ∴，∴；∵，∴ （3）解：如图3，作的角平分线交于点，∴，    ∵平分，∴， ∵，∴，即， ∵，∴，即， ∴，由（2）得：，． 16．（24-25下·山东德州·七年级校考阶段练习）如图，，E是两直线内部一点． (1)与的平分线交于H点，探究与之间的数量关系，说明理由． (2)如图，①，直接写出与之间的数量关系． ②若，直接写出与之间的数量关系．       【答案】(1)(2)①，② 【详解】（1）解：如图1，过作，过作，则，，       ∵与的平分线交于H点，∴，， ∵，， ∴，，，， ∴，∴； （2）①解：如图2，过作，过作，则，， ∵，， ∴，，，， ∵，∴，， ∴，∴； ②解：同理①可求，，， ∴，∴． 17．（24-25·江苏镇江·七年级校考期末）如图，，点A、B分别在直线MN、GH上，点O在直线MN、GH之间，若，．（1）= ；（2）如图2，点C、D是、角平分线上的两点，且，求 的度数；（3）如图3，点F是平面上的一点，连结FA、FB，E是射线FA上的一点，若 ，，且，求n的值． 【答案】（1）100；（2）75°；（3）n=3． 【详解】解：（1）如图：过O作OP//MN， ∵MN//GHl∴MN//OP//GH ∴∠NAO+∠POA=180°，∠POB+∠OBH=180°∴∠NAO+∠AOB+∠OBH=360° ∵∠NAO=116°，∠OBH=144° ∴∠AOB=360°-116°-144°=100°； （2）分别延长AC、CD交GH于点E、F，∵AC平分且，∴， 又∵MN//GH，∴；∵， ∵BD平分，∴，又∵∴； ∴； （3）设FB交MN于K，∵，则；∴ ∵，∴，， 在△FAK中，, ∴， ∴．经检验：是原方程的根，且符合题意. 18．（24-25七年级下·重庆·期中）已知． (1)如图1，请基于实验操作，猜想并直接写出之间的数量关系． (2)证明（1）中猜想的结论． 小亮提供了以下证明思路：如图2，过点作，交的延长线于点，则，再证明． 请根据小亮的思路，写出完整的证明过程． (3)应用：如图3，点为上一点，连接，且平分，平分．若，请直接写出的度数． 【答案】(1)(2)见解析(3) 【详解】（1）解：之间的数量关系为：，证明见解析（2）； （2）证明：过点作，交的延长线于点，则， ∵，∴，∵，∴，∴， ∴． （3）解：∵平分，平分， ∴，， 根据解析（1）可知：， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 平行线中的拐点模型之猪蹄模型（M型）与锯齿模型 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（猪蹄模型（M型）与锯齿模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.猪蹄模型（M型） 4 模型2.锯齿模型 7 10 猪蹄模型与锯齿模型名称均源于生活观察，因图形类似猪蹄的开口形状而得名，是平行线拐点模型中最基础的形态。在猪蹄模型基础上增加多个拐点，形成左右交替的锯齿状结构。锯齿模型是猪蹄模型的扩展，两者均基于“见拐点作平行线”的通用解法。 （24-25七年级下·山东青岛·期中）【提出问题】（1）如图1，将长方形纸片剪两刀，其中，则与、度数之间有何等量关系？请说明你的理由． 【类比探究】（2）如图2，将长方形纸片剪四刀，其中，则、、、、的度数之间的等量关系是________． 【综合应用】（3）如图3，直线，，，，，则____． （4）如图4，直线，点、分别是上两点，点在之间，连接．点是下方一点，平分平分，已知，则______． 图1 图2 图3 模型1）：如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B； ②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN； 模型2）：如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2； 模型3）：如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.。 证明：（1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下：如图1，过点P作PQ∥AM， ∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ， ∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B． （2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， 故答案为：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， （3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 故答案为：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 模型1.猪蹄模型（M型） 例1（24-25下·四川·七年级统考期末）如图，AB//CD，则 例2（24-25下·河南郑州·七年级校联考阶段练习）卫星信号接收锅、汽车灯等很多灯具都与抛物线有关，如图，从点O照射到抛物线上的光线、等反射以后沿着与平行的方向射出，已知，，那么的度数是（    ）    A． B． C． D． 例3（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，． (1)试问、、之间的数量关系为_______ (2)应用：如图a是我们常用的折叠式小刀，图b中刀柄外形是一个长方形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成如图b所示，经测量，求的度数． 例4（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）如图1，是我国西北地区农村使用的太阳能烧水器，其原理是利用凹面镜的聚光技术，如图2是图1的轴截面示意图，太阳光线，经过凹面镜的反射后，反射光线，交于一点P． (1)如图2，若和，则　　　； (2)如图3，已知，点M，N分别在，上，点P是，之间右侧任意一点，连接，，若，请写出之间的数量关系，并说明理由； (3)如图4，在（2）的基础上平分，平分，若，，请直接求的值．（不需要写解答过程） 模型2.锯齿模型 例1（24-25重庆七年级期中）如图（1）所示是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的断口一般是参差不齐的，那么请你深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口问题”．（1）如图（2）所示，已知，请问，，有何关系并说明理由； （2）如图（3）所示，已知，请问，，又有何关系并说明理由； （3）如图（4）所示，已知，请问与有何关系并说明理由． 例2（24-25七年级下·福建莆田·期中）如图1，已知． (1)探索与之间满足的数量关系，并说明理由； (2)如图2，平分，平分，的反向延长线交于点P，求的度数． 例3（24-25七年级下·湖北十堰·期中）已知，直线． (1)如图1，点E在、之间，写出三者之间的关系____________________ (2)如图2，在（1）的条件下，的平分线交的延长线于点，的平分线交的延长线于点，试探究，和这三个角之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，点E在直线的上方，，的平分线交于点，若，请直接写出的值． 1．（24-25上·江苏盐城·七年级统考期中）如图，已知，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25下·江苏无锡·七年级校联考期中）如图，，，，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 3．（24-25·河南驻马店·九年级专题练习）已知， ， ，若，则为（   ） A．23° B．33° C．44° D．46° 4．（24-25·安徽蚌埠·九年级校联考期中）太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，从点O照射到抛物线上的光线，反射后沿着与平行的方向射出，已知图中，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．（24-25下·广东佛山·七年级校考阶段练习）如图，已知直线，，，则∠3= ．    6．（24-25上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）已知：如图，，的平分线与的平分线交于点M，，，，则 ． 7．（24-25下·江苏苏州·七年级统考期末）如图，已知，，记，则m的值为 ．    8.（24-25下·湖北鄂州·七年级统考期末）探究猜想验证是一种重要的数学思想方法，请运用这种思想方法解决以下问题：    (1)如图1，点P是直线之间一点，，连接． ①若，，则的度数为______；②若，，则的度数为______； ③猜想图1中，，之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，线段与长方形的边交于点E，与边交于点F，图2中①②分别是被线段隔开的两个区域（不含边界），P是位于以上两个区域内的一点，直接写出点P在各区域时，，之间的数量关系（不要求写理由）． 点P在区域①时，______；点P在区域②时， ． 9．（24-25下·河南驻马店·七年级统考期中）【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．    (1)如图①，，E为之间一点，连接，得到．试探究与之间的数量关系，并说明理由．(2)请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题： 【类比探究】如图②，，线段与线段相交于点E，，，平分交直线于点F，则 °． 10．（24-25·江苏·九年级专题练习）在图中，，与又有何关系？ 11．（24-25七年级下·湖北·课后作业）按图填空，完成下面的证明过程． 已知：如图，．求证：． 证明：过点作，___________（_____________________________）． （已知），（如果两条直线与同一直线平行，那么它们也平行）， ___________（_____________________________）． ，（等量代换）． 12.（24-25七年级下·北京·期中）在现代化的智能工厂中，机械臂的精准操作依赖于精确的方向控制．如图所示，有两条平行的机械轨道与，即，将机械臂与轨道的接触点记为，机械臂与轨道的接触点记为，为了实现复杂的操作任务，通过关节和关节来调节三个机械臂、和的位置，在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂、和不共线． (1)如图1所示，当机械臂时，证明． (2)如图2所示，当，，时，______（用含的式子表示） (3)当，时，直接写出与的数量关系．（用含的式子表示） 13.（24-25七年级下·山东临沂·期中）问题情境： 找两根长度差不多的木棒和平行放置在桌面上并固定，用一根橡皮筋将两根木棒的一个端点连接起来，并在橡皮筋上打一个结，如图1，，点在上． 探究一：一组同学是这样进行操作的：将橡皮筋点向外拉，变成如图2，使点在的右侧，同学们称这种模型为“铅笔头模型”，探究，，之间的关系，同学们的思路是：如图3，过点作的平行线，通过平行线性质和判定，可得之和是________，请你在图3中作出图形，并说明理由． 探究二：二组同学的操作正好相反，将橡皮筋向里推，变成如图4，点在的左侧，同学们称这种模型为“猪脚模型”，仿照一组同学们的思路可得，，之间的数量关系是________． 同学们随后结合一、二两个小组的探究结论进行深度探究． 探究三：三组的同学同时进行把橡皮筋向外拉和向里推两种操作，变成如图5所示的图形，通过分析研究，它们提出了如下的问题：已知，，求的大小（用含有，的代数式表示）． 探究四：四组的同学不甘示弱，提出如下问题：如图6，的平分线与的平分线相交于点，且，，探究与之间的数量关系，请你直接写出结果：________． 14．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）课题学习：平行线的“等角转化”功能． （1）如图，，探索与，之间的关系． 阅读理解：如图1，过点作． ∵，∴．∵，∴， ∵，∴．∵，∴． 解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，转化成，，得出角之间的关系，使问题得以解决． 方法运用：（2）如图2，已知，则________． （3）如图3，已知，，与之间数量关系是_______________． （4）如图4，已知，，则________． 深化拓展：（5）如图5，已知，点为平面内一点，于．过点作于点，求证：． 15．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，，点是直线上一点，点是平行线、之间一点，连接、． 【问题提出】（1）如图1，过点作，若，，求的度数； 【问题初探】（2）如图2，平分，平分，与相交于点，若，求的度数； 【衍生拓展】（3）如图3，平分，平分，与相交于点，平分，过点作，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 16．（24-25下·山东德州·七年级校考阶段练习）如图，，E是两直线内部一点． (1)与的平分线交于H点，探究与之间的数量关系，说明理由． (2)如图，①，直接写出与之间的数量关系． ②若，直接写出与之间的数量关系．       17．（24-25·江苏镇江·七年级校考期末）如图，，点A、B分别在直线MN、GH上，点O在直线MN、GH之间，若，．（1）= ；（2）如图2，点C、D是、角平分线上的两点，且，求 的度数；（3）如图3，点F是平面上的一点，连结FA、FB，E是射线FA上的一点，若 ，，且，求n的值． 18．（24-25七年级下·重庆·期中）已知． (1)如图1，请基于实验操作，猜想并直接写出之间的数量关系． (2)证明（1）中猜想的结论． 小亮提供了以下证明思路：如图2，过点作，交的延长线于点，则，再证明． 请根据小亮的思路，写出完整的证明过程． (3)应用：如图3，点为上一点，连接，且平分，平分．若，请直接写出的度数． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $