精品解析：辽宁省阜新市第四中学2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025－2026学年度（上）第四中学质量检测（期中） 九年级数学试卷 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 已知2x=5y（y≠0），则下列比例式成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵2x=5y， ∴． 故选B． 2. 如图，工件的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了物体的三视图，熟悉掌握三视图的观察方法是解题的关键． 根据主视图为对物体正面看，看到部分为实线，看不到部分为虚线，观察即可． 【详解】解：根据主视图为对物体正面看，看到部分为实线，看不到部分为虚线， ∴主视图为：， 故选：C． 3. 有一个转盘如图，让转盘自由转动两次，则指针两次都落在黄色区域的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先将黄色区域平分成两部分，然后根据题意画树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次指针都落在黄色区域的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：将黄色区域平分成两部分， 画树状图得： ∵共有9种等可能的结果，两次指针都落在黄色区域的只有4种情况， ∴两次指针都落在黄色区域的概率为：； 故选：B． 【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 4. 已知C是线段AB的一个黄金分割点，AB＝10，AC＞BC，则AC长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据黄金分割的概念写出对应线段的比值，代入已知条件即可求出线段长度． 【详解】解：∵点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC）， ∴ 而AB＝10， ∴． 故选：B． 【点睛】题目主要考查黄金分割的概念，熟记黄金分割的概念并根据黄金分割的比值列式是解题关键． 5. 在下列条件中，能够判定四边形为矩形的是（ ） A. ， B. ， C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定方法，由矩形的判定方法逐一判断，即可求解；掌握矩形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：A.，可判定四边形为平行四边形，故不符合题意； B.，可判定四边形为平行四边形，故不符合题意； C.无法判定四边形为矩形，故不符合题意； D.能够判定四边形为矩形，故符合题意； 故选：D． 6. 若关于的一元二次方程有实数根，则的最大整数值是（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解决本题的关键． 一元二次方程有实数根需满足判别式且二次项系数不为零，据此求解即可． 【详解】解：∵方程有实数根， ∴ ，且， 解得且， ∴k的最大整数值为0． 故选A． 7. 下列四幅图形中，表示两棵小树在同一天的同一时刻同一地点阳光下的影子的图形可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行投影的性质，掌握“用某方向的平行射线将图形投射到平面上形成的图像“是解决本题的关键． 根据平行投影的性质判断即可． 【详解】解：A、影子的方向不相同，不符合题意； B、影子方向相同，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，符合题意； C、影子方向相同，但较高的树的影子长度小于较低的树的影子，不符合题意； D、影子的方向不相同，不符合题意； 故选：B． 8. 如图，在正方形中，点E在上，点F在的延长线上．满足，连接、，取的中点G，连接，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，直角三角形斜边的中线，由正方形的性质得到，求出得到，即可证明，得到由，推出，由直角三角形斜边中线的性质得到，求出，，由勾股定理求出．关键是由，再结合勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵，G是中点， ∴ ∴ ∴， ∴． 故选：A 9. 如图，在中，对角线，相交于点，，，过点作交于点，延长到点，使，连接交于点，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理以及相似三角形的判定和性质．先根据平行四边形性质和中位线定理求出的长度，再通过相似三角形的性质求出的长度，最后用减去得到的长度． 【详解】四边形是平行四边形， ，，， ， ∴， ， 是的中位线， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 10. 如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与、交于点、，连接交于点，连接、．若，，则下列结论中正确的是（ ） ①；②四边形是菱形；③；④ A. ①②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】先证明，再证明是等边三角形，即可判断①选项；由和是等边三角形，可得，即可判断②选项；由含角的直角三角形的性质即可判断③选项；先证明，再由，，得到，据此可判断④． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在等边中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴平分， ∴，， ∴垂直平分， 在矩形中，O为的中点，如图，连接， ∴D，O，B三点在同一直线上， ∴D在线段的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故结论①正确，该选项符合题意； 由①得和是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形； 故结论②正确，该选项符合题意； ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 故结论③正确，该选项符合题意； 在和中， ， ∴， ∴， 由③得是等边三角形，，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故结论④错误，该选项不符合题意． 综上所述，正确的有①②③． 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，含角的直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 已知，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，由已知条件，得到，把代入所求分式化简即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴， 故答案为：3． 12. 一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个黑球、4个白球和若干个红球．每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到黑球的频率稳定于，由此可估计袋中约有红球______． 【答案】个 【解析】 【分析】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量，根据摸到黑球的频率稳定于0.4，得到摸到黑球的概率为0.4，设红球的个数为个，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，摸到黑球的概率为0.4，设红球的个数为个， 则：， 解得：； 故答案为：8个． 13. 如图，四边形 是菱形，对角线 ， 相交于点 ， 于点 ，连接 ，，则 的度数为______ °． 【答案】70 【解析】 【分析】四边形是菱形， ，根据，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，，再根据三角形内角和即可求出的度数． 【详解】四边形是菱形 ， ， 是斜边上的中线 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质． 14. 如图，点F在平行四边形的边上，延长交的延长线于点E，交于点O，若，则＝_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据平行四边形中，可得，，再根据，得出，从而得出，再利用，求出的值． 【详解】解：在平行四边形中， ∵． ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 15. 如图，正方形和中，，将正方形绕顶点从和重合开始逆时针旋转角度（），即．连接、、，当为直角三角形时，的长为_____________． 【答案】或7 【解析】 【分析】根据正方形的性质，旋转的性质，分和两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当时， ∵正方形， ∴， ∴， ∴、、三点共线， ∵正方形， ∴，， ∴点在边上， 过点作于， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当时，连接、， ∵四边形是正方形， ∴时， ∴，即、、共线， ∵，，四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵四边形和四边形是正方形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的长为或7． 故答案为：或7． 【点睛】本题考查旋转的性质，正方形的性质，锐角三角函数，勾股定理，相似三角形的判定和性质，运用了分类讨论的思想．弄清题意，运用分类讨论是是解题的关键． 三．解答题（本题共8个小题，16题每题4分共8分，17题6分，18题7分、19、20、21题每题10分，22、23题每题12分，共75分） 16. 解下列方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键；因此此题可根据公式法求解方程即可． 【详解】解： ∵， ∴， ∴， ∴． 17. 在如图的方格纸中，与是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置； （2）以原点O为位似中心，在第三象限画出的一个位似，使它与的位似比为； （3）已知的面积为2.5，则的面积为_______． 【答案】（1） 解：如图所示，点为所作； （2） 解：如图所示，为所作； （3）10 【解析】 【分析】本题考查作图位似变换，位似变换的性质：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． （1）连接两组对应点，并延长，延长线的交点即为位似中心； （2）延长、，并使、，连接即可； （3）根据位似比得出面积比，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵与的位似比为， ∴， ∵的面积为2.5， ∴， 故答案为：10． 18. 如图，在矩形AFCG中，BD垂直平分对角线AC，交CG于D，交AF于B，交AC于O．连接AD，BC． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若E为AB的中点，DE⊥AB，求∠BDC的度数； 【答案】（1）证明：∵BD垂直平分AC， ∴OA＝OC，AD＝CD，AB＝BC． ∵四边形AFCG是矩形， ∴CG∥AF， ∴∠CDO＝∠ABO，∠DCO＝∠BAO， ∴△COD≌△AOB（AAS）， ∴CD＝AB， ∴AB＝BC＝CD＝DA， ∴四边形ABCD是菱形． （2）60° 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到AD＝CD，AB＝BC，根据三角形全等得到CD＝AB，即可求证； （2）根据等边三角形的性质求得∠DBA＝60°，即可求解． 【详解】（1）略 （2）∵E为AB的中点，DE⊥AB， ∴DE垂直平分AB， ∴AD＝DB． 又∵AD＝AB， ∴△ADB为等边三角形， ∴∠DBA＝60°． ∵CD∥AB， ∴∠BDC＝∠DBA＝60°． 【点睛】此题考查了菱形的判定，涉及了全等三角形的证明，矩形的性质、垂直平分线的性质等，熟练掌握相关基本性质是解题的关键． 19. “机动车行驶到斑马线要礼让行人”等交通法规实施后，某校数学课外实践小组就对这些交通法规的了解情况在全校随机调查了部分学生，调查结果分为四种：A．非常了解，B．比较了解，C．基本了解，D．不太了解，实践小组把此次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图． 请结合图中所给信息解答下列问题： （1）本次共调查　　名学生；扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数是　　； （2）补全条形统计图； （3）该校共有800名学生，根据以上信息，请你估计全校学生中对这些交通法规“非常了解”的有多少名？ （4）通过此次调查，数学课外实践小组的学生对交通法规有了更多的认识，学校准备从组内的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两名学生参加市区交通法规竞赛，请用列表或画树状图的方法求甲和乙两名学生同时被选中的概率． 【答案】（1）60、90°； （2）补全条形图如下： （3）估计全校学生中对这些交通法规“非常了解”的有320名； （4）甲和乙两名学生同时被选中的概率为． 【解析】 【详解】【分析】（1）用A的人数以及所占的百分比就可以求出调查的总人数，用C的人数除以调查的总人数后再乘以360度即可得； （2）根据D的百分比求出D的人数，继而求出B的人数，即可补全条形统计图； （3）用“非常了解”所占的比例乘以800即可求得； （4）画树状图得到所有可能的情况，然后找出符合条件的情况用，利用概率公式进行求解即可得. 【详解】（1）本次调查的学生总人数为24÷40%=60人， 扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数是360°×=90°， 故答案为60、90°； （2）D类型人数为60×5%=3，则B类型人数为60﹣（24+15+3）=18； （3）估计全校学生中对这些交通法规“非常了解”的有800×40%=320名； （4）画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中甲和乙两名学生同时被选中的结果数为2，所以甲和乙两名学生同时被选中的概率为． 【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、列表法或树状图法求概率、用样本估计总体等，读懂统计图，从不同的统计图中找到必要的有关联的信息进行解题是关键. 20. 如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N． （1）求证：△ABM∽△EFA； （2）若AB=12，BM=5，求DE的长． 【答案】（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC， ∴∠AMB=∠EAF， 又∵EF⊥AM， ∴∠AFE=90°， ∴∠B=∠AFE， ∴△ABM∽△EFA； （2）4.9 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质得出AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，得出∠AMB=∠EAF，再由∠B=∠AFE，即可得出结论； （2）由勾股定理求出AM，得出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，求出AE，即可得出DE的长． 【详解】解：（1）略 （2）∵∠B=90°，AB=12，BM=5， ∴AM==13，AD=12， ∵F是AM的中点， ∴AF=AM=6.5， ∵△ABM∽△EFA， ∴， 即， ∴AE=16.9， ∴DE=AE－AD=4.9． 【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 21. 在平面直角坐标系中，如果P，Q为某个菱形相邻的两个顶点，且该菱形的两条对角线分别与x轴，y轴平行，那么称该菱形为点P，Q的“相关菱形”．图1为点P，Q的“相关菱形”的一个示意图．已知点A的坐标为，点B的坐标为， （1）如果，那么，，中能够成为点A，B的“相关菱形”顶点的是 ； （2）如果点A，B的“相关菱形”为正方形，求点B的坐标． （3）如图2，在矩形中，．点M的坐标为，如果在矩形上存在一点N，使得点M，N的“相关菱形”为正方形，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，菱形的性质，正方形的性质，熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键． （1）观察图象可知：S能够成为点A，B的“相关菱形”顶点； （2）如图2中，过点A作垂直x轴于H点．根据正方形的性质可知，由此可求得点B的坐标即可； （3）过点M作轴，垂直为G，可得到为等腰直角三角形，然后分为点N与点E重合、点N与点O两种情况求得m的最大值和最小值，从而可确定出m的范围． 【小问1详解】 解：如图1中，观察图象可知：S能够成为点A，B的“相关菱形”顶点， 与轴重合，不能够成为点A，B的“相关菱形”顶点． 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图2中，过点A作垂直x轴于H点． ∵点A，B的“相关菱形”为正方形， ∴为等腰直角三角形． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴或5． ∴B点的坐标为或； 【小问3详解】 解：如下图所示：当点N与点E重合时，过点M作轴，垂足为G． ∵点M，N的“相关菱形”为正方形， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 如下图所示：当点N与点O重合时，过点M作轴，垂直为G． ∵点M，N的“相关菱形”为正方形， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． ∴m的取值范围是：． 22. 某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在中秋节和国庆节期间扩大销量，将售价从原来的每千克40元经两次调价后调至每千克32.4元． （1）若该商场两次调次的降价率相同，求这个降价率； （2）现在假期结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】（1）10%；（2）每千克水果应涨价5元 【解析】 【分析】(1) 设这个降价率为，根据每千克40元经两次调价后调至每千克32．4，列出方程求解即可；  (2)根据商场要保证每天盈利6000元，列出一元二次方程，然后求出其解，最后根据题意确定其值． 【详解】解：（1）设这个降价率为，由题意得 ； 解得：，（舍去） 答：这个降价率为10% （2）设每千克水果应涨价元， 依题意得方程：， 整理，得， 解这个方程，得，． 要使顾客得到实惠，应取． 答：每千克水果应涨价5元． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到蕴含的相等关系，列出方程． 23. 综合与实践：开展“矩形的旋转”数学探究活动，同学们用矩形纸片操作实践并探索发现．在矩形纸片中，，． ． 【数学思考】如图1，圆圆将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形，使得点落在边上，点作．求证：； 【解决问题】如图2，连结，求线段的长． 【拓展研究】从图2开始，圆圆将矩形绕着点逆时针转动一周，若直线恰好经过线段中点时，连结，，直接写出的面积是 【答案】 【数学思考】证明：将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形， ，， ， ， ， ， ， ； 【解决问题】； 【拓展研究】或 【解析】 【分析】数学思考：证出，由可证明； 解决问题：求出，过点作，交的延长线于点，由勾股定理求出，则可得出答案； 拓展研究：分两种情况，当线段与交于点时，当的延长线交于点时，结合全等三角形的性质，勾股定理及三角形面积可得出答案． 【详解】数学思考：略 解决问题：解：过点作，交的延长线于点，连接 ， ， 矩形绕着点逆时针旋转得到矩形， ，， ， ， ， ， ∴是等边三角形， ， ， ， ， ， ； 拓展研究：解：当线段与交于点时，作于， 是的中点， ， ，， ， ，， ， ，， ， ， 当的延长线交于点时，由上知， ， ， 综上所述，的面积是或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，通过旋转构造全等三角形，再结合勾股定理计算是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度（上）第四中学质量检测（期中） 九年级数学试卷 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 已知2x=5y（y≠0），则下列比例式成立的是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，工件的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 有一个转盘如图，让转盘自由转动两次，则指针两次都落在黄色区域的概率是（　　） A. B. C. D. 4. 已知C是线段AB的一个黄金分割点，AB＝10，AC＞BC，则AC长为（ ）． A. B. C. D. 5. 在下列条件中，能够判定四边形为矩形的是（ ） A. ， B. ， C. D. 6. 若关于的一元二次方程有实数根，则的最大整数值是（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 7. 下列四幅图形中，表示两棵小树在同一天的同一时刻同一地点阳光下的影子的图形可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方形中，点E在上，点F在的延长线上．满足，连接、，取的中点G，连接，，若，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，对角线，相交于点，，，过点作交于点，延长到点，使，连接交于点，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 10. 如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与、交于点、，连接交于点，连接、．若，，则下列结论中正确的是（ ） ①；②四边形是菱形；③；④ A. ①②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①③④ 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 已知，则______． 12. 一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个黑球、4个白球和若干个红球．每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到黑球的频率稳定于，由此可估计袋中约有红球______． 13. 如图，四边形 是菱形，对角线 ， 相交于点 ， 于点 ，连接 ，，则 的度数为______ °． 14. 如图，点F在平行四边形的边上，延长交的延长线于点E，交于点O，若，则＝_____． 15. 如图，正方形和中，，将正方形绕顶点从和重合开始逆时针旋转角度（），即．连接、、，当为直角三角形时，的长为_____________． 三．解答题（本题共8个小题，16题每题4分共8分，17题6分，18题7分、19、20、21题每题10分，22、23题每题12分，共75分） 16. 解下列方程： 17. 在如图的方格纸中，与是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置； （2）以原点O为位似中心，在第三象限画出的一个位似，使它与的位似比为； （3）已知的面积为2.5，则的面积为_______． 18. 如图，在矩形AFCG中，BD垂直平分对角线AC，交CG于D，交AF于B，交AC于O．连接AD，BC． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若E为AB的中点，DE⊥AB，求∠BDC的度数； 19. “机动车行驶到斑马线要礼让行人”等交通法规实施后，某校数学课外实践小组就对这些交通法规的了解情况在全校随机调查了部分学生，调查结果分为四种：A．非常了解，B．比较了解，C．基本了解，D．不太了解，实践小组把此次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图． 请结合图中所给信息解答下列问题： （1）本次共调查　　名学生；扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数是　　； （2）补全条形统计图； （3）该校共有800名学生，根据以上信息，请你估计全校学生中对这些交通法规“非常了解”的有多少名？ （4）通过此次调查，数学课外实践小组的学生对交通法规有了更多的认识，学校准备从组内的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两名学生参加市区交通法规竞赛，请用列表或画树状图的方法求甲和乙两名学生同时被选中的概率． 20. 如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N． （1）求证：△ABM∽△EFA； （2）若AB=12，BM=5，求DE的长． 21. 在平面直角坐标系中，如果P，Q为某个菱形相邻的两个顶点，且该菱形的两条对角线分别与x轴，y轴平行，那么称该菱形为点P，Q的“相关菱形”．图1为点P，Q的“相关菱形”的一个示意图．已知点A的坐标为，点B的坐标为， （1）如果，那么，，中能够成为点A，B的“相关菱形”顶点的是 ； （2）如果点A，B的“相关菱形”为正方形，求点B的坐标． （3）如图2，在矩形中，．点M的坐标为，如果在矩形上存在一点N，使得点M，N的“相关菱形”为正方形，直接写出m的取值范围． 22. 某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在中秋节和国庆节期间扩大销量，将售价从原来的每千克40元经两次调价后调至每千克32.4元． （1）若该商场两次调次的降价率相同，求这个降价率； （2）现在假期结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 23. 综合与实践：开展“矩形的旋转”数学探究活动，同学们用矩形纸片操作实践并探索发现．在矩形纸片中，，． ． 【数学思考】如图1，圆圆将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形，使得点落在边上，点作．求证：； 【解决问题】如图2，连结，求线段的长． 【拓展研究】从图2开始，圆圆将矩形绕着点逆时针转动一周，若直线恰好经过线段中点时，连结，，直接写出的面积是 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $