精品解析：重庆市第一中学校2025-2026学年高二上学期12月期中考试数学试题

重庆一中高2027届高二上期半期考试 数学试题卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上. 2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 方程表示的曲线为（ ） A. 线段 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 不表示任何图形 【答案】B 【解析】 【分析】表示点到点，的距离之和为，结合椭圆的定义即可进行判断. 【详解】表示点到点，的距离之和为，即， 所以方程表示的曲线为椭圆. 故选：B. 2. 双曲线的焦点到它的渐近线的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】求出双曲线的焦点坐标及渐近线方程，再利用点到直线的距离公式求解. 【详解】由对称性，不妨取双曲线的右焦点，渐近线方程为， 所以所求距离为. 故选：C 3. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的几何意义即可求解． 【详解】， 又因为曲线在点处的切线与直线垂直， 所以切线斜率，解得． 故选：D． 4. 已知等差数列的前项和为，若，，则当取得最小值时，（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】先利用与等差数列前项和公式分析项的符号，再利用分析项的符号，最后判断的最小值即可. 【详解】由等差数列前项和公式得：， 因为，所以，即， 因为，所以， 又因为，可得，即， 由，可知数列前6项为负，第7项开始为正， 因此当取得最小值时，. 故选：C. 5. 已知数列是公差为的等差数列，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列定义，结合对数运算求出等比数列的公比，进而求得答案. 【详解】由数列是公差为的等差数列，得， 则，因此数列是公比为的等比数列， 所以. 故选：A 6. 已知椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设出点的坐标，利用斜率坐标公式，结合椭圆方程列式求出，进而求出离心率. 【详解】椭圆的左顶点，设点，则， 且，由直线AP，AQ的斜率之积为，得， 所以椭圆的离心率. 故选：A 7. 已知椭圆的两个焦点为，，过原点的直线与该椭圆交于，两点，若，的面积为，则的周长为（ ） A. 12 B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，则可得，再利用三角形面积公式与勾股定理计算即可得解. 详解】，又，故， 则，故，即， 且有， 故， 即，故的周长为. 故选：B. 8. 数列满足，，若成立，则正整数的最大值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】由可得数列为等差数列，则可得通项公式，从而可得，再利用裂项相消法计算可得，最后解出不等式即可得. 【详解】由，则，即， 又，故数列是以为首项，为公差的等差数列， 故，故； 则， 则， 令，解得，故正整数的最大值为. 故选：D. 二、多项选择题.本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 已知直线，圆，则下列结论正确的是（ ） A. 直线和圆总有公共点 B. 直线被圆截得的最短弦长为 C. 若圆与圆有且只有一条公切线，则实数 D. 当时，圆上恰有两个点到直线的距离等于1 【答案】ABD 【解析】 【分析】将直线方程变形，求出直线经过的定点，然后利用定点在圆的内部可判断A；根据过定点的直线与圆相交时最小弦长计算方法计算可判断B；利用圆心距与两圆半径之间的关系计算可判断C；结合直线与圆的位置关系，利用点到直线的距离公式进行计算可判断D. 【详解】对于A，直线的方程为， 变形可得，令，解得， 所以直线恒过定点， 因，所以定点在圆内部， 则直线和圆总有公共点，故A正确； 对于B，因直线过定点，且点在圆内， 则经过，两点的直线与直线垂直时，直线被圆截得的弦长最小， 此时圆心到直线的距离为， 所以最小弦长为，故B正确； 对于C，圆的方程，即， 其圆心为，半径为，需满足， 若圆与圆有且只有一条公切线，则两圆内切， 则有，解得，故C错误； 对于D，圆，其圆心为，半径为， 当时，直线的方程为， 圆心到直线的距离为，依题意需满足. 因为，，，满足， 故圆上恰有两个点到直线的距离等于1.故D正确. 故选：ABD. 10. 已知直线与抛物线相交于，两点，的焦点为，为坐标原点，则下列结论正确的是（ ） A. 若直线过焦点，则为钝角 B. 若，则直线的斜率为 C. 若，则直线过定点 D. 若的外接圆与抛物线的准线相切，则该圆的半径为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据条件写出，，选项A,证明，可得，所以为钝角，选项B,由 ，求出的值，即可得到直线的斜率；选项C,先设直线方程为 ，因为得到，代入直线方程得到，所以直线恒过定点；选项D,根据条件设圆心为，半径为，因为外接圆与抛物线的准线 相切，所以有圆心到准线的距离等于半径. 【详解】由题可知 ，设 ， 直线过焦点，则设直线方程为， 联立方程得到 ，即 则 所以，所以为钝角，选项A正确； 直线的斜率为 因为，所以 即得 或者，所以，选项B错误； 设直线方程为 ，因为，所以，所以，代入直线方程得到，所以直线恒过定点，选项C正确；的顶点为，其外接圆的圆心在的垂直平分线上，设圆心为，半径为，因为外接圆与抛物线的准线 相切，所以有圆心到准线的距离等于半径，选项D正确； 故选：ACD 11. 将数列所有项排成如下数阵： 从第二行开始每一行比上一行多两项，且从左到右均构成以2为公比的等比数列，第一列数，，，，…成等差数列，若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 位于第45行第89列 D. 4048在数阵中出现1次 【答案】AB 【解析】 【分析】先分析数阵的行列项数规律，利用第一列的等差数列求出首项；再计算前9项和验证选项B；通过项数范围确定的位置；最后分解4048的形式判断其出现次数. 【详解】首先分析数阵结构：第行有项， 前行项数和为， 故第行第1列的项为. 第一列成等差数列，记为，其中. 选项A，已知，，等差数列公差， 故，A正确. 选项B，前9项对应前3行（项数和）：第1行：； 第2行（等比数列，公比2）：，和为； 第3行（等比数列，公比2，首项）： ， 和为. 前9项和为，B正确. 选项C，前44行项数和为，第45行有项， 对应项数到.， 故位于第45行第88列，C错误. 选项D，当时，， 当时，数阵中第行第列的项为. 令： 当时，，得，，符合条件； 当时，，得，，符合条件. 故4048至少出现2次，D错误. 故选：AB 三、填空题.本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列的前n项和为，若，，则______． 【答案】14 【解析】 【分析】由等比数列的性质得：，，成等比数列，即2，4，成等比数列，由此能求出． 【详解】等比数列的前n项和为，，， 由等比数列的性质得：，，成等比数列， ，4，成等比数列， ， 解得． 故答案为14． 【点睛】本题考查等比数列性质的应用，已知数列为等比数列，则，，也成等比数列． 13. 若直线与曲线相切，则________. 【答案】 【解析】 【分析】对进行求导得，结合导数的几何意义和切点同时在直线和曲线上列方程，即可求出答案. 【详解】由得， 设直线与曲线相切于点， 则，解得，所以. 故答案为：. 14. 双曲线（，）右焦点为，若在圆上存在点P，使得的中点在C的渐近线上，则双曲线C的离心率的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】设圆上的一点，得到中点坐标为，代入双曲线的渐近线方程，得到，根据直线与圆存在公共点，结合，求得，进而求得离心率的取值范围. 【详解】由双曲线的右焦点为，则， 又由圆的圆心为，半径为， 设圆上的一点，可得的中点坐标为， 因为双曲线的渐近线方程为，可得，即， 又因为直线与圆存在公共点， 则圆心到直线的距离， 即，可得， 所以，解得， 所以双曲线的离心率的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题.本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图为正四棱锥，O为底面ABCD的中心，，. （1）求点B到平面PCD的距离； （2）若E为PB的中点，求直线DE与平面PBC所成角的正弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面PCD的法向量，然后利用点面距的向量公式求解即可； （2）先求出平面PBC的法向量，然后利用线面角的向量公式求解即可. 【小问1详解】 以为坐标原点，、、为、、轴正方向建立空间直角坐标系.    由，，得， 故，，，，， ，， 设平面PCD的一个法向量为，则， 取，可得平面PCD的一个法向量为，又， 所以点B到平面PCD的距离为； 【小问2详解】 由E为PB的中点，得. ，，， 设平面PBC的一个法向量为，则， 取，可得平面PBC的一个法向量为. 设直线DE与平面PBC所成角为，则， 故直线DE与平面PBC所成角的正弦值为. 16. 已知抛物线（）过点，其焦点为，若. （1）求的值以及抛物线的方程； （2）过点斜率为的直线交抛物线于，两点，求面积的取值范围. 【答案】（1）的值为，抛物线的方程为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合抛物线的方程和定义列式求，即可得结果； （2）设直线，，联立方程可得韦达定理，进而可求和面积，结合函数的单调性求值域即可. 【小问1详解】 由题意可知：抛物线的焦点为，准线为， 则， 且点在抛物线（）上，则，即， 联立方程，解得，即， 所以的值为，抛物线的方程为. 【小问2详解】 由（1）可知：，，抛物线的方程为， 由题意可设：直线，，，且， 联立方程，消去x可得， 则，可得，， 则， 又因为点到直线的距离， 则面积， 构造函数， 显然在内单调递增，且，， 可知在内的值域为， 所以面积的取值范围为. 17. 已知数列满足，. （1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； （2）设，记数列的前项和为. （i）求； （ii）若，，求的取值范围. 【答案】（1）证明见解析，； （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）对左右同除后，结合等差数列定义即可得证，再利用等差数列性质计算即可得的通项公式； （2）（i）借助错位相减法计算即可得；（ii）由题意可得，构造数列，借助作商法可得数列单调性，即可求出数列的最大值，即可得解. 【小问1详解】 由，则， 即有，又， 故数列为以为首项，为公差的等差数列， 则，故； 【小问2详解】 （i）， 则， ， 则 ， 则； （ii），即， 整理得，令， 令，解得，又，故， 则数列在时，单调递增，在时，单调递减， 又， 故的最大值为，故. 18. 若一个数列满足是公比为的等比数列，则称数列是公比为的二级等比数列.如数列：1，3，7，15，31，63…，此数列是公比为2的二级等比数列.已知数列中，，. （1）记为数列的前项的和，且.求数列的通项公式，并判断数列是否为二级等比数列，请说明理由； （2）若数列是公比为3的二级等比数列，是否存在实数，，使得？若存在，求出，；不存在，请说明理由. 【答案】（1），且数列是公比为二级等比数列. （2）存在，. 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，得到，进而求得，化简得到，得到数列为等比数列，求得其通项公式，得到是公比为二级等比数列. （2）设，得到，根据题意，求得，得到，利用累加法，求得，得到，由，得到，求得，得到，进而得到答案. 【小问1详解】 解：由为数列的前项的和，满足，且，， 当时，可得； 当时，可得， 解得，所以， 当时，由，可得， 两式相减，可得，即， 所以，又， 故， 又由，则，符合上式， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列， 所以，所以， 设，可得，即， 所以数列是首项为，公比为2的等比数列， 即数列是公比为的二级等比数列. 【小问2详解】 解：因为数列是公比为3的二级等比数列，即是公比为3的等比数列， 设，则， 因为，可得， 则，解得，所以， 所以当， ， 所以当时，，又，也满足该式， 所以，故， 因为，即， 又因为，所以， 即，所以，代入可得， 即，即， 解不等式，可得， 因为函数为增函数， 经计算，满足该不等式，而，均不满足， 故， 所以，此时，即存在，使得成立. 19. 已知双曲线（，）的渐近线方程为，且过点.按照如下方式依次构造点：过作斜率为（为常数且）的直线与的下支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为. （1）若，求的坐标； （2）证明：数列是等比数列，并求其公比（用表示）； （3）设为的面积，证明：对任意正整数，为定值. 【答案】（1）； （2）证明见解析，公比为； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据渐近线方程和所过定点即可求出双曲线方程，再联立直线即可求出答案； （2）写出直线方程，将其与双曲线方程联立得到，从而得到，再根据等比数列的定义即可证明； （3）转化为证明，利用点差法得，结合合比性质得，同理得，再根据（2）中结论即可证明. 【小问1详解】 ∵渐近线为．又过点， 代入双曲线的方程得，，即双曲线的方程为， 若，则过对应的直线方程为，与双曲线联立得： 或（舍去）． 代入直线方程求得该直线与双曲线得另一个交点． 【小问2详解】 过斜率为直线为：， 与双曲线联立得：， 因为，则， 由韦达定理得， . 将代入直线方程，并取相反数得 ， ①， ②， 得，由条件可知首项为， 所以数列是公比为的等比数列． 【小问3详解】 要证明为定值，只需证明． 与求面积时，都看作以为底， 则原问题转化为高相等，即需证明两点到直线的距离相等， 进而转化为证明，即只需证明，以下为其证明. 将点的坐标代入双曲线方程得到两式作差并整理得： ，由合比的性质得，③， 同理可得④， 由第（2）问的①②可知数列是公比为的等比数列； 数列是公比为等比数列. ④式可化为⑤， 由③⑤两式得到：. 故，所以为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆一中高2027届高二上期半期考试 数学试题卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上. 2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 方程表示的曲线为（ ） A. 线段 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 不表示任何图形 2. 双曲线的焦点到它的渐近线的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 3. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 4. 已知等差数列前项和为，若，，则当取得最小值时，（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 已知数列是公差为的等差数列，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 6. 已知椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的两个焦点为，，过原点的直线与该椭圆交于，两点，若，的面积为，则的周长为（ ） A. 12 B. C. D. 6 8. 数列满足，，若成立，则正整数的最大值为（ ） A 4 B. 6 C. 8 D. 10 二、多项选择题.本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 已知直线，圆，则下列结论正确的是（ ） A. 直线和圆总有公共点 B. 直线被圆截得的最短弦长为 C. 若圆与圆有且只有一条公切线，则实数 D. 当时，圆上恰有两个点到直线的距离等于1 10. 已知直线与抛物线相交于，两点，的焦点为，为坐标原点，则下列结论正确的是（ ） A. 若直线过焦点，则为钝角 B. 若，则直线的斜率为 C. 若，则直线过定点 D. 若的外接圆与抛物线的准线相切，则该圆的半径为 11. 将数列所有项排成如下数阵： 从第二行开始每一行比上一行多两项，且从左到右均构成以2为公比等比数列，第一列数，，，，…成等差数列，若，，则下列结论正确的是（ ） A B. C. 位于第45行第89列 D. 4048在数阵中出现1次 三、填空题.本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列的前n项和为，若，，则______． 13 若直线与曲线相切，则________. 14. 双曲线（，）的右焦点为，若在圆上存在点P，使得的中点在C的渐近线上，则双曲线C的离心率的取值范围是________. 四、解答题.本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图为正四棱锥，O为底面ABCD的中心，，. （1）求点B到平面PCD的距离； （2）若E为PB的中点，求直线DE与平面PBC所成角的正弦值. 16. 已知抛物线（）过点，其焦点为，若. （1）求的值以及抛物线的方程； （2）过点斜率为的直线交抛物线于，两点，求面积的取值范围. 17. 已知数列满足，. （1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； （2）设，记数列的前项和为. （i）求； （ii）若，，求的取值范围. 18. 若一个数列满足是公比为的等比数列，则称数列是公比为的二级等比数列.如数列：1，3，7，15，31，63…，此数列是公比为2的二级等比数列.已知数列中，，. （1）记为数列的前项的和，且.求数列的通项公式，并判断数列是否为二级等比数列，请说明理由； （2）若数列是公比为3的二级等比数列，是否存在实数，，使得？若存在，求出，；不存在，请说明理由. 19. 已知双曲线（，）的渐近线方程为，且过点.按照如下方式依次构造点：过作斜率为（为常数且）的直线与的下支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为. （1）若，求的坐标； （2）证明：数列是等比数列，并求其公比（用表示）； （3）设为的面积，证明：对任意正整数，为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $