专题02 一元二次方程（期末复习讲义）九年级数学上学期冀教版

该初中数学一元二次方程期末复习讲义通过表格系统梳理核心考点、复习目标与考情规律，分知识点构建知识框架，涵盖概念、解法、根与系数关系及实际应用，用步骤分解和示例呈现知识内在联系，培养抽象能力与模型意识。 讲义按题型分层设计练习，从基础概念辨析到换元法解方程，再到增长率等实际应用问题，结合易错点提醒和解题步骤指导，培养运算能力和推理意识。基础通关练与重难突破练满足不同学生需求，助力教师实施精准分层教学。

专题02 一元二次方程（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 一元二次方程的概念及一般形式 能准确判断一个方程是否为一元二次方程，能将方程化为一般形式，并正确写出各项系数 基础必考点，多以选择题、填空题呈现；易错点是忽略“二次项系数不为0”的条件，或未化成一般形式就判断、写系数 一元二次方程的根与判别式 能通过代入验证判断未知数的值是否为方程的根，会计算判别式，并根据其符号判断根的情况 高频考点，小题、大题均涉及；易错点是计算判别式时符号出错，或忽略二次项系数不为0的前提 一元二次方程的解法 能根据方程特征，灵活选择直接开方法、配方法、公式法、因式分解法或换元法求解，步骤规范且结果准确 必考重点，贯穿小题与大题；易错点是配方时漏加“一次项系数一半的平方”、因式分解不彻底、换元后未回代 一元二次方程根与系数的关系 能运用根与系数的关系求两根之和、两根之积，能解决与两根相关的代数式求值问题，且会结合判别式验证合理性 中档难度考点，多以填空题、解答题一问形式出现；易错点是忽略“判别式”的适用条件，或记错韦达定理公式 一元二次方程的实际应用 能按“审、设、列、解、验、答”步骤，解决增长率、几何面积、营销利润、传播与计数等常见类型的实际问题 高分值必考考点，多以解答题压轴呈现；易错点是找不准等量关系、单位不统一，或未检验根的实际意义 知识点01 一元二次方程的概念 1．定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。 2．一般形式，其中叫作二次项，是二次项系数；叫作一次项，是一次项系数；叫作常数项。 注意：（1）判断前需先将方程化为一般形式； （2）中的．因当时，不含有二次项，即不是一元二次方程； （3）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各项系数时不要漏掉前面的性质符号。 示例：一元二次方程的一般形式为 知识点02 一元二次方程的解（根） 1．定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解，也称为方程的根 2．根的判断：将未知数的值代入方程，验证左右两边是否相等。 3．根的性质：一元二次方程最多有两个实数根(相等或不相等)，也可能无实数根。 知识点03 解一元二次方程的方法 1．直接开方法：方程能化成的形式,那么,进而得出方程的根； 2．配方法：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为的形式； ⑤如果就可以用两边开平方来求出方程的解；如果，则原方程无解． 3．公式法：①化为一般形式；②求出判别式的值，判断根的情况；③在的前提下,把的值代入公式进行计算,求出方程的根。 4．因式分解法：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积； ③令每个因式分别为零；④两个因式分别为零的解就都是原方程的解。 5．换元法：是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现，把一些形式复杂的方程通过换元方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的。 示例：解一元二次方程 解：，则， ∴， ∴， 所以． 知识点04 一元二次方程的根与系数 根与系数的关系：即的两根为，则，。 常见变形有：①；②③ 知识点06 列一元二次方程解应用题的具体步骤 ①审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． ②设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． ③列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． ④解：准确求出方程的解． ⑤验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． ⑥答：写出答案． 常考类型： 1．增长率/降低率问题：①公式：（为变化前基数，为平均变化率，为变化次数，为变化后量)。 2．几何面积问题：核心思路：通过平移、割补将不规则图形转化为矩形、三角形等规则图形，结合面积公式列方程(边长需为正数)。 3．营销利润问题：①等量关系：总利润=(售价-进价)×销售量； ②步骤：设变量→表示售价与销售量→根据利润条件列方程。 4．传播与计数问题：①传播问题：总感染人数； ②单循环比赛：总场数(为参赛队伍数)。 题型一 一元二次方程的概念及一般形式 1．对于一元二次方程，下列说法错误的是（   ） A．二次项是 B．一次项系数是3 C．常数项是1 D．是它的一个根 2．下列方程：①；②；③；④；⑤中，一元二次方程的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．一元二次方程的一次项系数 ． 4．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是 ． 题型二 —元二次方程的解 5．若m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（    ） A．2026 B．2028 C．2032 D．2034 6．观察下列表格，求一元二次方程的一个近似解是（   ） 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 0.24 0.75 1.44 2.3 A． B． C． D． 7．若一元二次方程中的满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 8．已知关于的方程有一个根为，则的值为 9．已知是方程的一个解，求代数式的值． 题型三 解一元二次方程（平方法、配方法、公式法、因式分解法） 10．方程的解是 ． 11．将一元二次方程配方后得到，则a的值为 ． 12．在用求根公式求一元二次方程的根时，佳琪正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 13．解方程： (1)； (2)． 14．用你喜欢的方法解下列一元二次方程： (1) ； (2)． 15．解方程： (1) (2) 题型四 解一元二次方程（换元法） 16．若关于x的一元二次方程有一个根为，则一元二次方程有一个根为（   ） A． B． C． D． 17．已知，则的值是 ． 18．阅读材料：解方程，我们可以将看做一个整体，然后设，则原方程化为解得：，． 当时，，， 当时，，， ∴原方程的解为：，，， 在上述的解题方法中利用整体思想达到了降次的目的，这就是换元法解方程．利用换元法解方程：． 19．解方程： 20．降次转化是解方程的基本思想，我们可以用换元法来研究某项高次方程．例如：解方程时，可以将看成一个整体，设，则，原方程可化为，解得，．当时，，，所以，；当时，此方程没有实数根，所以原方程的根为，．请根据上述内容，用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 21．解方程： 题型五 根的判别式与解的情况 22．我们定义一种新运算：对于任意实数p、q，规定，若关于x的方程（m为常数）有两个相等的实数根，则m的值为 ． 23．判断一元二次方程的根的情况 ． 24．方程无实数根，则点位于第 象限． 25．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 26．若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是 ． 题型六 根与系数的关系 27．已知，且满足，，那么的值为 ． 28．已知一元二次方程（m为常数）的一个根是，则此方程的另外一个根的值为 ． 29．已知关于的方程． (1)若方程有实效根，求的取值范围． (2)若、是方程的两个根，且，求的值 30．已知关于的方程（为常数）． (1)求证：不论取何值，方程总有两个实数根； (2)若，且该方程的两个实数根的差为，则的值为 _______． 31．已知关于x的一元二次方程． (1)当方程有两个不相等的实数根时，求实数m的取值范围； (2)如果，是方程的两个实数根，是否存在实数m，满足．若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 题型七 一元二次方程的应用（增长率问题） 32．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均月增长率为x， 则由题意列方程为（    ） A． B． C． D． 33．如图是某公司今年月份生产成本统计图，设月份每个月生产成本的下降率约为x，根据图中信息可得x满足的方程为（　　） A． B． C． D． 34．第二十四届太原市机器人竞赛暨太原市第十届“创新未来”中小学生机器人竞赛活动中，全市208所中小学校一千多名学生参加，某校有25人参加，都获得不同等级的奖项，已知该校第二十二届参赛人数是16人，连续两年平均增长率相同．则该校参赛人数连续两年的平均增长率为（   ） A． B． C． D． 35．电影《志愿军》不仅讲述了中国人民志愿军抗美援朝的故事，更是通过鲜活生动的人物塑造，让观众体会到历史事件背后的人性和情感，一上映就获得全国人民的追捧．某地第一天票房约3亿元，若以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达亿元，若把增长率记作，则方程可以列为 ． 36．电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． (1)求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． (2)为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 37．随着科技发展，骑共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活．据统计，某市2025年7月份累计租车6500人次，租车量逐月增加，9月份租车量达9360人次，求平均每个月的增长率． 题型八 一元二次方程的应用（销售问题） 38．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 39．2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨5元，就少卖50个．若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？ 40．贵州是夜郎文化的发源地之一，拥有灿烂的夜郎文化，为弘扬贵州地方文化，让更多游客了解夜郎文化，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款吉祥物的成本价是元，当售价为元时，每天可售出件，调查发现，售价每降价元，每天可多售出件． (1)设该款吉祥物降价元，则每天售出的数量是_______件； (2)为让利于游客，该款吉祥物应该降价多少元，能使文旅公司每天的利润是元； (3)该文旅公司每天的利润能达到元吗？如果能，请求出该款吉祥物应降价多少元，若不能，请说明理由． 41．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定.某经销商销售某品牌头盔，进价为30元/个，经统计该品牌头盔2月份销售256个，4月份销售400个，且从2月份到4月份销售量的月平均增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月平均增长率； (2)经测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个． ①为使月销售利润达到11250元，而且需要尽快减少库存，则该品牌头盔的实际售价每个应上涨多少元？ ②若想使月销售利润达到12500元，则这个要求能否实现？请通过计算说明． 42．某店一型号台灯的成本价为30元，若以每台40元出售，平均每月能售出600台，经过一周试销售，发现售价在40元至70元范围内，平均每天售出的台灯数量（台）与售价上涨（元）之间存在如图所示的函数关系． (1)求出与的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围． (2)为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？ (3)正式销售后每台台灯的利润率不得高于，该店每月能否获得12250元的利润？若能，则台灯的售价应定为多少？若不能，请说明理由． 题型九 一元二次方程的应用（图形问题） 43．如图利用一面墙（墙长22米），三面用长的篱笆围成面积为的花圃，平行于墙的一边有一扇2米宽的门，若设垂直于墙的一边为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 44．如图是贵州旅游的宣传海报，中间是一个长与宽之比为的矩形图案，周围是宽度为的白色边框，已知海报含边框面积为，设这张矩形图案的长为，根据题意列出方程为 ． 45．为解决老小区停车难的问题，社区将一块矩形空地改造成了一个便民停车场．其布局如图所示，已知米，米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度是米的道路．已知铺花砖的面积为平方米．求道路的宽是多少米？ 46．如图，在宽为，长为的矩形地面上修建两条小路，竖直方向的小路宽与水平方向的小路宽之比为，余下部分作为草地，草地面积为． (1)若水平方向小路宽，则竖直方向小路宽________，两条小路重叠部分的面积________ (2)求两条小路的宽分别是多少米？ 47．如图，有一边长为5m的正方形客厅，它的地面由黑、白两种完全相同的正方形大理石方砖密铺而成．客厅四角上的三角形地砖面积均是大理石方砖面积的，客厅边上的三角形地砖面积均是大理石方砖面积的．求这种大理石方砖的边长．（结果精确到） 题型十 一元二次方程的应用（动态几何问题） 48．如图，在中，，的长为，的长为，点从点开始，沿边向点以的速度移动，点从点开始，沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发， 秒后的面积等于． 49．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则 后的面积为？ 50．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，，，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，点Q以相同的速度向点D移动，当点P到达点B时，点P、Q均停止运动，设运动时间为t秒． (1)当________秒时，四边形为矩形． (2)运动过程中，四边形可能为菱形吗？若能，求出运动时间t，若不能，请说明理由． (3)运动过程中，点P和点Q的距离可能是吗？若能，求出运动时间t，若不能，请说明理由． 51．如图，在矩形中，．点从点出发，以的速度向终点运动，点从点出发，以的速度向终点运动．点和点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为．连接． (1)在运动过程中，的长度能否为？若能，求出的值；若不能，请说明理由． (2)当为何值时，的面积为？ 52．如图，中，，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为，点N的速度为．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动． (1)点M、N运动几秒后，M、N两点重合？ (2)点M、N运动几秒后，可得到等边三角形？ (3)在点M、N运动过程中，能否得到以A、B、C其中一个点为顶点，以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时M、N运动的时间． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．实验中学数学“研学”活动小组在一次野外实践时发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数为57，则这种植物每个支干长出的小分支的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（    ） A．9 B． C． D． 3．已知，是方程的两个根，则的值为（   ） A．55 B．43 C．61 D．37 4．如图所示，某小区规划在一个长，宽的矩形场地上，修建同样宽的小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．如果草坪部分的总面积为，设小路的宽为，那么x满足的方程是（   ） A． B． C． D． 5．关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 6．以下是某同学用当下两款热门豆包、都解方程，解答过程如下所示： 豆包 DeepSeek 两边同时除以（），得． 移项，得． ∴． ∴或，解得． 其中完全正确的是（   ） A．豆包 B．豆包和 C． D．都不正确 二、填空题 7．若方程是一元二次方程，则a的取值范围是 ． 8．若一等腰三角形的两边长分别为方程的两个实数根，则这个等腰三角形的底边长为 ． 9．我们知道方程的解是，，现给出另一个方程，它的解是 ． 10．已知关于x的一元二次方程两实数根，满足 ，求k的值为 ； 三、解答题 11．解方程 (1)； (2)． 12．已知关于的一元二次方程 (1)求证：对于任意实数，方程都有实数根； (2)当为何值时，方程的两个根互为相反数？请说明理由 13．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角和（两边足够长），再用长的篱笆围成一个面积为矩形花园（篱笆只围、两边），在P处有一棵树与墙、的距离分别是和，现要将这棵树也围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求的长． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．①若方程两根为和2，则； ②若，则； ③若，则方程一定无实数解； ④若方程的两个实根中有且只有一个根为0，那么，． 以上命题正确的序号是： ． 2．新定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．若是“倍根方程”，则 ． 3．已知关于的一元一次方程，其中，b、分别为三边的长． (1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； (2)如果是直角三角形，为斜边，证明：一元二次方程有两个相等的实数根； 4．已知关于m的一元二次方程． (1)判断此方程根的情况； (2)等腰的两边、的长是方程的两个实数根，第三边的长为6，求m的值． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次方程（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 一元二次方程的概念及一般形式 能准确判断一个方程是否为一元二次方程，能将方程化为一般形式，并正确写出各项系数 基础必考点，多以选择题、填空题呈现；易错点是忽略“二次项系数不为0”的条件，或未化成一般形式就判断、写系数 一元二次方程的根与判别式 能通过代入验证判断未知数的值是否为方程的根，会计算判别式，并根据其符号判断根的情况 高频考点，小题、大题均涉及；易错点是计算判别式时符号出错，或忽略二次项系数不为0的前提 一元二次方程的解法 能根据方程特征，灵活选择直接开方法、配方法、公式法、因式分解法或换元法求解，步骤规范且结果准确 必考重点，贯穿小题与大题；易错点是配方时漏加“一次项系数一半的平方”、因式分解不彻底、换元后未回代 一元二次方程根与系数的关系 能运用根与系数的关系求两根之和、两根之积，能解决与两根相关的代数式求值问题，且会结合判别式验证合理性 中档难度考点，多以填空题、解答题一问形式出现；易错点是忽略“判别式”的适用条件，或记错韦达定理公式 一元二次方程的实际应用 能按“审、设、列、解、验、答”步骤，解决增长率、几何面积、营销利润、传播与计数等常见类型的实际问题 高分值必考考点，多以解答题压轴呈现；易错点是找不准等量关系、单位不统一，或未检验根的实际意义 知识点01 一元二次方程的概念 1．定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。 2．一般形式，其中叫作二次项，是二次项系数；叫作一次项，是一次项系数；叫作常数项。 注意：（1）判断前需先将方程化为一般形式； （2）中的．因当时，不含有二次项，即不是一元二次方程； （3）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各项系数时不要漏掉前面的性质符号。 示例：一元二次方程的一般形式为 知识点02 一元二次方程的解（根） 1．定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解，也称为方程的根 2．根的判断：将未知数的值代入方程，验证左右两边是否相等。 3．根的性质：一元二次方程最多有两个实数根(相等或不相等)，也可能无实数根。 知识点03 解一元二次方程的方法 1．直接开方法：方程能化成的形式,那么,进而得出方程的根； 2．配方法：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为的形式； ⑤如果就可以用两边开平方来求出方程的解；如果，则原方程无解． 3．公式法：①化为一般形式；②求出判别式的值，判断根的情况；③在的前提下,把的值代入公式进行计算,求出方程的根。 4．因式分解法：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积； ③令每个因式分别为零；④两个因式分别为零的解就都是原方程的解。 5．换元法：是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现，把一些形式复杂的方程通过换元方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的。 示例：解一元二次方程 解：，则， ∴， ∴， 所以． 知识点04 一元二次方程的根与系数 根与系数的关系：即的两根为，则，。 常见变形有：①；②③ 知识点06 列一元二次方程解应用题的具体步骤 ①审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． ②设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． ③列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． ④解：准确求出方程的解． ⑤验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． ⑥答：写出答案． 常考类型： 1．增长率/降低率问题：①公式：（为变化前基数，为平均变化率，为变化次数，为变化后量)。 2．几何面积问题：核心思路：通过平移、割补将不规则图形转化为矩形、三角形等规则图形，结合面积公式列方程(边长需为正数)。 3．营销利润问题：①等量关系：总利润=(售价-进价)×销售量； ②步骤：设变量→表示售价与销售量→根据利润条件列方程。 4．传播与计数问题：①传播问题：总感染人数； ②单循环比赛：总场数(为参赛队伍数)。 题型一 一元二次方程的概念及一般形式 1．对于一元二次方程，下列说法错误的是（   ） A．二次项是 B．一次项系数是3 C．常数项是1 D．是它的一个根 【答案】B 【详解】∵ 方程 中， 选项A：二次项是 ，正确，不符合题意； 选项B：一次项系数是 ，不是3，错误，符合题意； 选项C：常数项是1，正确，不符合题意； 选项D：当 时，，是根，正确，不符合题意； 故选B 2．下列方程：①；②；③；④；⑤中，一元二次方程的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】 【详解】解：∵方程①满足定义，是一元二次方程； 方程②中，a、b、c为系数，若则不是二次方程， ∴不一定是一元二次方程； 方程③化简后为，即，是一元一次方程，不是一元二次方程； 方程④满足定义，是一元二次方程； 方程⑤中含有分式，不是整式方程，不是一元二次方程． ∴只有①和④是一元二次方程，个数为2． 故选B． 3．一元二次方程的一次项系数 ． 【答案】 【详解】解：， 展开得， 移项得，即， 所以一次项系数为； 故答案为：． 4．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：关于的方程是一元二次方程，则二次项系数， 解得， 故答案为：． 题型二 —元二次方程的解 5．若m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（    ） A．2026 B．2028 C．2032 D．2034 【答案】A 【分析】 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ， ， ． 故选：A． 6．观察下列表格，求一元二次方程的一个近似解是（   ） 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 0.24 0.75 1.44 2.3 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ 当时，， 当时，， ∴ 方程的解在和之间， 即． 故选：C． 7．若一元二次方程中的满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵当时，代入方程得：， ∴方程必有一根为， 故选：C． 8．已知关于的方程有一个根为，则的值为 【答案】3 【详解】解：∵关于的方程有一个根为， ∴将代入方程得： 解得， 故答案为：3． 9．已知是方程的一个解，求代数式的值． 【答案】4 【分析】 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴， ∴， ． 题型三 解一元二次方程（平方法、配方法、公式法、因式分解法） 10．方程的解是 ． 【答案】 【分析】 【详解】解： 解得： 故答案为：． 11．将一元二次方程配方后得到，则a的值为 ． 【答案】 【详解】解：配方后得到，展开左边得，即； 与原始方程比较，得； 故答案为． 12．在用求根公式求一元二次方程的根时，佳琪正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 【详解】解：∵求一元二次方程的根时，佳琪正确地代入了a，b，c得到， ∴，，， ∴ 原方程为 ． 故选：B 13．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】 【详解】（1）解： 解得：，； （2）解 或 解得：，． 14．用你喜欢的方法解下列一元二次方程： (1) ； (2)． 【答案】(1)，； (2)， 【分析】 【详解】（1） 或 解得，； （2） 或 解得，． 15．解方程： (1) (2) 【答案】(1)，； (2) 【分析】 【详解】（1）解： 解得，； （2）解： 或 检验：当时，，（舍去）． ∴方程的解为． 题型四 解一元二次方程（换元法） 16．若关于x的一元二次方程有一个根为，则一元二次方程有一个根为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ， 则设， ∴方程化为， ∵关于x的一元二次方程有一个根为， ∴方程有一个根为，即， ∴． 故选：A． 17．已知，则的值是 ． 【答案】 19 【分析】 【详解】解：设，则，． 代入原方程：， 展开完全平方：， 合并同类项：， 移项：， ， 即． 故答案为：． 18．阅读材料：解方程，我们可以将看做一个整体，然后设，则原方程化为解得：，． 当时，，， 当时，，， ∴原方程的解为：，，， 在上述的解题方法中利用整体思想达到了降次的目的，这就是换元法解方程．利用换元法解方程：． 【答案】 【分析】 【详解】解：， 设， ∴原方程化为 或 解得或， 当时， 或 ∴； 当时， ，此时，此时无实数根， ∴原方程的根为． 19．解方程： 【答案】或或或 【分析】 【详解】解：设， 则， 因式分解，， 解得或， 当时，即 移项得，， 因式分解得， 解得或， 当时，即 移项得，， 因式分解得， 解得或， 综上，原方程的解为或或或． 20．降次转化是解方程的基本思想，我们可以用换元法来研究某项高次方程．例如：解方程时，可以将看成一个整体，设，则，原方程可化为，解得，．当时，，，所以，；当时，此方程没有实数根，所以原方程的根为，．请根据上述内容，用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：∵ ∴可以将看成一个整体，设， 则，原方程可化为， ∴ 解得，． 当时，，解得 当时，，解得． （2）解：∵， ∴可以将看成一个整体，设， 原方程可化为， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， 解得 当时，， ∴， ∴， 解得． 综上：． 21．解方程： 【答案】 【分析】 【详解】解：原方程变为， 设，则， 解得：或，         由 即， 解得， 由 即，此方程无解； 经检验：是原方程的解； 综上所述，原方程的解为． 题型五 根的判别式与解的情况 22．我们定义一种新运算：对于任意实数p、q，规定，若关于x的方程（m为常数）有两个相等的实数根，则m的值为 ． 【答案】5或1 【分析】 【详解】根据新运算， 将方程转化为， 整理得， 此方程的判别式， 因方程有两个相等实数根，故， 即， 提取公因式得， 解得或， 验证可知或均满足条件． 故答案为：1或5． 23．判断一元二次方程的根的情况 ． 【答案】当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根 【详解】解：， ， ∴当 时，，方程有两个不相等的实数根； 当 时，，方程有两个相等的实数根． 故答案为：当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根． 24．方程无实数根，则点位于第 象限． 【答案】四 【详解】解：当时，即时， 方程为， 有实数根，不符合题意， 故； 当时，方程化为一般形式：， ∵方程无实数根， ∴， 解得， ∴，， ∴点位于第四象限． 故答案为：四 25．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 且 【详解】方程 是一元二次方程，因此二次项系数 ， 判别式 由于方程有两个不相等的实数根，故 ，即 ，解得 ， 故答案为且． 26．若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， 二次项系数不能为0，即， 又方程有实数根， 判别式，其中， 代入得：， 令， 解得， 综合以上两个条件，实数的取值范围是且． 故答案为：且． 题型六 根与系数的关系 27．已知，且满足，，那么的值为 ． 【答案】5 【详解】解：∵，且满足，， ∴、是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：5． 28．已知一元二次方程（m为常数）的一个根是，则此方程的另外一个根的值为 ． 【答案】3 【详解】解：设一元二次方程的两个根为，， 则， ∵其中一个根是，不妨设， ∴， ∴， ∴方程的另外一个根的值为3． 故答案为：3． 29．已知关于的方程． (1)若方程有实效根，求的取值范围． (2)若、是方程的两个根，且，求的值 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得． （2）解：是方程的两个根， 则，， ∵， ∴， ∴， 整理，得， 解得． 又， 故． 30．已知关于的方程（为常数）． (1)求证：不论取何值，方程总有两个实数根； (2)若，且该方程的两个实数根的差为，则的值为 _______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）证明：因为， 所以不论取何值，方程总有两个实数根； （2）设方程的两个实数根为，，由一元二次方程根与系数的关系得， ，， 两根之差为，则， 又， ， 即， ， ． 31．已知关于x的一元二次方程． (1)当方程有两个不相等的实数根时，求实数m的取值范围； (2)如果，是方程的两个实数根，是否存在实数m，满足．若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，实数的值为1 【分析】 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； （2）解：存在； ∵，是方程的两个实数根， ∴， ∴， 解得； 由（1）可知：； 故． 题型七 一元二次方程的应用（增长率问题） 32．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均月增长率为x， 则由题意列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 【详解】解：一月份营业额为200万元， 二月份营业额为万元， 三月份营业额为万元， ∴第一季度总营业额为． 故选：D． 33．如图是某公司今年月份生产成本统计图，设月份每个月生产成本的下降率约为x，根据图中信息可得x满足的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设月份每个月生产成本的下降率约为x， 根据题意，得， 故选：C． 34．第二十四届太原市机器人竞赛暨太原市第十届“创新未来”中小学生机器人竞赛活动中，全市208所中小学校一千多名学生参加，某校有25人参加，都获得不同等级的奖项，已知该校第二十二届参赛人数是16人，连续两年平均增长率相同．则该校参赛人数连续两年的平均增长率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设平均增长率为x， ∵第二十二届参赛人数是16人，第二十四届参赛人数是25人，且每年增长率相同， ∴， ∴， ∴， ∴，（舍去）． ∴平均增长率为25%． 故选：B． 35．电影《志愿军》不仅讲述了中国人民志愿军抗美援朝的故事，更是通过鲜活生动的人物塑造，让观众体会到历史事件背后的人性和情感，一上映就获得全国人民的追捧．某地第一天票房约3亿元，若以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达亿元，若把增长率记作，则方程可以列为 ． 【答案】 【详解】解：设增长率为， 根据题意得：， 故答案为：． 36．电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． (1)求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． (2)为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 【答案】(1)日平均增长率为 (2)每个玩偶降价元 【分析】 【详解】（1）解：设日平均增长率为， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：日平均增长率为； （2）解：设每个玩偶降价元， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：每个玩偶降价2元． 37．随着科技发展，骑共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活．据统计，某市2025年7月份累计租车6500人次，租车量逐月增加，9月份租车量达9360人次，求平均每个月的增长率． 【答案】平均每个月的增长率为． 【详解】解：设平均每个月的增长率为， 由题意得：， ， 或（舍去）， ， 答：平均每个月的增长率为． 题型八 一元二次方程的应用（销售问题） 38．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)50 【分析】 【详解】（1）解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得 解得，（不合题意，舍去） 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设该品牌头盔每个售价为y元， 依题意，得 整理，得 解得 因尽可能让顾客得到实惠 所以不合题意，舍去． 所以． 答：该品牌头盔每个售价应定为50元． 39．2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨5元，就少卖50个．若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？ 【答案】40元 【详解】解：设应涨价x元， 根据题意可得：， 解得：， 因为要更大优惠让利消费者，售价应更低，所以取，舍去， ∴售价应定为（元）， 答：售价应定为40元． 40．贵州是夜郎文化的发源地之一，拥有灿烂的夜郎文化，为弘扬贵州地方文化，让更多游客了解夜郎文化，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款吉祥物的成本价是元，当售价为元时，每天可售出件，调查发现，售价每降价元，每天可多售出件． (1)设该款吉祥物降价元，则每天售出的数量是_______件； (2)为让利于游客，该款吉祥物应该降价多少元，能使文旅公司每天的利润是元； (3)该文旅公司每天的利润能达到元吗？如果能，请求出该款吉祥物应降价多少元，若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)元 (3)不能，理由见解析 【分析】 【详解】（1）解：设该款吉祥物降价元， ∵售价每降价元，每天可多售出件， ∴每天售出的数量是件， 故答案为：； （2）解：由题意得，， 整理得：， 解得， ∵要让利顾客， ， 答：该款吉祥物降价元时，文旅公司每天的利润是元； （3）解：不能达到元，理由如下： 设吉祥物应降价元， 由题意得，， 整理得，， ∵， ∴该方程无实数根， 答：该文旅公司每天的利润不能达到元． 41．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定.某经销商销售某品牌头盔，进价为30元/个，经统计该品牌头盔2月份销售256个，4月份销售400个，且从2月份到4月份销售量的月平均增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月平均增长率； (2)经测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个． ①为使月销售利润达到11250元，而且需要尽快减少库存，则该品牌头盔的实际售价每个应上涨多少元？ ②若想使月销售利润达到12500元，则这个要求能否实现？请通过计算说明． 【答案】(1) (2)①15元；②不能实现，计算说明见解析 【分析】 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月平均增长率为x， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月平均增长率为； （2）①解：设该品牌头盔的实际售价每个应增长a元， 则此时售价为元， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去），， 答：品牌头盔的实际售价每个应上涨15元； ②不能实现，理由如下： 由题意得：， 整理得：， ∴， ∴方程无实数根， 故不能实现利润为12500元． 42．某店一型号台灯的成本价为30元，若以每台40元出售，平均每月能售出600台，经过一周试销售，发现售价在40元至70元范围内，平均每天售出的台灯数量（台）与售价上涨（元）之间存在如图所示的函数关系． (1)求出与的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围． (2)为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？ (3)正式销售后每台台灯的利润率不得高于，该店每月能否获得12250元的利润？若能，则台灯的售价应定为多少？若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为每台50元 (3)不能，理由见解析 【分析】 【详解】（1）解：由图可知，设平均每天售出的台灯数量（台）与售价上涨（元）之间满足的函数关系为， ∵函数过点和， ∴将点和代入， 得， 解得， ∵售价在40元至70元范围内， ， 与的函数表达式为． （2）解：由题意，得， 整理，得， 解得或（不符合题意，舍去）， ， ∴为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为每台50元． （3）解：不能．理由如下： 由（2）可知，当该店每月获得12250元的利润时，， 整理，得， 解得． ∵每个台灯的利润率不得高于成本价的， ， 即． ， ∴不可能满足题意． 题型九 一元二次方程的应用（图形问题） 43．如图利用一面墙（墙长22米），三面用长的篱笆围成面积为的花圃，平行于墙的一边有一扇2米宽的门，若设垂直于墙的一边为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设垂直于墙的一边为，则平行于墙的一边为， 则由题意得，， 故选：C． 44．如图是贵州旅游的宣传海报，中间是一个长与宽之比为的矩形图案，周围是宽度为的白色边框，已知海报含边框面积为，设这张矩形图案的长为，根据题意列出方程为 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：∵矩形长宽比为，矩形图案的长为， ∴宽的表达式为， ∵边框宽度为， ∴添加边框后海报长度为，宽度为， 由题意海报含边框面积为， 故可列方程． 故答案为：． 45．为解决老小区停车难的问题，社区将一块矩形空地改造成了一个便民停车场．其布局如图所示，已知米，米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度是米的道路．已知铺花砖的面积为平方米．求道路的宽是多少米？ 【答案】米 【详解】解：由题意得：， 解得：（舍）， ∴道路的宽是米． 46．如图，在宽为，长为的矩形地面上修建两条小路，竖直方向的小路宽与水平方向的小路宽之比为，余下部分作为草地，草地面积为． (1)若水平方向小路宽，则竖直方向小路宽________，两条小路重叠部分的面积________ (2)求两条小路的宽分别是多少米？ 【答案】(1)，； (2)竖直方向的小路宽与水平方向的小路宽分别为米和米． 【分析】 【详解】（1）解：由题意可知，竖直方向的小路宽与水平方向的小路宽之比为， 若水平方向小路宽，则竖直方向小路宽， 两条小路重叠部分的面积为， 故答案为：，； （2）解：根据题意，设竖直方向的小路宽为米，水平方向的小路宽为米， 则， 解得：或， 当时，此时，，不符合题意， 则，， 答：竖直方向的小路宽与水平方向的小路宽分别为米和米． 47．如图，有一边长为5m的正方形客厅，它的地面由黑、白两种完全相同的正方形大理石方砖密铺而成．客厅四角上的三角形地砖面积均是大理石方砖面积的，客厅边上的三角形地砖面积均是大理石方砖面积的．求这种大理石方砖的边长．（结果精确到） 【答案】 【分析】 【详解】解：假设这种大理石方砖的边长为，则其面积为，根据题意得， ， 解得，（负值已舍）， ∴大理石方砖的边长为． 题型十 一元二次方程的应用（动态几何问题） 48．如图，在中，，的长为，的长为，点从点开始，沿边向点以的速度移动，点从点开始，沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发， 秒后的面积等于． 【答案】2或4 【详解】解：设t秒后的面积等于，由题意得：，则有， ∴， 解得：， ∴当点P运动2或4秒后，的面积等于． 故答案为:2或4． 49．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则 后的面积为？ 【答案】2秒或4秒 【详解】解：设运动秒钟后的面积为，则，，，， ， ， ， ， ∴， 解得：，． 答：运动2秒或4秒后的面积为． 故答案为：2秒或4秒 50．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，，，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，点Q以相同的速度向点D移动，当点P到达点B时，点P、Q均停止运动，设运动时间为t秒． (1)当________秒时，四边形为矩形． (2)运动过程中，四边形可能为菱形吗？若能，求出运动时间t，若不能，请说明理由． (3)运动过程中，点P和点Q的距离可能是吗？若能，求出运动时间t，若不能，请说明理由． 【答案】(1)4 (2)能， (3)能，或7 【分析】 【详解】（1）解：∵点P、Q分别从点A、C同时出发，速度相同． ∴， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴则， 根据题意得， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴当时，四边形为矩形， ， 解得， ∴秒时，四边形为矩形． （2）解：运动过程中，四边形可以为菱形，理由如下： 连接、， ∵点、分别从点、同时出发，速度相同， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形 在中，，， ∴ 即 解得， ∴运动时间为时，四边形为菱形． （3）解：点和点的距离可以是，理由如下： 过点作于点， 则四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，有， 即， 解得，． ∴当运动时间为或时，点和点的距离是． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了动点问题，勾股定理，矩形和菱形的性质，一元二次方程的解法，灵活掌握相关知识是解决问题的关键． 51．如图，在矩形中，．点从点出发，以的速度向终点运动，点从点出发，以的速度向终点运动．点和点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为．连接． (1)在运动过程中，的长度能否为？若能，求出的值；若不能，请说明理由． (2)当为何值时，的面积为？ 【答案】(1)能，秒 (2)秒或秒 【分析】 【详解】（1）解：，则 在中，， 即， ， 解得或（舍去）， ∴； 答：能，当为4秒时的长度为； （2）解：矩形面积为， 面积为， 面积为， 面积为， 则面积为 令， 即， 解得或 答：当为2秒或4秒时，的面积为 52．如图，中，，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为，点N的速度为．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动． (1)点M、N运动几秒后，M、N两点重合？ (2)点M、N运动几秒后，可得到等边三角形？ (3)在点M、N运动过程中，能否得到以A、B、C其中一个点为顶点，以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时M、N运动的时间． 【答案】(1)12秒 (2)4秒 (3)能，4秒或8秒或16秒或秒 【分析】 【详解】（1）解：设点M、N运动t秒后，M、N两点重合， 由题意得，， 解得：； （2）解：设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形， 如图1， 根据题意得：， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴点M、N运动4秒后，可得到等边； （3）解：由（2）得，点M、N运动4秒后，可得到等边， 即是以为底边的等腰三角形， 当点M、N在边上运动时，可以得到以为底的等腰三角形， 当秒时，为以为底的等腰三角形， 由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处， 如图2，假设是等腰三角形， ∴， ， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 在和中， ∴ ∴， 设当点M、N在边上运动时，M、N运动的时间y秒时，是等腰三角形， ∴， 由题意得，， 解得：． 如图3，当时，过点B作于H， ∵， ∴，， 在中，， 即， 解得： （负值舍去）， 综上所述，以为底边的等腰三角形时，M、N运动的时间为4秒或8秒或16秒或． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．实验中学数学“研学”活动小组在一次野外实践时发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数为57，则这种植物每个支干长出的小分支的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【详解】解：设每个支干长出的小分支个数为． ∵ 主干1个，支干个，小分支个， ∴， 即， 解得（舍去）， ∴ 小分支个数为7， 故选：B． 2．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（    ） A．9 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ 方程有两个不相等的实数根， ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴ ． 故选：B． 3．已知，是方程的两个根，则的值为（   ） A．55 B．43 C．61 D．37 【答案】A 【分析】 【详解】解：∵ , 是方程 的根， ∴ 方程化为 ， ∴ 由根与系数的关系，得 , ， ∴ ， 故选：A． 4．如图所示，某小区规划在一个长，宽的矩形场地上，修建同样宽的小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．如果草坪部分的总面积为，设小路的宽为，那么x满足的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 故选：A． 5．关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【详解】解：∵是方程的根， ∴， 即， ∴， 故选：A． 6．以下是某同学用当下两款热门豆包、都解方程，解答过程如下所示： 豆包 DeepSeek 两边同时除以（），得． 移项，得． ∴． ∴或，解得． 其中完全正确的是（   ） A．豆包 B．豆包和 C． D．都不正确 【答案】C 【分析】 【详解】解：∵ ∴ 移项得 ∴ 提取公因式 得 ∴ 或 ∴， 豆包解法中，两边除以 时，若 ，则除零错误，且漏解，故不正确．DeepSeek解法完整正确． 故选：C 二、填空题 7．若方程是一元二次方程，则a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意得：， 解得． 故答案为：． 8．若一等腰三角形的两边长分别为方程的两个实数根，则这个等腰三角形的底边长为 ． 【答案】4 【详解】解：∵， ∴， 解得，； ∴等腰三角形的两边长分别为9 和4， 当腰长为4，底边为9，则，不满足三角形任意两边之和大于第三边的条件； 当腰长为9，底边为4，则，，，满足三角形三边关系， 故底边长为4， 故答案为：4． 9．我们知道方程的解是，，现给出另一个方程，它的解是 ． 【答案】， 【详解】∵方程的解是，， ∴方程中，或， 解得或． 故答案为，． 10．已知关于x的一元二次方程两实数根，满足 ，求k的值为 ； 【答案】 【详解】解：∵两实数根，， ∴，， 由 ， 代入得 ， 即 ， 化简得 ， 即， 解得 ，， 又判别式 ， 即 ， 故 不符合，舍去， 符合， 故答案为：． 三、解答题 11．解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 即， ∴或， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴或， ∴，． 12．已知关于的一元二次方程 (1)求证：对于任意实数，方程都有实数根； (2)当为何值时，方程的两个根互为相反数？请说明理由 【答案】(1)见详解 (2)当时，方程的两个根互为相反数，理由见详解 【分析】 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴对于任意实数，方程都有实数根； （2）解：设方程的两个根为，由根与系数的关系可得：， ∵方程的两个根互为相反数， ∴， ∴， ∴当时，方程的两个根互为相反数． 13．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角和（两边足够长），再用长的篱笆围成一个面积为矩形花园（篱笆只围、两边），在P处有一棵树与墙、的距离分别是和，现要将这棵树也围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求的长． 【答案】m 【分析】 【详解】解：设的长为，则的长为， 依题意得， 解得，， 在P处有一棵树与墙CD、AD的距离分别是和， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， ． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．①若方程两根为和2，则； ②若，则； ③若，则方程一定无实数解； ④若方程的两个实根中有且只有一个根为0，那么，． 以上命题正确的序号是： ． 【答案】①②③④ 【分析】 【详解】①若方程两根为和2， 则，则，即；故此选项符合题意； ②∵， ∴或， ∴， ∴；此选项符合题意； ③∵， ∴方程一定无实数解，故此选项符合题意； ④若方程的两个实根中有且只有一个根为0， ∴两根之积为0，两根之和不为0， 那么，故此选项符合题意； 故所有命题均正确， 故答案为：①②③④． 2．新定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．若是“倍根方程”，则 ． 【答案】或 【分析】 【详解】解：解方程，可得， ∵是“倍根方程”， ∴当是6 的2倍时，即有即； 当6是的 2 倍时，即有； 故答案为：或． 3．已知关于的一元一次方程，其中，b、分别为三边的长． (1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； (2)如果是直角三角形，为斜边，证明：一元二次方程有两个相等的实数根； 【答案】(1)等腰三角形，理由见解析 (2)见解析 【分析】 【详解】（1）解：等腰三角形，理由如下： 把代入方程得：得 ， ∴ ∴ ∴ 是等腰三角形； （2）证明：∵ 是直角三角形，c为斜边， ∴ ∴； ∵ ∵ ， ∴； ∴ 方程有两个相等的实数根； 4．已知关于m的一元二次方程． (1)判断此方程根的情况； (2)等腰的两边、的长是方程的两个实数根，第三边的长为6，求m的值． 【答案】(1)方程有两个实数根 (2) 【分析】 【详解】（1）解：一元二次方程中， ，， ， ∵， 即， ∴，当时，， 方程有两个相等的实数根； 当时，， 方程有两个不相等的实数根． 方程有两个实数根． （2）方程，化为， ∴或， 解得， 当时，即， 那么， 此时三角形三边为3，3，6， ∵， 不满足三角形三边关系，舍去； 当或时，即， 此时三角形三边为3，6，6，满足三角形三边关系， ∴的值为6． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $