精品解析：吉林省松原市前郭尔罗斯蒙古族自治县第三中学2025-2026学年上学期九年级数学第二次学识大练兵

前郭三中2025—2026学年度第一学期 九年级数学第二次学识大练兵 一、选择题：（每小题3分，共18分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，把一个图形沿某一点旋转后，能够与自身重合，这个图形就是中心对称图形，理解中心对称图形的定义是解题的关键．根据中心对称图形的定义回答即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，此选项不符合题意； B、不是中心对称图形，此选项不符合题意； C、是中心对称图形，此选项符合题意； D、不是中心对称图形，此选项不符合题意； 故选：C． 2. 用配方法解一元二次方程，配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查配方法，所以此题可根据“方程两边加上一次项系数一半的平方”进行配方即可． 【详解】解：由题意可得：一元二次方程，配方后可变形为； 故选A． 3. 已知的半径为6，与圆同一平面内一点到圆心的距离为7，则点与的位置关系是（ ） A. 点在圆外 B. 点在圆上 C. 点在圆内 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系：若点到圆心的距离大于半径，点在圆外；等于半径，点在圆上；小于半径，点在圆内． 根据点与圆的位置关系，比较点P到圆心的距离与圆的半径大小即可判断． 【详解】解：∵的半径为6，点P到圆心O的距离为7，， ∴点P在圆外． 故选：A． 4. 某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验，如图显示的是某一事件发生的频率，该事件可能是（ ） A. 掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 B. 掷一枚质地均匀的骰子，它的六个面上分别刻有1到6的点数，出现点数是2 C. 从只装有2张黑桃和1张红桃除花色外都相同的扑克牌盒中随机抽取一张，抽出的牌是红桃 D. 同时掷两枚质地均匀的硬币，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，概率计算公式，用树状图法计算概率，掌握相关知识是解决问题的关键．大量反复试验下频率稳定值即概率．先由图可知，该事件发生的频率稳定在附近，所以估计该事件发生的概率为，再分别计算四个选项中事件发生的概率即可求解． 【详解】解：由图可知，该事件发生的频率稳定在附近，所以估计该事件发生的概率为， A、掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为，故不符合题意； B、掷一枚质地均匀的骰子，它的六个面上分别刻有1到6的点数，出现点数是2的概率为，故不符合题意； C、从只装有2张黑桃和1张红桃除花色外都相同的扑克牌盒中随机抽取一张，抽出的牌是红桃的概率为，故符合题意； D、同时掷两枚质地均匀的硬币， 共有四种等可能性的结果，其中一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的有两种，则一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的概率为，故不符合题意； 故选：C 5. 如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能．图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角后，能够与它本身重合，则角的大小可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求旋转角，把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，整个图形由三个叶片组成，则相邻叶片之间的夹角为， ∴该叶片图案绕中心至少旋转后能与原来的图案重合， ∴角的大小可以为， 故选：B． 6. 如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，已知在轴上，若点的坐标是，平行四边形的面积是4，则实数的值为（ ） A. 4 B. C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 延长交轴于点，根据平行四边形面积可求出，继而可得点坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出值即可． 【详解】解：如图，延长交轴于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选： C． 二、填空题：（每小题3分，共15分） 7. 在半径为5的圆中，有两条弦的长分别为6和8，这两条弦的中点的距离x的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．作辅助线如图，根据垂径定理得到，，再利用勾股定理计算出，，所以点E在以O点为圆心，4为半径的圆上；点F在以O点为圆心，3为半径的圆上，然后求出两圆上两点之间的最小距离和最大距离即可． 【详解】解：过点O作于E，于F，连接，如图，，， 则，， 在中，， 在中，， 点E在以O点为圆心，4为半径的圆上；点F在以O点为圆心，3为半径的圆上， 两圆上两点之间的最小距离为；两圆上两点之间的最大距离为， 的取值范围为 故答案为： 8. 若点、在抛物线上，则______（填“>”或“<”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数，由于抛物线开口向下，对称轴为轴，点和点的横坐标与对称轴的距离不同，点距离更远，因此其纵坐标较小． 【详解】抛物线 的二次项系数为负，故开口向下，对称轴为 ， 点 的横坐标与对称轴的距离为 ， 点 的横坐标与对称轴的距离为 ， 由于点距离对称轴更远，且抛物线开口向下， 故 ， 故答案为：． 9. 如图，小明同学把一块等腰直角三角板的顶点A放在半径为2的圆形铁丝上，三角板的斜边及一条直角边分别与圆交于点，则图中的长为_______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，弧长公式．连接，根据圆周角定理得出，利用弧长公式即可求解． 【详解】解：如图，连接， 根据题意得：， ， ， ， ， 故答案为：． 10. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则_____°． 【答案】15 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质以及直径所对的圆周角等于，根据圆内接四边形的性质可得出，再根据直径所对的圆周角等于可得出，再利用角的和差关系可得出答案． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形，且， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故答案为：15． 11. 如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点P，Q都在x轴上，平行于x轴的直线与两条抛物线相交于A，B，C，D四点，若，，，则的长度为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的性质，矩形的性质，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 分别作出两条抛物线的对称轴，，交于点，，得四边形是矩形，利用抛物线的对称性计算即可． 【详解】解：通过点、分别作出两条抛物线的对称轴，，交于点M，，如图所示， ， 四边形是矩形， ， ，，， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题（本题共11小题，共87分） 12. 有三张牌，点数分别是2，3，5，将牌背面朝上，洗匀． （1）从中抽取一张牌，若使抽到奇数和偶数的概率相等，则需要增加_________张点数为偶数的牌； （2）嘉嘉先从这三张牌中抽一张，淇淇从剩下的两张牌中抽一张，请在图中补全两人所抽取牌上数字的可能结果，并求两张牌上的数字之和是奇数的概率． 【答案】（1）1 （2）树状图如图；两张牌上的数字之和是奇数的概率为． 【解析】 【分析】本题考查用树状图求概率． （1）若抽到奇数和偶数的概率相等，需要满足点数为奇数和偶数的张数相等，计算即可； （2）根据题意补全树状图，由图可知共有6种可能结果，其中两张牌上的数字之和是奇数的有4种，计算即可． 【小问1详解】 解：点数为奇数的牌有2张，点数为偶数的牌有1张， （张） 故答案为：1． 【小问2详解】 解：共有6种等可能的结果，其中两张牌上的数字之和是奇数的结果有：，，，，共4种， ∴两张牌上的数字之和是奇数的概率为． 13. 如图，某青少年活动中心进行场地改造，将原正方形空地一边减少了1，另一边减少了2，剩余空白处空地用来栽种蔬菜．设原正方形空地的边长为，如果栽种蔬菜的面积为12，求原正方形空地的边长x的值． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程解应用题：用x表示出空白处长方形的长和宽，根据其面积为12列出方程，解出方程即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，栽种蔬菜区域的长为，宽为． 根据题意，得， 整理，得， 解得（不符合题意，舍去）． 故原正方形空地的边长的值为5． 14. 如图，点是等边内一点，将绕点逆时针旋转得到，连接，，，，． （1）求证：； （2）若，，，请直接写出的度数． 【答案】（1） 证明：绕点B逆时针旋转得到， ，， 是等边三角形． ， ， ， 在和中， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是证明． （1）由旋转的性质可得，，由等边三角形的性质可得，再根据证明即可； （2）证明是等边三角形，再由全等三角形的性质可得，，再由勾股定理的逆定理可得，再求解可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， 是等边三角形， ，， ， ，， ， ，， ， ， ， ． 15. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数的图象与反比例函数在第二象限的图象交于点，与轴交于点，连结并延长交这个反比例函数第四象限的图象于点． （1）求的值和这个反比例函数的表达式． （2）求的面积． （3）当直线对应的函数值大于反比例函数的函数值时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2）6 （3）或 【解析】 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数的对称性，三角形面积，解题的关键是数形结合． （1）先求出点的坐标，然后代入反比例函数解析式，求出的值即可； （2）由一次函数的解析式求得点的坐标，利用反比例函数的对称性求得点的坐标，然后根据即可求解； （3）根据图象即可求得． 【小问1详解】 在一次函数的图象上， ， 解得， 点的坐标为， ， 反比例函数的对应的函数关系为； 【小问2详解】 当时，， 解得， 点的坐标为． 点在反比例函数的图象上， 点的坐标为， ； 【小问3详解】 当直线对应的函数值大于反比例函数的函数值时，或．  16. 图①、图②、图③均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，为的弦，点、、均在格点上．仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，并保留作图痕迹． （1）在图①中，以为边画的内接正方形； （2）在图②中，作，点在圆周上，且为格点； （3）在图③中，过点作的切线． 【答案】（1）如图： （2）如图： （3）如图： 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图、圆的基本性质、切线以及勾股定理： （1）先连接，连接，并延长交于点，连接，因为都是半径，所以，同理，连接并延长交于点，连接，连接，此时就是的内接正方形； （2）连接，连接，并延长交于点，根据直径所对的圆周角是直角，构造等腰直角三角形即可得到； （3）连接，作，则是的切线． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 17. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图象与轴的交点，与轴的另一个交点为，与轴交于点，连接、． （1）求该二次函数对应的函数解析式及点的坐标； （2）若点为该二次函数图象上点右侧部分图象上的点，作，若的面积是面积的，请直接写出点的横坐标． 【答案】（1）函数解析式为，点的坐标为 （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了求二次函数的解析式，面积问题： （1）把点代入，可求出二次函数的解析式，再令，即可求解； （2）先求出点，可得，设点P的坐标为，且，根据的面积是面积的，可得，从而得到关于m的方程，即可求解． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象与轴的交点， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为， 当时，， 解得：， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：由（1）得：， 当时，， ∴点， ∴， ∴， 设点P的坐标为，且， ∵的面积是面积的， ∴， ∴， 解得：或（舍去）或2， ∴点的横坐标为或2． 18. 如图，是的直径，是的弦，连接，，点E在的延长线上，作直线，． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ， ． ， 是等边三角形， ． ， ，即， 是的切线． （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定与性质，直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键． （1）连接，由圆周角定理得到，易证是等边三角形，推出，结合，即可得到，即可得出结论； （2）根据直角三角形的性质可求出，再利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ． 19. 如图，在等腰直角中，，，过点作于点．点从点出发，以的速度沿向终点运动．过点作.于点，以，为邻边作．设与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为． （1）当点落在边上时，求的值． （2）当时，求关于的解析式，并写出的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数应用—面积问题，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，掌握知识点的应用及分类讨论的思想是解题的关键． （）由四边形是平行四边形，则，然后通过等腰直角三角形性质和勾股定理得，，然后代入即可求解； （）分当时，当时，当时三种情况求解即可． 【小问1详解】 解：如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴当点落在边上时，的值为； 【小问2详解】 解：如图，当时，， ∴； 如图，当时，， 由题意知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当时，， ∴； 综上，． 20. 根据以下信息，探索完成任务： 探索目的 制作简易水流装置 信息1 如图，C是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径，从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，使水流从处流出且呈抛物线形．以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，水流最终落到轴上的点处． 信息2 圆柱的高为，点到圆柱顶端的距离为，轴，，，为水流所在抛物线的顶点，点，，，，均在同一平面内． 问题解决 任务一 填空：的长度为______，该抛物线顶点坐标为（______，______）． 任务二 求水流所在抛物线的函数解析式． 任务三 现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在点处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由．（圆柱形水杯的厚度忽略不计） 【答案】任务一，, ； 任务二，； 任务三，水流不能流到圆柱形水杯内，理由如下， 圆柱形水杯最左端到点的距离是， 当时，， ， 水流不能流到圆柱形水杯内． 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法，函数值的计算是关键． 任务一，根据题意得出，的横坐标为，，求得点的坐标，即可求解； 任务二，待定系数法求解析式，即可求解； 任务三，圆柱形水杯最左端到点的距离是，将代入二次函数解析式，比较大小即可求解． 【详解】解：任务一，圆柱的高为，点到圆柱顶端的距离为， ∴ ∵，，轴， ∴的横坐标为， ∴该抛物线顶点坐标为， 故答案为：,． 任务二，设抛物线解析式为 将点代入得， 解得： ∴抛物线解析式为 任务三，略 21. 综合与实践 在《图形的平移与旋转》回顾与思考课上，李老师出示了如下问题：在中，，点在平面内，连接并将线段绕点逆时针旋转与相等的角度，得到线段，连接． （1）初步探究 如图①，点是边上任意一点，则线段和线段的数量关系是 ； （2）类比探究 如图②，点是平面内任意一点，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．请仅以图②所示的位置关系加以证明（或说明）； （3）延伸探究 如图③，在中，，，，是线段边上的任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 【答案】（1） （2） 成立，理由如下： ∵旋转， ∴，， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴； （3）4 【解析】 【分析】（1）旋转的性质得到，，进而得到，证明，即可得出结论； （2）同法（1）即可得证； （3）延长至点，使，连接，作，根据含30度角的直角三角形的性质，推出，证明，得到，进而得到点的运动轨迹，根据垂线段最短结合含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵旋转， ∴，， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：延长至点，使，连接，作，则：， ∵，， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在射线上运动， ∵垂线段最短， ∴当点与点重合时，的长最短，为的长， ∵， ∴； 故的最小值为4． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，含30度的直角三角形，垂线段最短，熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等，是解题的关键． 22. 如图，点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式． （2）点P是线段上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，求线段长度最大时点P的坐标． （3）点Q是抛物线对称轴上一点，且是以为斜边的直角三角形，则点Q坐标为______ （4）点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点D，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或 （4）存在，满足条件的点D的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）将A、B的坐标代入抛物线中，易求出抛物线的解析式； （2）先利用抛物线解析式求出点C的坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式，设点P的横坐标为，则P、E的坐标分别为，从而求出的长，然后利用二次函数求最值即可； （3）设点Q的坐标是，表示出的长，利用勾股定理计算即可； （4）设抛物线与y轴的交点为K，由题意得，可知轴，分图中四种情形，利用平行四边形的性质以及平移变换的性质求解即可． 【小问1详解】 解：将代入，得到， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 将C点的横坐标代入，得， ， 设直线的解析式为，把分别代入，得， 解得：， 直线的函数解析式是， 设点P的横坐标为，则P、E的坐标分别为， 点P在点E的上方， ， ， 当时，最大，最大值为，此时点P的坐标为； 【小问3详解】 抛物线的对称轴是， 因为点Q在抛物线对称轴上，所以设点Q的坐标是， ，， 是以为斜边的直角三角形， ，即， 解得， 或； 【小问4详解】 存在，满足条件的点D的坐标为或或或， 理由如下：如下图，设抛物线与y轴的交点为K，由题意得， ， 轴，， 当点F与点K重合时， ①当是平行四边形的边时，即 ，则，得， ②当是平行四边形的对角线时，即，则，得， 当点在x轴的上方时，令， 解得， ， 由平移的性质可知， 综上所述，满足条件的点D的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法，二次函数与一次函数交点求线段的最值问题，勾股定理，一元二次方程的解法，利用平行四边形的性质以及平移变换的性质，解题关键是熟悉各个知识点并综合运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 前郭三中2025—2026学年度第一学期 九年级数学第二次学识大练兵 一、选择题：（每小题3分，共18分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程，配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 3. 已知的半径为6，与圆同一平面内一点到圆心的距离为7，则点与的位置关系是（ ） A. 点在圆外 B. 点在圆上 C. 点在圆内 D. 无法确定 4. 某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验，如图显示的是某一事件发生的频率，该事件可能是（ ） A. 掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 B. 掷一枚质地均匀的骰子，它的六个面上分别刻有1到6的点数，出现点数是2 C. 从只装有2张黑桃和1张红桃除花色外都相同的扑克牌盒中随机抽取一张，抽出的牌是红桃 D. 同时掷两枚质地均匀的硬币，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上 5. 如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能．图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角后，能够与它本身重合，则角的大小可以为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，已知在轴上，若点的坐标是，平行四边形的面积是4，则实数的值为（ ） A. 4 B. C. D. 8 二、填空题：（每小题3分，共15分） 7. 在半径为5的圆中，有两条弦的长分别为6和8，这两条弦的中点的距离x的取值范围是______. 8. 若点、在抛物线上，则______（填“>”或“<”） 9. 如图，小明同学把一块等腰直角三角板的顶点A放在半径为2的圆形铁丝上，三角板的斜边及一条直角边分别与圆交于点，则图中的长为_______．（结果保留） 10. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则_____°． 11. 如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点P，Q都在x轴上，平行于x轴的直线与两条抛物线相交于A，B，C，D四点，若，，，则的长度为_________． 三、解答题（本题共11小题，共87分） 12. 有三张牌，点数分别是2，3，5，将牌背面朝上，洗匀． （1）从中抽取一张牌，若使抽到奇数和偶数的概率相等，则需要增加_________张点数为偶数的牌； （2）嘉嘉先从这三张牌中抽一张，淇淇从剩下的两张牌中抽一张，请在图中补全两人所抽取牌上数字的可能结果，并求两张牌上的数字之和是奇数的概率． 13. 如图，某青少年活动中心进行场地改造，将原正方形空地一边减少了1，另一边减少了2，剩余空白处空地用来栽种蔬菜．设原正方形空地的边长为，如果栽种蔬菜的面积为12，求原正方形空地的边长x的值． 14. 如图，点是等边内一点，将绕点逆时针旋转得到，连接，，，，． （1）求证：； （2）若，，，请直接写出的度数． 15. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数的图象与反比例函数在第二象限的图象交于点，与轴交于点，连结并延长交这个反比例函数第四象限的图象于点． （1）求的值和这个反比例函数的表达式． （2）求的面积． （3）当直线对应的函数值大于反比例函数的函数值时，直接写出的取值范围． 16. 图①、图②、图③均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，为的弦，点、、均在格点上．仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，并保留作图痕迹． （1）在图①中，以为边画的内接正方形； （2）在图②中，作，点在圆周上，且为格点； （3）在图③中，过点作的切线． 17. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图象与轴的交点，与轴的另一个交点为，与轴交于点，连接、． （1）求该二次函数对应的函数解析式及点的坐标； （2）若点为该二次函数图象上点右侧部分图象上的点，作，若的面积是面积的，请直接写出点的横坐标． 18. 如图，是的直径，是的弦，连接，，点E在的延长线上，作直线，． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 19. 如图，在等腰直角中，，，过点作于点．点从点出发，以的速度沿向终点运动．过点作.于点，以，为邻边作．设与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为． （1）当点落在边上时，求的值． （2）当时，求关于的解析式，并写出的取值范围． 20. 根据以下信息，探索完成任务： 探索目的 制作简易水流装置 信息1 如图，C是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径，从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，使水流从处流出且呈抛物线形．以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，水流最终落到轴上的点处． 信息2 圆柱的高为，点到圆柱顶端的距离为，轴，，，为水流所在抛物线的顶点，点，，，，均在同一平面内． 问题解决 任务一 填空：的长度为______，该抛物线顶点坐标为（______，______）． 任务二 求水流所在抛物线的函数解析式． 任务三 现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在点处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由．（圆柱形水杯的厚度忽略不计） 21. 综合与实践 在《图形的平移与旋转》回顾与思考课上，李老师出示了如下问题：在中，，点在平面内，连接并将线段绕点逆时针旋转与相等的角度，得到线段，连接． （1）初步探究 如图①，点是边上任意一点，则线段和线段的数量关系是 ； （2）类比探究 如图②，点是平面内任意一点，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．请仅以图②所示的位置关系加以证明（或说明）； （3）延伸探究 如图③，在中，，，，是线段边上的任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 22. 如图，点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式． （2）点P是线段上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，求线段长度最大时点P的坐标． （3）点Q是抛物线对称轴上一点，且是以为斜边的直角三角形，则点Q坐标为______ （4）点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点D，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $