精品解析：天津市第十一中学2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试卷

2025-2026年度第一学期天津市第十一中学 八年级数学期中试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在以下图形中，不是轴对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此解答即可． 【详解】由分析可知，已知图形中不属于轴对称图形的是图形D． 故选D． 【点睛】掌握轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 同学们试着用数学的眼光观察世界，下列图形中，没有运用到三角形的稳定性的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用问题，关键是分析能否在同一平面内组成三角形．根据三角形的稳定性结合实际问题进行解答． 【详解】解：A、用到了三角形的稳定性，不符合题意， B、用到了三角形的稳定性，不符合题意， C、用到了三角形的稳定性，不符合题意， D、用到了四边形的不稳定性，符合题意， 故选：D． 3. 如图，若，则根据图中提供的信息，可得出的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等，即可求解． 【详解】解：， ， 即， 故选：A． 4. 如图，用，，直接判定的理由是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．由于，，再加上公共边，则可根据“”判断． 【详解】解：在和中， ， ． 故选：A 5. 设等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则其周长为（　　） A. 15 B. 20 C. 25 D. 20或25 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的概念和三角形三边关系，解题的关键是分两种情况进行求解． 分两种情况讨论：当腰为5时和当腰为10时，利用三角形三边关系，判断是否构成三角形，再计算周长． 【详解】解：∵等腰三角形一边长为5，另一边长为10， ∴有两种情况： ①当腰为5时，底为10，则，不满足三角形三边关系，故不能构成三角形； ②当腰为10时，底为5，则，满足三角形三边关系，能构成三角形， 周长为， 故选：C． 6. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为( ) A. 30° B. 45° C. 50° D. 75° 【答案】B 【解析】 【详解】∵AB=AC，∠A=30°， ∴∠ABC=∠ACB=75°， ∵AB的垂直平分线交AC于D， ∴AD=BD， ∴∠A=∠ABD=30°， ∴∠BDC=60°， ∴∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°． 故选B． 7. 如图，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和为以及四边形内角和为等知识内容，该题运用整体思想法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据三角形内角和为以及四边形内角和为，即可列式作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴. 故选：C． 8. 如图，已知，，用尺规作图的方法在上取一点，使得，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的作法及性质，熟悉掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 根据作图方法结合垂直平分线的性质逐一判断即可． 【详解】解：A：此线作法为，得不到，故A错误； B：此线作法为的垂直平分线，故，因此，故B正确； C: 此线作法为，得不到，故C错误； D：此线作法为的垂直平分线，故，因此，故D错误； 故选：B． 9. 如图，直线表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ） A. 一处 B. 两处 C. 三处 D. 四处 【答案】D 【解析】 【分析】根据角平分线的性质，即可求解． 【详解】解：如图1，作两内角的角平分线，交于点，即所求中转站地址； 理由：两内角的角平分线，交于点， ，， ，即点到三条公路的距离相等； 同理可得，如图2，图3，图4，作两外角的角平分线，交于点，即所求中转站地址． 综上所述，可供选择的地址有四处． 10. 在平面直角坐标系xoy中，已知点A（2，﹣2），在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】如果OA为等腰三角形的腰，有两种可能，以O为圆心OA为半径的圆弧与y轴有两个交点，以A为圆心AO为半径的圆弧与y轴有一个交点；如果OA为等腰三角形的底，只有一种可能，作线段OA的垂直平分线，与y轴有一个交点；符合条件的点一共4个． 【详解】解：分二种情况进行讨论： 当OA为等腰三角形的腰时，以O为圆心OA为半径的圆弧与y轴有两个交点，以A为圆心AO为半径的圆弧与y轴有一个交点； 当OA为等腰三角形的底时，作线段OA的垂直平分线，与y轴有一个交点． ∴符合条件的点一共4个． 故选D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；针对线段OA在等腰三角形中的地位，分类讨论用画圆弧的方式，找与y轴的交点，比较形象易懂． 11. 如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝4，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF＝5，则AB的长为（　　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】作E点关于CD的对称点E'，连接PE,E'P,PF，当E',P,F三点共线，E'F⊥AB时，此时EP+FP的值最小，由题意可得∠FE'B=30°，则BE'=2BF，再由BF=5，BE=4，可得10=2CE+4，解得CE=3，可求BC=7． 【详解】解：作E点关于CD的对称点E'，过E'作E'F⊥AB交于点F，交CD于点P，连接PE'， ∴PE=PE'， ∴EP+FP=PE'+PF≥E'F， 当E',P,F三点共线，E'F⊥AB时， 此时EP+FP的值最小， ∵△ABC是正三角形， ∴∠B=60°， ∵E'F⊥AB， ∴∠FE'B=30°， ∴BE'=2BF， ∵BF=5，BE=4， ∴E'B=10， ∵CE=CE'， ∴10=2CE+BE=2CE+4， ∴CE=3， ∴BC=7， 故选：A． 【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等边三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键． 12. 如图，中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④四边形，其中正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形全等的判定和性质以及三角形内角和定理逐一分析判断即可． 【详解】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°， ∴∠CAB+∠ABC=90° ∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC， ∴∠BAD=，∠ABE= ∴∠BAD+∠ABE= ∴∠APB=180°-（∠BAD+∠ABE）=135°，故①正确； ∴∠BPD=45°， 又∵PF⊥AD， ∴∠FPB=90°+45°=135° ∴∠APB=∠FPB 又∵∠ABP=∠FBP BP=BP ∴△ABP≌△FBP（ASA） ∴∠BAP=∠BFP，AB=AB，PA=PF，故②正确； 在△APH与△FPD中 ∵∠APH=∠FPD=90° ∠PAH=∠BAP=∠BFP PA=PF ∴△APH≌△FPD（ASA）， ∴AH=FD， 又∵AB=FB ∴AB=FD+BD=AH+BD，故③正确； 连接HD，ED， ∵△APH≌△FPD，△ABP≌△FBP ∴，，PH=PD， ∵∠HPD=90°， ∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD ∴HD∥EP， ∴ ∵ 故④错误， ∴正确的有①②③， 故答案为：B． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL，注意AAA和SAS不能判定两个三角形全等． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 点关于y轴对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】关于y轴的对称点的坐标特点为：横坐标互为相反数，纵坐标不变． 【详解】解：∵平面直角坐标系中点A的坐标为， ∴A点关于y轴对称的点坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中对称点的规律．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 14. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DC=3，则点D到AB的距离是_______ 【答案】3 【解析】 【分析】角平分线上的点到角两边的距离相等．点到直线的距离是指过点作已知直线的垂线段的长度．过点D作DE⊥AB，则DE就是点D到直线AB的距离．根据角平分线的性质可得DE=CD=3． 【详解】解：如图所示，过点D作DE⊥AB于E， ∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DC=3，DE⊥AB， ∴DE=CD=3， ∴点D到AB的距离为3， 故答案为：3． 15. 如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，则∠C=_______． 【答案】40° 【解析】 【详解】解：∵AB=AD，∠BAD=20°， ∴∠B==80°， ∵∠ADC是△ABD的外角， ∴∠ADC=∠B+∠BAD=80°+20°=100°， ∵AD=DC， ∴∠C==40°． 16. 如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格交点，则ABC的面积与ABD的面积的大小关系为：______（填“＞”，“＝”或“＜”） 【答案】= 【解析】 【分析】在网格中分别计算出三角形的面积，然后再比较大小即可． 【详解】解：如下图所示，设小正方形网格的边长为1个单位， 由网格图可得个平方单位， ， 故有=． 故答案为：“＝” 【点睛】本题考查了三角形的面积公式，在网格中当三角形的底和高不太好求时可以采用割补的方式进行求解，用大的矩形面积减去三个小三角形的面积即得到△ABD的面积． 17. 设a，b，c是的三边，化简：__________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用三角形三边关系结合绝对值的性质分别化简得出答案． 【详解】解：∵a，b，c分别为的三边， ∴，，， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系以及绝对值化简，正确去绝对值是解题关键． 18. 如图，中，，，将沿折叠，使点落在直角边上的点处，设与、边分别交于点、点，如果折叠后与均为等腰三角形，那么__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、折叠的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键．连接，设，则，先求出，再根据等腰三角形的定义可得，根据折叠的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，，然后根据三角形的外角性质、三角形的内角和定理求出的大小，从而可得，最后分两种情况：①和，根据等腰三角形的性质建立方程，解方程即可得． 【详解】解：如图，连接， 设，则， ∵在中，， ∴，即， ∴， ∵在中，，为等腰三角形， ∴， 由折叠的性质得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 则分以下两种情况： ①当时，为等腰三角形， ∴，即， 解得，符合题意， ∴； ②当时，为等腰三角形， ∴，即， 解得，符合题意， ∴； 综上，或， 故答案为：或． 三、解答题：本题共7小题，共46分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 如图，，点D，E分别在上，且，连接．求证：． 【答案】 解：∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴ ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质．根据已知条件选择恰当的判定方法证明即可得出结论． 【详解】略 20. 在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点，点，点均在小正方形的顶点上．请用无刻度直尺完成以下任务： （1）画出中边上的高； （2）画出中边上的中线； （3）直接写出的面积为______． 【答案】（1） 解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）4 【解析】 【分析】本题考查画高线，中线，与三角形的高有关的计算，三角形的中线平分面积，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据高线的定义和网格特点，画出即可； （2）根据中点的定义和网格特点，取的中点，连接即可； （3）求出的面积，根据中线将三角形分成面积相等的两部分，求出的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由图可知：， ∵为的中线， ∴的面积， 故答案为：． ． 21. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于点D，又DE是AB的垂直平分线，垂足为E． （1）求∠CAD的大小； （2）若BC＝3，求DE的长． 【答案】（1）30° （2）1 【解析】 【分析】（1）先说明△ABD是等腰三角形，再根据三角形的内角和即可得出答案； （2）设DC的长为y，根据直角三角形的性质列出关于y方程，解出y即可． 【小问1详解】 解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴AD=BD， ∴∠B=∠EAD， 又∵AD是∠CAB的平分线， ∴∠CAD=∠EAD， 设∠CAD=x，则3x=90°， ∴x=30°， ∴∠CAD=30°； 【小问2详解】 ∵AD是∠CAB的平分线，DC⊥AC，DE⊥AB， ∴DC=DE， 设DC=y，则DE=y，BD=3-y， 又∵∠B=30°， ∴y=， 解得y=1， ∴DE=1． 【点睛】本题主要考查中垂线的性质和角平分线的性质，关键是要牢记垂直平分线的性质和角平分线的性质． 22. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出与关于轴对称的； （2）写出点的坐标； （3）为轴上一点，使的周长最小，在图中作出点．（保留作图痕迹） 【答案】（1）如图，为所求作图形． （2） （3） 如图，点P即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称作图，轴对称的应用，解题的关键是作出对应点的位置． （1）作出点A、B、C关于x轴的对称点、、，然后顺次连接即可； （2）写出点的坐标即可； （3）作点B关于y轴的对称点，然后连接交y轴于点P，则点P即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据图形可知，点． 【小问3详解】 解：根据对称性可知，， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， ∵为定值， ∴此时的周长最小． 23. 如图，四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC． （1）求证：OC平分∠ACD； （2）求证：OA⊥OC． 【答案】 证明：（1）过点O作OE⊥AC于E， ∵∠ABD＝90°，OA平分∠BAC， ∴OB＝OE， ∵点O为BD的中点， ∴OB＝OD， ∴OE＝OD， ∵∠D＝90°， ∴OD⊥CD， ∴OC平分∠ACD； （2）在Rt△ABO和Rt△AEO中， ， ∴Rt△ABO≌Rt△AEO（HL）， ∴∠AOB＝∠AOE， 同理得：∠COD＝∠COE， ∴∠AOC＝∠AOE+∠COE＝×180°＝90°， ∴OA⊥OC． 【解析】 【分析】（1）过点O作OE⊥AC于E，根据角平分线的性质可得OB＝OE，求出OE＝OD，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可； （2）利用“HL”证明△ABO和△AEO全等，可得∠AOB＝∠AOE，同理∠COD＝∠COE，然后求出∠AOC＝90°，再根据垂直的定义即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了与角平分线相关的证明问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理、角平分线的性质、垂直的定义是解题的关键． 24. 如图，在等边三角形ABC右侧作射线CP，∠ACP=（0°<<60°），点A关于射线CP的对称点为点D，BD交CP于点E，连接AD，AE． （1）依题意补全图形； （2）求∠DBC的大小（用含的代数式表示）； （3）直接写出∠AEB的度数； （4）用等式表示线段AE，BD，CE之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） 依题意补全图形； （2）；（3）60°； （4）结论：. 在EB上截取，连接AF. ∵， ∴△AEF是等边三角形， ∴，. ∵△ABC是等边三角形， ∴，. ∴. ∴ . 在△BAF 和△CAE中 ∵ ∴ △BAF≌△CAE（SAS） ∴ BF=CE（全等三角形的对应边相等） ∵点A和点D关于射线CP的对称， ∴ AE=DE. ∴． 【解析】 【分析】（1）根据对称性即可补全图形； （2）连接CD，根据对称性得到，从而得到，再根据即可求解； （3）根据对称性可得=，再根据角度的八字模型即可得到∠AEB=，故可求解； （4）在EB上截取，连接AF，得到△AEF是等边三角形，根据△ABC是等边三角形得到，，进而证明△BAF≌△CAE，得到BF=CE，再根据对称性得到AE=DE，故可得到． 【详解】（1）略 （2）解： 连接CD. ∵线段AC和DC关于射线CP的对称， ∴，. ∵△ABC是等边三角形， ∴，. ∴，. ∴. （3）根据对称性可得= ∵ ∴∠AEB==60° （4）略 【点睛】此题主要考查轴对称与几何综合，解题的关键是熟知等边三角形的性质、旋转的性质及对称性的应用． 25. 如图，是边长为6的等边三角形，是边上一动点，由点向点运动（与，不重合），是延长线上一点，与点同时以相同的速度由点向延长线方向运动（点不与点重合），过点作于点，连接交于点． （1）若设，则______，______；（用含的式子表示） （2）时，求的长； （3）在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由． 【答案】（1）， （2）； （3）当点P、Q运动时，线段的长度不会改变，． 【解析】 【分析】（1）根据题意得，然后得到，； （2）在中利用角直角三角形的性质列方程求解即可； （3）过点P作的平行线交AB于点M，首先证明出是等边三角形，然后得到，然后证明出，得到，进而求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得，， ∵是边长为6的等边三角形， ∴，， ∴，； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：在中，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：当点P、Q运动时，线段的长度不会改变，， 理由如下： 如图：过点P作的平行线交AB于点M， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，角直角三角形的性质，一元一次方程的应用等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年度第一学期天津市第十一中学 八年级数学期中试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在以下图形中，不是轴对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 2. 同学们试着用数学的眼光观察世界，下列图形中，没有运用到三角形的稳定性的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，若，则根据图中提供的信息，可得出的值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，用，，直接判定的理由是（ ） A. B. C. D. 5. 设等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则其周长为（　　） A. 15 B. 20 C. 25 D. 20或25 6. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为( ) A. 30° B. 45° C. 50° D. 75° 7. 如图，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知，，用尺规作图的方法在上取一点，使得，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，直线表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ） A. 一处 B. 两处 C. 三处 D. 四处 10. 在平面直角坐标系xoy中，已知点A（2，﹣2），在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 11. 如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝4，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF＝5，则AB的长为（　　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 12. 如图，中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④四边形，其中正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 点关于y轴对称的点的坐标是______． 14. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DC=3，则点D到AB的距离是_______ 15. 如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，则∠C=_______． 16. 如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格交点，则ABC的面积与ABD的面积的大小关系为：______（填“＞”，“＝”或“＜”） 17. 设a，b，c是的三边，化简：__________． 18. 如图，中，，，将沿折叠，使点落在直角边上的点处，设与、边分别交于点、点，如果折叠后与均为等腰三角形，那么__________． 三、解答题：本题共7小题，共46分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 如图，，点D，E分别在上，且，连接．求证：． 20. 在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点，点，点均在小正方形的顶点上．请用无刻度直尺完成以下任务： （1）画出中边上的高； （2）画出中边上的中线； （3）直接写出的面积为______． 21. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于点D，又DE是AB的垂直平分线，垂足为E． （1）求∠CAD的大小； （2）若BC＝3，求DE的长． 22. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出与关于轴对称的； （2）写出点的坐标； （3）为轴上一点，使的周长最小，在图中作出点．（保留作图痕迹） 23. 如图，四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC． （1）求证：OC平分∠ACD； （2）求证：OA⊥OC． 24. 如图，在等边三角形ABC右侧作射线CP，∠ACP=（0°<<60°），点A关于射线CP的对称点为点D，BD交CP于点E，连接AD，AE． （1）依题意补全图形； （2）求∠DBC的大小（用含的代数式表示）； （3）直接写出∠AEB的度数； （4）用等式表示线段AE，BD，CE之间的数量关系，并证明． 25. 如图，是边长为6的等边三角形，是边上一动点，由点向点运动（与，不重合），是延长线上一点，与点同时以相同的速度由点向延长线方向运动（点不与点重合），过点作于点，连接交于点． （1）若设，则______，______；（用含的式子表示） （2）时，求的长； （3）在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $