4.2 图形变换与坐标变化（第3课时 坐标系内一些特殊点的坐标特征）（教学设计）数学苏科版2024八年级上册

该初中数学教学设计聚焦坐标系内特殊点坐标特征，含与坐标轴垂直/平行直线及角平分线上点的坐标规律。以雁群编队、无人机表演为导入，搭建生活到数学的学习支架，衔接前后知识。 特色在于生活情境激发兴趣，通过“画图—观察—总结”探究培养几何直观（数学眼光），结合中考链接与实际“编队”设计任务提升推理意识与模型意识（数学思维、语言），助力教师高效教学，学生深化数形结合理解。

4.2 图形变换与坐标变化（第3课时 坐标系内一些特殊点的坐标特征） 教学设计 1.教学内容 本节为新教材苏科版八年级上册第四章《平面直角坐标系》4.2“图形变换与坐标变化”第3课时：坐标系内一些特殊点的坐标特征。核心知识点包括与坐标轴垂直或平行的直线上点的坐标特点，以及角平分线上的点的坐标特征。 2.内容解析 本课围绕在平面直角坐标系中辨析形与数的对应关系，聚焦与坐标轴垂直平行及角平分线上的特殊点坐标特征，通过操作与观察，培养学生数形结合能力和图形变换思维。教材从一字形、人字形及无人机编队入手，突出点的定位与坐标关系。学生在示例中掌握：与轴垂直或平行的线段相应坐标恒定；角平分线上的坐标或相等或互为相反数；借助坐标关系表达距离与平移过程，深化对数形结合的认识。本课关注几何与代数的融合，为后续坐标综合运用奠定基础。 1.教学目标 •能写出平面直角坐标系中具有简单排列规律的点的坐标特征，知道横坐标、纵坐标之间的关系可以反映点的位置排列特征，并能用坐标中的数量关系表达这些特征。 •通过操作、观察和发现，充分体会坐标系中的数形结合功能，发展几何直观。 2.目标解析 • 通过对直线平行或垂直于坐标轴的情形，引导学生关注同一坐标值保持不变的几何含义，落实“能写出坐标特征”的目标。 • 借助画线与作图，让学生亲身体验并观察角平分线上的坐标规律，强化数形结合与定量分析的思维习惯。 • 激发学生进行坐标关系的应用与表现，使其能主动将位置排列特征抽象为数量关系。 3.重点难点 • 教学重点：掌握直线与坐标轴平行或垂直及角平分线上的点的坐标特征，并能灵活运用到判断与计算中。 • 教学难点：从几何图形的变化过程，抽象出坐标之间的数量关系，形成数形结合的熟练思维方法。 学生已具备基本的一元一次方程和简易多项式运算能力，对平面直角坐标系也有初步认识，但对“数形结合”思想的应用尚不熟练；在多点坐标规律、距离平移建模等情境中，能较易理解平行或垂直时坐标的稳定性，但对角平分线与互为相反数、相等的规律需较多引导与练习方能掌握。结合课堂演示和动手实验，可有效突破难点。 创设情景，引入新课 本节课我们继续围绕“图形与坐标的结合”展开学习。展示图片，请大家思考： - 雁群在南北迁徙时为何常排成“一字形”或“人字形”？ - 无人机编队表演为什么能形成各种对称或有规律变化的图案？ 这些都可以看作某些“点”在平面直角坐标系中具有一定排列规律，或者按特定方式进行运动。本节课我们就来研究一些特殊位置的点的坐标特征——“如何用数表示点的排列规律？” 【设计意图】通过展示生活中雁群、一字形、人字形与无人机编队等实例，引发学生兴趣，让学生意识到点在坐标系中的排列规律可用数字关系体现，为后续探究做好思维准备。 探究点1：在垂直(或平行)于坐标轴的直线上的点的坐标特征 1.问题引入 请观察下列情况： 如图，过点A(3，4)分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为B，C，直线AB，AC上的点的坐标有什么特征？ 课堂演示（教师出示图，引导学生观察并在纸上画图）. 2.新知导出 在垂直于 轴（或平行于 轴）的直线上，所有点的横坐标都相同；在垂直于 轴（或平行于 轴）的直线上，所有点的纵坐标都相同。 【设计意图】通过具体画图与观察，让学生感受到垂直（或平行）于坐标轴的直线在坐标上的典型特点，初步形成对特殊位置点坐标特征的认识。 探究点2：在角平分线上的点的坐标特征 1. 问题引入 （1）在如图的平面直角坐标系中，画出两坐标轴正半轴所成角的平分线l，射线l上的点的坐标有什么特征？ （2）在如图的平面直角坐标系中，x轴负半轴与y轴正半轴所成角的平分线上的点的坐标有什么特征？ 2. 新知导出 - 画出两坐标轴正半轴所成角的平分线 ，测量或计算射线上若干点的坐标，发现：横坐标与纵坐标相等。 - 在 轴负半轴与 轴正半轴所成角的平分线上的点，横坐标与纵坐标互为相反数。 3.师生活动 教师提问：第一、三象限的角平分线上，点的横、纵坐标有何关系？ - 学生讨论、归纳：均满足 。 - 教师提问：第二、四象限的角平分线上，点的横、纵坐标又有何关系？ - 学生讨论、归纳：满足 。 - 教师补充并板书总结： 【设计意图】该探究点通过“画图—观察—总结”的方式，让学生在动手与思考过程里，充分体会坐标与图形的结合，从而得出“点在角平分线”上的坐标特征，培养学生几何直观与抽象表达的能力。 4.例题巩固 例3 如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(4，0)，动点P到点O和点A的距离相等． (1) 画出动点P所形成的图形． (2) 动点P的坐标有什么特征？ (3) 当点P到x轴的距离为3时，写出点P的坐标． 解：(1)因为动点P到点O和点A的距离相等，所以动点P形成的图形是过点(2，0)且垂直于x轴的一条直线； (2)动点P的横坐标不变，始终为2； (3)因为点P到x轴的距离为3，所以点P的纵坐标为3或－3，点P的坐标为(2，3)或(2，－3)． 1. 在平面直角坐标系中，描出点A(3,－2)，B(3,1),C(3,4),D(－2,3),E(1,3),F(4,3). (1) 点A，B，C在一条直线上吗？直线AC与坐标轴有什么位置关系？ (2) 点D，E，F在一条直线上吗？直线DF与坐标轴有什么位置关系？ 解：(1)点A，B，C在一条直线上，直线AC垂直于x轴，平行于y轴． (2)点D，E，F在一条直线上，直线DF平行于x轴，垂直于y轴． 2. 在平面直角坐标系中，回答下列问题： (1) 点P位于第三象限，到两坐标轴的距离都是2，写出点P的坐标； (2) 线段MN平行于y轴，点M的坐标为　(－1，3)，且MN＝4，写出点N的坐标． 解：(1)点P的坐标为(－2，－2)； (2)点N的坐标为(－1，7)或(－1，－1)． 3. 请写出一些点的坐标，使得每个点的横坐标是纵坐标的2倍，并把这些点画在平面直角坐标系中，观察这些点的位置，你有什么发现？ 解：点A(－4，－2)，B(－2，－1)，O(0，0)，C(2，1)，D(4，2)，E(6，3)． 这些点在平面直角坐标系中的表示如图所示， 这些点在一条过原点的直线上． 数学实验室 1. 写出一些横坐标与纵坐标之和为3的点的坐标，并把这些点画在图的平面直角坐标系中，观察这些点的位置，你有什么发现？ 解：横坐标与纵坐标之和为3的点的坐标如下： (－1，4)，(0，3)，(1，2)，(2，1)，(3，0)，(4，－1)等．把这些点画在平面直角坐标系中, 如图所示，这些点在一条直线上． 2. 写出一些横坐标与纵坐标之积为4的点的坐标，并把这些点画在图的平面直角坐标系中，然后按照横坐标从小到大的顺序用光滑的线将它们连起来. 多画一些这样的点，你有什么发现？ 解：横坐标与纵坐标之积为4的点的坐标如下： (1,4)，(2,2)，(4,1)，(－1,－4)，(－2,－2)，(－4,－1)等．把这些点画在平面直角坐标系中 用光滑的曲线连起来，如图所示，连接的两条曲线关于原点对称． 中考链接 （2024·齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴正半轴于点M，交y轴正半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在第一象限交于点H，画射线OH. 若H（2a－1，a＋1），则a＝ 　2　.　 能力提升 1. 在平面直角坐标系中，点P的坐标为 (2m＋5，3m＋3)． (1) 若点P在过点A(－5，1)且与y轴平行的直线上，求点P的坐标． (2) 将点P向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到点M，若点M在第三象限，且点M到y轴的距离为7，求点M的坐标． 解：(1) ∵ 点P在过点A(－5，1)且与y轴平行的直线上， ∴ 点P的横坐标为－5． ∴ 2m＋5＝－5，解得m＝－5． ∴ 3m＋3＝－12． ∴ 点P的坐标为(－5，－12)． (2) 由题意，得点M的坐标为(2m＋5＋2，3m＋3＋3)． ∵ 点M在第三象限，且点M到y轴的距离为7， ∴ 点M的横坐标为－7． ∴ 2m＋5＋2＝－7，解得m＝－7． ∴ 3m＋3＋3＝－15． ∴ 点M的坐标为(－7，－15)． 2. (1) 若点A(a－4，2－2a)在第二象限，且到x轴和y轴的距离相等，求点A的坐标． (2) 已知M(m＋1，n－2)，N(4，3)两点.若点M到y轴的距离是3，且MN∥x轴，求点M的坐标． 解：(1) ∵ 点A(a－4，2－2a)在第二象限， ∴ 解得a＜1． 根据题意，得｜a－4｜＝｜2－2a｜， 解得a＝2(不合题意，舍去)或a＝－2， ∴ 点A的坐标为(－6，6)． (2) ∵ 点M到y轴的距离是3， ∴ 点M的横坐标为3或－3． 又∵ MN∥x轴， ∴ 点M的纵坐标为3， ∴ 点M的坐标为(3，3)或(－3，3)． 1. 课题：第3课时 坐标系内一些特殊点的坐标特征 2. 特殊点的坐标特征： 与x轴、y轴垂直的直线 角平分线上点的坐标规律 3. 新知巩固：描点、作图、观察位置关系 4. 典例分析：直线与距离相等的点、平移变换的应用 5. 课堂小结：坐标关系与点的位置规律汇总 1. 课本同步练习：完成教材相应习题。 2. 拓展探究：请同学们任选一个实际场景（如操场排队或美术图形设计），尝试用平面直角坐标系的角平分线形式、相同或相反数坐标的形式对其中的点进行“编队”设计，并画图说明。 3. 思考题：若一点P在第二象限，且横坐标与纵坐标互为相反数，能否找出它的通用表达式？列举3个具体点并画在坐标系中。请在下节课前完成并分享讨论。 本节课的教学目标总体达成较好，学生已初步掌握在平面直角坐标系中标注和判别特殊位置点坐标的规律。通过示例和作图，绝大多数学生能够正确区分在垂直于坐标轴直线、角平分线等情形下点的坐标特征，并能用相应的数量关系加以描述。在教学过程中，关于利用一次方程或简单几何距离对位置进行刻画，个别学生仍存在理解偏差，需要加强对“列方程—解释图像”这一关键思维过程的引导。后续将进一步增加小组讨论和合作探究的机会，引导学生运用坐标思想解决简单实际问题，深化对数形结合重要性的认识。 学科网（北京）股份有限公司 $