专题01 几何图形中的动点与动角探究问题（举一反三专项训练）数学苏科版2024七年级上册

专题01 几何图形中的动点与动角探究问题（举一反三专项训练） 【苏科版2024】 【题型1 线段上的动点求时间问题】 1 【题型2 线段上的动点定值问题】 11 【题型3 几何图形中动角定值问题】 18 【题型4 几何图形中动角数量关系问题】 29 【题型5 几何图形中动角求运动时间问题】 37 【题型6 几何图形中动角求角度问题】 47 【题型7 线段与角中动态新定义问题】 57 【题型8 线段与角中动态多解问题】 66 【题型1 线段上的动点求时间问题】 【例1】（24-25七年级上·吉林·期末）如图，线段，动点从出发，以每秒2个单位的速度沿射线运动，运动时间为秒，M为的中点． (1)用含的代数式表示的长度为_____． (2)在点运动的过程中，当为多少时，？ (3)在点运动的过程中，点为的中点，证明线段的长度不变，并求出其值． (4)当点在延长线上运动时，当、、三点中的一个点是以另两个点为端点的线段中点时，直接写出值． 【变式1-1】已知线段，点、点都是线段上的点． (1)如图1，若点为的中点，点为的中点，则线段长为 ； (2)若，点是线段的中点，点是线段的中点，请自己作图并求的长； (3)如图2，若，，点，分别从、出发向点运动，运动速度分别为每秒移动个单位和每秒移动个单位，设运动时间为秒，点为的中点，点为的中点，若，求的值． 【变式1-2】如图1，已知直线l上线段，线段（点A在点B的左侧，点C在点D的右侧），． (1)求图1中所有线段的条数为______条： (2)若线段从点B开始以2个单位/秒的速度向右运动，同时线段从点D开始以1个单位/秒的速度向左运动，当时间t在什么范围内，线段所有的点都在线段上？（含端点） (3)若线段从点B开始以2个单位/秒的速度一直向右运动，同时，线段从点C开始以1个单位/秒的速度向右运动，当端点B与D初次相遇时，线段立即以原来速度的2倍向左运动，当端点C与端点A初次相遇时，线段的速度变为初始速度的方向继续向左，问在整个运动过程中，时间t为何值时． 【变式1-3】点是线段上一点，若（n为大于1的正整数），则我们称点是的最强点．例如，，，则，称E是的最强点；，则是的最强点． (1)点在线段上，若，，点是的最强点，则 ． (2)若，是的最强点，则 ．（用n的代数式表示） (3)一直线上有两点A，B，，点从B点出发，以每秒的速度向A运动，运动到点A时停止．点D从点A出发，以每秒的速度沿射线运动，t为多少时，点B，，D恰好有一个点是其余2个点的最强点．（用n的代数式表示） 【题型2 线段上的动点定值问题】 【例2】（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，点A，B，C，D是同一直线上从左到右依次排列的四点，，，且a，b满足：，． (1) ， ； (2)线段以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动． ①求运动多少秒时，线段重合的长度为2； ②当点B和C重合时，线段立即以原来2.5倍的速度向右运动，线段的运动状态不变，若线段向右运动过程中，式子的值为定值n，请求m和n的值． 【变式2-1】如图，在数轴上的A点表示数，B点表示数，满足    (1)点A表示的数为____________，点B表示的数为______________. (2)若在原点处放一挡板，一小球甲从点A 处以2个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以3个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒）． ①当时，乙小球到原点的距离=__________________； 当时，乙小球到原点的距离=__________________． ②试探究：甲、乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由；若能，请计算说明． (3)现将小球乙看成动点P，当点P运动到线段上时，分别取和的中点，试判断的值是否为定值，若不是，请说明理由；若是，请求出该定值． 【变式2-2】（25-26七年级上·湖南衡阳·阶段练习）【知识准备】 ①若点C在线段上，且把线段分成相等的两段，则称点C为线段的中点，也叫二等分点，若点P，点Q在线段上，且把线段分成相等的三段，则称点P和点Q为线段的三等分点； ②若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为的中点，则我们有中点公式：点M对应的数为． （1）在一条数轴上，0为原点，点C对应的数为5，点D与点C的距离为7个单位长度，且位于点C左侧，则的中点N所对应的数为_______________； 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．设运动时间为t秒，t为何值时，的中点所对应的数为10？ 【拓展延伸】 （3）若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为靠近点A的三等分点，则我们有三等分点公式：点M对应的数为：若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点A的四等分点，则我们有四等分点公式：点M对应的数为：． ①填空：若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点B的五等分点．则点M对应的数为_______________________． ②在（2）的条件下，若E是最靠近Q的五等分点，F为的中点，则是否存在t，使得为定值？若存在，请求出t的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由． 【变式2-3】（25-26七年级上·陕西宝鸡·阶段练习）【知识准备】 若数轴上点对应的数为，点B对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． （1）在一条数轴上，为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则的中点所对应的数为_______． 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，设运动时间为，为何值时，的中点所对应的数为？ 【拓展延伸】 （3） 若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式；点对应的数为；若数轴上点的对应数为；点的对应数为，为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式；点对应的数为． ①填空：若数轴上点的对应数为；点 的对应数为，为最靠近点的五等分点．则点对应的数为________． ②在（2）的条件下，若是最靠近的五等分点，为的中点，则是否存在，使得为定值？若存在，请求出t的取值范围和此时的值，若不存在，说明理由． 【题型3 几何图形中动角定值问题】 【例3】（24-25七年级上·海南三亚·期末）如图1，三亚市某学校大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的图形之美，洋洋和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做的更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为方便研究，定义两手手心位置分别为、两点，两脚脚跟位置分别为、两点，定义、、、平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转． (1)如图2，、、三点共线，点、重合，，则______； (2)如图3，、、三点共线，且，平分，求，的大小； (3)第三节腿部运动中，如图4，洋洋发现，虽然、、三点共线，却不在水平方向上，且，他经过计算发现，的值为定值，请写出这个定值为______； (4)第四节体侧运动中，如图5，乐乐发现，两腿左右等距张开，使竖直方向的射线平分，且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为每秒，旋转速度为每秒，当旋转到与重合时运动停止（是竖直方向的一条射线） ①运动停止时， ； ②请帮助乐乐写出运动过程中与的数量关系 【变式3-1】（24-25七年级上·四川成都·期末）已知． (1)如图1，若射线，分别为，的角平分线，则 ． (2)如图2，射线从出发绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，射线从出发绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，设运动时间为，且平分． ①当时，若分为两个部分，求满足时，的值． ②如图3，若平分，当且时，试判断是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【变式3-2】（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）小七同学最近在研究平面中的角，他发现各角通过运动会产生很多新的结论，于是他用几何画板制作了一道关于角的动态问题，如图1，平面上顺时针排列射线，在外部且为钝角，，射线分别平分（题目中所出现的角均小于且大于）．请用学过的知识帮他求解以下问题． (1)若， ， ； (2)的值是否随着的变化而变化？若不变，求出该定值；若要变，请说明理由； (3)在（1）的条件下，将绕点O以每秒的速度顺时针旋转得到（的对应边分别是），若旋转时间为t秒（），当时，求出t的值． 【变式3-3】如图，把一副三角尺拼在一起，其中三角形是等腰直角三角形，，并且B，C，E三点在同一直线上．    (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若射线，分别从，位置开始，同时绕点以每秒的速度顺时针匀速旋转，平分，平分，设旋转的时间为秒． ①当时，的度数是否等于一个定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由； ②当为何值时，？ 【题型4 几何图形中动角数量关系问题】 【例4】将一副直角三角板按如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转t秒． (1)如图2，当 秒时，平分，此时 ； (2)继续旋转三角板，如图3，使得、同时在直线的右侧，猜想与有怎样的数量关系？并说明理由（数量关系中不能含t）； (3)直线的位置不变，若在三角板开始顺时针旋转的同时，另一个三角板也绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至射线上时，两个三角板同时停止运动． ①当 秒时，； ②请直接写出在旋转过程中，与的数量关系（数量关系中不能含t）． 【变式4-1】（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）已知O是直线上的一点，是直角，平分． 【猜想】 如图1，当的两边在直线同侧时，小明通过实验测量得到与的相关数量，如下表：求与的数量关系． 【探究】 小明将图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置．探究和的数量关系是否符合【猜想】中的结论，并说明理由． 【拓展】 将图1中的边与重合的位置开始，绕顶点顺时针旋转，旋转的速度为每秒9度，旋转时间秒，为的角平分线，当时，求的值． 【变式4-2】（24-25七年级上·湖南常德·期末）如图，已知． (1)，是以为顶点的两条射线，，分别平分，． ①如图1，当，时，的度数为_______； ②如图2，当时，请写出、与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图3，当时，以4.5度/秒的速度整体绕点顺时针旋转，同时，也以2度/秒的速度整体绕点顺时针旋转，当刚好旋转一周时，两个角都停止旋转，求旋转过程中与有重叠部分的总时长． 【变式4-3】如图，直线与直线相交于点O，． 已知，绕点O在平面内旋转，旋转前，边与射线重合，边与射线重合． 将绕点O按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周． (1)如图1，从旋转开始至边与射线重合时，共需多少秒？ (2)旋转至如图2所示位置时，试说明与有何数量关系，并说明理由； (3)如图3，已知，绕点O在平面内旋转，旋转前，边与射线重合，边与射线重合． 若在旋转过程中，绕点O以每秒的速度绕点O沿逆时针方向旋转，当停止旋转时，也停止旋转，旋转过程中，当边所在直线恰好平分锐角时，求出旋转时间． 【题型5 几何图形中动角求运动时间问题】 【例5】如图1，点是直线上一点，将一个直角三角形板如图1放置，使其中一条直角边在直线上，射线在内部． (1)如图2，将三角板绕点逆时针旋转，当时，请判断是否平分，并说明理由； (2)若，将三角板绕点逆时针旋转，每秒旋转． ①多少秒时？ ②如图3，当在内部，另一边在直线的另一侧，请探索与的数量关系，并说明理由． 【变式5-1】已知：如图，点、、依次在直线上，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转，如图，设旋转时间为秒． (1)用含t的代数式表示，其结果是：______度． (2)在运动过程中，当时，求的值． (3)在旋转过程中是否存在这样的，使得射线是由射线、射线所组成的角指大于而不超过的角的平分线？如果存在，请计算出的值；如果不存在，请说明理由． 【变式5-2】定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果原角是这两条射线所成的角的倍，那么原角叫做这两条射线所成的角的倍角．如图1，若，则是的两倍角． (1)如图1：已知，，是的两倍角，则___________； (2)如图2：已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的三倍角． (3)已知，把一块含有角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点以2度/秒的速度按顺时针方向旋转（如图4）．问：在旋转一周的过程中，射线，，，能否构成三倍角？若能，请求出旋转的时间：若不能，请说明理由． 【变式5-3】（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）已知，为内部的一条射线． (1)如图（1），若，为内部的一条射线，，平分，求的度数． (2)如图（2），若、是内部的两条射线，、分别平分，，且，求的值． (3)如图（3），为射线的反向延长线上一点，将射线绕点O顺时针以的速度旋转，旋转后对应射线为，旋转时间为t秒（），平分，为的三等分线，，若，求t的值． 【题型6 几何图形中动角求角度问题】 【例6】（24-25七年级上·天津·期末）已知，，按如图1所示摆放，将、边重合在直线上，边在直线的两侧： (1)如图1，作射线平分，射线平分，补全图形，并求出的度数． (2)保持不动，将绕点旋转至如图2所示的位置，则 ①___________°（度）（直接写答案） ②___________°（度）（直接写答案） (3)若按每分钟的速度绕点逆时针方向旋转，按每分钟的速度也绕点逆时针方向旋转，旋转到射线上时都停止运动，设旋转分钟，计算．请画出图形并直接写出对应的结果（用含的代数式表示）． 【变式6-1】已知，是过点的一条射线，分别平分． (1)如图①，如果射线在的内部，，则 ； (2)如图②，如果射线在的内部绕点旋转，，则 ； (3)如果射线在的外部绕点旋转，，请借助图③探究的度数． 【变式6-2】点O是直线上的一点，射线从出发绕点O顺时针方向旋转，旋转到停止，设，射线，作射线平分． (1)如图1，若，且在直线的上方，求的度数． (2)射线顺时针旋转一定的角度得到图2，当射线在直线的下方时，其他条件不变，请你用含的代数式表示的度数． (3)射线从出发绕点O顺时针方向旋转到，在旋转过程中你发现与（）之间有怎样的数量关系？请你直接用含的代数式表示的度数． 【变式6-3】（24-25七年级上·重庆·阶段练习）如图1，点为直线上一点，过点作射线、、．始终在的右侧，，．       (1)如图1，当．平分时，求的度数： (2)如图2、当与边重合，在的下方时，，将绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转、使射线与的角平分线形成夹角为，求此时旋转一共用了多少秒： (3)当在直线上方时，若，点在射线上，射线绕点顺时针旋转度，恰好使得，平分，，请直接写出此时的值． 【题型7 线段与角中动态多解问题】 【例7】一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（、），将三角板绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且，有下列四个结论：      ①在图1的情况下，在内作，则平分； ②在旋转过程中，若平分，平分，的角度恒为定值； ③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成的次数为3次； ④的角度恒为． 其中正确的结论个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式7-1】如图，已知 A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为8，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为 ，的中点，设运动时间为t（）秒，则下列结论中正确的有（    ） ①点B对应的数是4；②点P到达点B时，；③时，；④在点P的运动过程中，线段的长度不变 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式7-2】（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图所示，已知，，，且．①图中小于平角的角共有6个；②图中所有小于平角的角之和为；③当绕点旋转一周，平分，平分，则始终等于；④若，，当绕点旋转一周，平分，平分，则始终等于．其中正确的结论 （填序号） 【变式7-3】如图，C为射线上一点，，比的多5，P、Q两点分别从A、B两点同时出发，分别以3单位/秒和2单位/秒的速度在射线上沿方向运动，运动时间为t秒，M为线段上一点，且，N为的中点，以下结论： ①；②；③当时，， 其中正确的是 ． 【题型8 线段与角中动态新定义问题】 【例8】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若，则是的内半角． (1)如图①所示，已知，，是的内半角，则________． (2)如图②，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的内半角？ (3)已知，把一块含有角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线始终在的外部，射线能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由． 【变式8-1】（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）点C是直线上一动点，当时，我们称点C是点A与点B的衍生点，记作， 【定义理解】 问题（1）若点C在线段上时，A表示，B表示6时，则表示的数是 ． 【深入研究】 当点C是点A与点B的衍生点时，分别取线段，的中点M，N，发现线段之间存在着一种特殊的数量关系，小明同学觉得若想探寻此问题，需要分两种情况讨论：①点C在线段上时；②点C在线段的延长线上时． 问题（2）请任意选择①，②中的一种情况，画出图形，猜想线段之间满足的数量关系，并说明理由； 【拓展提升】 问题（3）若点C在线段上，线段，动点P、Q分别从A、B两端同时出发，点P以的速度沿向右运动，终点为B，点Q以的速度沿向左运动，到达A点后立即返回，终点是B．当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，请求出运动多少秒时，点C是点P与点Q的衍生点． 【变式8-2】如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的奇妙线． （1）如图1，在的内部，有_________条奇妙线； （2）如图2，若，射线绕点从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为． ①直接写出当为何值时，射线是的奇妙线？ ②若射线同时绕点以每秒的速度逆时针旋转，并与同时停止旋转．请求出当射线是的奇妙线时的值． 【变式8-3】数形结合是数学中常用的思想方法，而数轴是数形结合法解决问题的有效工具．数轴上两点、表示的数分别为，若，则、两点之间的距离，例：在数轴上点表示的数是5，点表示的数是15，则、两点间的距离为． 【定义】在数轴上，如果线段间从左往右的点，…，将线段等分，则这个点都叫做线段的等分点．若是靠近的第1个等分点，则记为，是靠近的第2个等分点，则记为，…是靠近的第个等分点，则记为． 【探究一】 如图1，在数轴上两点、表示的数分别为，若，则线段的二等分点表示的数为． 【探究二】 如图2，在数轴上两点、表示的数分别为，若，则线段上靠近点的第2个五等分点表示的数为 ． 【应用一】 如图3，（1）在数轴上两点、表示的数分别为、，则线段的距离为 ； （2）数轴上两点、表示的数分别为、4，则线段的距离为 ； （3）若线段上靠近的四等分点与线段上靠近的十等分点重合，请求出的值． 【应用二】 如图4，在数轴上两点、表示的数分别为和，若点从点以每秒3个单位的速度向右移动，同时点从点以每秒2个单位的速度向左移动，当两点出发时间为秒时，线段上靠近的等分点 与线段的三等分点重合，请直接写出此时的为 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 几何图形中的动点与动角探究问题（举一反三专项训练） 【苏科版2024】 【题型1 线段上的动点求时间问题】 1 【题型2 线段上的动点定值问题】 11 【题型3 几何图形中动角定值问题】 18 【题型4 几何图形中动角数量关系问题】 29 【题型5 几何图形中动角求运动时间问题】 37 【题型6 几何图形中动角求角度问题】 47 【题型7 线段与角中动态新定义问题】 57 【题型8 线段与角中动态多解问题】 66 【题型1 线段上的动点求时间问题】 【例1】（24-25七年级上·吉林·期末）如图，线段，动点从出发，以每秒2个单位的速度沿射线运动，运动时间为秒，M为的中点． (1)用含的代数式表示的长度为_____． (2)在点运动的过程中，当为多少时，？ (3)在点运动的过程中，点为的中点，证明线段的长度不变，并求出其值． (4)当点在延长线上运动时，当、、三点中的一个点是以另两个点为端点的线段中点时，直接写出值． 【答案】(1) (2)或 (3)的长度不变，其值为 (4)或 【分析】（1）分两种情况讨论，当点在线段上和点在的延长线上时，即可求解； （2）根据建立关于t的方程，解方程即可； （3）分两种情况讨论，当点在线段上和点在的延长线上时，根据线段中点的定义得出，．再根据即可求解； （4）根据（3）可得出点在的右侧，不能为中点，分两种情况讨论，①当是的中点时，②当是的中点，根据线段,结合图形列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：当运动到点时， 当点在线段上，即时， ； 当点在的延长线上时，即时， ， ∴的长度为， 故答案为：． （2）解：∵是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴或， 解得或； ∴当或秒时， ； （3）解：的长度不变，其值为，证明如下： 当时，如图所示， 是线段的中点，            ， 是线段的中点， ， ， 的长度是一个常数， 的长度不变，其值为； 当时，如图所示， 是线段的中点，            ， 是线段的中点， ， ， 的长度不变，其值为； （4）解：点在延长线上运动时，， 由（3）可得， ∴， ∴点在的右侧，不能为中点， 分两种情况讨论， ①当是的中点时，如图所示， ∴ ∴ ∵ ∴； ②当是的中点，如图所示， ∴， ∴， ∵是线段的中点，    ∴， 解得：， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了线段的中点的性质，线段和差的计算，列代数式，一元一次方程的应用；数形结合，分类讨论是解题的关键． 【变式1-1】已知线段，点、点都是线段上的点． (1)如图1，若点为的中点，点为的中点，则线段长为 ； (2)若，点是线段的中点，点是线段的中点，请自己作图并求的长； (3)如图2，若，，点，分别从、出发向点运动，运动速度分别为每秒移动个单位和每秒移动个单位，设运动时间为秒，点为的中点，点为的中点，若，求的值． 【答案】(1) (2)见解析，或 (3)或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用及两点间的距离，分类讨论和正确列出方程是解题的关键． （1）利用中点的推出即可求出答案； （2）分两种情况讨论，点B在点C的左侧或点B在点C的右侧，结合图形，列式可求出答案即可； （3）运动秒后，，从而可推，，由可得方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：∵为的中点，为的中点， ∴，， ∵， ∴； 故答案为： ； （2）如图，点在点的左侧， ∵点是线段的中点，点是线段的中点， ∴，， ∴ 如图，点在点的右侧， ∵点是线段的中点，点是线段的中点， ∴，， ∴， 综上，的长为或； （3）运动秒后，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵，为的中点， ∴， 又∵， ∴，或， 由得：或， 解得：或． 【变式1-2】如图1，已知直线l上线段，线段（点A在点B的左侧，点C在点D的右侧），． (1)求图1中所有线段的条数为______条： (2)若线段从点B开始以2个单位/秒的速度向右运动，同时线段从点D开始以1个单位/秒的速度向左运动，当时间t在什么范围内，线段所有的点都在线段上？（含端点） (3)若线段从点B开始以2个单位/秒的速度一直向右运动，同时，线段从点C开始以1个单位/秒的速度向右运动，当端点B与D初次相遇时，线段立即以原来速度的2倍向左运动，当端点C与端点A初次相遇时，线段的速度变为初始速度的方向继续向左，问在整个运动过程中，时间t为何值时． 【答案】(1)6 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，一元一次方程的应用，线段的条数问题： （1）根据两点确定一条线段进行求解即可； （2）当点B恰好与点C重合时，线段所有的点开始都在线段上，当点A恰好与点D重合时，线段所有的点最后都在线段上，据此求解即可； （3）以A为原点，向右为正方向，建立数轴，则点A、B、C、D分别表示的数为0，6，23，21，设运动时间为t，当端点B与D初次相遇时，则，解得，当点C与点A初次相遇时，，解得，再分当相遇前， 当相遇后，两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，图中的线段有线段共6条线段， 故答案为：6； （2）解：当点B恰好与点C重合时，则，解得； 当点A恰好与点D重合时，则，解得， ∴当时，线段所有的点都在线段上； （3）解：以A为原点，向右为正方向，建立数轴，则点A、B、C、D分别表示的数为0，6，23，21， 设运动时间为t，当端点B与D初次相遇时，则，解得， ∴当端点B与D初次相遇时，点A、B、C、D分别表示的数为30，36，38，36，此后线段以2个单位长度每秒的速度向左运动， 当点C与点A初次相遇时，，解得， ∴当点C与点A初次相遇时，点A、B、C、D分别表示的数为34，40，34，32，此后线段以个单位长度每秒的速度向左运动， 当相遇前，时，则， 解得； 当相遇后，时，则， 解得； 综上所述，或． 【变式1-3】点是线段上一点，若（n为大于1的正整数），则我们称点是的最强点．例如，，，则，称E是的最强点；，则是的最强点． (1)点在线段上，若，，点是的最强点，则 ． (2)若，是的最强点，则 ．（用n的代数式表示） (3)一直线上有两点A，B，，点从B点出发，以每秒的速度向A运动，运动到点A时停止．点D从点A出发，以每秒的速度沿射线运动，t为多少时，点B，，D恰好有一个点是其余2个点的最强点．（用n的代数式表示） 【答案】(1) (2) (3)当t为或或或或或时，点B，，D恰好有一个点是其余2个点的最强点 【分析】（1）根据“最强点”的定义计算即可； （2）根据“最强点”的定义列式即可； （3）将点、的运动分成未相遇，相遇后，点经过点后，和点到达点后四种阶段讨论，并且每个阶段又有可能有2种不同的点的情况． 【详解】（1）∵点是的最强点， ， ，， ， 故答案为：； （2）∵是的最强点， ， ， 又，， ， ， 故答案为：； （3）解：根据题意，当时、相遇， ， 解得， 阶段一：点、未相遇时，即时， ①设时点为的最强点， ∴， ∵， ∴， 解得， 又∵，即， ∴， ∵为大于1的正整数， ∴满足题意； ②设时，点为的最强点， ∴， ∵， ∴， 解得， 又∵，即， ∴， ∵为大于1的正整数， ∴符合题意； 阶段二：点、相遇后，且点未到达点，即时， ③设时，点为的最强点， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，即， ∴， ∵为大于1的正整数， ∴符合题意； ④设时，点为的最强点， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，即， ∴， ∵为大于1的正整数， ∴符合题意； 阶段三：点经过点后，且点未到达点，即时， ⑤设时，点为的最强点， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，即， ∴， ∴符合题意； ⑥设时，点为的最强点， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，即， ∴， ∴不符合题意，舍去； 阶段四：点到达点后，即时， ∵， ∴点不可能为的最强点； ⑦设时，点为的最强点， ∴，， ∴， ∴， 又∵，即， ∴， ∴符合题意； 综上所述，当为或或或或或时，点B，，D恰好有一个点是其余2个点的最强点． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，列一元一次方程解应用题，线段上的动点等问题，运用分类讨论的思想，正确地列出代数式表示出线段的长是解题的关键． 【题型2 线段上的动点定值问题】 【例2】（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，点A，B，C，D是同一直线上从左到右依次排列的四点，，，且a，b满足：，． (1) ， ； (2)线段以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动． ①求运动多少秒时，线段重合的长度为2； ②当点B和C重合时，线段立即以原来2.5倍的速度向右运动，线段的运动状态不变，若线段向右运动过程中，式子的值为定值n，请求m和n的值． 【答案】(1)6；3 (2)①秒或秒；② 【分析】本题主要考查了非负数的性质，两点间的距离，一元一次方程的应用，熟练运用数轴上两点之间的距离，分类讨论，是解题关键． （1）根据非负数的性质即可求得答案； （2）①设运动时间为t秒，当时，根据，得，解得；当时，得，解得；②设相遇后运动时间为x秒，则，根据为定值n，得，得，． 【详解】（1）解：∵，且，， ∴，， ∴； 故答案为6，3； （2）解：①设运动时间为t秒， 当时， ∵点经过的路程为，点经过的路程为t，， ∴， 解得； 当时， ∵， ∴， 解得； 故运动秒或秒时，线段重合的长度为2； ②设相遇后运动时间为x秒， ∵运动路程为，运动路程为， 则， ∴，， ∴， ∵的值为定值n， ∴， ∴， ∴． 故． 【变式2-1】如图，在数轴上的A点表示数，B点表示数，满足    (1)点A表示的数为____________，点B表示的数为______________. (2)若在原点处放一挡板，一小球甲从点A 处以2个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以3个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒）． ①当时，乙小球到原点的距离=__________________； 当时，乙小球到原点的距离=__________________． ②试探究：甲、乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由；若能，请计算说明． (3)现将小球乙看成动点P，当点P运动到线段上时，分别取和的中点，试判断的值是否为定值，若不是，请说明理由；若是，请求出该定值． 【答案】(1)，5 (2)①2，4；②能，当或时，甲、乙两小球到原点的距离相等 (3)的值是定值，这个定值为2 【分析】（1）根据偶次方和绝对值的非负性求出的值，由此即可得； （2）①当时，乙小球运动的距离为3，再利用的长减去3即可得；当时，乙小球运动的距离为9，再利用9减去的长即可得； ②先求出乙小球从点运动到原点所需时间为秒，再分两种情况：和，分别建立方程，解方程即可得； （3）先求出，点表示的有理数为，再分两种情况：①和②，分别求出，代入计算即可得． 【详解】（1）解：， ，， 解得， 则点表示的数为，点表示的数为5， 故答案为：，5． （2）解：①点表示的数为5， ， 当时，乙小球运动的距离为， 则乙小球到原点的距离为， 当时，乙小球运动的距离为， 则乙小球到原点的距离为， 故答案为：2，4； ②假设甲、乙两小球到原点的距离能相等， 乙小球从点运动到原点所需时间为（秒）， 当时，则， 解得，符合题设； 当时，， 解得，符合题设； 综上，当或时，甲、乙两小球到原点的距离相等． （3）解：由（1）可知，，点从点运动到点，再从点运动到点所需时间为（秒）， 点是的中点，点表示的数为5， 点表示的有理数为， ①如图，当时，则运动秒后，点表示的有理数为，    ， 点是的中点，点表示的数为， 点表示的有理数为， ， ； ②如图，当时，则运动秒后，点表示的有理数为，    ， 点是的中点，点表示的数为， 点表示的有理数为， ， ， 综上，的值是定值，这个定值为2． 【点睛】本题考查了偶次方和绝对值的非负性、一元一次方程的应用、数轴、整式加减的应用、线段中点等知识点，熟练掌握数轴的性质是解题关键． 【变式2-2】（25-26七年级上·湖南衡阳·阶段练习）【知识准备】 ①若点C在线段上，且把线段分成相等的两段，则称点C为线段的中点，也叫二等分点，若点P，点Q在线段上，且把线段分成相等的三段，则称点P和点Q为线段的三等分点； ②若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为的中点，则我们有中点公式：点M对应的数为． （1）在一条数轴上，0为原点，点C对应的数为5，点D与点C的距离为7个单位长度，且位于点C左侧，则的中点N所对应的数为_______________； 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．设运动时间为t秒，t为何值时，的中点所对应的数为10？ 【拓展延伸】 （3）若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为靠近点A的三等分点，则我们有三等分点公式：点M对应的数为：若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点A的四等分点，则我们有四等分点公式：点M对应的数为：． ①填空：若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点B的五等分点．则点M对应的数为_______________________． ②在（2）的条件下，若E是最靠近Q的五等分点，F为的中点，则是否存在t，使得为定值？若存在，请求出t的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）17；（3）①；②当时，为定值，是 【分析】此题主要考查了有理数与数轴，绝对值的意义，理解题意，读懂题目中新定义的分点公式，熟练掌握绝对值的意义，运用分类讨论思想进行分类讨论是解决问题的关键． （1）求出点D对应的数，即可求解； （2）根据题意可得点P所表示的数为，点Q表示的数为，再由的中点所对应的数为10，列出方程，即可求解； （3）①依题意可得出M对应的数；②根据题意可得点E表示的数为，点F所表示的数为，从而得到，进而得到，然后根据绝对值的意义进行分类讨论即可得出答案． 【详解】解：（1）∵点C对应的数为5，点D与点C的距离为7个单位长度，且位于点C左侧， ∴点D对应的数为， ∴的中点N所对应的数为； 故答案为： （2）由题意得，点P所表示的数为，点Q表示的数为， ∵的中点所对应的数为10， ∴， 解得：， 当时，的中点所对应的数为10； （3）①根据题意∶点M对应的数为， 故答案为∶； ②由题意得，点E表示的数为，点F所表示的数为， ∴， ∴， 当时，； 当时，； 当时，； ∴当时，为定值，是． 【变式2-3】（25-26七年级上·陕西宝鸡·阶段练习）【知识准备】 若数轴上点对应的数为，点B对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． （1）在一条数轴上，为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则的中点所对应的数为_______． 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，设运动时间为，为何值时，的中点所对应的数为？ 【拓展延伸】 （3） 若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式；点对应的数为；若数轴上点的对应数为；点的对应数为，为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式；点对应的数为． ①填空：若数轴上点的对应数为；点 的对应数为，为最靠近点的五等分点．则点对应的数为________． ②在（2）的条件下，若是最靠近的五等分点，为的中点，则是否存在，使得为定值？若存在，请求出t的取值范围和此时的值，若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）①②存在，当时， 为定值，是． 【分析】此题主要考查了有理数与数轴，绝对值的意义，理解题意，读懂题目中新定义的分点公式，熟练掌握绝对值的意义，运用分类讨论思想进行分类讨论是解决问题的关键． （1）先由非负数的性质求出，进而可得CD的中点所对应的数； （2）求出点P表示的数为，点Q表示的数为，然后根据的中点所对应的数为，得即可； （3）①依题意可得出M对应的数； ②由（2）可知∶点P所表示的数为，点Q表示的数为，再求出点E所表示的数为，进而求出， ，从而得，然后根据绝对值的意义进行分类讨论即可得出答案． 【详解】解：（1）， ，． ，． 的中点所对应的数为． （2）由题意得，点所表示的数为，点Q表示的数为， 根据题意得， 解得．， 当时，的中点所对应的数为． （3）①根据题意∶点M对应的数为 故答案为∶ ． ②由题意得，点E表示的数为，点F所表示的数为． ，． 当时， ； 当时， ； 当时， ． 当时， 为定值，是． 【题型3 几何图形中动角定值问题】 【例3】（24-25七年级上·海南三亚·期末）如图1，三亚市某学校大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的图形之美，洋洋和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做的更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为方便研究，定义两手手心位置分别为、两点，两脚脚跟位置分别为、两点，定义、、、平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转． (1)如图2，、、三点共线，点、重合，，则______； (2)如图3，、、三点共线，且，平分，求，的大小； (3)第三节腿部运动中，如图4，洋洋发现，虽然、、三点共线，却不在水平方向上，且，他经过计算发现，的值为定值，请写出这个定值为______； (4)第四节体侧运动中，如图5，乐乐发现，两腿左右等距张开，使竖直方向的射线平分，且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为每秒，旋转速度为每秒，当旋转到与重合时运动停止（是竖直方向的一条射线） ①运动停止时， ； ②请帮助乐乐写出运动过程中与的数量关系 【答案】(1) (2), (3) (4)；当时，；当时， 【分析】本题考查了角的和差运算，一元一次方程的应用； （1）由，，三点共线，可得出，再由，即可求出； （2）由，设，根据、O、三点共线，则，得出，再根据，即可求解； （3）由，设，则，分别求出，，再代入即可求解； （4）①算出运动停止时间，求出运动的角度，进而求出度数； ②由的运动过程可知，需要分类讨论，在点，，三点共线前和点，，三点共线后，分别求解即可； 【详解】（1）∵，，三点共线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， 设， ∵平分， ∴， ∵、O、三点共线，则， ∴， 解得：， ∴, （3）这个定值是，理由， ∵， 设，则， ∴，， ∴， ∴的值为定值，这个定值是； （4）∵， ∴，， 设运动时间为，则，则， ①运动停止时，即时，旋转的角度为， ∴， 故答案为：； ②当点，，三点共线时，； ∴当时，，， ∴； 当时，，， ∴， 综上，当时，；当时，． 【变式3-1】（24-25七年级上·四川成都·期末）已知． (1)如图1，若射线，分别为，的角平分线，则 ． (2)如图2，射线从出发绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，射线从出发绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，设运动时间为，且平分． ①当时，若分为两个部分，求满足时，的值． ②如图3，若平分，当且时，试判断是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①或；②，为定值 【分析】本题考查了角的平分线的应用，解方程，角的和差计算，本题难度很大，熟练掌握定义和解方程，画出图形是解题的关键． （1）根据角平分线定义和角的和差关系即可求得答案； （2）①由题意得，，，，由平分，分为两个部分，可得：，或，，分别根据，建立方程求解即可； ②分两种情况：当时，当时，利用角平分线定义及角的和差关系即可判断为定值． 【详解】（1）解：如图1，， 则， 射线，分别为，的角平分线， ，， ， 故答案为：． （2）解：①如图2， 射线从出发绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，射线从出发绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，运动时间为， ，， ， 平分，分为两个部分， ，，或，， 当，时， ，， ， ， 解得：； 当，时， ，， ， ， 解得：； 综上所述，的值为或． ②当时，如图3，，，， 平分，平分， ，， ， ， ，为定值； 当时，如图4，，，， 平分，平分， ，， ，， ，为定值； 综上所述，，为定值． 【变式3-2】（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）小七同学最近在研究平面中的角，他发现各角通过运动会产生很多新的结论，于是他用几何画板制作了一道关于角的动态问题，如图1，平面上顺时针排列射线，在外部且为钝角，，射线分别平分（题目中所出现的角均小于且大于）．请用学过的知识帮他求解以下问题． (1)若， ， ； (2)的值是否随着的变化而变化？若不变，求出该定值；若要变，请说明理由； (3)在（1）的条件下，将绕点O以每秒的速度顺时针旋转得到（的对应边分别是），若旋转时间为t秒（），当时，求出t的值． 【答案】(1)； (2)的值不会随着的变化而变化，定值为 (3)81或174 【分析】（1）先求出，再由，可求出，再根据角平分线定义求出，从而可得出结论； （2）设，可得，再由，可求出，再根据角平分线定义求出，从而可得出结论； （3）分五种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵射线分别平分， ∴， ∴； 故答案为：；； （2）解：的值不会随着的变化而变化， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵射线分别平分， ∴， ∴， ∴， 即的值不会随着的变化而变化，定值为； （3）解：由（1）得：， 当时， ∵， ∴，无解； 当时， ∵， ∴， 解得：； 当时， ∵， ∴，无解； 当时， ∵， ∴， 解得：； 当时， ∵， ∴，无解； 综上所述，t的值为81或174． 【点睛】本题考查角平分线的定义、角的和差以及一元一次方程在几何方面的运用，是学习方程之后接触平面几何中一道典型的数型结合题，有利于对数学学科本质的认识．在计算时易出错不会用一个式子代入表示另一个式子，隐含了数学消元思想，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【变式3-3】如图，把一副三角尺拼在一起，其中三角形是等腰直角三角形，，并且B，C，E三点在同一直线上．    (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若射线，分别从，位置开始，同时绕点以每秒的速度顺时针匀速旋转，平分，平分，设旋转的时间为秒． ①当时，的度数是否等于一个定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由； ②当为何值时，？ 【答案】(1)； (2)①是，；②6秒或30秒． 【分析】本题考查了结合图形中角度的计算，角平分线的定义，一元一次方程的应用； （1）根据三角形是等腰直角三角形，，得出，进而即可求解； （2）①当时，，．根据角平分线的定义可得，，进而求得，根据即可求解； ②当时，由①可得，，．分别求得，根据建立方程，当时，同理可得，根据建立方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵三角形是等腰直角三角形，， ．． （2）①的度数是等于一个定值为，理由如下． ，旋转速度相同， 设， 当时，则，． 平分，． 平分，． ． ． ②当时，由①可得， ，． ． 当时，则， 解得． 秒．    当时， ，旋转速度相同， 设， ，，． 平分， ． 平分， ． ． ． 当时，则， 解得． ． 综上，秒或30秒时，．    【题型4 几何图形中动角数量关系问题】 【例4】将一副直角三角板按如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转t秒． (1)如图2，当 秒时，平分，此时 ； (2)继续旋转三角板，如图3，使得、同时在直线的右侧，猜想与有怎样的数量关系？并说明理由（数量关系中不能含t）； (3)直线的位置不变，若在三角板开始顺时针旋转的同时，另一个三角板也绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至射线上时，两个三角板同时停止运动． ①当 秒时，； ②请直接写出在旋转过程中，与的数量关系（数量关系中不能含t）． 【答案】(1)； (2) (3)①或；② 【分析】本题考查了角的计算，解题的关键是理解题意并找到各个量之间的关系求出角的度数， （1）根据角平分线的定义得到，于是得到，由于，，即可得到， （2）根据题意得，求得，即可得到结论； （3）①根据题意得，，求得，列方程即可得到结论；②根据角的和差即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）解：， ∵， ∴， ∵， ∴， （3）解：①∵，， ∴ ∴或， 解得：或， ② ∵，，，， ，， ∴， ∴， ∴． 【变式4-1】（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）已知O是直线上的一点，是直角，平分． 【猜想】 如图1，当的两边在直线同侧时，小明通过实验测量得到与的相关数量，如下表：求与的数量关系． 【探究】 小明将图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置．探究和的数量关系是否符合【猜想】中的结论，并说明理由． 【拓展】 将图1中的边与重合的位置开始，绕顶点顺时针旋转，旋转的速度为每秒9度，旋转时间秒，为的角平分线，当时，求的值． 【答案】【猜想】；【探究】；【拓展】或 【分析】猜想：由角平分线的定义结合角的和差运算可得，从而可得结论； 探究：结合角的和差运算可得，从而可得结论； 拓展：先得出，则，再分两种情况讨论当时和时，再建立方程求解即可． 【详解】解：猜想：； ∵平分， ∴， ∵是直角， ∴； 探究：符合，理由如下： ∵平分， ∴， ∵是直角， ∴； 拓展：①当时，，则， ∵为的角平分线，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ②当时，，则， ∵为的角平分线，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查的是角平分线的定义，角的和差运算，余补角的定义，一元一次方程的应用，熟练的利用方程解决问题是解本题的关键． 【变式4-2】（24-25七年级上·湖南常德·期末）如图，已知． (1)，是以为顶点的两条射线，，分别平分，． ①如图1，当，时，的度数为_______； ②如图2，当时，请写出、与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图3，当时，以4.5度/秒的速度整体绕点顺时针旋转，同时，也以2度/秒的速度整体绕点顺时针旋转，当刚好旋转一周时，两个角都停止旋转，求旋转过程中与有重叠部分的总时长． 【答案】(1)①；② (2)秒 【分析】本题考查了角度的和差计算，角平分线的定义； （1）①根据题意得出，进而根据角平分线的定义可得，，进而根据，即可求解； ②根据角平分线的定义可得，，进而根据 ，即可求解； （2）根据题意得出第秒时，两个角都停止旋转，然后根据追及问题分析两角开始重合到分离的过程，转化为射线的旋转，分析与有重叠部分的时间，即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴ ∵ ∴， ∵，分别平分，． ∴， ∴ 故答案为：． ②∵，分别平分，． ∴， ∴ ∴ （2）解：∵以2度/秒的速度整体绕点顺时针旋转，当刚好旋转一周时， ∴所用时间为秒， ∴第秒时，两个角都停止旋转， ∵以4.5度/秒的速度整体绕点顺时针旋转， ∴旋转过程中，同向旋转，且的速度大于的速度， 当第一次追上时， 射线与射线重合时，所用时间为：秒，即第秒时，两角开始有重叠部分 射线与射线重合时，所用时间为：秒，即第秒后，两角没有重叠部分； ∴与有重叠部分的时间为：秒 当第二次追上时，则射线旋转了 射线第二次与射线重合时，从开始起所用时间为：秒 同理射线第二次与射线重合时，与有重叠部分的时间为秒，即秒 又∵总用时间为秒， ∴第二次重叠时间为秒 ∴旋转过程中与有重叠部分的总时长为秒． 【变式4-3】如图，直线与直线相交于点O，． 已知，绕点O在平面内旋转，旋转前，边与射线重合，边与射线重合． 将绕点O按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周． (1)如图1，从旋转开始至边与射线重合时，共需多少秒？ (2)旋转至如图2所示位置时，试说明与有何数量关系，并说明理由； (3)如图3，已知，绕点O在平面内旋转，旋转前，边与射线重合，边与射线重合． 若在旋转过程中，绕点O以每秒的速度绕点O沿逆时针方向旋转，当停止旋转时，也停止旋转，旋转过程中，当边所在直线恰好平分锐角时，求出旋转时间． 【答案】(1)15 (2)与的数量关系是：(相等)，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查与角平分线有关的角度计算问题，一元一次方程方程的应用等知识，能正确找到符合条件的情况并正确作图是解题的关键． （1）先推导找出旋转的角度为，再除以旋转速度得解； （2）利用得到，从而得解； （3）设时间为t秒，分平分和的反向延长线平分两种情况讨论分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴从旋转开始至边与射线重合时，共旋转了， ∴所需时间是：(秒)， 答：旋转开始至边与射线重合时，共需15秒． （2）与的数量关系是：(相等)，理由如下： ∵， ∴，即； （3）设时间为t秒， ∵将绕点O按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周． ∴当时，，当时，． 又∵绕点O以每秒的速度绕点O沿逆时针方向旋转， ∴， ①如图，当平分时，，， ∵平分，， ∴， ∴， 又∵，， ， ∴， 解得：； ②如图，当的反向延长线平分时，，， ∵的反向延长线平分，， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵，即， ∴解得：； 综上所述：或． 【题型5 几何图形中动角求运动时间问题】 【例5】如图1，点是直线上一点，将一个直角三角形板如图1放置，使其中一条直角边在直线上，射线在内部． (1)如图2，将三角板绕点逆时针旋转，当时，请判断是否平分，并说明理由； (2)若，将三角板绕点逆时针旋转，每秒旋转． ①多少秒时？ ②如图3，当在内部，另一边在直线的另一侧，请探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)平分，理由见解析 (2)①20秒或200秒，② 【分析】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义． （1）由，结合，从而可得答案． （2）①当、在直线的同侧时，证明，可得，进一步可得答案，当、在直线的两侧时，如图，求解，可得，进一步可得答案．②求解，即，，进一步可得结论． 【详解】（1）解：平分，理由如下： ， ， ， ， 平分． （2）解：有两种情况：①当、在直线的同侧时， ， ， 若，则， ， ， 每秒旋转， ∴秒时； 当、在直线的两侧时，如图， ， 若， 则， ， 旋转角， 每秒旋转， ∴秒时， 综上，20秒或200秒时． ②， ， 即， ， ． 【变式5-1】已知：如图，点、、依次在直线上，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转，如图，设旋转时间为秒． (1)用含t的代数式表示，其结果是：______度． (2)在运动过程中，当时，求的值． (3)在旋转过程中是否存在这样的，使得射线是由射线、射线所组成的角指大于而不超过的角的平分线？如果存在，请计算出的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)20或40或80 (3)存在，t的值为36或60 【分析】本题考查角的和差关系，一元一次方程的应用，注意分情况讨论是解题的关键． （1）的度数等于旋转速度乘以旋转时间； （2）当时，分三种情况：射线在左侧；射线在右侧；射线在下方，根据角的和差关系列一元一次方程，即可求解； （3）分两种情况：射线在上方，射线在下方，根据角的和差关系列一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得： 度， 故答案为：； （2）解：当时，分三种情况： 当射线在左侧时，如图： ，， ， 即， 解得：； 当射线在右侧时，如图： ， 即， 解得：； 当射线在下方时，如图： ， 解得：； 综上可知，的值为20或40或80． （3）解：由题意得平分， 所以， 当射线在上方时，， 解得； 当射线在下方时， 解得， 综上可知，存在，t的值为36或60． 【变式5-2】定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果原角是这两条射线所成的角的倍，那么原角叫做这两条射线所成的角的倍角．如图1，若，则是的两倍角． (1)如图1：已知，，是的两倍角，则___________； (2)如图2：已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的三倍角． (3)已知，把一块含有角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点以2度/秒的速度按顺时针方向旋转（如图4）．问：在旋转一周的过程中，射线，，，能否构成三倍角？若能，请求出旋转的时间：若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能，7.5秒或30秒或150秒或172.5秒 【分析】本题考查了角度计算、一元一次方程的应用，理解倍角的定义，运用分类讨论思想是解题的关键． （1）根据两倍角的定义得到，再利用角的和差即可求解； （2）由题意得，利用角的和差得到，，再根据三倍角的定义列出方程，求出的值即可解答； （3）设旋转的时间为秒，则三角板旋转的角度为度，根据题意分4种情况讨论：①射线在内部，射线在外部，且是的三倍角；②射线、都在外部，且是的三倍角；③射线、都在外部，且是的三倍角；④射线在内部，射线在外部，且是的三倍角，画出示意图，根据三倍角的定义列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：∵是的两倍角， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：由题意得，， ∴，， ∵是的三倍角， ∴， ∴， 解得， ∴当旋转的角度时，是的三倍角； （3）解：设旋转的时间为秒，则三角板旋转的角度为度， ①当射线在内部，射线在外部，且是的三倍角时， 则， ∴， 解得； ②当射线、都在外部，且是的三倍角时， 则， ∴， 解得； ③当射线、都在外部，且是的三倍角时， 则， ∴， 解得； ④当射线在内部，射线在外部，且是的三倍角时， 则， ∴， 解得； ∴综上所述，射线，，，能构成三倍角，旋转的时间为7.5秒或30秒或150秒或172.5秒． 【变式5-3】（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）已知，为内部的一条射线． (1)如图（1），若，为内部的一条射线，，平分，求的度数． (2)如图（2），若、是内部的两条射线，、分别平分，，且，求的值． (3)如图（3），为射线的反向延长线上一点，将射线绕点O顺时针以的速度旋转，旋转后对应射线为，旋转时间为t秒（），平分，为的三等分线，，若，求t的值． 【答案】(1)或 (2) (3)3或15 【分析】（1）先根据当在内部时，当在内部时，求出的度数，再根据角平分线的定义求出，然后根据角的和差即可得； （2）设，先根据角平分线的定义得出，再根据角的和差化简所求式子的分子分母即可得； （3）先依题意，找到两个临界位置：在AO的反向延长线上；与重合；然后根据角平分线的定义、角的和差倍分求解即可得． 【详解】（1）解：如图1，当在内部时， ， ， 平分，， ， ； 当在内部时， ， ， 平分，， ， ； 综上，的度数为或； （2）解：设， 则， ∴， ， ， ， ， 故的值为2； （3）解：，旋转速度为， 射线旋转到即停止转动， 由题意得，， 平分， ， 因， 则有两个临界位置：在的反向延长线上，此时； 与重合，此时， 因此，分以下三种情况分析： 如图，当时， 则， ， 解得，符合题设， ②如图，当时， 则， ， 解得，符合题设， ③如图，当时， 则， ， 解得或，均不符题设，舍去， 综上，t的值为3或15． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、角的和差倍分，一元一次方程的应用，较难的是题（3），依据题意，找出两个临界位置，从而分三种情况讨论构造方程是解题关键． 【题型6 几何图形中动角求角度问题】 【例6】（24-25七年级上·天津·期末）已知，，按如图1所示摆放，将、边重合在直线上，边在直线的两侧： (1)如图1，作射线平分，射线平分，补全图形，并求出的度数． (2)保持不动，将绕点旋转至如图2所示的位置，则 ①___________°（度）（直接写答案） ②___________°（度）（直接写答案） (3)若按每分钟的速度绕点逆时针方向旋转，按每分钟的速度也绕点逆时针方向旋转，旋转到射线上时都停止运动，设旋转分钟，计算．请画出图形并直接写出对应的结果（用含的代数式表示）． 【答案】(1)补图见解析， (2)150；30 (3)或 【分析】（1）补全图形，根据角平分线定义与角的和计算； （2）①将拆分、转化为即可得；②依据、，将原式拆分、转化为计算可得； （3）设运动时间为t分钟，，，分、和表示出即可得出答案； 【详解】（1）解：如图，作出的平分线，的平分线， ∵， 且平分，平分， ∴， ∵、边重合在直线上， ∴； （2）解： ； ． 故答案为：150；30． （3）解：∵按每分钟的速度绕点逆时针方向旋转， 按每分钟的速度也绕点逆时针方向旋转， 旋转分钟， ∴， ∵， ∴当时， ， ∴， ∴； 当时， ， ∴， ∴； 当时， ， ∴， ∴； 综上，或． 【变式6-1】已知，是过点的一条射线，分别平分． (1)如图①，如果射线在的内部，，则 ； (2)如图②，如果射线在的内部绕点旋转，，则 ； (3)如果射线在的外部绕点旋转，，请借助图③探究的度数． 【答案】(1)40 (2) (3)的度数为或 【分析】此题考查角平分线的定义，关键是根据角平分线的定义解答． （1）根据角平分线的定义解答即可； （2）根据角平分线的定义解答即可； （3）分两种情况，利用角平分线的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵分别平分， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵分别平分， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：分两种情况： ①如图： ∵分别平分， ∴，， ∴， ∴； ②如图： ∵分别平分， ∴，， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 【变式6-2】点O是直线上的一点，射线从出发绕点O顺时针方向旋转，旋转到停止，设，射线，作射线平分． (1)如图1，若，且在直线的上方，求的度数． (2)射线顺时针旋转一定的角度得到图2，当射线在直线的下方时，其他条件不变，请你用含的代数式表示的度数． (3)射线从出发绕点O顺时针方向旋转到，在旋转过程中你发现与（）之间有怎样的数量关系？请你直接用含的代数式表示的度数． 【答案】(1) (2) (3)的度数是或或或 【分析】（1）根据，，求出，根据平分，即可得出结果； （2）先用表示出，再根据表示出，根据平分，即可得出结果； （3）分四种情况进行讨论，分别求出与的关系，用含的代数式表示的度数即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，即， ∴， ∵平分， ∴． （2）解：， ， ∵， ∴， ∴ ∵平分， ∴． （3）解：①当，在直线的上方时，如图所示： ， ∵平分， ∴， 即． ②当，在直线的下方时，如图所示： ∵， ∴， ∵平分， ∴， 即． ③当，在直线的上方时，如图所示： ， ， ∵平分， ∴， 即． ④当，在直线的下方时，如图所示： ∵， ， ∵平分， ∴， 即． 综上分析可知， 或或或． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，垂直的定义，根据的大小和的位置分类讨论，是解决本题的关键． 【变式6-3】（24-25七年级上·重庆·阶段练习）如图1，点为直线上一点，过点作射线、、．始终在的右侧，，．       (1)如图1，当．平分时，求的度数： (2)如图2、当与边重合，在的下方时，，将绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转、使射线与的角平分线形成夹角为，求此时旋转一共用了多少秒： (3)当在直线上方时，若，点在射线上，射线绕点顺时针旋转度，恰好使得，平分，，请直接写出此时的值． 【答案】(1) (2)旋转一共用了或 (3)n为或 【分析】本题主要考查角度的和差计算，涉及角平分线的性质，分类讨论思想等，根据射线ON的位置不确定，进行分类讨论是解题关键． （1）由角平分线的性质可得的度数，再根据可得结论； （2）需要分两种情况进行讨论，①当点在的右侧时；②当点在的左侧时，画出图形，根据角度之间的和差关系计算即可； （3）根据题意分两种情况，当和时，画出图形，根据角度的和差运算进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）知， 设旋转时间为， ①当点在的右侧时，， ∴， ∴； ∴； ②当点在的左侧时，， ∴； ∴； 综上，旋转一共用了或； （3）解：当时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴，解得； 当时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴，解得； 综上，n为或． 【题型7 线段与角中动态多解问题】 【例7】一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（、），将三角板绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且，有下列四个结论：      ①在图1的情况下，在内作，则平分； ②在旋转过程中，若平分，平分，的角度恒为定值； ③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成的次数为3次； ④的角度恒为． 其中正确的结论个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】结合图形根据题意正确进行角的和差计算即可判断． 【详解】①如图可得，所以平分，①正确； ②当时，设， ∵平分， ∴， ∴ ，， ∴， 当时，设， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③时，时，时故③正确； ④当时，当时，故④错误； 综上所述，正确的结论为①②③； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了角的和差，角的平分线，旋转的性质，关键根据题意正确进行角的和差计算． 【变式7-1】如图，已知 A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为8，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为 ，的中点，设运动时间为t（）秒，则下列结论中正确的有（    ） ①点B对应的数是4；②点P到达点B时，；③时，；④在点P的运动过程中，线段的长度不变 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，线段中点， ①根据两点间距离进行计算即可；②利用路程除以速度即可；③分两种情况：当点在点右边时，当点在点左边时，分别求出的长，再利用路程除以速度即可；④分两种情况：当点在点右边时，当点在点左边时，利用线段的中点性质分别进行计算即可．理解题意，进行分类讨论是解决问题的关键． 【详解】解：设点对应的数是， 点A对应的数为，且， ， ， 点对应的数是，故①错误； 由题意得：（秒）， 点到达点时，，故②正确； 当点在点右边时， ，， ， （秒）， 当点在点左边时， ，， ， （秒）， 综上，时，或；故③错误； ，始终为，的中点， ，， 当点在点右边时， ， 当点在点左边时， ， 在点的运动过程中，线段的长度不变，故④正确； 所以，上列结论中正确的有2个， 故选：C． 【变式7-2】（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图所示，已知，，，且．①图中小于平角的角共有6个；②图中所有小于平角的角之和为；③当绕点旋转一周，平分，平分，则始终等于；④若，，当绕点旋转一周，平分，平分，则始终等于．其中正确的结论 （填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查了角的定义以及角的分类，角平分线的定义，角度和差的计算，根据题意画出图形，分类讨论，逐项分析判断，即可求解．分类讨论是解题的关键．根据角的定义，数出角的个数，即可判断①，根据图形结合已知将①中的6个角相加，即可判断②，分四种情况分别画出图形，根据角平分线的定义结合图形即可判断③，分三种情况讨论，分别画出图形，即可判断④，即可求解． 【详解】解：图中小于平角的角有：，共有6个，故①正确； ②图中所有小于平角的角之和为 ，故②正确； ③当绕点旋转一周， 如图所示，当在内部时， ∵平分，平分， ∴， ∴ 当在内部，在外部时， ∵平分，平分， ∴， ∴ 当在外部时 ∵平分，平分， ∴， ∴ 当在内部，在外部时， ∵平分，平分， ∴， ∴ 综上所述，始终等于，故③正确； ④若，，当绕点旋转一周， 如图所示，当在的内部，在外部时， ∵平分，平分， ∴ ∴ 如图所示，当在的外部，在内部时， ∵平分，平分， ∴ ∴ ； 如图所示，当、在的外部， ∵平分，平分， ∴ ∴ ； 始终等于或，故④不正确． 故答案为：①②③． 【变式7-3】如图，C为射线上一点，，比的多5，P、Q两点分别从A、B两点同时出发，分别以3单位/秒和2单位/秒的速度在射线上沿方向运动，运动时间为t秒，M为线段上一点，且，N为的中点，以下结论： ①；②；③当时，， 其中正确的是 ． 【答案】① 【分析】本题考查有关线段上的动点问题以及两点间的距离，根据已知，比的多5，列方程可得，进而得；再由P、Q两点分别以3单位/秒和2单位/秒的速度在射线上沿方向运动，运动时间为t秒，即得、的长，找到、、、之间的数量关系即可得结论． 【详解】解：当在线段上时， ∵，比的多5， ∴， 解得：， 则， ∴， 当在线段外时， ∵，比的多5， ∴， 解得：，不合题意； 故①正确； ∵P、Q两点分别从A、B两点同时出发，分别以3单位/秒和2单位/秒的速度在射线上沿方向运动，运动时间为t秒， ∴时间为时，，， 当在左边时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵N为的中点， ∴， ∴， ∴； 当在右边时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵N为的中点， ∴，此时不一定等于； 故②错误， 当在左边时，，， ∴当时， 则， 解得：， 当在右边时，，， ∴当时， 则， 解得：， 故③错误， 故答案为：①． 【题型8 线段与角中动态新定义问题】 【例8】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若，则是的内半角． (1)如图①所示，已知，，是的内半角，则________． (2)如图②，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的内半角？ (3)已知，把一块含有角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线始终在的外部，射线能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)当旋转的时间为或或或时，射线，，，能构成内半角 【分析】（1）由内半角的定义得 ，再由即可求解； （2）由旋转得：，由角的和差得，，再由内半角的定义得，即可求解； （3）分四种情况讨论，利用内半角的含义，建立一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解： ，是的内半角， ， ； 故答案：； （2）解：当旋转的角度为时，是的内半角； 理由如下： 由旋转得：， ， ， 是的内半角， ， ， 解得：； （3）在旋转一周的过程中，射线，，，能构成内半角，理由如下； 理由：设按顺时针方向旋转一个角度，旋转的时间为t， 如图1，∵是的内半角，， ∴， ∴， 解得：， ∴； 如图2，∵是的内半角，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图3，∵是的内半角，， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图4，∵是的内半角，， ∴， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，当旋转的时间为或或或时，射线，，，能构成内半角. 【点睛】本题考查了新定义，旋转的性质，角的和差，一元一次方程的应用，理解新定义，能根据旋转的过程确定时间范围，进行分类讨论是解题的关键． 【变式8-1】（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）点C是直线上一动点，当时，我们称点C是点A与点B的衍生点，记作， 【定义理解】 问题（1）若点C在线段上时，A表示，B表示6时，则表示的数是 ． 【深入研究】 当点C是点A与点B的衍生点时，分别取线段，的中点M，N，发现线段之间存在着一种特殊的数量关系，小明同学觉得若想探寻此问题，需要分两种情况讨论：①点C在线段上时；②点C在线段的延长线上时． 问题（2）请任意选择①，②中的一种情况，画出图形，猜想线段之间满足的数量关系，并说明理由； 【拓展提升】 问题（3）若点C在线段上，线段，动点P、Q分别从A、B两端同时出发，点P以的速度沿向右运动，终点为B，点Q以的速度沿向左运动，到达A点后立即返回，终点是B．当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，请求出运动多少秒时，点C是点P与点Q的衍生点． 【答案】（1）3（2）①②（3）当运动时间为或或秒时，点C是点P与点Q的衍生点 【分析】本题主要考查了线段的和差，线段中点的性质，线段中的动点问题，解题的关键是掌握分类讨论的数学思想． （1）根据新定义，确定线段的长度，然后求点表示的数即可； （2）①利用线段的中点性质和线段的和差表示数量关系即可； ②利用线段的中点性质和线段的和差表示数量关系即可； （3）采用分类讨论的思想，根据动点的运动轨迹，结合新定义下的线段长度关系，列方程求解即可． 【详解】解：（1）， 根据题意得，， ∴表示的数是； （2）①点C在线段上时， 如图所示， ∵线段，的中点分别为点M，N， ∴， 又， ∴； ②点C在线段的延长线上时，当时，， 如图所示，此时，点是线段的中点，即点与点重合， ∵点为线段的中点， ∴， ∴； （3）点运动到终点所需时间为秒，点运动到终点所需时间是秒，设运动时间为秒，讨论如下： ①如图所示，当时，根据题意得， ， 解得； ②如图所示，当时，根据题意得， 解得； ③如图所示，当时，根据题意得， 解得（舍去）； ④如图所示，当点到达点折返回来后，时，根据题意得， 解得； 综上，当运动时间为或或秒时，点C是点P与点Q的衍生点． 【变式8-2】如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的奇妙线． （1）如图1，在的内部，有_________条奇妙线； （2）如图2，若，射线绕点从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为． ①直接写出当为何值时，射线是的奇妙线？ ②若射线同时绕点以每秒的速度逆时针旋转，并与同时停止旋转．请求出当射线是的奇妙线时的值． 【答案】（1）3；（2）①t为4.5或6或9 ；②或或 【分析】（1）根据奇妙线的定义，若OC是射线是的奇妙线，有∠AOB=2∠AOC、∠AOC=2∠BOC、∠BOC=2∠AOC三种情况； （2）①表达出∠QPN、∠QPM=20°t-60°，再分三种情况，根据奇妙线的定义列出方程即可求解； ②表达出∠QPN、∠M’PN、∠M’PQ，再分三种情况，根据奇妙线的定义列出方程即可求解； 【详解】解：（1）若∠AOB=2∠AOC，则OC是射线是的奇妙线， 若∠AOC=2∠BOC，则OC是射线是的奇妙线 若∠BOC=2∠AOC，则OC是射线是的奇妙线 ∴在的内部，有3条奇妙线， 故答案为：3． （2）①∵∠QPN=20°t，∠MPN=60° ∴∠QPM=20°t-60° 当∠QPN=2∠MPN时，即20°t=120°，解得t=6s， 当∠QPM=2∠MPN时，即20°t-60°=120°，解得t=9s， 当∠MPN=2∠QPM时，即60°=2（20°t-60°），解得t=4.5s， 故答案为：t为4.5或6或9． ②由题意得：∠QPN=20°t，∠M’PN=60°+12°t，∠M’PQ=60°-8°t 当时 ∴ ∴ 当时， ∴ ∴ 当时， ∴ ∴ 综上所述，当或或 时，射线是的奇妙线． 【点睛】本题考查了角度计算中的新定义问题，解题的关键是理解题目中给出的奇妙线的定义，再列出方程解答． 【变式8-3】数形结合是数学中常用的思想方法，而数轴是数形结合法解决问题的有效工具．数轴上两点、表示的数分别为，若，则、两点之间的距离，例：在数轴上点表示的数是5，点表示的数是15，则、两点间的距离为． 【定义】在数轴上，如果线段间从左往右的点，…，将线段等分，则这个点都叫做线段的等分点．若是靠近的第1个等分点，则记为，是靠近的第2个等分点，则记为，…是靠近的第个等分点，则记为． 【探究一】 如图1，在数轴上两点、表示的数分别为，若，则线段的二等分点表示的数为． 【探究二】 如图2，在数轴上两点、表示的数分别为，若，则线段上靠近点的第2个五等分点表示的数为 ． 【应用一】 如图3，（1）在数轴上两点、表示的数分别为、，则线段的距离为 ； （2）数轴上两点、表示的数分别为、4，则线段的距离为 ； （3）若线段上靠近的四等分点与线段上靠近的十等分点重合，请求出的值． 【应用二】 如图4，在数轴上两点、表示的数分别为和，若点从点以每秒3个单位的速度向右移动，同时点从点以每秒2个单位的速度向左移动，当两点出发时间为秒时，线段上靠近的等分点 与线段的三等分点重合，请直接写出此时的为 ． 【答案】[探究二] [应用以]（1） （2） （3） [应用二]秒或秒 【分析】[探究二]根据“探究一”的计算方法求值即可； [应用一]（1）根据两点之间距离的计算方法计算即可； （2）根据两点之间距离的计算方法计算即可； （3）根据题意，点表示的数为，点表示的数为，由此列式即可求解； [应用二]分别表示表示的数，点表示的数，的值，由线段三等分点的计算方法得到线段靠近点的三等分点的第一个点表示的数为，三等分的第二个点表示的数为，根据题意列式计算即可求解． 【详解】解：[探究二]， 故答案为：； [应用一] （1）点、表示的数分别为、， ∴， 故答案为：； （2）点、表示的数分别为、4， ∴， 故答案为：； （3）线段上靠近的四等分点表示的数为， 线段上靠近的十等分点表示的数为， ∴， 解得：； [应用二] 数轴上两点、表示的数分别为和，点从点以每秒3个单位的速度向右移动，同时点从点以每秒2个单位的速度向左移动，出发时间为秒， 线段上靠近的等分点 表示的数为， ∴点表示的数为，点表示的数为， 第一种情况，点在点左边，， ∴线段靠近点的三等分点的第一个点表示的数为， 三等分的第二个点表示的数为， ∵线段上靠近的等分点 与线段的三等分点重合， ∴当时，（秒）；当时，（秒）； 第二种情况，点在点右边，， ∴线段靠近点的三等分点的第一个点表示的数为， 三等分的第二个点表示的数为， ∵线段上靠近的等分点 与线段的三等分点重合， ∴当时，（秒）；当时，（秒）； 综上所述，线段上靠近的等分点 与线段的三等分点重合，此时的为秒或秒， 故答案为：秒或秒． 【点睛】本题主要考查数轴上点与有理数的对应，数轴上两点之间距离的计算，等分点的概念及计算方法，一元一次方程的运用等知识的综合，掌握数轴上两点之间距离的计算，一元一次方程的运用方法是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $