专题02 数轴中的九类动态模型（几何模型讲义）数学人教版2024七年级上册

专题02 数轴中的九类动态模型 数轴中的动态问题属于（2024）人教版七年级上册必考压轴题型，主要以数轴为载体，体现分类讨论和数形结合等思想，考查学生的分析与综合能力。解题时，一般遵循“点、线、式”三步策略。即：先根据题意中动点的出发位置，移动方向和速度，用含t的式子表示动点，然后根据题中要求提炼出线段，用动点的含t表达式表示线段，最后根据线段间的等量关系，列出式子，然后求解（要检验解是否符合动点的运动时间范围）。 2 模型来源 2 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 4 模型1.动态规律（左右跳跃）模型 4 模型2.动态中点与n等分点模型 6 模型3.单（多）动点匀速模型 8 模型4.单（多）动点变速模型 11 模型5.动点往返运动模型 14 模型6.动态定值（无参型）模型 17 模型7.动态定值（含参型）模型 20 模型8.数轴折叠（翻折）模型 23 模型9.数轴上的线段移动模型 26 30 数轴中的动态模型（如动点问题）的历史发展，本质上是数轴工具与运动数学思想结合的产物，其演变可分为三个阶段：工具创造‌（17世纪）→动态启蒙‌（19-20世纪）→教学定型‌（21世纪）。数轴动态模型是‌笛卡尔几何工具‌与‌运动数学思想‌在教育场景中的实践结晶，其发展映射了数学从抽象理论向应用建模的转化过程。 （2025·山东淄博·二模）在数轴上，点表示原点，现将点从点开始沿数轴按如下规律移动：第一次点向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，…，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，点与原点的距离是 个单位． 【答案】1013 【分析】根据前4个点的运动规律可得：第次移动到点，当n为奇数时，点表示的数是，当n为偶数时，点表示的数是，进而求解． 【详解】解：因为第一次点向左移动1个单位长度到达点，点表示的数是， 第二次将点向右移动2个单位长度到达点，点表示的数是1， 第三次将点向左移动3个单位长度到达点，点表示的数是， 第四次将点向右移动4个单位长度到达点，点表示的数是2，…， 所以第次移动到点，当n为奇数时，点表示的数是，当n为偶数时，点表示的数是， 所以当时，点表示的数是，与原点的距离是1013；故答案为：1013. （24-25七年级上·江苏泰州·期末）A，B，C三点在数轴上所表示的数为，，2，一根长为3个单位长度的木棒如图放置在数轴上（点P与点B重合），当木棒以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点M、N分别从A、C出发，分别以每秒1个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，记木棒运动后对应的位置为，M、N运动后对应的位置为、，若为常数，则 ． 【答案】 【详解】解：设运动时间为t，依题意得：所表示的数为，所表示的数为，所表示的数为，∴， 所表示的数为，所表示的数为，∴， ∴， 若为常数，则，解得：．故答案为． （24-25七年级上·湖南株洲·期中）【阅读材料】我们知道“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大”，利用此规律，我们可以求数轴上两个点之间的距离，具体方法是：用右边的数减去左边的数的差就是表示这两个数的两点之间的距离．若点表示的数是，点表示的数是，点在点的右边（即），则点，之间的距离为（即）．例如：若点表示的数是，点表示的数是，则线段． 【理解应用】（1）已知在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，求线段的长； 【拓展应用】如图所示，点､､､在数轴上对应的数分别为､､､，其中是最大的负整数，､满足，且．（2） ； ； ； ． （3）若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点以每秒个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为秒，当､两点之间的距离为个单位长度时，求运动时间的值； 【答案】；；；；；秒或秒 【详解】解：，线段的长为； 是最大的负整数，， ､满足，，解得：，，， 又，；故答案为：；；；； 解：秒后点到达的位置是，点到达的位置是， 当､两点之间的距离为个单位长度时，可得：， 整理得：，解得：或， 答：当运动秒或秒时､两点之间的距离为个单位长度 ①若A、B两点在数轴上对应的数字是 a、b，则AB两点间的距离；AB中点对应的数字是：。 ②数轴动点问题主要步骤： 1）画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度； 2）写点——写出所有点表示的数：常用含t的代数式表示，向右运动用“+”表示，向左运动用“-”表示； 3）表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值； 4）列式求解——根据条件列方程或代数式，求值。 注意：要注意动点是否会来回往返运动，速度是否改变等。 ③分类讨论的思想： （1）数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，注意多种情况的分类讨论。 （2）对于两个动点P、Q，若点P、Q的左右位置关系不明确或有多种情况，可用p、q两数差的绝对值表示PQ 两点距离，从而避免复杂分类讨论。 模型1.动态规律（左右跳跃）模型 . 【解题技巧】‌运动规律性‌：动点按“左右交替”方向移动，步长呈现递增或周期性变化。 . ‌代数表达‌：动点位置需用含时间变量t的代数式表示。 . 例如，第n次移动后的位置可表示为：xn=xn−1±kn，其中k为步长基数，符号由移动方向决定。 . ‌分类讨论‌：根据移动次数、方向变化和步长规律进行分段分析，尤其注意动点是否跨越原点或特定临界点。 常见模型（1）：“1左1右”的等差数列式跳跃，两个一组根据规律计算即可； 常见模型（2）：“2左2右”的等差数列式跳跃，四个一组根据规律计算即可。 例1（2024·北京朝阳·七年级校考阶段练习）一个动点P从数轴上的原点O出发开始移动，第1次向右移动1个单位长度到达点P1，第2次向右移动2个单位长度到达点P2，第3次向左移动3个单位长度到达点P3，第4次向左移动4个单位长度到达点P4，第5次向右移动5个单位长度到达点P5…，点P按此规律移动，则移动第158次后到达的点在数轴上表示的数为（ ） A．159 B．-156 C．158 D．1 【答案】A 【详解】解：设向右为正，向左为负，则 表示的数为+1， 表示的数为+3 表示的数为0， 表示的数为-4， 表示的数为+1…… 由以上规律可得，每移动四次相当于向左移动4个单位长度．所以当移动156次时，156=39×4相当于向左移动了39次四个单位长度．此时表示的数为．则第157次向右移动157个单位长度，；第158次还是向右，移动了158个单位长度，所以． 故在数轴上表示的数为159．故选A． 例2（2024七年级上·浙江·专题练习）如图，一动点从原点开始向左运动，每秒运动个单位长度，规定：每向左运动秒就向右运动秒．则动点运动到第秒时所对应的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：当动点从原点出发向左运动秒，到达的点表示的数为， 再向右运动秒到达的点表示的数为，动点运动秒向左移动个单位长度， ，动点向左运动了个秒， 动点运动到第秒时所对应的数是．故选：A． 例3（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段练习）一个机器人从数轴的原点出发，沿数轴的正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，该机器人每秒前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长，若表示第秒时机器人在数轴上的位置所对应的数，则 ； ； ． 【答案】 1 6 406 【详解】解：根据题意，，，，，， 由“每前进3步后退2步”可知这5秒组成一个循环结构，前进1个单位长度，所以，， 因为，所以，．故答案为：1，6，406． 例4（2024七年级上·山东·专题练习）如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点，，，…，（，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与的中点的距离是 ． 【答案】 【详解】解：由题意可得，点A1表示的数为，点A2表示的数为， 点A3表示的数为，…，点表示的数为， ∴点表示的数为. ∵的中点表示的数为，∴2023次跳动后的点与的中点的距离是：.故答案：． 模型2.动态中点与n等分点模型 【解题技巧】 1）动态中点模型：动态中点指两动点在数轴上运动时，其中点位置随动点运动而变化。设动点A和B在时间t的位置分别为xA（t）和xB（t），则动态中点M（t）的坐标：。 该公式适用于任意时刻动态中点计算。 2）动态n等分模型：将线段AB分为n等份时，第k个等分点的坐标为：。 若A和B为动点，则等分点位置随时间变化，需建立动态表达式。 例1（24-25七年级上·广东深圳·期末）已知A，B是数轴上的两个点，点A，B所表示的数分别为，11，动点P以每秒4个单位长度的速度从点A向右运动，同时，动点M以每秒2个单位长度的速度从点B向左运动，用圆规在射线上截取（点D在点A右侧），当点D恰好落在中点时，点P运动时间为 秒． 【答案】或4 【详解】解：由题意得，∵点D恰好落在中点，∴， 设运动的时间为秒，则秒后点P表示的数为，点表示的数为， ∴由得：，解得：或，故答案为：或4． 例2（23-24七年级上·江西宜春·期中）数轴上的三个点，若其中一个点与其它两个点的距离相等，则称该点是其它两个点的“中点”，这三点满足“中点关系”．已知点，表示的数分别为，3，点为数轴上一动点．若，，三点满足“中点关系”时，则点表示的数为 ． 【答案】0或9或 【详解】解：①当点为点，的中点时，点表示的数为； ②当点为点，的中点时，点表示的数为； ③当点为点，的中点时，点表示的数为； 综上：点表示的数为0或9或；故答案为：0或9或． 例3（23-24七年级上·福建三明·阶段练习）数轴上有A，B，C 三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”. 例：如图1所示，数轴上点A，B，C 所表示的数分别为1，3，4，因为，所以称点B 是点A，C的“关联点”．    图1    图2 (1)如图2所示，点A表示数，点B 表示数1，下列各数2，4，6所对应的点分别是C1，C2，C3其中是点A，B  的“关联点”的是 ; (2)如图3所示，点A 表示数，点B 表示数15，P 为数轴上一个动点： ①若点P 在点B 的左侧，且P 是点A，B  的“关联点”，求此时点P 表示的数；②若点P 在点B 的右侧，点P，A，B   中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”， 请求出此时点P 表示的数.     图3 【答案】(1)C2(2)①点P表示的数为，；②点P表示的数为 【详解】（1）解：∵∴点C1不是点A，B的“关联点” ∵∴即：点是点A，B的“关联点” ∵∴点不是点A，B的“关联点”故答案为： （2）解：解：设点P在数轴上表示的数为 ①（i）当点在之间时， 若，则解得： 若，则解得： （ii）当点在点左侧时，则，即：解得： 故：点P表示的数为，； ②（i）当点为点的“关联点”时，则，即：解得： （ii）当点为点的“关联点”时，则，即：解得： 或,即：解得： （iii）当点为点的“关联点”时，则，即：解得： 故：点P表示的数为 例4（24-25七年级上·湖南长沙·期中）【知识准备】若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为．（1）在一条数轴上，O为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则的中点N所对应的数为_____． 【问题探究】（2）在（1）的条件下，若点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点D出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动．设运动时间为秒，为何值时，的中点所对应的数为1？ 【拓展延伸】（3）若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为靠近点A的三等分点，则我们有三等分点公式：点M对应的数为；若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点A的四等分点，则我们有四等分点公式：点M对应的数为． 填空：若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的等分点，则我们有等分点公式：点M对应的数为_____．（其中n为正整数） 【答案】（1）；（2）；（3）； 【详解】解：（1）∵，∴，，解得：，， ∴点对应的数为，点对应的数为，∴的中点N所对应的数为； （2）由（1）知，，，则点所对应的数为，点所对应的数为． 则中点所对应的数为，解得：． （3）∵数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的等分点， ∴点M对应的数为． 模型3.单（多）动点匀速模型 【解题技巧】 模型（1）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向右移动，t秒后，到达B点，B点对应的数是：a+vt。 模型（2）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向左移动，t秒后，到达C点，C点对应的数是：a-vt。 例1（23-24七年级上·福建漳州·期末）如图，已知点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为8，点C是线段上一点，且，动点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动，若，则运动时间为 秒． 【答案】或 【详解】解：∵点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为8，点C是线段上一点，且， ，，，∴点C在数轴上表示的数为． 当运动时间为t秒时，点P在数轴上表示的数为， ，，即或，解得：或， 点P运动秒或秒，，故答案为：或． 例2（23-24七年级上·河南洛阳·期末）如图，点在数轴上对应的数为，点对应的数为，点与点之间的距离记作．已知，则；若点以每秒1个单位的速度从点出发沿数轴向右运动，同时点以每秒2个单位的速度从点出发沿数轴向左运动，设运动时间是秒．当点与点之间的距离是8时，则的值为（    ）秒．    A． B．1 C．或7 D．或 【答案】D 【详解】解：当运动时间为t秒时，点M在数轴上对应的数为，点N在数轴上对应的数为， 根据题意得：，即或，解得：或故选：D． 例3（24-25七年级上·吉林四平·期末）如图，点O为原点，为数轴上两点，，且，若点同时向数轴负方向运动，点P从点A出发，点Q从原点出发，点M从点B出发，且点P的运动速度是每秒3个单位长度，点Q与点M的运动速度相同，都是每秒5个单位长度，设运动的时间为t秒，请回答下列问题： (1)A点表示的数为______，B点表示的数为______；(2)t秒后，点P表示的数为______；点M表示的数为______； (3)请求出当t为何值时，；(4)运动过程中，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，不包括两点重合时刻，请直接写出此时t的值？ 【答案】(1)，(2)， (3) 或 (4) 、或 【详解】（1）已知，且，∴， ∵在点O的左侧，在点O的右侧，∴A点表示的数为，B点表示的数为． （2）点P从点A出发，向数轴负方向运动， ∵点P的运动速度是每秒3个单位长度，∴点P表示的数为， 点M从点B出发，向数轴负方向运动， ∵点M的运动速度是每秒5个单位长度， ∴点M表示的数为． （3）由（2）可知，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴， 当时，即，则或，解得或． （4）由题意可知，点P表示的数为，点Q表示的数为，点M表示的数为， ∴，，， 当时，，即，解得， 当时，，即，或解得或， 当时，点M表示的数为，点P表示的数为，此时两点重合，故舍去； 当时，，得或，解得或， 当时，点P表示的数为，点表示的数为，两点重合，舍去； 综上所述，或或． 模型4.单（多）动点变速模型 【解题技巧】 单个动点在数轴上运动时，速度随时间或位置发生改变，需分段描述其运动轨迹。 例如：动点先以速度v1运动t1秒，再以速度v2反向运动t2秒。 其‌位置表达式‌：分段表示为x(t)=x0+v1t（0≤t≤t1）和x(t)=x(t1)−v2(t−t1)（t1<t≤t1+t2）。 上式中为x0初始位置，x(t)为t时刻的位置。 多个动点以不同速度或方向变化协同运动，需分别建模后寻找关联条件（如相遇、距离等）。 动态关系式‌：分别表示各动点位置，再通过相遇条件xP(t)=xQ(t)或距离公式∣xP(t)−xQ(t)∣=L列方程。 上式中xP(t)为动点P在t时刻的位置；xQ(t)为动点Q在t时刻的位置。 数轴上的单（多）动点变速模型用于描述动点在运动中速度发生变化的场景，需结合分段分析（按时间或位置划分运动阶段，确保每个阶段内速度恒定）和动态方程构建解决问题，最后注意检查解是否在对应时间段内，排除超时或重复解。 例1（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，在数轴上，点，在原点的两侧，分别表示，，．点以每秒个单位的速度从点向右运动，同时，点以每秒个单位的速度从点向左运动，是线段的中点，设运动时间为． (1)求点与点之间的距离；(2)当为何值时，，并求出此时点表示的数； (3)在，两点开始运动时，点以每秒个单位的速度从点向左运动．点经过原点后，其速度变为原来的倍，点变速后，若线段的长度始终是一个定值，求的值． 【答案】(1)(2)的值为或，点表示的数为或(3) 【详解】（1）解：∵点表示的数为， ∴， ∵，∴， ∵点在原点的两侧，∴点表示的数为，∴ ； （2）解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 根据题意得，， 即或， 解得或， 当时，； 当时，； 答：当的值为或时，，此时点表示的数为或； （3）解：若，则， 当时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，∴， ∵点变速后，若线段的长度始终是一个定值，∴，∴． 例2（24-25七年级上·重庆·期中）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”，图中，点A表示的数为，点B表示的数为6，点C表示的数为，我们称点A和点C在数轴上相距个长度单位，动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着折线数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒，则： (1)动点P从点A运动至点O需要 秒，从点O运动至点B需要 秒，从点B运动至点C需要 秒． (2)若两点在点M处相遇，则点M在折线数轴上所表示的数是多少？ (3)请直接写出当t为何值时，两点在数轴上相距的长度与两点在数轴上相距的长度相等． 【答案】(1)；(2)点M在折线数轴上所表示的数是；(3)t的值为2或5或8或 【详解】（1）∵点A表示的数为，点B表示的数为6，点C表示的数为， ∵动点P从点A出发，以2单位/秒的速度运动，∴动点P从点A运动至点O需要（秒）， 从点O运动至点B需要（秒），从点B运动至点C需要（秒）； （2）根据题意知，M在上， ∵Q从C到B需要6秒，∴M表示的数可表示为， 也可表示为，∴，解得，∴， ∴点M在折线数轴上所表示的数是； （3）①当P在上，Q在上时，，，∴，解得； ②当P在上，Q在上时，，∴，解得； ③当P在上，Q在上时，，∴，解得； ④当P在上，Q在上时，Q从B到O需要3秒， ，∴，解得． 例3（24-25七年级上·四川乐山·期中）已知两点在数轴上，与互为相反数，点表示的数是，且．      (1)点表示的数为______；(2)如图1，当点位于原点的同侧时，动点分别从点处在数轴上同时相向而行，动点的速度是动点的速度的1.5倍，4秒后两动点相遇，当动点到达点时，运动停止．在整个运动过程中，当　　秒，使得两点的距离为5； (3)如图2，当点位于原点的异侧时，动点分别从点处在数轴上向右运动，动点比动点晚出发1秒；当动点运动2秒后，动点到达点处，此时动点立即掉头以原速向左运动3秒恰与动点相遇；相遇后动点又立即掉头以原速的2倍向右运动6秒，此时动点到达点处，动点到达点处，当时，求动点的原速和运动的速度． 【答案】(1)11或(2)的值为2或6；(3)动点运动的速度为；动点的原速为或 【详解】（1）解：与互为相反数，．设点表示的数为， 点表示的数是，且，，或．故答案为：11或； （2）解：在整个运动过程中，存在某个时刻（秒），使得，两点的距离为5，的值为2或6．理由： 当点、位于原点的同侧时，，．设动点的速度为，则动点的速度是， 秒后两动点相遇，，． ，两点运动（秒）后，使得，两点的距离为5，或，解得：或6． 在整个运动过程中，存在某个时刻（秒），使得，两点的距离为5，的值为2或6； （3）解：动点比动点晚出发1秒，当动点运动2秒后，动点到达点处，此时动点立即掉头以原速向左运动3秒恰与动点相遇， ，两点在点处相遇，此时点的运动时间为5秒，距离为10，运动的速度为； 设动点的原速为，则，， 由题意得：，，或．动点的原速为或． 模型5.动点往返运动模型 【解题技巧】 . 数轴上动点往返运动的位置计算需结合‌方向变化、分段累加‌和‌代数建模。 . 注意事项： . 1）‌时间范围验证‌：解方程后需检查时间是否在对应运动阶段内。 . 2）‌多解可能性‌：往返可能导致动点多次经过同一位置，需列绝对值方程并分情况讨论。 3）通过以上方法，可系统计算数轴动点往返后的位置，需重点关注‌方向符号处理‌和‌分段累加规则。‌ 例1（23-24七年级上·福建莆田·期末）如图：数轴上，，三点分别表示的数为、、，点表示的数为． 【阅读材料】：在数轴上表示数的点到原点的距离叫做的绝对值，记为，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记为（或），数轴上数表示的点到表示数的点与表示数的点的距离之和记为． 【结合数轴，解决问题】(1)填空：若，则______．若，______； (2)若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，动点到点、点的距离之和为；(3)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，当到达点后立即返回点，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，当经过多少秒时，点、点之间的距离正好等于点、点的距离 【答案】(1)或；；(2)经过或秒时动点到点和点的距离之和为；(3)或或． 【详解】（1）解：，或，解得：或， ，或，解得：（前一方程无解），故答案为：或；； （2）设经过秒，点到点、点的距离之和为，点对应的数可以表示为， ①当时，点在点B左侧，，，由题意得：，解得：； ②当时，点在点和点中间，此时，矛盾，故舍去 ③当时，点在的右侧．，，由题意得：，解得：； 综上所述，经过或时动点到点和点的距离之和为； （3）设经过的时间为，当到达点时，，当返回到点时， ； 当到达点时，， 当时，点，表示的数分别为，， 点，之间的距离为 又点到点的距离为，，解得：或， 当时，点，表示的数分别为，，点，之间的距离为， 又点到点的距离为，，解得：或（舍去），综上所述，或或． 例2（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A、B两点之间的距离表示为．如：点A表示的数为2，点B表示的数为3，则． (1)问题提出：如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为13，A、B两点之间的距离______． (2)拓展探究：若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发．以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒（） ①用含t的式子表示：t秒后，点Р表示的数为______；点Q表示的数为______； ②求当t为何值时，P、Q两点相遇，并求出相遇点所表示的数． (3)类比延伸：在（2）的条件下，如果P、Q两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自到达线段的端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段上做往复运动，那么再经过多长时间P、Q两点第二次相遇．请直接写出所需要的时间和此时相遇点所表示的数． 【答案】(1)15 (2)①；②当t为3时，P，Q两点相遇，相遇点所表示的数是7 (3)所需要的时间为9秒，相遇点所表示的数是1 【详解】（1）解：∵A表示的数为，点B表示的数为13，∴； （2）①t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为； ②根据题意得：，解得，相遇点所表示的数为；                               答：当t为3时，P，Q两点相遇，相遇点所表示的数是7． （3）由已知得：P运动5秒到B，Q运动秒到A， 返回途中，P表示的数是，Q表示的数是， 根据题意得：，解得，第二次相遇点所表示的数为：， 答：所需要的时间为9秒，相遇点所表示的数是1． 例3（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）在一个轨道长为的轨道架上做钢球碰撞实验，如图所示，轨道架上放了三个大小、质量完全相同的钢球A，B，C，  左右各有一个钢制挡板D 和E， 其中C 到左挡板的距离为，B 到右挡板的距离为，A，B 两球相距．以轨道所在的直线画数轴，A 球在原点，B球表示的数为30．    (1)C球表示的数为 ， 挡板E表示的数为 ；(2)碰撞实验中（钢球大小、相撞时间不计），钢球的运动都是匀速的，当一钢球以一速度撞向另一静止钢球时，这个钢球停留在被撞钢球的位置，被撞钢球则以同样的速度向前运动，钢球撞到左右挡板则以相同的速度反向运动，现A 球以每秒的速度 向右匀速运动，① 秒后B 球第一次撞向右挡板E， 秒后B球第二次撞向右挡板E； ②当三个球运动的路程和为时， 球正在运动（填“A”，“B”，“C”）， 此时，A 球表示的数为 ，B 球表示的数为 ，C 球表示的数为 ． 【答案】(1)-60；80 (2)①8；44；②C；；30； 【详解】（1）解：A和C两球间的距离为C球表示的数为； A球到挡板E的距离为，挡板E表示的数为；故答案为：；． （2）解：①，秒后B 球第一次撞向右挡板E， ，，秒后B球第二次撞向右挡板E；故答案为：8，44． ②当A球第三次回到原点时，三个球运动的路程和为， 再经过路程，A球向左撞到C球， 当C球向左行时，三个球运动的路程和为， 当三个球运动的路程和为时，C球正在运动； 此时，A 球在原C球的位置，表示的数为，B 球在原来球的位置，表示的数为30，C 球表示的数为． 故答案为： C；；30；． 模型6.动态定值（无参型）模型 【解题技巧】 数轴上的动态定值（无参型）模型描述动点运动过程中某些量（如线段长度、距离差等）保持不变的场景，需通过代数表达和几何关系分析定值的存在性及数值。题目中不引入额外参数（如速度、时间变量），直接通过动点初始位置、运动规则或几何关系推导定值。 1）解题策略与步骤：‌ ‌步骤1‌：用代数式表示动点位置，例如动点A从x0​出发，以速度v移动，则t秒后位置为x0+vt。 ‌步骤2‌：根据题目条件（如中点、等分点）建立相关量的表达式（如线段长度、差值的绝对值）。 ‌步骤3‌：化简表达式，观察是否消去变量项，验证是否为定值。 2）常见定值类型： 线段长度定值‌：两动点或动点与定点间的距离保持恒定。 ‌代数式定值‌：如∣xA−xB∣±kxC的值为固定常数。 ‌位置关系定值‌：如动点始终为中点或特定分点，导致相关表达式不变。 例1（24-25七年级上·陕西西安·期中）如图：已知，在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，且a、b、c满足。(1)________，________，________． (2)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒3个单位长度和1个单位长度的速度向右运动．假设t秒钟（）过后，点A与点B之间的距离表示为，点A与点C之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为． 则________，________，________；（用含t的代数式表示）； (3)在（2）的条件下，当点B运动到点C右边时，的值是否随着t值的变化而变化？若变化，请说明理由，若不变，请求出其值． 【答案】(1)，2，10(2)，， (3)当点B运动到点C右边时，的值不会随着t值的变化而变化；值为50 【详解】（1）解：，，，， ，，，故答案为：，2，10； （2）解：由点A、B、C的起始位置、运动方向、运动速度可知，t秒钟过后： 点A所在位置表示的数为：，点B所在位置表示的数为：，点C所在位置表示的数为：， ，，， 故答案为：，，； （3）解：当点B运动到点C右边时，的值不会随着t值的变化而变化；理由如下， 当点B运动到点C右边时，，， ∴， 此时，当点B运动到点C右边时，的值不会随着t值的变化而变化，值为50． 例2（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，数轴上有A，B，C三点，点表示的数为60，点在点的左侧且，点A，B表示的数互为相反数．数轴上有一动点从点出发，以5个单位/秒的速度向左沿数轴运动，设运动时间为秒． (1)点表示的数是__________：点表示的数是__________．(2)当为何值时，？ (3)若点，点，点与点同时在数轴上运动，点和点分别以2个单位/秒和1个单位/秒的速度向右运动，点以4个单位/秒的速度向左运动．请问：是否存在某一时段，使的值为一个定值？若存在，请求出这个定值及对应的的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；10(2)或时，(3)存在，当时，其值为定值，此定值为360 【详解】（1）解：点表示的数为60，点在点的左侧且，点B表示的数是， 又点A，B表示的数互为相反数，点A表示的数是，故答案为：，10； （2）解：点表示的数为，点表示数为，点表示数为10， ，， ，，或．答：或时，． （3）解：，，，， ，，， ． 当时，其值为，当时，其值为360，当时，其值为， 当时，其值为定值，此定值为360． 例3（23-24七年级上·四川攀枝花·期中）已知数轴上A，B两点对应的数分别为，6，O为原点，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x， (1)______，______（用含x的式子表示）； (2)在数轴上是否存在点P，使？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由； (3)若点P以每秒1个单位长度的速度从O点向右运动，同时点A以每秒5个单位长度的速度向左运动，点B以每秒20个单位长度的速度向右运动，在运动过程中，M，N分别是的中点，问的值是否发生变化？请说明理由． 【答案】(1)，；(2)存在，当或7时，；(3)的值不发生变化，理由见详解． 【详解】（1）解：依题意，，；故答案为：；． （2）解：存在，过程如下：依题意，分三种情况： ①当点在、之间时，； ②当点在点右边时，，，令，解得； ③当点在点左边时，，，令，解得， 综上，当或7时，； （3）解：的值不发生变化，理由如下：设运动时间为， 根据题意得，，，， ∴，∴，∴， 故，，， ．∴的值不发生变化． 模型7.动态定值（含参型）模型 【解题技巧】 数轴上动态定值（含参型）模型需分析含参数（如速度、距离比例等）的动点运动过程中某些量的恒定性，通过代数建模和参数消去法验证定值存在性及数值。 ‌线段和差定值‌：如PA+PB或∣PA−PB∣恒为常数，需结合参数化简表达式。 ‌代数式定值‌：如kxA+mxB的值与时间无关，需分离含时项并令其系数为零。 速度参数‌：多个动点以不同速度运动，需联立方程消去时间变量，验证定值。 ‌比例参数‌：如线段比例或代数式含系数m（如mAB−2BC），需通过参数约束条件确定定值。 通过参数化建模、代数式分离与含时项消去，可系统解决含参型动态定值问题，需特别注意参数解的适用范围及多解可能性。 例1（24-25七年级上·山东淄博·期末）如图，数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，其中数a是多项式的一次项系数的相反数，数b是常数项，c是单项式的次数． (1)__________，__________，__________； (2)若点A，B，C从初始位置开始沿着数轴运动，点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，t秒过后，若点A和点B之间距离表示为，若点B和点C之间距离表示为，求和；（用含t的式子表示） (3)若的值不随着时间t的变化而变化．请求出此时m的值． 【答案】(1)，，(2)，(3) 【详解】（1）解：∵数a是多项式的一次项系数的相反数，数b是常数项，c是单项式的次数．而 的一次项系数是，常数项是，单项式的次数是 ，， （2）解：点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，所以运动后对应的数为； 点B以每秒1个单位长度的速度向右运动，所以运动后对应的数为； 点C以每秒3个单位长度的速度向右运动，所以运动后对应的数为； ∴t秒过后，，． （3）解：， 不随t的变化而变化，，解得：． 例2（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知：数轴上有，，三点 (位置如图所示) ，点和点相距个单位长度且点，表示的有理数互为相反数，点A和点C相距个单位长度，数轴上有一动点从点出发，以2个单位秒的速度向右沿数轴运动，设运动时间为秒． (1)点表示的有理数是 ，点表示的有理数是 ，点表示的数是 （用含的式子表示）． (2)当、两点之间相距10个单位长度时，求t的值． (3)若点A、点和点与点同时在数轴上运动，点以1个单位秒的速度向左运动，点和点分别以3个单位秒和4个单位秒的速度向右运动，若两点间的距离用表示两点的大写字母表示，如： 点 A，P两点间的距离表示为，是否存在常数，使得为一个定值，若存在，请求出值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，(2)或(3)存在，，定值为 【详解】（1）解：设点表示的数为，则点表示的数为， 点和点间距个单位长度，，解得， 点表示的有理数是；点表示的有理数是， ，点表示的有理数是， 动点从点出发，以2个单位长度秒的速度向右沿数轴运动，运动时间为秒， 点表示的数是，故答案为：，，； （2）解：当点在点左边时，， 、两点之间相距个单位长度，，解得， 当点在点右边时，， 、两点之间相距个单位长度，，解得， 当或秒时，、两点之间相距个单位长度， （3）解：存在常数，使得为一个定值， 理由如下：由题意可知，点表示的数为；点表示的数为；点表示的数为， ，，， ， 要使得为一个定值，，解得， ，，这个定值为． 例3（24-25七年级上·四川成都·期中）阅读材料：在数轴上，点表示的有理数为，点表示的有理数为，当时，点，之间的距离记作：；当时，点，之间的距离记作：．例如：，，则． 根据以上知识解决下列问题：如图，已知数轴上两点，表示的数分别为，12，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)__________，点表示的数为__________．（用含的式子表示） (2)动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，点，，同时出发． ①若点，两点到原点的距离相等，求的值； ②在某个时间段内，的值不随的变化而变化，求出该时段，应满足的数量关系． 【答案】(1)(2)①当或时，点，两点到原点的距离相等；②的值不随的变化而变化，该时段，应满足的数量关系为：或 【详解】（1）解：数轴上两点，表示的数分别为，12，∴， ∵动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒， ∴点表示的数为，故答案为：； （2）解：①动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，∴点表示的数为：， ∴点到原点的距离为，点到原点的距离为：， ∵点，两点到原点的距离相等，∴， 当时，，解得，；当时，，解得，； 综上所述，当或时，点，两点到原点的距离相等； ②根据题意，点表示的数为，点表示的数为：，点表示的数为， 如图所示，点在店左边， ∴，，∴ ， ∵的值不随的变化而变化，∴；如图所示，点在店右边， ∴，， ∴， ∵的值不随的变化而变化，∴； 综上所述，的值不随的变化而变化，该时段，应满足的数量关系为：或． 模型8.数轴折叠（翻折）模型 【解题技巧】 数轴折叠模型通过几何对称性分析折叠前后点的对应关系，解决折痕位置、对称点等问题。 1）若折叠后点a与点b重合，则折痕对应的点m为两点的中点，满足：或b=2m−a 2）折叠后，对称点到折痕的距离相等，折痕位置可通过线段比例或代数方程求解。 3）若折叠后动点继续运动，需分段分析折叠前后的位置变化及运动轨迹。 例1（2024·山东·七年级月考）在数轴上，已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面． （1）若1表示的点与表示的点重合，则4表示的点与数______表示的点重合； （2）若-1表示的点与3表示的点重合，-3表示的点与数______表示的点重合； （3）若数p表示的点与原点重合，此时折线与数轴的交点表示的有理数是______； （3）若数轴上A、B两点之间的距离为m个单位长度，点A表示的有理数是a，并且A、B两点经折叠后重合，请写出此时折线与数轴的交点表示的有理数是______． 【答案】（1）-4；（2）5；（3）或． 【详解】（1）若1表示的点与﹣1表示的点重合，则4表示的点与-4表示的点重合，故答案为：-4 （2）若﹣1表示的点与3表示的点重合，-3表示的点与5表示的点重合，故答案为：5 （3）若数轴上A、B两点之间的距离为m个单位长度，点A表示的有理数是a，并且A、B两点经折叠后重合，此时若A在交点左边，折线与数轴的交点表示的有理数是，若A在交点右边，折线与数轴的交点表示的有理数是．故答案为：或 例2（2024·江苏·七年级期中）平移和翻折是初中数学中两种重要的图形变化，阅读并回答下列问题： （一）平移：在平面内，讲一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移． （1）把笔尖放在数轴的原点处，先向左移动3个单位长度，再向右移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示的数是 ； （2）一个机器人从数轴上原点出发，并在数轴上移动2次，每次移动2个单位后到达B点，则B点表示的数是 ； （3）如图，数轴上点A表示的数为−1，点B表示的数为1，点P从5出发，若P，A两点的距离是A，B两点距离的2倍，则需将点P向左移动 个单位． （二）翻折：将一个图形沿着某一条直线折叠的运动． （4）若折叠纸条，表示−3的点与表示1的点重合，则表示−4的点与表示 的点重合； （5）若数轴上A，B两点之间的距离为10，点A在点B的左侧，A，B两点经折叠后重合，折痕与数轴相交于表示−1的点，则A点表示的数为 ； （6）在数轴上，点M表示是的数为4，点N表示的数为x，将点M，N两点重合后折叠，得折痕①，折痕①与数轴交于P点；将点M与点P重合后折叠，得折痕②，折痕②与数轴交于Q点．若此时点M与点Q的距离为2，则x＝ ． 【答案】（1）；（2）或或；（3）2或10；（4）2；（5）-6；（6）或 【详解】解：（1）笔尖的位置表示的数为故答案为； （2）机器人向右移动两次，则B点表示的数为 机器人向左移动两次，则B点表示的数为 机器人向右移动一次，再向左移动一次，则B点表示的数为 故答案为或或 （3）设点P向左移动个单位，则点P表示的数为，，， 由题意可得：，解得或即向左平移2或10个单位长度 故答案为2或10 （4）由题意可得：对称中心为，则表示−4的点与表示2的点重合 故答案为2 （5）由题意可得，A点在表示−1的点的左侧5个单位长度，则A点表示的数为 故答案为-6 （6）由题意可得：，则， 即之间的距离为8 当在左侧时，，点N表示的数为-4 当在右侧时，，点N表示的数为12 故答案为或 例3（23-24七年级上·河南平顶山·期末）综合与探究 数轴可以将数与形完美结合．请借助数轴，结合具体情境解答下列问题： (1)平移运动：一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳完5次时，落在数轴上的点表示的数是 ；当它跳完2024次时，落在数轴上的点表示的数是 ． (2)翻折变换：①若折叠数轴所在纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示5的点与表示 的点重合． ②若数轴上D、E两点经折叠后重合，两点之间的距离为2024（D在E的左侧，且折痕与①折痕相同），则D点表示 ，E点表示 ．③一条数轴上有点M、N、P，其中点M、N表示的数分别是、8，现以点P为折点，将数轴向右对折，若点M对应的点落在点N的右边，并且线段的长度为3，请直接写出点P表示的数 ． 【答案】(1)；1012 (2)①；②；1013；③ 【详解】（1）解：根据机器人的运动方式可知， 它跳完第1次时，落在数轴上的点表示的数是：； 它跳完第2次时，落在数轴上的点表示的数是：1； 它跳完第3次时，落在数轴上的点表示的数是：； 它跳完第4次时，落在数轴上的点表示的数是：2； 它跳完第5次时，落在数轴上的点表示的数是：； 它跳完第6次时，落在数轴上的点表示的数是：3；…， 由此可见，它跳完第次时，落在数轴上的点表示的数是n， 它跳完第次时，落在数轴上的点表示的数是； 当，即 时，， 所以它跳完第5次时，落在数轴上的点表示的数是； 当，即时，可得它跳完第2024次时，落在数轴上的点表示的数是1012； 故答案为： ，1012． （2）①由表示的点与表示3的点重合可知，，则折点所表示的数为1． 因为，所以表示5的点与表示的点重合．故答案为：． ②因为折痕与①的折痕相同，所以这次折叠的折点所表示的数也为1． 又因为， 所以点D表示的数为，点E表示的数为1013．故答案为：，1013． ③由折叠可知，， 因为点M、N表示的数分别是、8，所以 ． 又因为点落在点N的右边，并且线段的长度为3，所以． 因为，，所以点P表示的数为．故答案为：． 模型9.数轴上的线段移动模型 【解题技巧】 数轴上的线段移动模型研究线段整体平移的动态变化规律，需结合代数表达与几何关系分析线段长度、覆盖范围等核心问题。 线段沿数轴以固定速度单向或往返移动，需用代数式表示端点位置变化（如左移减速度，右移加速度）；动态过程中需关注线段覆盖区域，及与其他线段的交互（如重叠）。部分模型中，线段长度或端点间的代数差保持恒定（如平移速度对称时，两动线段差为定值）。 例1（24-25七年级上·云南昭通·期末）如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数．已知数是最大的负整数，且数，满足． (1)填空：______，______，______；(2)若数轴上有一点，满足，且点在点的右侧，求点表示的数；(3)在（）的条件下，线段和分别以个单位长度秒和个单位长度秒的速度同时向右运动，运动时间为秒，为线段的中点，为线段的中点．若，求的值． 【答案】(1)，，；(2)；(3)或． 【详解】（1）解：∵，∴，， ∵数是最大的负整数，∴，故答案为：，，； （2）解：设点表示的数为，根据题意，得， 解得，所以点表示的数为； （3）解：由（）（），得，，，四点在数轴上所表示的数分别为，，，， 所以运动前，两点在数轴上所表示的数分别为，，则运动秒后，，两点在数轴上所表示的数分别为，， 分两种情况讨论：线段没有追上线段，，解得； 线段追上线段后，，解得；综上所述，的值为或． 例2（24-25七年级上·天津河北·期中）在一条光滑的轨道上，滑块，可在轨道上进行无摩擦的滑动，，分别从点，同时出发，以相同的速度相向运动．沿着轨道建立数轴，规定向右为正方向，，两点表示的数分别为，，且，b满足． (1)则______，______；(2)若，的速度均为个单位/秒，运动时间为（秒）．，滑块碰撞后会相互弹开，并分别以原来速度的和原路返回，问：经过多长时间，两滑块在轨道上相距个单位长度？（不考虑滑块的尺寸大小） (3)拓展应用：已知数轴上两点，对应的数分别是，，，，为数轴上三个动点，点从点出发速度为每秒个单位，点从点出发速度为点的倍，点从原点出发速度为每秒个单位．若点，，同时都向右运动，求多长时间点到点，的距离相等？ 【答案】(1)；(2)经过或秒，两滑块在轨道上相距个单位长度 (3)或秒时，点到点，的距离相等 【详解】（1）解：，，， ，，故答案为：，； （2）解：还未碰撞时，，解得：， ，解得：，相撞时，，在数轴上处； 碰撞后，的速度为个单位秒，的速度为个单位秒，，解得：， ，经过或秒，两滑块在轨道上相距个单位长度； （3）解：当点还未追上点时，，解得：， 当点追上点时，，解得：，或秒时，点到点，的距离相等． 例3（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图1，在数轴上有A，B两点，点A表示的数为4，点B在A点的左边，且，若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动．若点P，Q分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． (1)写出数轴上点B表示的数为________，P所表示的数为________（用含t的代数式表示）． (2)点P运动多少秒与Q相距3个单位长度？ (3)如图2，分别以和为边，在数轴上方作正方形和正方形，如图所示，求当t为何值时，两个正方形的重叠部分面积是正方形面积的一半？ 【答案】(1)；(2)3或5秒(3)4.8或24 【详解】（1）解：点在点的左边，，点表示4，点表示的数为， 动点从数轴上点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，则点表示的数为， 故答案为：；； （2）解：依题意得，点表示的数为，点表示的数为， 若点在点右侧时：，解得：； 若点在点左侧时：，解得：； 综上所述，点运动3秒或5秒时与相距3个单位长度； （3）解：如图1，均在线段上， 两正方形有重叠部分，点在点的左侧，， ，重叠部分面积， 重叠部分的面积为正方形面积的一半，，∵，，解得：； 如图2，均在线段外，， 重叠部分面积，，∵，，解得：，故答案为：4.8或24． 1．（24-25七年级上·四川南充·期末）如图，数轴上点表示的有理数为，点表示的有理数为8，点从点出发以每秒1个单位长度的速度在射线上向点运动；同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上先向点运动，当与点相遇后立刻改变方向仍以原速与点同向运动．当时，点表示的有理数为（） A．0 B． C．或0 D．或 【答案】C 【详解】解：设点运动了秒时，， 表示的数为，点表示的数为8，， 由题意得：点运动了秒时，点与点相遇 当点与点相遇前，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，， 点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，， ，，解得：，点表示的有理数为； 当点与点相遇后返回时，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， ，点从点出发，与点相遇后立刻改变方向仍以原速与点同向运动， ，，，解得：， 点表示的有理数为；综上所述，点表示的有理数为或0，故选：C． 2．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图，在数轴上，点A表示的数是，点B表示的数是2，AB表示点A与点B之间的距离．若点P从点A出发，点M从点B出发，点P，M同时向数轴负方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点M的速度是每秒5个单位长度．当P，M两个点的距离为3个单位长度时，运动时间为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】设运动时间为，则后点P表示的数为，点M表示的数为． 当点P在点M左侧时，，解得； 当点P在点M右侧时，，解得． 综上所述，当P，M两个点的距离为3个单位长度时，运动时间为或． 3．（23-24七年级上·福建泉州·期中）如图，点的初始位置位于数轴上的原点，现对点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至点，第2次从点向左移动4个单位长度至点，第3次从点向右移动7个单位长度至点，第4次从点向左移动10个单位长度至点，…以此类推，移动5次后该点对应的数为 ．这样移动2023次后该点到原点的距离为 ． 【答案】 7 3034 【详解】解：由题知，移动1次后该点对应的数为1；移动2次后该点对应的数为； 移动3次后该点对应的数为；移动4次后该点对应的数为； 移动5次后该点对应的数为；…， 所以移动n次后该点对应的数为（n为奇数）； 又因为 当时，原式， 即移动2023次后该点对应的数为3034，所以该点到原点的距离为3034．故答案为：7，3034． 4．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，已知数轴上A、B两定点对应的数是，40，动点M、N同时从点A出发向点B运动，点M的速度为3个单位长度/秒，点N的速度为2个单位长度/秒，到达点B后折返向点A继续运动，其中某点回到点A时，全部停止，经过 秒点A到点N的距离刚好等于点B到点M的距离． 【答案】12或36 【详解】解：设时间为秒，∵A、B两定点对应的数是，40，∴， ∴M到达B需要的时间为秒，N到达B需要的时间为秒， M从到A出发，然后返回到A需要的时间为秒， 当时，，解得， 当时，，解得（不符合题意，舍去）， 当时，，解得， 综上，经过12秒或36秒，点A到点N的距离刚好等于点B到点M的距离．故答案为：12或36． 5．（24-25七年级上·山西运城·期末）已知数轴上、两点位于原点两侧（点在点的左侧），点到原点的距离是点到原点距离的3倍，且，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度运动，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度运动，、均沿轴正方向运动，当等于10时，运动时间为 秒． 【答案】或/13或3 【详解】解：点到原点的距离是点到原点距离的3倍，且， ∴点表示的数为，点表示的数为， 设运动时间为，则点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴，解得：或，故答案为：或． 6．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，点O为原点，A、B为数轴上两点， ，且，点P从点B开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点P开始运动时，点A、B分别以每秒5个单位和每秒1个单位的速度同时向右运动，设运动时间为t秒，若的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则 ． 【答案】或 【详解】解：∵，且，∴，， ∴A点对应的数为，B点对应的数是5， 经过t秒后，A点对应的数为，B点对应的数为，P点对应的数为 ,则，，， ①当时， ，， 当，即时，的值在某段时间内不随t的变化而变化； ②当时，，， 当，即时，的值在某段时间内不随着t的变化而变化； 综上所述，当或时的值在某段时间内不随t着的变化而变化．故答案为：或． 7．（23-24七年级上·河南平顶山·期末）如图，点A和点B在数轴上对应的有理数分别是和7，原点为O，现在有点P从A出发以每秒3个单位的速度向右运动，同时，点Q从点B出发以每秒2个单位的速度向左运动，经过t秒时，点P和点Q到原点的距离相等，则t的值为 ．    【答案】或 【详解】解：由题意可得：对应的数为，对应的数为， ∵点P和点Q到原点的距离相等，∴， ∴或，解得：或，故答案为：或 8．（2024七年级上·江苏·专题练习）已知，如图A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为90． (1)与A、B两点距离相等的M点对应的数是 ； (2)现在有一只电子蚂蚁P从B点出发时，以5个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，则C点对应的数是 ； 【答案】(1)40(2) 【详解】（1）解：M点对应的数是：；故答案为：40； （2）A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为90，， 设t秒后P、Q相遇，，解得， 此时点P走过的路程为，此时C点表示的数为． 即：C点对应的数是．故答案为：． 9．（23-24七年级上·安徽六安·期末）如图，在数轴上A点表示数，B点表示数6，若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，则经过 秒，甲球到原点的距离等于乙球到原点的距离的两倍． 【答案】2或 【详解】解：设运动t秒，甲球到原点的距离等于乙球到原点的距离的两倍， 当乙小球没有碰到挡板之前，甲球到原点的距离等于乙球到原点的距离的两倍时， ∴，解得； 当乙小球没有碰到挡板之后，甲球到原点的距离等于乙球到原点的距离的两倍时， ∴，解得； 综上所述，经过2秒或秒时，甲球到原点的距离等于乙球到原点的距离的两倍，故答案为；2或． 10．（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）【基础定义】丹东是我国最大最美最适合人们居住的边境城市，丹东的气候属于暖带湿润季风气候区，四季分明，景色优美，被誉为“北国江南”．人们如果能够生活在这个城市是一种幸运．生活在丹东的数学李老师突发奇想，在数学课上给出了定义：在数轴上，若点到点的距离恰好是3，则称点为点的“幸运点”．若点C到点A、B的距离之和为6，则称点C为点A、B的“幸运中心”． 【基础应用】（1）若点表示的数是，则点的“幸运点”点表示的数是___________ （2）已知点表示的数是，点表示的数是，且．若点为点M、N的“幸运中心”，则点C表示的数可以是___________（填一个满足要求的数即可）． 【提升应用】（3）若点表示的数是，点表示的数是4，点表示的数是8，一个电子蚂蚁Q从点P出发，以3单位/秒的速度沿数轴向左运动，若经过t秒电子蚂蚁Q是点A、B的“幸运中心”，求出t的值． 【答案】（1）−5或1；（2）2（答案为大于等于−3小于等于3之间的数即可）；（3）或 【详解】解：（1）表示的数为或，故答案为：−5或1； （2）∵∴，，∴，， ∴点表示的数是，点表示的数是，∴点、的距离为， ∵点为点、的“幸运中心”，∴点在点、之间， 即点表示的数可以是与之间的数，包括与， ∴点表示的数可以是2，故答案为：2（答案不唯一）； （3）∵点表示的数是，点表示的数是4，∴点、之间的距离为，故有两种可能． 设经过秒点是、的“幸运中心”，则点表示的数为， ①点Q在点B和点P之间，则有：，解得：， ②点在点的左侧，则有，解得：， 综上所述：当经过或秒时，点Q是、的“幸运中心”． 11．（24-25七年级上·重庆·期中）如图1，在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为，即．如图2，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，a是3的相反数，b是最大的负整数，c是多项式的次数． (1) ， ， ．(2)x是数轴上任意一个有理数，则有最小值是 ，有最大值是 ，当取得最大值时相应的有理数x的取值范围是 ． (3)如图，点E，F，G是数轴上的三点，E点表示数是，F点表示数是，G点表示数是，点E，F，G同时开始在数轴上运动，若点E以每秒个单位长度的速度向左运动，点F和点G分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设t秒后，若点E与点F之间的距离表示为，点E与点G之间的距离表示为，点F与点G之间的距离表示为．若的值是一个定值，请求出m的值． 【答案】(1)(2)7；7；(3)或 【详解】（1）解：a是3的相反数，b是最大的负整数，c是多项式的次数， ∴；故答案为：； （2）代数式表示点x与的距离与点x与点4距离的和， 当时，，此时， 当时，， 当时，，此时， 故当时，的值最小，最小值为7； 代数式表示点x与的距离与点x与点4距离的差， 当时，， 当时，，此时， 当时，，∴有最大值是7，当取得最大值时相应的有理数x的取值范围是；故答案为：7；7；； （3）根据题意，t秒后，E点表示数是，F点表示数是，G点表示数是， 当F点与G点重合时，可有 ，解得，分两种情况讨论： ①当时，，， ∴， ∵若的值是一个定值， ∴，解得； ②当时，，， ∴， ∵若的值是一个定值， ∴，解得． 综上所述，m的值为或． 12．（2024·重庆九龙坡·七年级期末）已知数轴上的点，，，所表示的数分别是，，，，且．（1）求，，，的值；（2）点，沿数轴同时出发相向匀速运动，秒后两点相遇，点的速度为每秒4个单位长度，求点的运动速度； （3），两点以（2）中的速度从起始位置同时出发，向数轴正方向运动，与此同时，点以每秒1个单位长度的速度向数轴正方向开始运动，在秒时有，求的值； （4），两点以（2）中的速度从起始位置同时出发相向匀速运动，当点运动到点起始位置时，迅速以原来速度的2倍返回；到达出发点后，保持改后的速度又折返向点起始位置方向运动；当点运动到点起始位置时马上停止运动．当点停止运动时，点也停止运动．在此运动过程中，，两点相遇，求点，相遇时在数轴上对应的数（请直接写出答案）． 【答案】（1），，，；（2）点C的运动速度为每秒2个单位；（3）或20；（4），，． 【详解】（1）∵， ∴，∴，，，； （2）设点C运动速度为x，由题意得：，解得：， ∴点C的运动速度为每秒2个单位； （3）t秒时，点A数为，点B数为-12，点C数为，点D数为， ∴，， ∵，∴①时，，解得：； ②20-2t＜0时，即t＞10，，解得：；∴或20． （4）C点运动到A点所需时间为，所以A，C相遇时间，由（2）得时，A，C相遇点为，A到C再从C返回到A，用时； ①第一次从点C出发时，若与C相遇，根据题意得，＜10，此时相遇数为；②第二次与C点相遇，得，解得＜10，此时相遇点为；∴A，C相遇时对应的数为：，，． 13．（2024·湖北·七年级阶段练习）已知三点在数轴上所对应的数分别为且满足．动点从点出发，以2单位/秒的速度向右运动，同时，动点从点出发，以1单位秒的速度向左运动，线段为“变速区”，规则为: 从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．当点到达点时，两点都停止运动．设运动的时间为秒．(1) ______，______，______； (2)①动点从点运动至点时，求的值；②两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数； (3)若点为线段中点，当________秒时，． 【答案】（1）；（2）①19s；②；（3）当秒时，． 【详解】解：（1）； （2）①∵∴ ∴动点从点运动至点时，； ②设两点在点相遇，点在数轴上所对应的数为． 易知点落在线段段，依题意有: 解得: ∴两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数为． （3）若点为线段中点，则D在数轴上表示的数为5 设时间为t时，MD=ND ①当点N在CB上，点M在AO上运动时，M=-10+2t，N=18-t 则MD=15-2t，ND=13-t 即15-2t=13-t，解得t=2； ②当点N在CB上，点M在OD上运动时，M=t-5，N=18-t则MD=10-t，ND=13-t 即10-t=13-t,无解； ③当点N在OB上，点M在OD上运动时，M=t-5,N=10-2(t-8) 则MD=10-t，ND=5-2(t-8) 即10-t=5-2(t-8)，解得t=11； ④当点N在OB上，点M在DB上运动时，M=t-5，N=26-2t 则MD=t-10，ND=21-2t 即t-10=21-2t，解得t=； ⑤当点N在OA上，点M在BC上运动时，M=2t-20，N=13-t则MD=2t-25，ND=t-8 即2t-25=t-8，解得t=17； 综上所述，当秒时，． 14．（2024·浙江宁波·七年级校考期中）数轴上点A表示，点B表示6，点C表示12，点D表示18．如图，将数轴在原点O和点B、C处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如，点A和点D在折线数轴上的和谐距离为个单位长度．动点M从点A出发，以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向终点D运动；点M从点A出发的同时，点N从点D出发，一直以3个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒． (1)当秒时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为__________； (2)当点M、N都运动到折线段上时，O、M两点间的和谐距离__________（用含有t的代数式表示）；C、N两点间的和谐距离__________（用含有t的代数式表示）；__________时，M、N两点相遇；(3)当__________时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度；当__________时，M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等． 【答案】(1)12(2)，，(3)或；8或 【详解】（1）当秒时，M表示的数是，N表示的数是， ∴M、N两点在折线数轴上的和谐距离为，故答案为：12； （2）由（1）知，2秒时M运动到O，N运动到C，∴当点M、N都运动到折线段上， 即时，M表示的数是，N表示的数是， ∴O、M两点间的和谐距离，C、N两点间的和谐距离， ∵M、N两点相遇时，M、N表示的数相同，∴，解得，故答案为：，，； （3）∵M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度， ∴，即，∴或， 解得或，由（1）知，时，M运动到O，同时N运动到C， ∴时，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等， 当，即M在从点O运动到点C时，，即， ∴或，解得或， 当时，M在从C运动到D，速度变为4个单位/秒，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，故答案为：或；8或． 15．（2024·广东·七年级期末）已知数轴上两点A、B对应的数分别为、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．(1)若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数； (2)数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；(3)点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？ 【答案】(1)1(2)或4(3)点P所经过的总路程是个单位长度 【详解】（1）∵，2的绝对值是2，，的绝对值是2，∴点P对应的数是1． （2）当P在之间，（不可能有） 当P在A的左侧，，得 当P在B的右侧，，得 故点P对应的数为或4； （3）设经过a分钟点A与点B重合，根据题意得：，解得．则． 答：点P所经过的总路程是个单位长度． 16．（2024·江苏·七年级专题练习）数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A、B两点之间的距离表示为．如：点A表示的数为2，点B表示的数为3，则． 问题提出：(1)填空：如图，数轴上点A表示的数为−2，点B表示的数为13，A、B两点之间的距离______，线段AB的中点表示的数为______． (2)拓展探究：若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发．以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒（t>0） ①用含t的式子表示：t秒后，点Р表示的数为______；点Q表示的数为______； ②求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数． (3)类比延伸：在（2）的条件下，如果P、Q两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自到达线段AB的端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段AB上做往复运动，那么再经过多长时间P、Q两点第二次相遇．请直接写出所需要的时间和此时相遇点所表示的数． 【答案】(1)；(2)①；；②当t为3时，P、Q两点相遇；相遇点所表示的数是7 (3)所需要的时间为9秒；相遇点所表示的数是1 【详解】（1）∵A表示的数为−2，点B表示的数为13， ∴AB＝|13−（−2）|＝15，线段AB的中点表示的数为；故答案为：15；． （2）①t秒后，点P表示的数为−2＋3t，点Q表示的数为13−2t；故答案为：−2＋3t；13−2t． ②根据题意得：−2＋3t＝13−2t，解得t＝3，相遇点所表示的数为−2＋3×3＝7； 答：当t为3时，P，Q两点相遇，相遇点所表示的数是7． （3）由已知得：P运动5秒到B，Q运动秒到A， 返回途中，P表示的数是13−3（t−5），Q表示的数是−2＋2（t−）， 根据题意得：13−3（t−5）＝−2＋2（t−），解得t＝9， 第二次相遇点所表示的数为：13−3×（9−5）＝1， 答：所需要的时间为9秒，相遇点所表示的数是1． 17．（2024·山东·七年级期末）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点． 例如：如图1，点A表示的数为－1，点B表示的数为2.表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点． 如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为－7，点N所表示的数为2 (1)点E，F，G表示的数分别是－3，6.5，11，其中是【M，N】美好点的是 　 　；写出【N，M】美好点H所表示的数是 　 　． (2)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点？ 【答案】(1)G；－4或－16(2)1.5，2.25，3，6.75，9，13.5 【详解】（1）解：根据美好点的定义，GM＝18，GN＝9，GM＝2GN，，只有点G符合条件，答案：G． 结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，点N的右侧不存在满足条件的点，点M和N之间靠近点M一侧应该有满足条件的点，进而可以确定－4符合条件．点M的左侧距离点M的距离等于点M和点N的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是－16．答案－4或－16； （2）解：根据美好点的定义，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况， 第一情况：当P为【M，N】的美好点，点P在M，N之间，如图1， 当MP＝2PN时，PN＝3，点P对应的数为2－3＝－1，因此t＝1.5秒； 第二种情况，当P为【N，M】的美好点，点P在M，N之间，如图2， 当2PM＝PN时，NP＝6，点P对应的数为2－6＝－4，因此t＝3秒； 第三种情况，P为【N，M】的美好点，点P在M左侧，如图3， 当PN＝2MN时，NP＝18，点P对应的数为2－18＝－16，因此t＝9秒； 第四种情况，M为【P，N】的美好点，点P在M左侧，如图4， 当MP＝2MN时，NP＝27，点P对应的数为2－27＝－25，因此t＝13.5秒； 第五种情况，M为【N，P】的美好点，点P在M左侧，如图5， 当MN＝2MP时，NP＝13.5，点P对应的数为2－13.5＝－11.5，因此t＝6.75秒； 第六种情况，M为【N，P】的美好点，点P在M，N左侧，如图6，当MN＝2MP时，NP＝4.5，因此t＝2.25秒； 第七种情况，N为【P，M】的美好点，点P在M左侧，当PN＝2MN时，NP＝18，因此t＝9秒， 第八种情况，N为【M，P】的美好点，点P在M右侧，当MN＝2PN时，NP＝4.5，因此t＝2.25秒， 综上所述，t的值为：1.5，2.25，3，6.75，9，13.5． 18．（2024·四川绵阳·七年级校考阶段练习）已知数轴上A、B两点对应的数分别为和4，P为数轴上一点，对应数为x．(1)请直接写出P所表示的数，使P到A点、B点距离的和为10． (2)若点A、点B和点P（点P在原点）同时向左运动，他们的速度分别为每秒1、2、1个（单位长度/秒）． ①几秒中后点P为线段的中点？并求出此时x的值；②是否存在点P，使得点P为线段的三等分点，若存在请求出x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或(2)①2秒中后点P为线段的中点；②或 【详解】（1）因为数轴上A、B两点对应的数分别为和4，P为数轴上一点，对应数为x，P到A点、B点距离的和为10， 当时，则，解得，符合题意； 当时，则，解得，符合题意； 当时，则，不符号题意，故或． （2）①根据题意,点B表示的数为，点A表示的数为，点P表示的数为， 因为点P为线段的中点，所以，解得． ②因为数轴上A、B两点对应的数分别为和4，所以， 当时，则，解得． 当时，则，解得． 当或时，点P为线段的三等分点． 19．（2024·福建·七年级校考期末）点在数轴上对应的数分别为，且满足． (1)如图，求线段的长；(2)若点C在数轴上对应的数为x，且x是方程的根，在数轴上是否存在点P使，若存在，求出点P对应的数，若不存在，说明理由；(3)如图，点P在B点右侧，的中点为为靠近于B点的四等分点，当P在B的右侧运动时，有两个结论：①的值不变；②的值不变，其中只有一个结论正确，请判断正确的结论，并求出其值． 【答案】(1)4(2)或(3)正确的结论为①的值不变，其值为2 【详解】（1）解：∵，∴，， ∴，∴．答：的长为4； （2）∵，∴，∴BC==5．设点P在数轴上对应的数是m， ∵，∴，令，，∴或． ①当时，，； ②当时，，（舍去）； ③当时，，． ∴当点P表示的数为或时，； （3）解：设P点所表示的数为n，∴，． ∵PA的中点为M，∴． ∵N为的四等分点且靠近于B点，∴B， ∴①=2（不变），②（随点P的变化而变化）， ∴正确的结论为①，且． 20．（2024·重庆璧山·七年级校考期末）如图，数轴上有三个点A，B，C表示的数分别是a，b，c，其中a，b，c满足，c是最小的正整数． (1)___________；___________；___________； (2)为使A，B两点的距离与C，B两点距离相等，可将点B向左移动几个单位长度？ (3)若动点P，Q分别从点A、点B出发，以每秒4个单位长度和每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，动点R从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，点P，Q，R同时出发，设运动时间为t秒． ①若动点Q到达点A后，速度变为每秒7个单位长度，继续向左运动，当t为何值时，点P与点Q距离3个单位长度？②记点P与点Q之间的距离为，点Q与点R之间的距离为，请用含t的代数式表示和，并判断是否存在一个常数m，使的值不随t的变化而改变，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由； 【答案】(1)(2)2个 (3)①t为或时，②存在，当时，的值不随t的变化而改变 【详解】（1）解：由数轴可知：； （2）解：设将点B向左移动个单位长度，则此时表示的数字为： 由题意得：，解得：； ∴为使A，B两点的距离与C，B两点距离相等，可将点B向左移动2个单位长度． （3）解：由题意的：点表示的数为：，点表示的数为：，点表示的数为：， ①到达时用的时间为：秒，∴表示的数为：， 当在左侧时：，解得：； 当在右侧时：，解得：； ∴t为或时，点P与点Q距离3个单位长度． ②存在，由题意得：，， ∴， ∵的值不随t的变化而改变，∴，∴． 21．（24-25七年级下·湖南衡阳·阶段练习）如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示，点表示，我们称点和点在数轴上相距个长度单位．动点从点出发，以单位秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点从点出发，以单位秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为秒．问： (1)动点从点运动至点所需的时间是______秒； (2)、两点相遇时，求出相遇的时间和点所对应的数是多少； (3)若、两点相遇，则两点均停止运动，求当为何值时，、两点在数轴上相距的长度与、两点在数轴上相距的长度相等． 【答案】(1)；(2)相遇时间为秒，相遇点所对应的数是；(3)的值为或或． 【详解】（1）解：由图可知：动点从点运动至分成三段, 分别为，，， ∴段时间为（秒），段时间为（秒），段时间为（秒）， ∴动点从点运动至点所需的时间是（秒），故答案为：； （2）解：由题可知，，两点相遇在线段上于处， 设，则， 解得， 相遇时间为：（秒），∴，∴表示，两点相遇点所对应的数是； （3）解：动点在上，动点在上， 则：，解得：； 动点在上，动点在上， 则：，解得：； 动点在上，动点在上，则：，解得：； 综上所述：的值为或或． 22．（23-24七年级上·山东青岛·期末）如图1，在数轴上点表示的数为，点表示的数为满足，点是数轴原点． (1)点表示的数为______，点表示的数为______，线段的长为______； (2)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在数轴上找一点，使，则点在数轴上表示的数为______； (3)在图1基础上，将一根长度为6个单位的木棒放在数轴上（如图2）．木棒的右端与数轴上的点重合，以每秒2个单位长度的速度向点移动；木棒出发6秒后，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向点移动；且当点到达点时，木棒与点同时停止移动．设点移动的时间为秒，当为多少时，点恰好距离木棒2个单位长度？ 【答案】(1)(2)或(3) 【详解】（1）解：，， 点表示的数为，点表示的数为，线段的长为，故答案为：； （2）解：设点在数轴上表示的数为， ①当点在中间，，，，，解得； ②当点在点左边，，，，，解得； ③当点在点右边，不符合题意；故答案为：或． （3）解：①当点位于木棒左侧时，，解得， ②当点位于木棒左侧时，，解得， 当点到达点时，木棒与点同时停止移动，，故舍去，故点移动的时间为秒． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 数轴中的九类动态模型 数轴中的动态问题属于（2024）人教版七年级上册必考压轴题型，主要以数轴为载体，体现分类讨论和数形结合等思想，考查学生的分析与综合能力。解题时，一般遵循“点、线、式”三步策略。即：先根据题意中动点的出发位置，移动方向和速度，用含t的式子表示动点，然后根据题中要求提炼出线段，用动点的含t表达式表示线段，最后根据线段间的等量关系，列出式子，然后求解（要检验解是否符合动点的运动时间范围）。 2 模型来源 2 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 4 模型1.动态规律（左右跳跃）模型 4 模型2.动态中点与n等分点模型 6 模型3.单（多）动点匀速模型 8 模型4.单（多）动点变速模型 11 模型5.动点往返运动模型 14 模型6.动态定值（无参型）模型 17 模型7.动态定值（含参型）模型 20 模型8.数轴折叠（翻折）模型 23 模型9.数轴上的线段移动模型 26 30 数轴中的动态模型（如动点问题）的历史发展，本质上是数轴工具与运动数学思想结合的产物，其演变可分为三个阶段：工具创造‌（17世纪）→动态启蒙‌（19-20世纪）→教学定型‌（21世纪）。数轴动态模型是‌笛卡尔几何工具‌与‌运动数学思想‌在教育场景中的实践结晶，其发展映射了数学从抽象理论向应用建模的转化过程。 （2025·山东淄博·二模）在数轴上，点表示原点，现将点从点开始沿数轴按如下规律移动：第一次点向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，…，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，点与原点的距离是 个单位． （24-25七年级上·江苏泰州·期末）A，B，C三点在数轴上所表示的数为，，2，一根长为3个单位长度的木棒如图放置在数轴上（点P与点B重合），当木棒以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点M、N分别从A、C出发，分别以每秒1个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，记木棒运动后对应的位置为，M、N运动后对应的位置为、，若为常数，则 ． （24-25七年级上·湖南株洲·期中）【阅读材料】我们知道“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大”，利用此规律，我们可以求数轴上两个点之间的距离，具体方法是：用右边的数减去左边的数的差就是表示这两个数的两点之间的距离．若点表示的数是，点表示的数是，点在点的右边（即），则点，之间的距离为（即）．例如：若点表示的数是，点表示的数是，则线段． 【理解应用】（1）已知在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，求线段的长； 【拓展应用】如图所示，点､､､在数轴上对应的数分别为､､､，其中是最大的负整数，､满足，且．（2） ； ； ； ． （3）若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点以每秒个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为秒，当､两点之间的距离为个单位长度时，求运动时间的值； ①若A、B两点在数轴上对应的数字是 a、b，则AB两点间的距离；AB中点对应的数字是：。 ②数轴动点问题主要步骤： 1）画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度； 2）写点——写出所有点表示的数：常用含t的代数式表示，向右运动用“+”表示，向左运动用“-”表示； 3）表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值； 4）列式求解——根据条件列方程或代数式，求值。 注意：要注意动点是否会来回往返运动，速度是否改变等。 ③分类讨论的思想： （1）数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，注意多种情况的分类讨论。 （2）对于两个动点P、Q，若点P、Q的左右位置关系不明确或有多种情况，可用p、q两数差的绝对值表示PQ 两点距离，从而避免复杂分类讨论。 模型1.动态规律（左右跳跃）模型 . 【解题技巧】‌运动规律性‌：动点按“左右交替”方向移动，步长呈现递增或周期性变化。 . ‌代数表达‌：动点位置需用含时间变量t的代数式表示。 . 例如，第n次移动后的位置可表示为：xn=xn−1±kn，其中k为步长基数，符号由移动方向决定。 . ‌分类讨论‌：根据移动次数、方向变化和步长规律进行分段分析，尤其注意动点是否跨越原点或特定临界点。 常见模型（1）：“1左1右”的等差数列式跳跃，两个一组根据规律计算即可； 常见模型（2）：“2左2右”的等差数列式跳跃，四个一组根据规律计算即可。 例1（2024·北京朝阳·七年级校考阶段练习）一个动点P从数轴上的原点O出发开始移动，第1次向右移动1个单位长度到达点P1，第2次向右移动2个单位长度到达点P2，第3次向左移动3个单位长度到达点P3，第4次向左移动4个单位长度到达点P4，第5次向右移动5个单位长度到达点P5…，点P按此规律移动，则移动第158次后到达的点在数轴上表示的数为（ ） A．159 B．-156 C．158 D．1 例2（2024七年级上·浙江·专题练习）如图，一动点从原点开始向左运动，每秒运动个单位长度，规定：每向左运动秒就向右运动秒．则动点运动到第秒时所对应的数是（   ） A． B． C． D． 例3（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段练习）一个机器人从数轴的原点出发，沿数轴的正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，该机器人每秒前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长，若表示第秒时机器人在数轴上的位置所对应的数，则 ； ； ． 例4（2024七年级上·山东·专题练习）如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点，，，…，（，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与的中点的距离是 ． 模型2.动态中点与n等分点模型 【解题技巧】 1）动态中点模型：动态中点指两动点在数轴上运动时，其中点位置随动点运动而变化。设动点A和B在时间t的位置分别为xA（t）和xB（t），则动态中点M（t）的坐标：。 该公式适用于任意时刻动态中点计算。 2）动态n等分模型：将线段AB分为n等份时，第k个等分点的坐标为：。 若A和B为动点，则等分点位置随时间变化，需建立动态表达式。 例1（24-25七年级上·广东深圳·期末）已知A，B是数轴上的两个点，点A，B所表示的数分别为，11，动点P以每秒4个单位长度的速度从点A向右运动，同时，动点M以每秒2个单位长度的速度从点B向左运动，用圆规在射线上截取（点D在点A右侧），当点D恰好落在中点时，点P运动时间为 秒． 例2（23-24七年级上·江西宜春·期中）数轴上的三个点，若其中一个点与其它两个点的距离相等，则称该点是其它两个点的“中点”，这三点满足“中点关系”．已知点，表示的数分别为，3，点为数轴上一动点．若，，三点满足“中点关系”时，则点表示的数为 ． 例3（23-24七年级上·福建三明·阶段练习）数轴上有A，B，C 三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”. 例：如图1所示，数轴上点A，B，C 所表示的数分别为1，3，4，因为，所以称点B 是点A，C的“关联点”．    图1    图2 (1)如图2所示，点A表示数，点B 表示数1，下列各数2，4，6所对应的点分别是C1，C2，C3其中是点A，B  的“关联点”的是 ; (2)如图3所示，点A 表示数，点B 表示数15，P 为数轴上一个动点： ①若点P 在点B 的左侧，且P 是点A，B  的“关联点”，求此时点P 表示的数；②若点P 在点B 的右侧，点P，A，B   中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”， 请求出此时点P 表示的数.     图3 例4（24-25七年级上·湖南长沙·期中）【知识准备】若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为．（1）在一条数轴上，O为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则的中点N所对应的数为_____． 【问题探究】（2）在（1）的条件下，若点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点D出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动．设运动时间为秒，为何值时，的中点所对应的数为1？ 【拓展延伸】（3）若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为靠近点A的三等分点，则我们有三等分点公式：点M对应的数为；若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点A的四等分点，则我们有四等分点公式：点M对应的数为． 填空：若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的等分点，则我们有等分点公式：点M对应的数为_____．（其中n为正整数） 模型3.单（多）动点匀速模型 【解题技巧】 模型（1）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向右移动，t秒后，到达B点，B点对应的数是：a+vt。 模型（2）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向左移动，t秒后，到达C点，C点对应的数是：a-vt。 例1（23-24七年级上·福建漳州·期末）如图，已知点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为8，点C是线段上一点，且，动点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动，若，则运动时间为 秒． 例2（23-24七年级上·河南洛阳·期末）如图，点在数轴上对应的数为，点对应的数为，点与点之间的距离记作．已知，则；若点以每秒1个单位的速度从点出发沿数轴向右运动，同时点以每秒2个单位的速度从点出发沿数轴向左运动，设运动时间是秒．当点与点之间的距离是8时，则的值为（    ）秒．    A． B．1 C．或7 D．或 例3（24-25七年级上·吉林四平·期末）如图，点O为原点，为数轴上两点，，且，若点同时向数轴负方向运动，点P从点A出发，点Q从原点出发，点M从点B出发，且点P的运动速度是每秒3个单位长度，点Q与点M的运动速度相同，都是每秒5个单位长度，设运动的时间为t秒，请回答下列问题： (1)A点表示的数为______，B点表示的数为______；(2)t秒后，点P表示的数为______；点M表示的数为______； (3)请求出当t为何值时，；(4)运动过程中，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，不包括两点重合时刻，请直接写出此时t的值？ 模型4.单（多）动点变速模型 【解题技巧】 单个动点在数轴上运动时，速度随时间或位置发生改变，需分段描述其运动轨迹。 例如：动点先以速度v1运动t1秒，再以速度v2反向运动t2秒。 其‌位置表达式‌：分段表示为x(t)=x0+v1t（0≤t≤t1）和x(t)=x(t1)−v2(t−t1)（t1<t≤t1+t2）。 上式中为x0初始位置，x(t)为t时刻的位置。 多个动点以不同速度或方向变化协同运动，需分别建模后寻找关联条件（如相遇、距离等）。 动态关系式‌：分别表示各动点位置，再通过相遇条件xP(t)=xQ(t)或距离公式∣xP(t)−xQ(t)∣=L列方程。 上式中xP(t)为动点P在t时刻的位置；xQ(t)为动点Q在t时刻的位置。 数轴上的单（多）动点变速模型用于描述动点在运动中速度发生变化的场景，需结合分段分析（按时间或位置划分运动阶段，确保每个阶段内速度恒定）和动态方程构建解决问题，最后注意检查解是否在对应时间段内，排除超时或重复解。 例1（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，在数轴上，点，在原点的两侧，分别表示，，．点以每秒个单位的速度从点向右运动，同时，点以每秒个单位的速度从点向左运动，是线段的中点，设运动时间为． (1)求点与点之间的距离；(2)当为何值时，，并求出此时点表示的数； (3)在，两点开始运动时，点以每秒个单位的速度从点向左运动．点经过原点后，其速度变为原来的倍，点变速后，若线段的长度始终是一个定值，求的值． 例2（24-25七年级上·重庆·期中）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”，图中，点A表示的数为，点B表示的数为6，点C表示的数为，我们称点A和点C在数轴上相距个长度单位，动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着折线数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒，则： (1)动点P从点A运动至点O需要 秒，从点O运动至点B需要 秒，从点B运动至点C需要 秒． (2)若两点在点M处相遇，则点M在折线数轴上所表示的数是多少？ (3)请直接写出当t为何值时，两点在数轴上相距的长度与两点在数轴上相距的长度相等． 例3（24-25七年级上·四川乐山·期中）已知两点在数轴上，与互为相反数，点表示的数是，且．      (1)点表示的数为______；(2)如图1，当点位于原点的同侧时，动点分别从点处在数轴上同时相向而行，动点的速度是动点的速度的1.5倍，4秒后两动点相遇，当动点到达点时，运动停止．在整个运动过程中，当　　秒，使得两点的距离为5； (3)如图2，当点位于原点的异侧时，动点分别从点处在数轴上向右运动，动点比动点晚出发1秒；当动点运动2秒后，动点到达点处，此时动点立即掉头以原速向左运动3秒恰与动点相遇；相遇后动点又立即掉头以原速的2倍向右运动6秒，此时动点到达点处，动点到达点处，当时，求动点的原速和运动的速度． 模型5.动点往返运动模型 【解题技巧】 . 数轴上动点往返运动的位置计算需结合‌方向变化、分段累加‌和‌代数建模。 . 注意事项： . 1）‌时间范围验证‌：解方程后需检查时间是否在对应运动阶段内。 . 2）‌多解可能性‌：往返可能导致动点多次经过同一位置，需列绝对值方程并分情况讨论。 3）通过以上方法，可系统计算数轴动点往返后的位置，需重点关注‌方向符号处理‌和‌分段累加规则。‌ 例1（23-24七年级上·福建莆田·期末）如图：数轴上，，三点分别表示的数为、、，点表示的数为． 【阅读材料】：在数轴上表示数的点到原点的距离叫做的绝对值，记为，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记为（或），数轴上数表示的点到表示数的点与表示数的点的距离之和记为． 【结合数轴，解决问题】(1)填空：若，则______．若，______； (2)若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，动点到点、点的距离之和为；(3)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，当到达点后立即返回点，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，当经过多少秒时，点、点之间的距离正好等于点、点的距离 例2（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A、B两点之间的距离表示为．如：点A表示的数为2，点B表示的数为3，则． (1)问题提出：如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为13，A、B两点之间的距离______． (2)拓展探究：若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发．以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒（） ①用含t的式子表示：t秒后，点Р表示的数为______；点Q表示的数为______； ②求当t为何值时，P、Q两点相遇，并求出相遇点所表示的数． (3)类比延伸：在（2）的条件下，如果P、Q两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自到达线段的端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段上做往复运动，那么再经过多长时间P、Q两点第二次相遇．请直接写出所需要的时间和此时相遇点所表示的数． 例3（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）在一个轨道长为的轨道架上做钢球碰撞实验，如图所示，轨道架上放了三个大小、质量完全相同的钢球A，B，C，  左右各有一个钢制挡板D 和E， 其中C 到左挡板的距离为，B 到右挡板的距离为，A，B 两球相距．以轨道所在的直线画数轴，A 球在原点，B球表示的数为30．    (1)C球表示的数为 ， 挡板E表示的数为 ；(2)碰撞实验中（钢球大小、相撞时间不计），钢球的运动都是匀速的，当一钢球以一速度撞向另一静止钢球时，这个钢球停留在被撞钢球的位置，被撞钢球则以同样的速度向前运动，钢球撞到左右挡板则以相同的速度反向运动，现A 球以每秒的速度 向右匀速运动，① 秒后B 球第一次撞向右挡板E， 秒后B球第二次撞向右挡板E； ②当三个球运动的路程和为时， 球正在运动（填“A”，“B”，“C”）， 此时，A 球表示的数为 ，B 球表示的数为 ，C 球表示的数为 ． 模型6.动态定值（无参型）模型 【解题技巧】 数轴上的动态定值（无参型）模型描述动点运动过程中某些量（如线段长度、距离差等）保持不变的场景，需通过代数表达和几何关系分析定值的存在性及数值。题目中不引入额外参数（如速度、时间变量），直接通过动点初始位置、运动规则或几何关系推导定值。 1）解题策略与步骤：‌ ‌步骤1‌：用代数式表示动点位置，例如动点A从x0​出发，以速度v移动，则t秒后位置为x0+vt。 ‌步骤2‌：根据题目条件（如中点、等分点）建立相关量的表达式（如线段长度、差值的绝对值）。 ‌步骤3‌：化简表达式，观察是否消去变量项，验证是否为定值。 2）常见定值类型： 线段长度定值‌：两动点或动点与定点间的距离保持恒定。 ‌代数式定值‌：如∣xA−xB∣±kxC的值为固定常数。 ‌位置关系定值‌：如动点始终为中点或特定分点，导致相关表达式不变。 例1（24-25七年级上·陕西西安·期中）如图：已知，在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，且a、b、c满足。(1)________，________，________． (2)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒3个单位长度和1个单位长度的速度向右运动．假设t秒钟（）过后，点A与点B之间的距离表示为，点A与点C之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为． 则________，________，________；（用含t的代数式表示）； (3)在（2）的条件下，当点B运动到点C右边时，的值是否随着t值的变化而变化？若变化，请说明理由，若不变，请求出其值． 例2（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，数轴上有A，B，C三点，点表示的数为60，点在点的左侧且，点A，B表示的数互为相反数．数轴上有一动点从点出发，以5个单位/秒的速度向左沿数轴运动，设运动时间为秒． (1)点表示的数是__________：点表示的数是__________．(2)当为何值时，？ (3)若点，点，点与点同时在数轴上运动，点和点分别以2个单位/秒和1个单位/秒的速度向右运动，点以4个单位/秒的速度向左运动．请问：是否存在某一时段，使的值为一个定值？若存在，请求出这个定值及对应的的取值范围；若不存在，请说明理由． 例3（23-24七年级上·四川攀枝花·期中）已知数轴上A，B两点对应的数分别为，6，O为原点，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x，(1)______，______（用含x的式子表示）； (2)在数轴上是否存在点P，使？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由； (3)若点P以每秒1个单位长度的速度从O点向右运动，同时点A以每秒5个单位长度的速度向左运动，点B以每秒20个单位长度的速度向右运动，在运动过程中，M，N分别是的中点，问的值是否发生变化？请说明理由． 模型7.动态定值（含参型）模型 【解题技巧】 数轴上动态定值（含参型）模型需分析含参数（如速度、距离比例等）的动点运动过程中某些量的恒定性，通过代数建模和参数消去法验证定值存在性及数值。 ‌线段和差定值‌：如PA+PB或∣PA−PB∣恒为常数，需结合参数化简表达式。 ‌代数式定值‌：如kxA+mxB的值与时间无关，需分离含时项并令其系数为零。 速度参数‌：多个动点以不同速度运动，需联立方程消去时间变量，验证定值。 ‌比例参数‌：如线段比例或代数式含系数m（如mAB−2BC），需通过参数约束条件确定定值。 通过参数化建模、代数式分离与含时项消去，可系统解决含参型动态定值问题，需特别注意参数解的适用范围及多解可能性。 例1（24-25七年级上·山东淄博·期末）如图，数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，其中数a是多项式的一次项系数的相反数，数b是常数项，c是单项式的次数． (1)__________，__________，__________； (2)若点A，B，C从初始位置开始沿着数轴运动，点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，t秒过后，若点A和点B之间距离表示为，若点B和点C之间距离表示为，求和；（用含t的式子表示） (3)若的值不随着时间t的变化而变化．请求出此时m的值． 例2（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知：数轴上有，，三点 (位置如图所示) ，点和点相距个单位长度且点，表示的有理数互为相反数，点A和点C相距个单位长度，数轴上有一动点从点出发，以2个单位秒的速度向右沿数轴运动，设运动时间为秒． (1)点表示的有理数是 ，点表示的有理数是 ，点表示的数是 （用含的式子表示）． (2)当、两点之间相距10个单位长度时，求t的值． (3)若点A、点和点与点同时在数轴上运动，点以1个单位秒的速度向左运动，点和点分别以3个单位秒和4个单位秒的速度向右运动，若两点间的距离用表示两点的大写字母表示，如： 点 A，P两点间的距离表示为，是否存在常数，使得为一个定值，若存在，请求出值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 例3（24-25七年级上·四川成都·期中）阅读材料：在数轴上，点表示的有理数为，点表示的有理数为，当时，点，之间的距离记作：；当时，点，之间的距离记作：．例如：，，则． 根据以上知识解决下列问题：如图，已知数轴上两点，表示的数分别为，12，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)__________，点表示的数为__________．（用含的式子表示） (2)动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，点，，同时出发． ①若点，两点到原点的距离相等，求的值； ②在某个时间段内，的值不随的变化而变化，求出该时段，应满足的数量关系． 模型8.数轴折叠（翻折）模型 【解题技巧】 数轴折叠模型通过几何对称性分析折叠前后点的对应关系，解决折痕位置、对称点等问题。 1）若折叠后点a与点b重合，则折痕对应的点m为两点的中点，满足：或b=2m−a 2）折叠后，对称点到折痕的距离相等，折痕位置可通过线段比例或代数方程求解。 3）若折叠后动点继续运动，需分段分析折叠前后的位置变化及运动轨迹。 例1（2024·山东·七年级月考）在数轴上，已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面． （1）若1表示的点与表示的点重合，则4表示的点与数______表示的点重合； （2）若-1表示的点与3表示的点重合，-3表示的点与数______表示的点重合； （3）若数p表示的点与原点重合，此时折线与数轴的交点表示的有理数是______； （3）若数轴上A、B两点之间的距离为m个单位长度，点A表示的有理数是a，并且A、B两点经折叠后重合，请写出此时折线与数轴的交点表示的有理数是______． 例2（2024·江苏·七年级期中）平移和翻折是初中数学中两种重要的图形变化，阅读并回答下列问题： （一）平移：在平面内，讲一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移． （1）把笔尖放在数轴的原点处，先向左移动3个单位长度，再向右移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示的数是 ；（2）一个机器人从数轴上原点出发，并在数轴上移动2次，每次移动2个单位后到达B点，则B点表示的数是 ； （3）如图，数轴上点A表示的数为−1，点B表示的数为1，点P从5出发，若P，A两点的距离是A，B两点距离的2倍，则需将点P向左移动 个单位． （二）翻折：将一个图形沿着某一条直线折叠的运动． （4）若折叠纸条，表示−3的点与表示1的点重合，则表示−4的点与表示 的点重合； （5）若数轴上A，B两点之间的距离为10，点A在点B的左侧，A，B两点经折叠后重合，折痕与数轴相交于表示−1的点，则A点表示的数为 ； （6）在数轴上，点M表示是的数为4，点N表示的数为x，将点M，N两点重合后折叠，得折痕①，折痕①与数轴交于P点；将点M与点P重合后折叠，得折痕②，折痕②与数轴交于Q点．若此时点M与点Q的距离为2，则x＝ ． 例3（23-24七年级上·河南平顶山·期末）综合与探究 数轴可以将数与形完美结合．请借助数轴，结合具体情境解答下列问题： (1)平移运动：一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳完5次时，落在数轴上的点表示的数是 ；当它跳完2024次时，落在数轴上的点表示的数是 ． (2)翻折变换：①若折叠数轴所在纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示5的点与表示 的点重合． ②若数轴上D、E两点经折叠后重合，两点之间的距离为2024（D在E的左侧，且折痕与①折痕相同），则D点表示 ，E点表示 ．③一条数轴上有点M、N、P，其中点M、N表示的数分别是、8，现以点P为折点，将数轴向右对折，若点M对应的点落在点N的右边，并且线段的长度为3，请直接写出点P表示的数 ． 模型9.数轴上的线段移动模型 【解题技巧】数轴上的线段移动模型研究线段整体平移的动态变化规律，需结合代数表达与几何关系分析线段长度、覆盖范围等核心问题。 线段沿数轴以固定速度单向或往返移动，需用代数式表示端点位置变化（如左移减速度，右移加速度）；动态过程中需关注线段覆盖区域，及与其他线段的交互（如重叠）。部分模型中，线段长度或端点间的代数差保持恒定（如平移速度对称时，两动线段差为定值）。 例1（24-25七年级上·云南昭通·期末）如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数．已知数是最大的负整数，且数，满足． (1)填空：______，______，______；(2)若数轴上有一点，满足，且点在点的右侧，求点表示的数；(3)在（）的条件下，线段和分别以个单位长度秒和个单位长度秒的速度同时向右运动，运动时间为秒，为线段的中点，为线段的中点．若，求的值． 例2（24-25七年级上·天津河北·期中）在一条光滑的轨道上，滑块，可在轨道上进行无摩擦的滑动，，分别从点，同时出发，以相同的速度相向运动．沿着轨道建立数轴，规定向右为正方向，，两点表示的数分别为，，且，b满足． (1)则______，______；(2)若，的速度均为个单位/秒，运动时间为（秒）．，滑块碰撞后会相互弹开，并分别以原来速度的和原路返回，问：经过多长时间，两滑块在轨道上相距个单位长度？（不考虑滑块的尺寸大小） (3)拓展应用：已知数轴上两点，对应的数分别是，，，，为数轴上三个动点，点从点出发速度为每秒个单位，点从点出发速度为点的倍，点从原点出发速度为每秒个单位．若点，，同时都向右运动，求多长时间点到点，的距离相等？ 例3（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图1，在数轴上有A，B两点，点A表示的数为4，点B在A点的左边，且，若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动．若点P，Q分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． (1)写出数轴上点B表示的数为________，P所表示的数为________（用含t的代数式表示）． (2)点P运动多少秒与Q相距3个单位长度？ (3)如图2，分别以和为边，在数轴上方作正方形和正方形，如图所示，求当t为何值时，两个正方形的重叠部分面积是正方形面积的一半？ 1．（24-25七年级上·四川南充·期末）如图，数轴上点表示的有理数为，点表示的有理数为8，点从点出发以每秒1个单位长度的速度在射线上向点运动；同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上先向点运动，当与点相遇后立刻改变方向仍以原速与点同向运动．当时，点表示的有理数为（） A．0 B． C．或0 D．或 2．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图，在数轴上，点A表示的数是，点B表示的数是2，AB表示点A与点B之间的距离．若点P从点A出发，点M从点B出发，点P，M同时向数轴负方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点M的速度是每秒5个单位长度．当P，M两个点的距离为3个单位长度时，运动时间为（   ） A． B． C．或 D．或 3．（23-24七年级上·福建泉州·期中）如图，点的初始位置位于数轴上的原点，现对点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至点，第2次从点向左移动4个单位长度至点，第3次从点向右移动7个单位长度至点，第4次从点向左移动10个单位长度至点，…以此类推，移动5次后该点对应的数为 ．这样移动2023次后该点到原点的距离为 ． 4．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，已知数轴上A、B两定点对应的数是，40，动点M、N同时从点A出发向点B运动，点M的速度为3个单位长度/秒，点N的速度为2个单位长度/秒，到达点B后折返向点A继续运动，其中某点回到点A时，全部停止，经过 秒点A到点N的距离刚好等于点B到点M的距离． 5．（24-25七年级上·山西运城·期末）已知数轴上、两点位于原点两侧（点在点的左侧），点到原点的距离是点到原点距离的3倍，且，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度运动，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度运动，、均沿轴正方向运动，当等于10时，运动时间为 秒． 6．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，点O为原点，A、B为数轴上两点， ，且，点P从点B开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点P开始运动时，点A、B分别以每秒5个单位和每秒1个单位的速度同时向右运动，设运动时间为t秒，若的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则 ． 7．（23-24七年级上·河南平顶山·期末）如图，点A和点B在数轴上对应的有理数分别是和7，原点为O，现在有点P从A出发以每秒3个单位的速度向右运动，同时，点Q从点B出发以每秒2个单位的速度向左运动，经过t秒时，点P和点Q到原点的距离相等，则t的值为 ．    8．（2024七年级上·江苏·专题练习）已知，如图A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为90． (1)与A、B两点距离相等的M点对应的数是 ； (2)现在有一只电子蚂蚁P从B点出发时，以5个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，则C点对应的数是 ； 9．（23-24七年级上·安徽六安·期末）如图，在数轴上A点表示数，B点表示数6，若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，则经过 秒，甲球到原点的距离等于乙球到原点的距离的两倍． 10．（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）【基础定义】丹东是我国最大最美最适合人们居住的边境城市，丹东的气候属于暖带湿润季风气候区，四季分明，景色优美，被誉为“北国江南”．人们如果能够生活在这个城市是一种幸运．生活在丹东的数学李老师突发奇想，在数学课上给出了定义：在数轴上，若点到点的距离恰好是3，则称点为点的“幸运点”．若点C到点A、B的距离之和为6，则称点C为点A、B的“幸运中心”． 【基础应用】（1）若点表示的数是，则点的“幸运点”点表示的数是___________ （2）已知点表示的数是，点表示的数是，且．若点为点M、N的“幸运中心”，则点C表示的数可以是___________（填一个满足要求的数即可）． 【提升应用】（3）若点表示的数是，点表示的数是4，点表示的数是8，一个电子蚂蚁Q从点P出发，以3单位/秒的速度沿数轴向左运动，若经过t秒电子蚂蚁Q是点A、B的“幸运中心”，求出t的值． 11．（24-25七年级上·重庆·期中）如图1，在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为，即．如图2，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，a是3的相反数，b是最大的负整数，c是多项式的次数． (1) ， ， ．(2)x是数轴上任意一个有理数，则有最小值是 ，有最大值是 ，当取得最大值时相应的有理数x的取值范围是 ． (3)如图，点E，F，G是数轴上的三点，E点表示数是，F点表示数是，G点表示数是，点E，F，G同时开始在数轴上运动，若点E以每秒个单位长度的速度向左运动，点F和点G分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设t秒后，若点E与点F之间的距离表示为，点E与点G之间的距离表示为，点F与点G之间的距离表示为．若的值是一个定值，请求出m的值． 12．（2024·重庆九龙坡·七年级期末）已知数轴上的点，，，所表示的数分别是，，，，且．（1）求，，，的值；（2）点，沿数轴同时出发相向匀速运动，秒后两点相遇，点的速度为每秒4个单位长度，求点的运动速度； （3），两点以（2）中的速度从起始位置同时出发，向数轴正方向运动，与此同时，点以每秒1个单位长度的速度向数轴正方向开始运动，在秒时有，求的值； （4），两点以（2）中的速度从起始位置同时出发相向匀速运动，当点运动到点起始位置时，迅速以原来速度的2倍返回；到达出发点后，保持改后的速度又折返向点起始位置方向运动；当点运动到点起始位置时马上停止运动．当点停止运动时，点也停止运动．在此运动过程中，，两点相遇，求点，相遇时在数轴上对应的数（请直接写出答案）． 13．（2024·湖北·七年级阶段练习）已知三点在数轴上所对应的数分别为且满足．动点从点出发，以2单位/秒的速度向右运动，同时，动点从点出发，以1单位秒的速度向左运动，线段为“变速区”，规则为: 从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．当点到达点时，两点都停止运动．设运动的时间为秒．(1) ______，______，______； (2)①动点从点运动至点时，求的值；②两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数； (3)若点为线段中点，当________秒时，． 14．（2024·浙江宁波·七年级校考期中）数轴上点A表示，点B表示6，点C表示12，点D表示18．如图，将数轴在原点O和点B、C处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如，点A和点D在折线数轴上的和谐距离为个单位长度．动点M从点A出发，以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向终点D运动；点M从点A出发的同时，点N从点D出发，一直以3个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒． (1)当秒时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为__________； (2)当点M、N都运动到折线段上时，O、M两点间的和谐距离__________（用含有t的代数式表示）；C、N两点间的和谐距离__________（用含有t的代数式表示）；__________时，M、N两点相遇；(3)当__________时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度；当__________时，M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等． 15．（2024·广东·七年级期末）已知数轴上两点A、B对应的数分别为、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．(1)若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数； (2)数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；(3)点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？ 16．（2024·江苏·七年级专题练习）数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A、B两点之间的距离表示为．如：点A表示的数为2，点B表示的数为3，则． 问题提出：(1)填空：如图，数轴上点A表示的数为−2，点B表示的数为13，A、B两点之间的距离______，线段AB的中点表示的数为______． (2)拓展探究：若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发．以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒（t>0） ①用含t的式子表示：t秒后，点Р表示的数为______；点Q表示的数为______； ②求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数． (3)类比延伸：在（2）的条件下，如果P、Q两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自到达线段AB的端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段AB上做往复运动，那么再经过多长时间P、Q两点第二次相遇．请直接写出所需要的时间和此时相遇点所表示的数． 17．（2024·山东·七年级期末）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点． 例如：如图1，点A表示的数为－1，点B表示的数为2.表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点． 如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为－7，点N所表示的数为2 (1)点E，F，G表示的数分别是－3，6.5，11，其中是【M，N】美好点的是 　 　；写出【N，M】美好点H所表示的数是 　 　． (2)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点？ 18．（2024·四川绵阳·七年级校考阶段练习）已知数轴上A、B两点对应的数分别为和4，P为数轴上一点，对应数为x．(1)请直接写出P所表示的数，使P到A点、B点距离的和为10． (2)若点A、点B和点P（点P在原点）同时向左运动，他们的速度分别为每秒1、2、1个（单位长度/秒）． ①几秒中后点P为线段的中点？并求出此时x的值；②是否存在点P，使得点P为线段的三等分点，若存在请求出x的值；若不存在，请说明理由． 19．（2024·福建·七年级校考期末）点在数轴上对应的数分别为，且满足． (1)如图，求线段的长；(2)若点C在数轴上对应的数为x，且x是方程的根，在数轴上是否存在点P使，若存在，求出点P对应的数，若不存在，说明理由；(3)如图，点P在B点右侧，的中点为为靠近于B点的四等分点，当P在B的右侧运动时，有两个结论：①的值不变；②的值不变，其中只有一个结论正确，请判断正确的结论，并求出其值． 20．（2024·重庆璧山·七年级校考期末）如图，数轴上有三个点A，B，C表示的数分别是a，b，c，其中a，b，c满足，c是最小的正整数． (1)___________；___________；___________； (2)为使A，B两点的距离与C，B两点距离相等，可将点B向左移动几个单位长度？ (3)若动点P，Q分别从点A、点B出发，以每秒4个单位长度和每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，动点R从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，点P，Q，R同时出发，设运动时间为t秒． ①若动点Q到达点A后，速度变为每秒7个单位长度，继续向左运动，当t为何值时，点P与点Q距离3个单位长度？②记点P与点Q之间的距离为，点Q与点R之间的距离为，请用含t的代数式表示和，并判断是否存在一个常数m，使的值不随t的变化而改变，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由； 21．（24-25七年级下·湖南衡阳·阶段练习）如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示，点表示，我们称点和点在数轴上相距个长度单位．动点从点出发，以单位秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点从点出发，以单位秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为秒．问： (1)动点从点运动至点所需的时间是______秒；(2)、两点相遇时，求出相遇的时间和点所对应的数是多少；(3)若、两点相遇，则两点均停止运动，求当为何值时，、两点在数轴上相距的长度与、两点在数轴上相距的长度相等． 22．（23-24七年级上·山东青岛·期末）如图1，在数轴上点表示的数为，点表示的数为满足，点是数轴原点． (1)点表示的数为______，点表示的数为______，线段的长为______； (2)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在数轴上找一点，使，则点在数轴上表示的数为______； (3)在图1基础上，将一根长度为6个单位的木棒放在数轴上（如图2）．木棒的右端与数轴上的点重合，以每秒2个单位长度的速度向点移动；木棒出发6秒后，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向点移动；且当点到达点时，木棒与点同时停止移动．设点移动的时间为秒，当为多少时，点恰好距离木棒2个单位长度？ 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$