专题09 平行线中的拐点模型之铅笔头模型（几何模型讲义）数学华东师大版2024七年级上册

专题09 平行线中的拐点模型之铅笔头模型 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（铅笔头模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 2 模型运用 3 模型1.铅笔头模型 3 10 铅笔头模型名称源于生活观察，铅笔头模型因图形类似铅笔的笔头形状而得名，是平行线拐点模型中的基础形态之一。铅笔头模型因其独特的形状和解题方法，被学生形象地称为“角度迷宫”的破解工具。有学生用“绕一圈回到原点要转360°的生活化比喻来记忆其结论，使抽象几何问题变得生动有趣。‌‌ （24-25七年级下·山西晋中·期中）学习了平行线的性质之后，课间同学们进行了进一步的探究活动，如图，已知，若按图中规律，请你探究两平行线间出现n个折角，则（   ） A． B． C． D． 图1 图2 图3 模型1）：如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°； ②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN. 模型2）：如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540° 模型3）：如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°. 【证明】在图1中，过P作AM的平行线PQ， ∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°； 在图2中，过P1作AM的平行线P1C，过点P2作AM的平行线P2D， ∵AM∥BN，∴AM∥P1C∥P2D∥BN， ∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°； 在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线， 根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°． 模型1.铅笔头模型 例1（2025·广东·校考一模）如图所示，已知，那么（    ）    A．180° B．270° C．360° D．540° 例2（2025·江苏南通·校考二模）如图，已知，，，则的度数是（    ） A．80° B．120° C．100° D．140° 例3（24-25下·陕西西安·七年级校联考期中）如图1所示的是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2所示的是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数是 ． 例4（24-25下·辽宁鞍山·七年级阶段练习）如图所示，AB∥CD，则∠A+∠E+∠F+∠C等于（   ） A．180° B．360° C．540° D．720° 例5（24-25下·湖北武汉·七年级期末）如图，， ， ，已知，则的度数为 ．    例6（24-25·江苏南通·七年级统考期末）如图，直线，点E，F分别是直线上的两点，点P在直线和之间，连接和的平分线交于点Q，下列等式正确的是（　　）    A． B． C． D． 例7（24-25七年级·江苏扬州·阶段练习）如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面 垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 例8（24-25七年级·江苏宿迁·阶段练习）（1）如图①，，则________； 如图②，，则________，请你说明理由； （2）如图③，，则________； （3）利用上述结论解决问题：如图④，，和的平分线相交于点F，，求的度数． 例9（24-25·江苏苏州·七年级校考期中）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等例如：在图①、图中②，都有，，设镜子与的夹角．    (1)如图①，若，判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由． (2)如图②，若，入射光线与反射光线的夹角，探索与的数量关系，并说明理由．(3)如图③，若，设镜子与的夹角，入射光线与镜面的夹角，已知入射光线从镜面开始反射，经过为正整数，且次反射，当第次反射光线与入射光线平行时，请直接写出的度数可用含有的代数式表示． 1．（2024·贵州·模拟预测）如图，两条平行线分别截一个角的两条边，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河南周口·校联考三模）如图，，，，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 3．（24-25·江苏·七年级专题练习）如图，AB//ED，α＝∠A+∠E， β＝∠B+∠C+∠D，则β与α的数量关系是（   ） A．2β＝3α B．β＝2α C．2β＝5α D．β＝3α 4．（24-25·安徽安庆·八年级期中）一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若，则（    ）    A． B． C． D． 5．（24-25·江苏苏州·七年级校考期中）如图，在五边形中，，则（    ）    A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·江苏宿迁·阶段练习）已知在四边形中，，点在，之间，为上一点，为上一点，平分交于点，交于点．下列结论：①，②，③．其中正确的结论有 ． 7．（24-25七年级上·广东·期末）如图，，、分别是、上的点，、分别平分、，若，，则 （用含，的代数式表示）    8．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）如图1是一款落地的平板支撑架，，是可转动的支撑杆．调整支撑杆使得其侧面示意图如图2所示，此时平板，，，则 ． 9．（24-25·江苏盐城·七年级校联考阶段练习）如图，，则 ．    10．（24-25·江苏盐城·七年级统考期中）如图，直线a与∠AOB的一边射线OA相交，∠1＝130°，向下平移直线a得到直线b，与∠AOB的另一边射线OB相交，则∠2+∠3＝ ． 11．（24-25·黑龙江绥化·七年级校考期末）如图，已知， 则 ．    12．（24-25·江苏镇江·七年级校考期末）如图是某小区大门的道闸栏杆示意图，立柱垂直于地面于点A，当栏杆达到最高高度时，横栏，此时则， ．    13．（24-25七年级下·湖北荆州·阶段练习）如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，若，，则的度数为 ． 14．（24-25·江苏南京·七年级校考阶段练习）如图，在六边形ABCDEF中，AF∥CD，∠A=140，∠C=165． （1）求∠B的度数；（2）当∠D= °时，AB∥DE？为什么？ 15．（24-25·江苏·七年级专题练习）已知，连接A，C两点． (1)如图1，与的平分线交于点E，则等于 　 　度； (2)如图2，点M在射线反向延长线上，点N在射线上．与的平分线交于点E．若，求的度数； (3)如图3，图4，M，N分别为射线，射线上的点，与的平分线交于点E．设，请直接写出图中的度数（用含α，β的式子表示）． 16．（24-25·江苏常州·七年级校考期中）问题情境：如图①，直线，点E，F分别在直线AB，CD上．(1)猜想：若，，试猜想______°； (2)探究：在图①中探究，，之间的数量关系，并证明你的结论； (3)拓展：将图①变为图②，若，，求的度数． 17．（24-25·安徽滁州·七年级校考期末）如图1，，过点作，可得．利用平行线的性质，可得：与，之间的数量关系是________，________． 利用上面的发现，解决下列问题：    （1）如图2，，点是和平分线的交点，，求的度数； （2）如图3，，平分，，平分，若比大，则的度数是________． 18．（24-25·江苏宿迁·七年级校考期末）已知：，点E、F分别在直线、上，点O在直线、之间，且． (1)如图1，若，求的度数．(2)如图2，射线平分，连接，若，与相等吗？若相等，请证明你的结论；若不相等，请说明理由．(3)如图3，在内，，在内，，点M、N分别为射线、上的动点，且点M、N在直线、之间，其中，，若，求n的取值范围．      19．（24-25上·江苏南京·七年级校考期末）珠江某河段两岸安置了两座可旋转探照灯A，B．如图1，2所示，假如河道两岸是平行的，，且，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，且灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．    (1)填空： °；(2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？(3)如图3，若两灯同时转动，在灯A射线到达之前，若两灯发出的射线与交于点C，过C作交PQ于点D，且，则在转动过程中，请探究与的数量关系，并说明理由． 20．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）【图形感知】如图1，，点在直线上，点在直线上，点为、之间一点．      （1）如图2，该基本图形称为“铅笔头型”（实线部分），它有一个常用数学结论：，它可以通过如下方法证明，请你帮忙完成该结论的推理过程． 证明：如图①，过点作， ∵，（已知），∴_________（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴，，∴（等式性质） ∴． （2）如图3，该基本图形称为“型”（实线部分），仿照上面结论的推理思路可得、、之间的关系是________； 【结论应用】直接利用上述结论进行证明；（3）如图4，直线，点，在直线上，点，在直线上，直线，分别平分，，且交于点．猜想并证明与的数量关系． 【拓展延伸】（4）如图5，已知，与两个角的角平分线相交于点． 若，，设，________．（用含有，的代数式表示） 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 平行线中的拐点模型之铅笔头模型 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（铅笔头模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 2 模型运用 3 模型1.铅笔头模型 3 10 铅笔头模型名称源于生活观察，铅笔头模型因图形类似铅笔的笔头形状而得名，是平行线拐点模型中的基础形态之一。铅笔头模型因其独特的形状和解题方法，被学生形象地称为“角度迷宫”的破解工具。有学生用“绕一圈回到原点要转360°的生活化比喻来记忆其结论，使抽象几何问题变得生动有趣。‌‌ （24-25七年级下·山西晋中·期中）学习了平行线的性质之后，课间同学们进行了进一步的探究活动，如图，已知，若按图中规律，请你探究两平行线间出现n个折角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，∴由图①； 图②中过点E作，    ∵，∴，∴，， ∴，即， 同理可得图③，， ∴图4时，．故选C． 图1 图2 图3 模型1）：如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°； ②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN. 模型2）：如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540° 模型3）：如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°. 【证明】在图1中，过P作AM的平行线PQ， ∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°； 在图2中，过P1作AM的平行线P1C，过点P2作AM的平行线P2D， ∵AM∥BN，∴AM∥P1C∥P2D∥BN， ∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°； 在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线， 根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°． 模型1.铅笔头模型 例1（2025·广东·校考一模）如图所示，已知，那么（    ）    A．180° B．270° C．360° D．540° 【答案】C 【详解】过点C作，    ，，∴ 由得，， 即．故选：C． 例2（2025·江苏南通·校考二模）如图，已知，，，则的度数是（    ） A．80° B．120° C．100° D．140° 【答案】C 【详解】解：过E作直线MN//AB，如下图所示， ∵MN//AB，∴∠A+∠1＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∴∠1＝180°﹣∠A＝180°﹣140°＝40°， ∵，∴ ∵MN//AB，AB//CD，∴MN//CD，∴∠C+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠C＝180°﹣∠2＝180°﹣80°＝100°，故选：C． 例3（24-25下·陕西西安·七年级校联考期中）如图1所示的是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2所示的是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数是 ． 【答案】/80度 【详解】解：如图，过点F作， ∵，∴，∴，， ∵，，∴，，∴， ∵，∴．故答案为． 例4（24-25下·辽宁鞍山·七年级阶段练习）如图所示，AB∥CD，则∠A+∠E+∠F+∠C等于（   ） A．180° B．360° C．540° D．720° 【答案】C 【详解】解：作EM∥AB，FN∥AB， ∵AB∥CD，∴AB∥EM∥FN∥CD．∴∠A+∠AEM=180°，∠MEF+∠EFN=180°，∠NFC+∠C=180°， ∴∠A+∠AEF+∠EFC+∠C=540°．故选：C． 例5（24-25下·湖北武汉·七年级期末）如图，， ， ，已知，则的度数为 ．    【答案】/60度 【详解】解：∵，，∴， 如图所示，过点作，∵，∴，       ∴，，， ∴， ∵，∴， ∵， ， ∴，如图所示，过点作， ∵，∴，∴，， ∴，故答案为：． 例6（24-25·江苏南通·七年级统考期末）如图，直线，点E，F分别是直线上的两点，点P在直线和之间，连接和的平分线交于点Q，下列等式正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，过点P作，过点Q作，    ∵，∴， ∴，， ，∴， ∵和的平分线交于点Q，∴， ∴， ∵， ∴．故选：A． 例7（24-25七年级·江苏扬州·阶段练习）如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面 垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，过点D作，过点E作， ∵，∴，∵，∴， ∴，，， ∴，， ∴，故选：A． 例8（24-25七年级·江苏宿迁·阶段练习）（1）如图①，，则________； 如图②，，则________，请你说明理由； （2）如图③，，则________； （3）利用上述结论解决问题：如图④，，和的平分线相交于点F，，求的度数． 【答案】（1），，见解析；（2）；（3） 【详解】解：（1）  ，理由如下： 理由：∵，∴．如图，过点作． ，，，． （2）如图，过点作．，，∴， 结合（1）的结论可得：， ∴； （3）如图，过作．，，． ，． 平分，平分，， 例9（24-25·江苏苏州·七年级校考期中）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等例如：在图①、图中②，都有，，设镜子与的夹角．    (1)如图①，若，判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由． (2)如图②，若，入射光线与反射光线的夹角，探索与的数量关系，并说明理由．(3)如图③，若，设镜子与的夹角，入射光线与镜面的夹角，已知入射光线从镜面开始反射，经过为正整数，且次反射，当第次反射光线与入射光线平行时，请直接写出的度数可用含有的代数式表示． 【答案】(1)，见解析(2)，见解析(3)或 【详解】（1），理由如下：在中，，，， ，，， ，，，； （2），理由如下：在中，，， ，，，， 同理可得，，在中，， ； （3）或．理由如下：当时，如下图所示：       ，， ，， ，， 则，则，由内角和得． 当时，如果在边反射后与平行，由（1）可知，与题意不符； 则只能在边反射后与平行，如下图所示，设与的延长线交于点G， ∵，，∴， ∴，∴， 由，且由（1）的结论可得，，则． 综上所述：的度数为：或． 1．（2024·贵州·模拟预测）如图，两条平行线分别截一个角的两条边，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，过作，而， ∴，∴，， ∴，∴，∵，∴；故选C 2．（2025·河南周口·校联考三模）如图，，，，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，作，则，    ，，，， ， 故选D． 3．（24-25·江苏·七年级专题练习）如图，AB//ED，α＝∠A+∠E， β＝∠B+∠C+∠D，则β与α的数量关系是（   ） A．2β＝3α B．β＝2α C．2β＝5α D．β＝3α 【答案】B 【详解】解：如图，作CF//ED，  ∵AB//ED，∴∠A+∠E=180°= α ， ∵ED//CF， ∴∠D+∠DCF=180°， ∵AB//ED，ED//CF，∴AB//CF，∴∠B+∠BCF=180°， ∴∠D+∠DCF+∠B+∠BCF=180°+180° 即 ∠B+∠C+∠D =360°= β ， ∴ β＝2α ． 故选B． 4．（24-25·安徽安庆·八年级期中）一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：过三角板的直角顶点作直尺两边的平行线，    ∵直尺两边互相平行，∴，， ∵，∴，故选：B． 5．（24-25·江苏苏州·七年级校考期中）如图，在五边形中，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：过点作，交于点， ，，，， ．故选：B．    6．（24-25七年级下·江苏宿迁·阶段练习）已知在四边形中，，点在，之间，为上一点，为上一点，平分交于点，交于点．下列结论：①，②，③．其中正确的结论有 ． 【答案】①② 【详解】解：①，，，，， ，平分， ，，故①选项是正确的； ②由①知，，，， ，， ， ，，故②选项是正确的； ③由①知，，， ，故③选项是错误的．故答案为：①② 7．（24-25七年级上·广东·期末）如图，，、分别是、上的点，、分别平分、，若，，则 （用含，的代数式表示）    【答案】 【详解】解：如图，过作，过作，    又∵，∴，∴， ， ，∴， 又∵、分别平分、，∴，， ∴， ∴ ，故答案为：． 8．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）如图1是一款落地的平板支撑架，，是可转动的支撑杆．调整支撑杆使得其侧面示意图如图2所示，此时平板，，，则 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作， ，，， ，，，， ，．故答案为：． 9．（24-25·江苏盐城·七年级校联考阶段练习）如图，，则 ．    【答案】 【详解】解：当与之间有2个角时，如图所示：    ∵，∴； 当与之间有3个角时，过点E作，      ∵，∴，∴，， ∴，即， 同理可得：当与之间有4个角时，， ∴当与之间有n个角时，．故答案为：． 10．（24-25·江苏盐城·七年级统考期中）如图，直线a与∠AOB的一边射线OA相交，∠1＝130°，向下平移直线a得到直线b，与∠AOB的另一边射线OB相交，则∠2+∠3＝ ． 【答案】 【详解】解：过点O作，∵直线a向下平移得到直线b，∴，∴， ∴，，∴， ∴．故答案为：． 11．（24-25·黑龙江绥化·七年级校考期末）如图，已知， 则 ．    【答案】/540度 【详解】解：如图，过点，分别作，，    ，， 则，，， ，故答案为． 12．（24-25·江苏镇江·七年级校考期末）如图是某小区大门的道闸栏杆示意图，立柱垂直于地面于点A，当栏杆达到最高高度时，横栏，此时则， ．    【答案】150 【详解】解：过点B作，    ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴．故答案为：150． 13．（24-25七年级下·湖北荆州·阶段练习）如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，若，，则的度数为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点D作，过点E作， ∵，∴，∵，∴， ∴，，， ∵，，∴， ∴，∴，故答案为：． 14．（24-25·江苏南京·七年级校考阶段练习）如图，在六边形ABCDEF中，AF∥CD，∠A=140，∠C=165． （1）求∠B的度数；（2）当∠D= °时，AB∥DE？为什么？ 【答案】（1）55°；（2）140° 【详解】（1）过点B作BM∥AF， ∵AF∥CD，∴BM∥AF∥CD，∴∠A+∠ABM=180°，∠C+∠CBM=180°， ∵∠A=140，∠C=165，∴∠B=∠ABM+∠CBM=360°-∠A-∠C=360°-140°-165°=55°． （2）延长AB，DC交于点N，∵∠ABC=55°，∴∠NBC=125°， ∵∠BCD=165°,∴∠NBC165°-125°=40° 若AB∥DE，则∠D=180°-40°=140°．故答案是：140° 15．（24-25·江苏·七年级专题练习）已知，连接A，C两点． (1)如图1，与的平分线交于点E，则等于 　 　度； (2)如图2，点M在射线反向延长线上，点N在射线上．与的平分线交于点E．若，求的度数； (3)如图3，图4，M，N分别为射线，射线上的点，与的平分线交于点E．设，请直接写出图中的度数（用含α，β的式子表示）． 【答案】(1)90(2)(3)或 【详解】（1）解：如图1，∵，∴， ∵分别平分，∴， ∴， ∴；故答案为：90． （2）如图2，过点E作，∵，∴，∴， ∵分别平分，∴， ∴； （3）①如图3，过点E作，∵，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴； ②如图4，过点E作， ∵，∴，∴，， ∵，∴，∴． 【点睛】此题考查了平行线的性质及角平分线的定义，解题的关键是正确掌握平行线的性质：两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等． 16．（24-25·江苏常州·七年级校考期中）问题情境：如图①，直线，点E，F分别在直线AB，CD上．(1)猜想：若，，试猜想______°； (2)探究：在图①中探究，，之间的数量关系，并证明你的结论； (3)拓展：将图①变为图②，若，，求的度数． 【答案】(1)(2)；证明见详解(3) 【详解】（1）解：如图过点作， ∵，∴．∴，． ∵，，∴ ∴． ∵，∴∠P=80°．故答案为：； （2）解：，理由如下：如图过点作， ∵，∴．∴，． ∴∵，． （3）如图分别过点、点作、 ∵，∴． ∴，，． ∴ ∵，，， ∴∴ 故答案为：． 17．（24-25·安徽滁州·七年级校考期末）如图1，，过点作，可得．利用平行线的性质，可得：与，之间的数量关系是________，________． 利用上面的发现，解决下列问题：    （1）如图2，，点是和平分线的交点，，求的度数； （2）如图3，，平分，，平分，若比大，则的度数是________． 【答案】，360；（1）；（2） 【详解】如图1，，过点作，可得． ∴，， ∴；， 故答案为：，； （1）解：∵， 又∵，，∴， （2）解：设，则，，， ∴，∴，∴，∴． 18．（24-25·江苏宿迁·七年级校考期末）已知：，点E、F分别在直线、上，点O在直线、之间，且． (1)如图1，若，求的度数．(2)如图2，射线平分，连接，若，与相等吗？若相等，请证明你的结论；若不相等，请说明理由．(3)如图3，在内，，在内，，点M、N分别为射线、上的动点，且点M、N在直线、之间，其中，，若，求n的取值范围．      【答案】(1)(2)见解析(3) 【详解】（1）解：证明：过点O作，      ∵，∴,∴,, 又∵，,∴,,∴． （2）解：与相等，理由如下：延长交于，如下图所示： ∵，∴， ∵，且，∴， 又∵，∴在四边形中，， ∵平分，∴,∴． （3）解：设，由于，则，∴， 设，由于，则，过点作，如下图所示：    ∵，∴，∴，， ∴，即，∴， 又∵，，∴，， ∴，即， 又∵，则，解得，∵，∴，综上，． 19．（24-25上·江苏南京·七年级校考期末）珠江某河段两岸安置了两座可旋转探照灯A，B．如图1，2所示，假如河道两岸是平行的，，且，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，且灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．    (1)填空： °；(2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？(3)如图3，若两灯同时转动，在灯A射线到达之前，若两灯发出的射线与交于点C，过C作交PQ于点D，且，则在转动过程中，请探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)60(2)当秒或110秒时，两灯的光束互相平行(3)，见解析 【详解】（1），，，故答案为：； （2）设灯转动秒，两灯的光束互相平行，      当时，如图，，， ，，，解得 ； 当时，如图，，， ， ，解得  ， 综上所述，当秒或秒时，两灯的光束互相平行； （3）．理由：设灯射线转动时间为秒， ，， 又，，而， ，：：，即． 20．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）【图形感知】如图1，，点在直线上，点在直线上，点为、之间一点．      （1）如图2，该基本图形称为“铅笔头型”（实线部分），它有一个常用数学结论：，它可以通过如下方法证明，请你帮忙完成该结论的推理过程． 证明：如图①，过点作， ∵，（已知），∴_________（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴，，∴（等式性质） ∴． （2）如图3，该基本图形称为“型”（实线部分），仿照上面结论的推理思路可得、、之间的关系是________； 【结论应用】直接利用上述结论进行证明；（3）如图4，直线，点，在直线上，点，在直线上，直线，分别平分，，且交于点．猜想并证明与的数量关系． 【拓展延伸】（4）如图5，已知，与两个角的角平分线相交于点． 若，，设，________．（用含有，的代数式表示） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【详解】（1）证明：如图①，过点作， ∵，（已知），∴（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴，，∴（等式性质） ∴．故答案为：； （2）解：．理由：由（1）知：， ∵，，∴ ∴，故答案为：； （3）与的数量关系：． 证明：∵，∴，， ∵平分，平分，∴，， ∴，即； （4）解：设，， ∵，，∴，， ∵平分，平分，∴，， ∵，∴， ，∴， 故答案为：． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $