第15章 轴对称 综合与实践 最短路径问题 （第1课时） 课件2025-2026学年 人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦八年级“最短路径问题（第一课时）”，核心解决直线同侧两点到线上一点距离和最小问题。通过复习“两点之间线段最短”“垂线段最短”，结合引例（异侧两点）搭建支架，过渡到“牧民饮马问题”，引导学生从已知到未知构建知识脉络。 特色在于以轴对称变换为核心方法，渗透化归思想，通过证明过程培养推理能力（数学思维）。小组合作任务（哪吒接敖丙）将实际问题抽象为数学模型，发展模型观念与应用意识（数学语言）。拓展问题（两动一定、两动两定）提升创新意识（数学眼光），助力学生提升几何直观与抽象能力，为教师提供结构化教学流程与实践活动设计。

最短路径问题（第一课时） 年级：八年级 主讲人：余建豪 学科：数学（人教版2024） 2、通过轴对称变换体会化归思想，提升抽象能力、几何直观、推理能力，发展模型观念、应用意识和创新意识 1、了解解决直线同侧两点到线上一点的距离和最小问题的基本方法，在解决实际问题的过程中强化应用意识. 学习目标 最值问题： 最大 最小 最长 最短 最胖 最瘦 “最短路径问题” 复习一： 如图，连接A、B两点的所有线中，哪条最短？为什么？ A B ① ② ③ ②最短，因为两点之间，线段最短. P l A B C D 如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？ PC最短，因为垂线段最短. 复习二： 引例 如图，在直线l上求作一点C，使得CA+CB最小 A B l C 作法： 连接AB与l相交于点C,C点即为所求 依据： 两点之间，线段最短 如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？ C 抽象成 A B l 数学问题 实际问题 A B l 如图，在直线l 上求作一点C，使CA+CB最短 活动一 牧民饮马问题 C A B l 例：如图，在直线l上有一点求一点C，使得CA+CB最小 AB在直线l同侧 AB在直线l异侧 思考：能否通过图形的变化（轴对称、平移等），将问题转化为我们 研究过的问题？ A B l C 思考：如何将点B“移”到l 的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长度相等？ A l 利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′ B' B B C 作法： （1）作点B 关于直线l的对称点B′ （2）连接AB′与直线l 相交于点C （3）则点C 即为所求 A B l 例：如图，在直线l上有一点求一点C，使得CA+CB最小 B' C 思考：如何证明此时CA+CB最小？ 思考：如何证明这条路径最短？ 在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′， ∴　AC +BC＜AC′+BC′. 即　AC +BC 最短． A B l B ′ C C ′ 证明： B和B'关于直线l对称 ∴ BC =B′C，BC′=B′C′． ∴ AC +BC= AC +B′C = AB′， ∴ AC′+BC′= AC′+B′C′． 例：如图，在直线l上有一点求一点C，使得AC+BC最小 不妨在直线l 上任取一点C′(与点C 不重合)，连接AC′，BC′，B′C′ ∴ 需证明AC +BC＜AC′+BC′ 天界之门快要开了，只有法力高强的人才能进入天界，现哪吒乘坐飞猪从陈塘关C点出发，去东海边AB接上敖丙，再去乾元山金光洞D点修炼，请问敖丙要在东海边那里等哪吒，才能让飞猪飞行的距离最短 A D B A C D B 在AB上找一点P，使得CP+DP最短。 小组合作 要求： 1、展示画图痕迹 2、书写作法 陈塘关 C 乾元山金光洞 A C D B 在AB上求作一点P，使得CP+DP最短 作法： （1）作点D关于AB的对称点D' （2）连接D'C交AB 与点P （3）则点P即为所求的点 D' P 那能不能作C点的对称点呢？ 两定一动 l A B C l A B C B′ l A B C 抽象为数学问题 用旧知解决新知 联想旧知 解决实际问题 A B l 如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ ） D 巩固练习 P Q l A M P Q l B M P Q l C M P Q l D M P Q l 任务1：如图，牧民从 A 地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，最后回到 A 处. 牧民怎样走可使所走的路径最短？ 牧民饮马问题的拓展 活动二 如图，如果把草地边近似看成射线 a，河边近似看成射线 b 问题转化成分别在射线 a，b 上分别找一点 B， C，使 AB + BC + AC 最小. 当 B，C 分别为 A′A″ 与射线 a，b 的交点时，AB + BC + AC″ 最小，为 A′A″. A a b 牧民饮马问题的拓展 分别作点 A 关于 a，b 的对称点 A′，A″，可得 A′B = AB，A″C = AC. 问题转化为：当点 B，C 在什么位置时，A′B + BC + CA″ 最小？ 两动一定 任务2：如图，牧民从 A 地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到 B 处 . 牧民怎样走可使所走的路径最短？ 牧民饮马问题的拓展 这个问题可抽象为：如图，在射线 a，b 上分别找一点 C，D，使 AC + CD + BD 和最小. 分别作点 A，B 关于 a，b 的对称点 A′，B′，可得 AC = A′C′，BD = B′D. a b A B 当 C，D 分别为 A′B′ 与射线 a，b 的交点时，AC + CD + BD 最小，为 A′B′. 两动两定 如图，小明同学星期天从 A 处赶几只羊到草地边某一处吃草，然后赶羊到河边某一处饮水，之后再回到 B 处的家. 假设小明同学赶羊走的都是直路，请你为他设计一条最短的路线，并指明羊吃草与饮水的位置. 巩固练习 解：如图，作出点 A 关于 l1 的对称点 E，点 B关于 l2 的对称点 F，连接 EF，分别交 l1 ，l2 于点 C，D，连接 AC，BD，则 A→C→D→B 是小明同学走的最短路线，其中点 C 是羊吃草的位置，点 D 是羊饮水的位置. 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。 老师寄语： $