专题14 平行线的拐点模型（几何模型讲义）数学苏科版2024七年级上册

该初中数学讲义以“平行线的拐点模型”为核心，通过知识框架图系统梳理了猪蹄模型（M型）、锯齿模型、铅笔头模型等六类典型模型，清晰呈现各类模型的辅助线作法（如构造平行线）及角关系规律，突出“拐点位置—辅助线添加—角量转化”的内在逻辑，明确重难点分布。 讲义亮点在于“模型应用+分层真题”的练习设计，如以螳螂简笔画为背景的几何应用题（培养几何直观），整合浙江、河南等地期中期末试题，涵盖选择、填空及综合探究（提升应用意识）。方法指导中强调“构造平行线转化角”的推理策略，基础题巩固模型认知，综合题深化推理能力，助力学生自主复习，也为教师分层教学提供精准素材。

专题14. 平行线的拐点模型 本专题包含猪蹄模型（M型）与锯齿模型、铅笔头模型、牛角模型、羊角模型、蛇形模型（5字模型）等。 1．（24-25七年级下·浙江温州·期中）小盟利用几何图形画出螳螂简笔画，如图，，交于点，，，平分，若设，，则和之间的关系是(   ) A． B． C． D． 2.（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，，，则、、之间的关系是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，与交于点E，点G在直线上，，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（  ） A．①②③ B．②④ C．①②④ D．①④ 4．（24-25七年级下·广东云浮·期末）如图，已知：平分，有下列结论：①；②；③；④．结论正确的有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，直线，与直线分别交于点，，的平分线交于点，于点H．若，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·山西运城·期末）如图，，的平分线交于点E，过点A作于点F．若，，则下列等量关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）如图，，且平分平分交于点，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）如图，已知，和分别平分和，若，，则和的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法判断 9．（24-25七年级下·山西运城·期中）2025年春节联欢晚会上，16个人形机器人身着花棉袄，手持红手帕登上舞台，与舞蹈演员默契配合，共同演绎了舞蹈《秧》．小林观看节目时受到启发，将图1中机器人的手臂抽象为图2的示意图，其中手臂，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·河南许昌·期中）某同学结合角平分线的知识将问题进行深入探究，如图所示，已知，点E的位置移到上方，点F在延长线上，与的平分线相交于点G，则与之间的数量关系是 ． 11．（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，，思考解决下列问题：试探究 ． 12．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，，点位于两平行线之间且在点、的右侧，分别作和的平分线交于点，再分别作和的平分线交于点设的度数是，则的度数用表示为 ．    13．（24-25七年级下·山东泰安·期中）【知识储备】构造平行线是初中数学常见的一种作辅助线的方法，两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化． 【问题背景】同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们把这个图形形象地称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图，，E为，之间一点，连接，，得到．写出与，之间的数量关系，并说明理由． 【类比应用】已知直线，P为平面内一点，连接，． （2）如图，已知，，求的度数． （3）如图，根据图形直接写出，，之间的数量关系． 14．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）课题学习：平行线的“等角转化”功能． (1)【阅读理解】：如图1，已知点是外一点，连接、，求的度数，阅读并补充下面推理过程． 解：过点作___________，___________， ， 解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将、、“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． (2)【方法运用】：如图2，已知，求的度数； (3)【深化拓展】：如图3，已知，，，平分，平分，，所在的直线交于点，点在直线与之间，求的度数． 15．（24-25七年级下·吉林·期末）综合与实践：如图，，点为平面内任意一点，连接，某数学兴趣小组对，，之间的数量关系进行了探究学习． 【探究一】当点在如图1所示位置时，通过测量，得到猜想结果：． 证明：过点作，． ，，，． ．． 【探究二】当点在如图2所示位置时，猜想，，之间的数量关系，并给出证明． 【探究三】当点在如图3所示位置时，请直接写出，，之间的数量关系，不要求给出证明． 【探究四】若，请在图4中找到一个符合条件的点，并补全图形，不要求给出证明． 【思维拓展】当点在如图5所示位置时，请直接写出，，，之间的数量关系，不要求给出证明． 16．（24-25七年级下·河北·期末）【发现】如图1，平分，平分． 当时，与的位置关系是　　　； 当时，与的位置关系是　　　； 当时，请判断与的位置关系，并说明理由； 【探究】如图2，，是上一点，保持不变，移动顶点，使平分，与存在怎样的数量关系？并说明理由． 【拓展】如图3，，为线段上一定点，为直线上一动点，且点不与点重合．直接写出与的数量关系． 17．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图1，已知a∥b，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，与交于点E． (1)当，，求的度数； (2)如图2，平分交于点F，平分交于点G， ①若，，求的度数； ②当，求的度数（用含α的式子表示）； (3)如图3，P为线段上一点，为线段上一点，连接，N为的角平分线上一点，且，设为，为，为，则之间的数量关系是________． 18．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）（1）如图1，，点在，之间，连接，．易证：． 下面是两位同学添加辅助线的方法： 小强：如图2，过点作． 小菲：如图3，延长AP交于点． 请你选择一位同学的方法进行证明． （2）如图4，，分别是射线，上一点，是线段上一点，连接并延长，交直线于点，连接，，若，求证：． （3）如图5，在（2）的条件下，，平分，平分，与相交于点，与相交于点，若，，，求的度数． 19．（24-25七年级下·河北·期末）综合与实践 【问题情境】在数学综合与实践课上，老师让同学们以“平行线与三角板”为主题开展数学活动．已知直线，在直角三角板中，． 【操作发现】（1）如图所示，将直角三角板顶点A放在直线上，设边与相交于点H，边与相交于点D．当时，发现．请说明理由； 【深入探究】（2）如图所示，将图（1）中三角板的直角顶点B放在平行线和之间，两直角边，分别与，相交于点P和Q，得到和，试探究和的数量关系并说明理由．以下是小刚同学的解题思路：过点B作和其中一条直线的平行线，再利用平行线的有关知识就能解决问题． 请你帮助小刚同学书写完整的解题过程，或用其它方法解决； 【拓展运用】（3）受小刚同学的启发，同学们继续探究以下问题，在（2）的情况下，分别作和对顶角的角平分线，它们相交于点O，如图所示，请直接写出的度数． 20．（24-25七年级下·吉林白城·阶段练习）【猜想】如图①，，点在直线、之间，连结、．若，，则的大小为__________度． 【探究】如图②，，，交于点，探究，，之间的数量关系．并说明理由． 【拓展】如图③，若点在直线，之间，平分，平分，当时，直接写出的度数＝__________． 【延伸】如图④，若点在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，直接写出的度数=__________．（用含的式子表示） 21．（24-25七年级下·山东青岛·阶段练习）已知直线，E为平面内一点，点P，Q分别在直线，上，连接，． (1)如图1，若点E在直线，之间，试探究之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若点E在直线，之间，平分，平分，当时，求的度数． (3)如图3，若点E在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点F，当时，求的度数． 22．（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）在课堂上我们学习了平行线的性质，平行线具有“等角转化”的功能，“三线八角”图是研究平行线性质的“基本图形”． (1)阅读理解：如图，，点E，F分别为直线，上的一点，点P为平行线间一点，猜想，与之间的关系，并说明理由． (2)方法运用：如图，，猜想，与之间的关系，并说明理由． (3)深化拓展：如图，，与的角平分线相交于点Q． ①若，，，直接写出的度数 ②若，，，求的度数（用含m，n的代数式表示）． 23．（24-25七年级下·广西南宁·期末）综合与实践 【实践操作】如下图1，楠楠做了一个潜望镜，潜望镜中的两面镜子，是互相平行放置的，光线经过镜子反射后，得到光线；光线经过镜子反射后，得到光线进入人的眼中，根据光的反射原理，有，． (1)【问题提出】进入潜望镜的光线与离开潜望镜的光线互相平行吗？请将下列证明过程填写完整：证明：，理由如下： （______） ，（等量代换） ，（平角的定义） ______（______）（______） (2)【问题探究】如下图2，楠楠将图1中的潜望镜改装成一个“反向潜望镜”，并提出了以下问题：设镜子和所在的直线相交于点，若时，依然有，，则，和有怎样的数量关系？请说明理由； (3)【问题拓展】如图3，受启发的柠柠，对（2）中潜望镜上方的镜筒和镜子进行改造，使其成为可调节的结构，以便更灵活地上下观察，此时，若入射光线和反射光线的夹角为，请直接写出与的数量关系． 24．（24-25七年级下·山东潍坊·阶段练习）探究题： (1)如图a，若，则，，之间有什么关系？你能说明为什么吗？小明经过思考，想到过点E做；，请你根据小明的想法作出辅助线，并按这个思路证明，，之间的关系． (2)将点E移至图b所示位置，若，请直接写出，，之间的关系． (3)若将点E移至图c所示位置，，直接写出．，，之间的关系． (4)在图d中，，直接写出与的关系． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14. 平行线的拐点模型 本专题包含猪蹄模型（M型）与锯齿模型、铅笔头模型、牛角模型、羊角模型、蛇形模型（5字模型）等。 1．（24-25七年级下·浙江温州·期中）小盟利用几何图形画出螳螂简笔画，如图，，交于点，，，平分，若设，，则和之间的关系是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图， 过点作，，， ，， ，， ，，， ，， 平分，， ， ，，即．故选：C． 2.（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，，，则、、之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：作，，如图所示；，， ，，，， ，则；故选：C 3．（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，与交于点E，点G在直线上，，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（  ） A．①②③ B．②④ C．①②④ D．①④ 【答案】D 【详解】解：∵，∴，故①正确； 如图，过点F作，过点H作， ∵，∴， ∴，，， 设，，则，， ∴， ∵，， ∴ ， ∴，∴不一定等于，故结论②错误； ∵， ∴不一定等于90°，故结论③错误； ∵，故结论④正确． 综上所述，正确结论为①④．故选D． 4．（24-25七年级下·广东云浮·期末）如图，已知：平分，有下列结论：①；②；③；④．结论正确的有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：∵，∴， ∵平分，∴，即， ①∵，，∴，故①正确； ②∵，∴，∴，即， ∵，∴，即，故②正确； ③由①可得，∴，∴，即， 又，∴，即， 将代入，化简可得：，故③正确； ④∵，，∴， ∵，∴，∴，故④正确； 正确的个数共有4个，故选：D． 5．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，直线，与直线分别交于点，，的平分线交于点，于点H．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵∴ ∵平分∴∴ 又∵，∴， ∴，故B符合题意；A、C、D均没有条件可证明，不符合题意．故答案为： B． 6．（24-25七年级下·山西运城·期末）如图，，的平分线交于点E，过点A作于点F．若，，则下列等量关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，∴， ∵的平分线交于点E，∴， ∴， ∵，∴．∴，∴， ∵，∴，∴．故选：A． 7．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）如图，，且平分平分交于点，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵平分，平分，∴， ∵， ∴，故A结论正确，不符合题意； ∵，∴，故B结论正确，不符合题意； ∵，∴， ∵，∴，故C结论正确，不符合题意； 要使，即平分， ∵不一定平分，∴不一定相等，故D结论错误，符合题意．故选：D． 8．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）如图，已知，和分别平分和，若，，则和的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法判断 【答案】B 【详解】解：∵和分别平分和， ∴，， 如图，过点作，过点作， ， ∵，∴， ∴，，，， ∴，，∴，故选：B． 9．（24-25七年级下·山西运城·期中）2025年春节联欢晚会上，16个人形机器人身着花棉袄，手持红手帕登上舞台，与舞蹈演员默契配合，共同演绎了舞蹈《秧》．小林观看节目时受到启发，将图1中机器人的手臂抽象为图2的示意图，其中手臂，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图所示，过点E作， ∵，∴，∴， ∴，∴， ∵，，∴，故选：B． 10．（24-25八年级下·河南许昌·期中）某同学结合角平分线的知识将问题进行深入探究，如图所示，已知，点E的位置移到上方，点F在延长线上，与的平分线相交于点G，则与之间的数量关系是 ． 【答案】 【详解】解：过点作，过点作， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，即， ∵与的平分线相交于点G，∴，， ∵，，∴， ∴，， ∴， ∴．故答案为： 11．（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，，思考解决下列问题：试探究 ． 【答案】 【详解】解：当有个角时，根据两直线平行同旁内角互补， 得出， 当有个角时，过点作直线平行于，同理可得， 当有个角时，分别过点、作直线平行于，同理可得， 根据规律，可得当有个角时， ， 故答案为：． 12．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，，点位于两平行线之间且在点、的右侧，分别作和的平分线交于点，再分别作和的平分线交于点设的度数是，则的度数用表示为 ．    【答案】 【详解】解：如图，过点作，    ∵，∴，∵，，∵， ∴，∴， ∵和的平分线交于点，∴同理可得， ∴，∵，∴，同理，， ……依此类推，．∴的度数用表示为．故答案为：． 13．（24-25七年级下·山东泰安·期中）【知识储备】构造平行线是初中数学常见的一种作辅助线的方法，两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化． 【问题背景】同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们把这个图形形象地称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图，，E为，之间一点，连接，，得到．写出与，之间的数量关系，并说明理由． 【类比应用】已知直线，P为平面内一点，连接，． （2）如图，已知，，求的度数． （3）如图，根据图形直接写出，，之间的数量关系． 【答案】（1），证明见解析；（2）；（3） 【详解】解：（1）如图，过作， ∵，∴，∴，， ∴； （2）如图，过点作， ，，， ，， ， ∴； （3）如图，过点作， ，，， ，， ， . 14．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）课题学习：平行线的“等角转化”功能． (1)【阅读理解】：如图1，已知点是外一点，连接、，求的度数，阅读并补充下面推理过程． 解：过点作___________，___________， ， 解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将、、“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． (2)【方法运用】：如图2，已知，求的度数； (3)【深化拓展】：如图3，已知，，，平分，平分，，所在的直线交于点，点在直线与之间，求的度数． 【答案】(1)，(2)(3) 【详解】（1）解：过点作，∴， ，∴， 故答案为：，； （2）解：如图所示，过点作， ∴，∴，， ∴； （3）解：∵平分，平分， ∴，， 如图所示，过点作， ∴，∴， ∴． 15．（24-25七年级下·吉林·期末）综合与实践：如图，，点为平面内任意一点，连接，某数学兴趣小组对，，之间的数量关系进行了探究学习． 【探究一】当点在如图1所示位置时，通过测量，得到猜想结果：． 证明：过点作，． ，，，． ．． 【探究二】当点在如图2所示位置时，猜想，，之间的数量关系，并给出证明． 【探究三】当点在如图3所示位置时，请直接写出，，之间的数量关系，不要求给出证明． 【探究四】若，请在图4中找到一个符合条件的点，并补全图形，不要求给出证明． 【思维拓展】当点在如图5所示位置时，请直接写出，，，之间的数量关系，不要求给出证明． 【答案】探究二：，见解析；探究三：；探究四：图形见解析；思维拓展： 【详解】解：探究二：，证明如下： 过点作，． ，，，． ． 探究三: ，证明如下：过点作， ．，，， ．． 探究四: 若，如图点符合条件， 思维拓展: ，证明如下： 过点作，点作，如图，．， ∵，，． ∴，∴， ∵，∴， ∵，∴． 16．（24-25七年级下·河北·期末）【发现】如图1，平分，平分． 当时，与的位置关系是　　　； 当时，与的位置关系是　　　； 当时，请判断与的位置关系，并说明理由； 【探究】如图2，，是上一点，保持不变，移动顶点，使平分，与存在怎样的数量关系？并说明理由． 【拓展】如图3，，为线段上一定点，为直线上一动点，且点不与点重合．直接写出与的数量关系． 【答案】发现：平行；平行；平行，理由见解析； 探究：，理由见解析； 拓展：或 【详解】当时，. ∵平分，平分， ∴, ∴，∴； 当时，. ∵平分，平分， ∴, ∴，∴； 故答案为：平行；平行； 当时，. 理由如下：∵平分，平分， ∴, ∴，∴； 【探究】，理由如下： 过E向右作,∵,∴, ∴. 【拓展】,或 如图1，当点Q在射线上运动时，. 理由：过点P作,∵,∴, ∴,∴, ∴； 当点Q在射线的反向延长线上运动时（点C除外），. 理由：过点P作,∵,∴,∴. ∵180°， 即 综上可知，,或 17．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图1，已知a∥b，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，与交于点E． (1)当，，求的度数； (2)如图2，平分交于点F，平分交于点G， ①若，，求的度数； ②当，求的度数（用含α的式子表示）； (3)如图3，P为线段上一点，为线段上一点，连接，N为的角平分线上一点，且，设为，为，为，则之间的数量关系是________． 【答案】(1)(2)①；②(3)或 【详解】（1）解：过点E作（点K在点E的右侧），如图1所示： ∵，∴，∴，， ∴， ∵，∴，∴， ∵，∴； （2）解：①同上可得：， ∵，∴，∵平分，平分， ∴，， 由（1）得：，， ∴，，∴； ②∵平分，平分， 设，，∴，， 由（1）得：，∴，∴， 由（1）得：，， ∴，， ∴； （3）解： ∵N为的角平分线上一点，且，∴有以下两种情况： ①当点N在直线a，b之间时，如图3①所示： 设，∵，∴，∴， ∵N为的角平分线上一点，∴设，∴， 由（1）得：，， 又∵，∴， ∴，即：； ②当点N在直线b的下方时，过点N作直线a（点H在点N的左侧），如图3②所示： 设，∵，∴， ∵N为的角平分线上一点，∴设，则， 由（1）得：， ∵，直线a，∴，∴，， ∴，∴， 又∵，∴，即 综上所述：之间的数量关系是：或， 故答案为：或． 18．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）（1）如图1，，点在，之间，连接，．易证：． 下面是两位同学添加辅助线的方法： 小强：如图2，过点作． 小菲：如图3，延长AP交于点． 请你选择一位同学的方法进行证明． （2）如图4，，分别是射线，上一点，是线段上一点，连接并延长，交直线于点，连接，，若，求证：． （3）如图5，在（2）的条件下，，平分，平分，与相交于点，与相交于点，若，，，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）． 【详解】（1）解：小强的证明如下：过点作， ∵，∴，∴，， ∴，即； 小菲的证明如下：延长交于点，∵，∴， ∵是的一个外角，∴，即； （2）证明：∵是的一个外角，∴， ∵，∴，∴； （3）解：∵平分，，∴， 设，∴， ∴， 在（2）的条件下，知，∴， ∴，解得，∴，设， ∵平分，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，即，解得，∴． 19．（24-25七年级下·河北·期末）综合与实践 【问题情境】在数学综合与实践课上，老师让同学们以“平行线与三角板”为主题开展数学活动．已知直线，在直角三角板中，． 【操作发现】（1）如图所示，将直角三角板顶点A放在直线上，设边与相交于点H，边与相交于点D．当时，发现．请说明理由； 【深入探究】（2）如图所示，将图（1）中三角板的直角顶点B放在平行线和之间，两直角边，分别与，相交于点P和Q，得到和，试探究和的数量关系并说明理由．以下是小刚同学的解题思路：过点B作和其中一条直线的平行线，再利用平行线的有关知识就能解决问题． 请你帮助小刚同学书写完整的解题过程，或用其它方法解决； 【拓展运用】（3）受小刚同学的启发，同学们继续探究以下问题，在（2）的情况下，分别作和对顶角的角平分线，它们相交于点O，如图所示，请直接写出的度数． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）． 【详解】（1）证明：，，， ，； （2）解：，理由如下： ，，，， ，； （3）解：，理由如下：过点O作， ，，，， ，， ，分别平分，，， ，，． 20．（24-25七年级下·吉林白城·阶段练习）【猜想】如图①，，点在直线、之间，连结、．若，，则的大小为__________度． 【探究】如图②，，，交于点，探究，，之间的数量关系．并说明理由． 【拓展】如图③，若点在直线，之间，平分，平分，当时，直接写出的度数＝__________． 【延伸】如图④，若点在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，直接写出的度数=__________．（用含的式子表示） 【答案】猜想：；探究：，理由见详解；拓展：；延伸： 【详解】解：猜想：如图1，过E点作直线， ∵，∴，∴，， ∴． 探究：，理由如下：如图2，过E点作直线， ∵，∴，∴，， 又∵，∴，∴，∴． 拓展：如图3，， 由图（1）得，，∵，∴， 又∵，，∴， ∴， ∵平分，平分，∴，， ∴，∴． 延伸：如图4，过E点作直线， ∵，∴，∴，， 设，则，又∵，∴， ∵平分，∴， ∵平分，∴， ∴，由图（2）得， ∴，∴． 21．（24-25七年级下·山东青岛·阶段练习）已知直线，E为平面内一点，点P，Q分别在直线，上，连接，． (1)如图1，若点E在直线，之间，试探究之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若点E在直线，之间，平分，平分，当时，求的度数． (3)如图3，若点E在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点F，当时，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析(2)(3) 【详解】（1）解：，理由如下：如图1，过点作，∴， ∵，，∴，∴， ∵，∴． （2）解：如图2，过点作， 由（1）可知，，∵，∴， ∵，∴， ∴，∵平分，平分， ∴，，∴， ∵，∴，∵，，∴，∴， ∴． （3）解：如图3，过点作，∴， ∵，，∴，∴， ∵，∴， ∵平分，平分，∴，， ∵， ∴，， ∴， 由对顶角相等得：， 由（2）可知， ，所以的度数为． 22．（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）在课堂上我们学习了平行线的性质，平行线具有“等角转化”的功能，“三线八角”图是研究平行线性质的“基本图形”． (1)阅读理解：如图，，点E，F分别为直线，上的一点，点P为平行线间一点，猜想，与之间的关系，并说明理由． (2)方法运用：如图，，猜想，与之间的关系，并说明理由． (3)深化拓展：如图，，与的角平分线相交于点Q． ①若，，，直接写出的度数 ②若，，，求的度数（用含m，n的代数式表示）． 【答案】(1)；理由见解析(2)；理由见解析 (3)①；② 【详解】（1）解：．理由如下：过点P作，如图所示： ，（两直线平行，内错角相等）． ，，（平行于同一直线的两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）． ，即． （2）解：猜想，理由如下：同理可得， ∵， ∴，∴； （3）解：同理可得， ∵，∴， ∵与的角平分线相交于点Q，∴， ∵，，∴，， ∴； ②∵，，∴， ∵与的角平分线相交于点Q，∴， ∵，，∴，， ∴，，∴． 23．（24-25七年级下·广西南宁·期末）综合与实践 【实践操作】如下图1，楠楠做了一个潜望镜，潜望镜中的两面镜子，是互相平行放置的，光线经过镜子反射后，得到光线；光线经过镜子反射后，得到光线进入人的眼中，根据光的反射原理，有，． (1)【问题提出】进入潜望镜的光线与离开潜望镜的光线互相平行吗？请将下列证明过程填写完整：证明：，理由如下： （______） ，（等量代换） ，（平角的定义） ______（______）（______） (2)【问题探究】如下图2，楠楠将图1中的潜望镜改装成一个“反向潜望镜”，并提出了以下问题：设镜子和所在的直线相交于点，若时，依然有，，则，和有怎样的数量关系？请说明理由； (3)【问题拓展】如图3，受启发的柠柠，对（2）中潜望镜上方的镜筒和镜子进行改造，使其成为可调节的结构，以便更灵活地上下观察，此时，若入射光线和反射光线的夹角为，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；；等量代换（或等式的基本事实）；内错角相等，两直线平行 (2)，理由见解析(3) 【详解】（1）证明：，理由如下： （两直线平行，内错角相等） ，（等量代换） ，（平角的定义） （等量代换）（内错角相等，两直线平行）； （2），理由如下：作， ∵，∴，∴， ∴； （3）设，，在中，， ∴， ∵，∴， ∴，∴． 24．（24-25七年级下·山东潍坊·阶段练习）探究题： (1)如图a，若，则，，之间有什么关系？你能说明为什么吗？小明经过思考，想到过点E做；，请你根据小明的想法作出辅助线，并按这个思路证明，，之间的关系． (2)将点E移至图b所示位置，若，请直接写出，，之间的关系． (3)若将点E移至图c所示位置，，直接写出．，，之间的关系． (4)在图d中，，直接写出与的关系． 【答案】(1)，证明见解析(2) (3)(4) 【详解】（1） 理由：过点E作，∴． ∵∴．∴．∴． （2），若将点E移至图2所示位置，过E作， ∴，∵∴， ∴，∴． （3）如图，∵，∴，∵，∴； （4）如图，作， ∵，∴ ∴ ∵∴． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $