第24讲 函数y=Asin(ωx+φ)（六大题型+思维导图+知识梳理+课后提升练）-2025-2026学年高一数学秋季讲义（人教A版必修第一册）

本讲义聚焦函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，系统梳理φ、ω、A对图象的影响，详解五点法与变换作图法，构建从三角函数基本图象到参数变换再到实际应用的知识支架，为后续解决由图象求解析式及匀速圆周运动模型奠定基础。 资料特色在于分层题型设计与真实情境融合，通过筒车、摩天轮等实例引导学生用数学眼光观察周期现象，在图象变换推理中培养数学思维，以函数模型表达现实问题提升数学语言能力。课中助力教师系统教学，课后练习题帮助学生巩固知识，弥补薄弱环节。

第24讲 函数y=Asin(ωx+φ) 【人教A版】 模块一 函数y=Asin(ωx+φ) 1．φ,ω, A对函数y=Asin(ωx+φ)的图象的影响 (1)φ对的图象的影响 函数（其中φ≠0）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平移|φ|个单位长度而得到(可简记为“左加右减”). (2)对的图象的影响 函数的图象，可以看作是把的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或 伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到. (3)对的图象的影响 函数的图象，可以看作是把图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时) 或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到. (4)由函数的图象得到函数的图象 以上两种方法的图示如下： 2．函数y=Acos(ωx+φ)的图象 类似于正弦型函数，余弦型函数的图象的画法有以下两种. (1)“五点法”，令，求出相应的x值及y值，利用这五个点，可以得到 在一个周期内的图象，然后再把这一段上的图象向左向右延伸，即得的图象. (2)“变换作图法”的途径有两种. 一是类似于正弦型函数的变换作图法，可由的图象通过变换作图法得到 (ω>0,A>0)的图象，即： 二是由诱导公式将余弦型函数转化为正弦型函数，即 ，再由的图象通过变换作图法得到的图象即可. 3．三角函数的图象变换问题的求解方法 解决三角函数图象变换问题的两种方法分别为先平移后伸缩和先伸缩后平移.破解此类题的关键如下： (1)定函数：一定要看准是将哪个函数的图象变换得到另一个函数的图象； (2)变同名：函数的名称要变得一样； (3)选方法：即选择变换方法. 4．由部分图象确定函数解析式的方法 由y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的一段图象求其解析式时，A比较容易由图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)如果图象明确指出了周期T的大小和“零点”坐标，那么由即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的零点的横坐标，则令即可求出φ. (2)代入点的坐标.利用一些已知点(最高点、最低点或零点)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或φ的范围有所需求，可用诱导公式变换使其符合要求. 【题型1 三角函数图象的变换过程】 【例1】（24-25高一下·安徽蚌埠·期末）要得到函数的图象，可以将函数的图象（   ） A．向左平移个单位长度而得到 B．向右平移个单位长度而得到 C．向左平移个单位长度而得到 D．向右平移个单位长度而得到 【答案】A 【解题思路】根据正弦函数图象变换的性质，结合函数的解析式进行判断即可. 【解答过程】因为， 所以将函数的图象向左平移个单位长度而得. 故选：A. 【变式1.1】（24-25高一下·山东威海·期末）已知曲线，，则（    ） A．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再把得到的曲线上的所有点向左平移个单位长度，得到曲线 B．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再把得到的曲线上的所有点向右平移个单位长度，得到曲线 C．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把得到的曲线上的所有点向左平移个单位长度，得到曲线 D．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把得到的曲线上的所有点向右平移个单位长度，得到曲线 【答案】A 【解题思路】根据给定的函数，利用三角函数图象变换，结合诱导公式逐项分析判断. 【解答过程】对于A，所得曲线为，A正确； 对于B，所得曲线为，B错误； 对于C，所得曲线为，C错误； 对于D，所得曲线为，D错误. 故选：A. 【变式1.2】（24-25高一下·河南·月考）若将的图象进行变换，使得其与的图象重合，则下列变换正确的是（   ） A．先将的图象向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的 B．先将的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的 C．先将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再将图象向左平移个单位 D．先将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再将图象向右平移个单位 【答案】C 【解题思路】根据平移变换和周期变化的原则逐一判断即可. 【解答过程】对于A，先将的图象向右平移个单位，得， 再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的， 得，故A错误； 对于B，先将的图象向左平移个单位，得， 再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得，故B错误； 对于C，先将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得， 再将图象向左平移个单位，得，故C正确； 对于D，先将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得， 再将图象向右平移个单位，得，故D错误. 故选：C. 【变式1.3】（24-25高一上·陕西咸阳·期末）为了得到余弦函数的图象，只需把函数图象上所有的点（    ） A．横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短为原来的，纵坐标不变 C．纵坐标伸长为原来的4倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短为原来的，横坐标不变 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用余弦函数图象变换判断得解. 【解答过程】把函数图象上所有的点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变得函数的图象. 故选：B. 【题型2 求图象变化前（后）的解析式】 【例2】（24-25高一下·辽宁葫芦岛·期末）将函数图像上所有点的横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变，再把所得的图像向右平移个单位长度，则所得新函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据三角函数的伸缩、平移变换可得结果. 【解答过程】由题可知：. 故选：B. 【变式2.1】（24-25高一下·广东茂名·期末）将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到的图象，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据三角函数图象的变换，可得答案. 【解答过程】将函数的图象向左平移个单位长度，可得函数的图象； 再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，可得的图象. 故选：B. 【变式2.2】（24-25高一下·江苏常州·期末）已知函数的部分图象如图所示，将图象上的所有点向左平移个单位长度得到的函数表达式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由最高点得到，由相邻零点得到周期进而得到，再代入一个上升零点得到，从而得到解析式，由图象平移结合诱导公式得到平移后的解析式. 【解答过程】由最高点知， 因为与轴相邻交点的横坐标分别为和，所以即， 所以 将代入得， 所以， 因为，所以，所以， 图象上的所有点向左平移个单位长度得到， 故选：D. 【变式2.3】（24-25高一下·山西晋城·期中）将函数的图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度，所得图象的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据三角函数的变换规则计算可得. 【解答过程】将函数的图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到， 将的图象向右平移个单位长度得到. 故选：D. 【题型3 由部分图象求函数的解析式】 【例3】（24-25高一下·辽宁·期中）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．图象的对称中心为 C．直线是图象的一条对称轴 D．将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象 【答案】B 【解题思路】先根据图象确定的值，再通过周期求出，然后根据特殊点求出，得到函数表达式后，依次对各选项进行判断. 【解答过程】由函数图象可知，函数的最大值为，因为，且为正弦型函数的振幅，所以. 设函数的周期为，根据正弦函数图象性质，，则，所以，此时. 已知函数图象过点，将其代入可得，即. 因为，所以，，解得，那么.   对于A，将代入，得，所以选项A错误. 对于B，对于正弦函数，其对称中心的横坐标满足，. 令，，解得，，此时， 所以图象的对称中心为，，选项B正确. 对于C，对于正弦函数，其对称轴方程满足，. 令，，解得，. 当时，，，所以直线不是图象的一条对称轴，选项C错误. 对于D，将的图象向左平移个单位长度，根据“左加右减”的原则，得到. 根据诱导公式，，所以选项D错误. 故选：B. 【变式3.1】（24-25高一下·广东汕头·期末）已知函数（其中）的部分图象如图所示，点是函数图象与轴的交点，点是函数图象的最高点，且是边长为2的正三角形，，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用已知条件可写出点的坐标，进而可求得以及周期，，可得解. 【解答过程】 过点作轴的垂线，垂足为，则为的中点， 是边长为2的正三角形，， ，，，，， 又，，解得， ， 将点代入得，， ，，， . 故选：A. 【变式3.2】（24-25高一下·湖北十堰·期中）若函数的部分图象如图所示，则下列结论错误的为（   ） A．实数有且仅有一个值 B．实数有且仅有一个值 C．的单调递增区间为 D．若，则 【答案】C 【解题思路】B选项，根据图象得到，代入，得到方程，结合该点位于单调递增区间，求出；A选项，将代入，结合，得到；C选项，整体法求出函数单调递增区间；D选项，时，， 又关于对称，得到方程，解得，代入解析式，求出答案. 【解答过程】B选项，由图易得：， 又因为图像过点，所以，，得或 又因为该点位于单调递增区间，所以，所以，B对 A选项，因为图像过，即，，， 设函数最小正周期为，则由图得，即，故， 又，所以只有当时，满足要求，A对 C选项，，令， 解得， 故单调递增区间为，，C错 D选项，时，， 又，关于对称， 所以，解得 ，D对 故选：C. 【变式3.3】（24-25高一下·黑龙江黑河·月考）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象 C．直线是图象的一条对称轴 D．图象的对称中心为 【答案】D 【解题思路】先根据图象确定的值，再通过周期求出，然后根据特殊点求出，得到函数表达式后，依次对各选项进行判断. 【解答过程】由函数图象可知，函数的最大值为，因为，所以. 设函数的周期为，则，则，所以， 此时. 已知函数图象过点，则， 即，所以，， 因为，解得，那么. 对于A，，所以选项A错误； 对于B，将的图象向左平移个单位长度， 得到， 所以选项B错误； 对于C，因， 所以直线不是图象的一条对称轴，选项C错误； 对于D，令，，解得，，此时， 所以图象的对称中心为，，选项D正确. 故选：D. 【题型4 结合三角函数的图象变换求三角函数的性质】 【例4】（24-25高三上·江苏盐城·月考）将函数的图象向左平移个单位长度后得到的函数为奇函数，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，利用三角函数的图象变换，求得，再由为奇函数，求得，进而得到取得最小值. 【解答过程】由函数，将函数的图象向左平移个单位长度后， 得到函数， 又由为奇函数，所以，解得， 因为，所以当时，取得最小值，最小值为. 故选：C. 【变式4.1】（25-26高一上·全国·单元测试）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，以图象相邻的三个交点为顶点的三角形面积为，则函数图象的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用函数图象平移规则得出的解析式，再由对称性及面积求得交点坐标，可得结果. 【解答过程】如图， 不妨取轴右侧的连续三个交点，分别记为的最小正周期为，可得， 由的面积为及对称性知，，解得， 进而，代入得， 即，并结合，得， 所以．令， 解得，所以函数图象的对称中心是， 所以是函数图象的一个对称中心． 故选：D. 【变式4.2】（24-25高一下·北京海淀·期中）将函数图象上所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向左平移个单位，得到函数的图象，已知在上恰有5个零点．下列四个命题中： ①的图象关于点对称；②在内恰有5个最值点； ③在内单调递减；④的取值范围是． 所有真命题的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．①②③ D．③④ 【答案】B 【解题思路】根据正弦型函数的图象变换性质求出函数的解析式，结合正弦型函数零点的性质求出的取值范围，并根据正弦型函数的对称性、最值、单调性逐一判断即可. 【解答过程】因为函数图象上各点横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位，得到函数的图象， 所以函数的解析式为：， 当时，， 因为函数在上有且只有5个零点，， 所以，解得， 因为，， 所以当时，，此时解不等式组，得， 当时，，即， 此时不等式组的解集为空集，故④正确； ①：因为，所以的图象关于点对称， 故本命题是真命题； ②：因为，所以， 又因为，所以，而， 即当时，，此时函数有4个最值点，故本命题是假命题； ③：因为，所以， 又因为，所以，而，故本命题是假命题； 故选：B. 【变式4.3】（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中）将函数的图象向右平移个单位长度，在纵坐标不变的情况下，再把平移后的函数图象上每个点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，则函数所具有的性质是（    ） A．图象关于直线对称 B．曲线与直线的所有交点中，相邻交点距离的最小值为 C．的一个单调递增区间为 D．图象关于点成中心对称 【答案】B 【解题思路】先根据平移变换的知识求出，根据三角函数的对称性性质将和代入求值检验即可判断选项AD；根据函数图象结合即可判断B；令，求出即可求出的单调递增区间进而得解. 【解答过程】因为， 所以向右移个单位得函数解析式为， 又图象上每个点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象， 所以， 对于A，因为，所以直线不是图象的对称轴，故A错误； 对于B，因为， 所以由函数图象性质可知曲线与直线的所有交点中， 相邻交点距离的最小值为，故B正确； 对于C，令， 所以当时的单调递增区间为，故C错误； 对于D，因为，所以直线不是图像的对称中心，故D错误. 故选：B. 模块二 匀速圆周运动的数学模型 1．匀速圆周运动的数学模型 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图5.6-2).明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图5.6-2). 假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动. 【题型5 匀速圆周运动的数学模型】 【例5】（24-25高一下·山东枣庄·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今仍在农业生产中发挥作用，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．一半径为2m的筒车水轮如图，水轮圆心O距离水面1m，已知水轮每30s逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上的点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列结论错误的是（ ） A．点P再次进入水中用时20s B．当水轮转动25s时，点P处于最低点 C．当水轮转动28.75s时，点P距离水面 D．点P第三次到达距水面时用时42.5s 【答案】D 【解题思路】由题意，利用角度除以角速度等于时间，再结合特殊角三角函数值逐项判断可得. 【解答过程】由题意，角速度弧度/秒， 又由水轮的半径为2米，且圆心O距离水面1米，可知半径与水面所成角为，点P再次进入水中用时为秒，故A正确； 当水轮转动25秒时，半径转动了弧度，而，点P正好处于最低点，故B正确； 当水轮转动28.75秒时，由于，又，所以距水面高度为米，故C正确； 逆时针转动一周时，两次到达离水面高度为用时30秒， 所以第三次到达距水面高度为时需要转动一周后再逆时针转动弧度，此时用时为秒， 所以点P第三次到达距水面米时用时37.5秒，故D错误． 故选：D． 【变式5.1】（24-25高一下·四川凉山·期中）如图，摩天轮上一点距离地面的高度关于时间的函数表达式为，，已知摩天轮的半径为，其中心点距地面，摩天轮以每分钟转一圈的方式做匀速转动，而点的起始位置在摩天轮的最低点处.在摩天轮转动一圈内，点距离地面超过有多长时间（    ） A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟 【答案】B 【解题思路】根据条件，求得或，再根据条件得或，利用的性质，即可求解. 【解答过程】因为中心点距地面60m，则，摩天轮的半径为50m，即， 又，由，得到， 因为最低点到地面距离为，所以，得到， 又，则， 若，则， 由，得到， 所以，解得 令得到，又， 所以在摩天轮转动一圈内，点有分钟的时间距离地面超过， 若，则， 由，得到，即， 所以，解得 令得到，又， 所以在摩天轮转动一圈内，点有分钟的时间距离地面超过， 故选：B. 【变式5.2】（24-25高一上·江苏盐城·期末）一个半径为6m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面3m，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，且当水轮上的点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间．    (1)将点P距离水面的高度y（单位：m．在水面下，则y为负数）表示为时间x（单位：s）的函数； (2)在转动的一个周期内，点P在水中的时间是多少？ 【答案】(1) (2)5s 【解题思路】（1）建立如图所示的平面直角坐标系，设角是以Ox为始边，为终边的角，根据题意可得点P的纵坐标为，进而得到，再结合的位置为初始位置即可求解； （2）先得到在转动的一个周期内，点P在水中转动，进而结合周期求解即可. 【解答过程】（1）如图，建立平面直角坐标系， 设角是以Ox为始边，为终边的角， 易知OP在xs内所转过的角为，    故点P的纵坐标为，则， 当时，，可得，所以， 则． （2）在转动的一个周期内，点P在水中转动，而， 故点P在水中的时间是s． 【变式5.3】（24-25高一下·上海·期中）坐落于奉贤渔人码头的摩天轮，堪称上海独一无二的海滨摩天轮.在晴朗的傍晚时分，踏上这场别具一格的海边摩天轮之旅，你将有机会与落日余晖、轻柔晚风、辽阔大海以及璀璨星空进行一场浪漫的邂逅.若已知摩天轮最高点距离地面高度为50米，转盘直径为40米，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，进舱后开始计时，若开始转动（单位：分钟）后距离地面的高度为（单位：米），转一周大约需要15分钟. (1)已知关于的函数关系式满足（其中，，），求摩天轮转动一周的解析式； (2)若游客在距离地面至少40米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮在运行一周的过程中，游客能有多长时间有最佳视觉效果？ 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据最高、最低点距离地面高度计算出，根据转一周的时间计算出，再结合初始位置计算出，由此可求； （2）化简，根据求解出的范围，由此可知结果； 【解答过程】（1）由题意可知：摩天轮最高点距离地面，最低点距离地面， 所以，所以， 又因为转一周大约需要，所以， 所以， 又因为， 所以且，所以， 所以； （2）因为， 令，则， 又因为，则，所以， 所以，且， 故摩天轮在运行一周的过程中，游客能有最佳视觉效果. 【题型6 函数y=Asin(ωx+φ)与三角恒等变换的综合应用】 【例6】（24-25高一下·贵州毕节·期末）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数的最大值为 C．把函数的图象向右平移个单位长度得的图象 D．函数在区间上单调递减 【答案】D 【解题思路】根据三角恒等变换化简函数解析式，进而判断各选项. 【解答过程】， A选项：函数的最小正周期为，A选项错误； B选项：的最大值为，B选项错误； C选项：把的图象向右平移个单位可得，C选项错误； D选项：，令，， 解得，， 即函数的单调递减区间为，， 又，， 所以函数在上单调递减，D选项正确； 故选：D. 【变式6.1】（24-25高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数的最小正周期是，将的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若为偶函数，则正实数的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据辅助角公式，把函数化为正弦型函数，利用周期计算公式，和偶函数性质求得. 【解答过程】因为函数， 函数的最小正周期是且，则，解得， 所以 将的图象向右平移个单位后得到函数的图象， 则， 若为偶函数，则，， 解得，，可知当时，正实数取得最小值. 故选：A. 【变式6.2】（24-25高一上·山西太原·期末）已知． (1)求的单调递减区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用倍角公式和辅助角公式化简，再结合正弦函数的单调性求解； （2）先由平移变换得到，再利用余弦函数的性质求解. 【解答过程】（1） 令，则， 故的单调递减区间为； （2）由题意得， 因，有，则， 可得， 故在上的值域为. 【变式6.3】（24-25高一下·四川泸州·期中）已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)将函数的图象向右平移个单位，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上有两个零点，求实数m的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【解题思路】（1）利用三角恒等变换将原函数化成正弦型函数，借助于正弦函数的单调性即可求得函数的递增区间； （2）利用三角函数平移伸缩变换求出，运用函数与方程的转化思想，结合正弦函数的图象性质即可求解． 【解答过程】（1）因， 令，解得， 函数的单调递增区间为； （2）将函数的图象向右平移个单位，可得的图象， 再将其图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，可得函数的图象， 若函数在上有两个零点， 则与在上有两个交点， 由，得，由，得， 所以结合正弦函数性质可得，在上单调递增，在上单调递减， 因为，，， 所以要使与在上有两个交点，只要， 故m的取值范围为． 一、单选题 1．（24-25高一下·山东聊城·期末）要得到函数的图象，只需将的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】B 【解题思路】借助正弦型函数平移的特征计算即可得.. 【解答过程】由题意可得的图象向右平移个单位可得，故B正确. 故选：B. 2．（24-25高一上·安徽宣城·期末）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则函数的图象的一个对称中心是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，求出函数的解析式，再利用正弦函数的对称性求解判断. 【解答过程】依题意，， 对于A，，则不是函数图象的对称中心，A不是； 对于B，，则不是函数图象的对称中心，B不是； 对于C，，则不是函数图象的对称中心，C不是； 对于D，，则是函数图象的对称中心，D是. 故选：D. 3．（2025高一·全国·专题练习）把函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点横坐标放大到原来的2倍，则所得函数的解析式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据图象平移过程写出对应解析式. 【解答过程】函数的图象向左平移个单位长度，即的图象， 再把图象上各点的横坐标放大到原来的2倍，得的图象． 故选：B. 4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的部分图象如图所示，且为函数图象上相邻的最高点和最低点，且，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则在下列区间一定单调递增的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由图象及题意求出，再通过平移得到，计算单调递增区间可得到答案. 【解答过程】由图象知，因为，所以 所以所以， 又，代入得， 所以，又，所以． 故 将的图象向右平移个单位长度，可得到函数， 令， 即，当时，符合题意． 故选：D. 5．（24-25高一下·北京顺义·期末）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 【答案】A 【解题思路】先应用平移规则得出的解析式，再结合余弦函数的单调性判断各个选项即可. 【解答过程】将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数， 当，则在区间上单调递减，A选项正确；B选项错误； 当， 则在区间上单调递增，在区间上单调递减，C选项错误；D选项错误； 故选：A. 6．（25-26高一上·四川绵阳·期中）已知函数的部分图象如图所示，给出下列结论： ①； ②当时，； ③函数的单调递增区间为，； ④将的图象向右平移个单位，得到的图象；其中正确的结论个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】先根据图象，求出函数的解析式，再结合正弦函数的图象和性质，逐项分析，即可得到答案． 【解答过程】由图象可知：， ， 由 ，又，所以. 所以， 因为，故①正确； 当时，，所以，所以，故②错误； 由， ，， 所以函数的单调递增区间为，.故③正确； 将的图象向右平移个单位，得到 的图象，故④错误． 故选：B． 7．（24-25高一下·广东广州·期末）如图，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：秒）之间的关系为（，，），则（   ） A． B． C．盛水筒出水后至少经过秒就可到达最低点 D．盛水筒P在转动一圈的过程中，P在水中的时间为秒 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，求出判断AB；求出点的位置判断C；解不等式判断D. 【解答过程】点到水面的距离与时间之间的关系为， 对于A，依题意，，则，A错误； 对于B，由时，得，即，而，则，B错误； 对于C，，令，得， 解得，则，解得， 即盛水筒出水后至少经过秒可到达最低点，C错误； 对于D，由，得，即， 则，解得， 所以盛水筒在转动一圈的过程中，在水中的时间为秒，D正确. 故选：D. 8．（24-25高一上·安徽亳州·期末）函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B．的最小正周期为 C．在区间上单调递减 D．在区间上共有8100个零点 【答案】D 【解题思路】根据图像可得，然后逐项判断即可. 【解答过程】根据图像可得，，解得， 又，所以，故A错误； 又过点，， 由五点作图法可知，，周期，故B错误； ，， 又，所以函数在区间上不单调，故C错误； ， 解得，又， 所以，所以共有8100个零点，故D正确； 故选：D. 二、多选题 9．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．的图象关于直线对称 C．若方程在上有且只有6个根，则 D．的图象向左平移个单位长度后得到函数 【答案】ABC 【解题思路】根据函数的图象可求解函数的解析式，即可求解AB，结合范围以及正弦函数的性质即可求解C，由函数图象的平移即可求解D. 【解答过程】由图可知： ，故， 结合以及位于函数上升的图象上，故， ，且点位于减区间内，故， 所以， 由于则，故，因此，故，A正确， ，故是函数的一条对称轴，B正确， 对于C，令，则 ，当时，， 要使在上有且只有6个根，则，解得，故C正确， 对于D, 的图象向左平移个单位长度后得到函数，故D错误， 故选：ABC. 10．（24-25高一下·福建宁德·期末）已知函数的最大值为2，则（    ） A． B．的图象关于直线对称 C．的最小正周期为 D．方程在上有4个解 【答案】ABD 【解题思路】根据辅助角公式求出，进而化简，最后结合正弦函数的性质逐一判断. 【解答过程】由辅助角公式可知，的最大值为，得（正值舍去），A正确； ，则最小正周期为，故C错误； 因，故的图象关于直线对称，B正确； ，则， 则或，， 即或，， 因，则、、、，共个，故D正确. 故选：ABD. 11．（25-26高一上·全国·单元测试）已知某单摆运动的振幅为2，单摆离开平衡位置的位移（单位：cm）和时间（单位：s）近似满足函数关系，其部分图象如图所示，则（    ） A．该单摆运动的最小正周期为 B．该单摆运动的初相为 C．当时间时，该单摆离开平衡位置的位移为 D．该单摆运动在时间上，随着的增大而增大 【答案】ABC 【解题思路】由题图知，即可判断选项A；由单摆运动的振幅为2得.由，，可得，所以.又函数图象过点，代入解析式可得.结合，即可判断选项B；代入选项B中求出的解析式即可判断选项C；根据正弦型函数的性质，即可判断选项D. 【解答过程】由题图知，则，故选项A正确； 由单摆运动的振幅为2，得.由，解得.又，所以，所以.又函数图象过点（代入特殊点求的值时，一般代入最高点或最低点，代入中心点时应注意是上升趋势还是下降趋势），所以，解得.又，所以，，即，故该单摆运动的初相为，故选项B正确； 所以，故选项C正确； 该单摆运动的位移与时间近似满足的函数关系式为，当时，. 由正弦函数得性质可知：当，即时， 单调递增；当，即时， 单调递减，即在上单调递增，在上单调递减，故选项D不正确. 故选：ABC. 三、填空题 12．（24-25高一下·上海·月考）已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为 ． 【答案】 【解题思路】由图象可得振幅和周期，从而可得，再利用最高点的坐标可求，得解. 【解答过程】根据函数的部分图象知，，，所以， 由，得，，解得，； 又，所以，所以． 故答案为：. 13．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数的部分图象如图所示，其中，若的图象向右平移个单位长度后关于原点对称，则 ．    【答案】 【解题思路】首先求得，可得，再由函数平移变换法则、三角函数性质可得，结合即可求解. 【解答过程】设的最小正周期为，依题意得，则， 所以，所以， 则将的图象向右平移个单位长度得到的图象对应解析式为， 因为平移后的图象关于原点对称，所以， 因为，所以，则． 故答案为：. 14．（25-26高一上·全国·课后作业）若函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到函数的图象，若在上恰有3个零点，则的取值范围为 ．    【答案】 【解题思路】先根据图象里的最值求出A，根据周期求出，根据最大值点或最小值点求出，从而确定的解析式，根据函数图象变换求出的解析式，最后结合图象及在上恰有3个零点即可求出m的范围． 【解答过程】记的最小正周期为，由题图可得， ∴ ， ∴， 又，∴， ∴． 将的图象向右平移个单位长度后得到的图象， 再将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，故． 当时，． ∵在上恰有3个零点，如图：    则，解得， 故答案为：． 四、解答题 15．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）请用“五点法”画函数在内的图象. (1)并指出函数在定义域上的单调区间，零点. (2)当定义域都为时，如何平移伸缩，能得到的图象？ (3)求函数在区间上的最值及取得最值时的值. 【答案】(1)单调增区间为：，，单调递减区间为：，零点为，，； (2)答案见解析； (3)当时，；当时， 【解题思路】（1）根据“五点法”画出函数图象，由图象可得单调区间，零点； （2）根据平移伸缩变换的概念直接求解即可； （3）由得，令，得，，结合三角函数性质求解即可. 【解答过程】（1）由得，即函数在内为一个完整周期的图象， 列表如下： 其函数图象如下： 由图象，函数在定义域上的单调增区间为，，单调递减区间为， 函数在定义域上的零点为，，； （2）将函数的图象横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍得， 再将函数的图象纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍得， 再将函数的图象向右平移个单位长度可得的图象； （3）因为，所以， 令，即，， 所以，当时，由最大值为，此时， 当时，由最小值为，此时， 综上：当时，；当时，. 16．（25-26高三上·安徽·期中）已知函数（）的最小正周期为. (1)求的解析式； (2)将曲线向右平移个单位长度后，再将曲线上各点的横坐标变为原来的2倍，得到曲线.若关于x的方程在区间上有解，求m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据二倍角的正弦、余弦公式，结合辅助角公式，可得，利用周期公式，求得，代入即可得答案, （2）根据平移、伸缩变换的原则，可得的解析式，参变分离可得在区间上有解，设，根据函数的单调性，分析求解，即可得答案. 【解答过程】（1） ， 因为函数的最小正周期为，所以，即， 所以； （2）将曲线向右平移个单位长度后得到 ， 再将曲线上各点的横坐标变为原来的2倍，得到，即. 问题转化为关于x的方程在区间上有解， 参变分离得：在区间上有解. 设，则， 由于在上单调递减， 所以， 此时对于中的每个m，都存在，使得， 所以m的取值范围为. 17．（24-25高一下·四川泸州·期末）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式及对称中心坐标； (2)将的图象向右平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移1个单位，得到函数的图象．求不等式的解集． 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）根据最值求出，根据周期求出，然后利用求出，即可求出的解析式，最后令即可求出对称中心； （2）根据图象变换得出，最后结合正弦函数图象即可求出. 【解答过程】（1）由图象可得，得， 由图象可知，所以，即， 即； 又因为，即， 所以，则， 结合，可得， 所以； 令得， 所以曲线的对称中心为． （2）把曲线向右平移个单位后的曲线为； 把曲线上每一点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到曲线； 把曲线向上平移个单位，得到曲线； 令，得， 结合正弦函数图象可得不等式的解集为. 18．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）如图，某摩天轮最高点距离地面米，最低点距离地面高度为米，设置有个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要分钟． (1)以轴心为原点，与地面平行的直线为轴，所在的直线为轴建立直角坐标系，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米，求关于的函数解析式； (2)求游客甲从坐上摩天轮之后的一周内，距离地面高度不超过米的总时长； (3)若甲、乙两人座舱之间间隔一个座舱，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值．（精确到个位） 参考公式与数据：，，，． 【答案】(1)， (2) (3)， 【解题思路】（1）建立平面直角坐标系，求出点的坐标，以及以为终边的角、角速度，由此可得出关于的函数解析式； （2）当时，解不等式，求出的取值范围，即可得解； （3）经过后，甲距离地面的高度为关于的表达式，乙距离地面的高度为关于的表达式，即可得出的表达式，再结合和差化积公式以及正弦型函数的有界性可求得结果. 【解答过程】（1）如图，设座舱距离地面最近的位置为点， 以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系． 设时，游客甲位于点，以为终边的角为， 根据摩天轮转一周大约需要，可知座舱转动的角速度约， 由题意可得，． （2）在运行一周的过程中，由，则， 令，可得， 解得或者． 所以游客甲从坐上摩天轮之后，距离地面高度不超过的时长为． （3）由甲、乙两人座舱之间间隔一个座舱，如图，甲、乙两人的位置分别用点、表示， 不妨设点相对于始终落后，则， 经过后，甲距离地面的高度为， 点相对于始终落后，此时距离地面的高度， 则甲、乙高度差， 利用， 可得， 当或，即或， 所以 ， 则将参考数据，代入， 得， 所以甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为. 19．（24-25高一下·四川巴中·期中）已知. (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)求在上的值域； (3)将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【解题思路】（1）先利用三角函数的两角和公式、二倍角公式等对进行化简，得到的形式，再根据正弦函数的性质求最小正周期和单调递增区间. （2）在已知x的取值范围的情况下，通过分析的范围，进而得出函数的值域. （3）根据三角函数图象的伸缩变换得到，再进行化简，参变分离，转化为对任意的恒成立且，通过换元构造函数，利用函数在给定区间上的单调性求a的取值范围. 【解答过程】（1） ． 最小正周期． 令，解得． 故的增区间为. （2）时，，故． 即在上的值域为． （3），原不等式可化为对任意的恒成立 对任意的恒成立， 对任意的恒成立且， 记，条件可化为对任意的成立， 设，则， 设， 则， 由在上递减，上递增可得，在上递减，在上递增， 即时，， 即时，， 因此的最大值为，由题意得，故． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第24讲 函数y=Asin(ωx+φ) 【人教A版】 模块一 函数y=Asin(ωx+φ) 1．φ,ω, A对函数y=Asin(ωx+φ)的图象的影响 (1)φ对的图象的影响 函数（其中φ≠0）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平移|φ|个单位长度而得到(可简记为“左加右减”). (2)对的图象的影响 函数的图象，可以看作是把的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或 伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到. (3)对的图象的影响 函数的图象，可以看作是把图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时) 或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到. (4)由函数的图象得到函数的图象 以上两种方法的图示如下： 2．函数y=Acos(ωx+φ)的图象 类似于正弦型函数，余弦型函数的图象的画法有以下两种. (1)“五点法”，令，求出相应的x值及y值，利用这五个点，可以得到 在一个周期内的图象，然后再把这一段上的图象向左向右延伸，即得的图象. (2)“变换作图法”的途径有两种. 一是类似于正弦型函数的变换作图法，可由的图象通过变换作图法得到 (ω>0,A>0)的图象，即： 二是由诱导公式将余弦型函数转化为正弦型函数，即 ，再由的图象通过变换作图法得到的图象即可. 3．三角函数的图象变换问题的求解方法 解决三角函数图象变换问题的两种方法分别为先平移后伸缩和先伸缩后平移.破解此类题的关键如下： (1)定函数：一定要看准是将哪个函数的图象变换得到另一个函数的图象； (2)变同名：函数的名称要变得一样； (3)选方法：即选择变换方法. 4．由部分图象确定函数解析式的方法 由y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的一段图象求其解析式时，A比较容易由图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)如果图象明确指出了周期T的大小和“零点”坐标，那么由即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的零点的横坐标，则令即可求出φ. (2)代入点的坐标.利用一些已知点(最高点、最低点或零点)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或φ的范围有所需求，可用诱导公式变换使其符合要求. 【题型1 三角函数图象的变换过程】 【例1】（24-25高一下·安徽蚌埠·期末）要得到函数的图象，可以将函数的图象（   ） A．向左平移个单位长度而得到 B．向右平移个单位长度而得到 C．向左平移个单位长度而得到 D．向右平移个单位长度而得到 【变式1.1】（24-25高一下·山东威海·期末）已知曲线，，则（    ） A．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再把得到的曲线上的所有点向左平移个单位长度，得到曲线 B．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再把得到的曲线上的所有点向右平移个单位长度，得到曲线 C．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把得到的曲线上的所有点向左平移个单位长度，得到曲线 D．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把得到的曲线上的所有点向右平移个单位长度，得到曲线 【变式1.2】（24-25高一下·河南·月考）若将的图象进行变换，使得其与的图象重合，则下列变换正确的是（   ） A．先将的图象向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的 B．先将的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的 C．先将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再将图象向左平移个单位 D．先将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再将图象向右平移个单位 【变式1.3】（24-25高一上·陕西咸阳·期末）为了得到余弦函数的图象，只需把函数图象上所有的点（    ） A．横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短为原来的，纵坐标不变 C．纵坐标伸长为原来的4倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短为原来的，横坐标不变 【题型2 求图象变化前（后）的解析式】 【例2】（24-25高一下·辽宁葫芦岛·期末）将函数图像上所有点的横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变，再把所得的图像向右平移个单位长度，则所得新函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（24-25高一下·广东茂名·期末）将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到的图象，则（   ） A． B． C． D． 【变式2.2】（24-25高一下·江苏常州·期末）已知函数的部分图象如图所示，将图象上的所有点向左平移个单位长度得到的函数表达式可以是（   ） A． B． C． D． 【变式2.3】（24-25高一下·山西晋城·期中）将函数的图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度，所得图象的解析式为（   ） A． B． C． D． 【题型3 由部分图象求函数的解析式】 【例3】（24-25高一下·辽宁·期中）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．图象的对称中心为 C．直线是图象的一条对称轴 D．将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象 【变式3.1】（24-25高一下·广东汕头·期末）已知函数（其中）的部分图象如图所示，点是函数图象与轴的交点，点是函数图象的最高点，且是边长为2的正三角形，，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（24-25高一下·湖北十堰·期中）若函数的部分图象如图所示，则下列结论错误的为（   ） A．实数有且仅有一个值 B．实数有且仅有一个值 C．的单调递增区间为 D．若，则 【变式3.3】（24-25高一下·黑龙江黑河·月考）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象 C．直线是图象的一条对称轴 D．图象的对称中心为 【题型4 结合三角函数的图象变换求三角函数的性质】 【例4】（24-25高三上·江苏盐城·月考）将函数的图象向左平移个单位长度后得到的函数为奇函数，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（25-26高一上·全国·单元测试）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，以图象相邻的三个交点为顶点的三角形面积为，则函数图象的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（24-25高一下·北京海淀·期中）将函数图象上所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向左平移个单位，得到函数的图象，已知在上恰有5个零点．下列四个命题中： ①的图象关于点对称；②在内恰有5个最值点； ③在内单调递减；④的取值范围是． 所有真命题的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．①②③ D．③④ 【变式4.3】（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中）将函数的图象向右平移个单位长度，在纵坐标不变的情况下，再把平移后的函数图象上每个点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，则函数所具有的性质是（    ） A．图象关于直线对称 B．曲线与直线的所有交点中，相邻交点距离的最小值为 C．的一个单调递增区间为 D．图象关于点成中心对称 模块二 匀速圆周运动的数学模型 1．匀速圆周运动的数学模型 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图5.6-2).明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图5.6-2). 假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动. 【题型5 匀速圆周运动的数学模型】 【例5】（24-25高一下·山东枣庄·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今仍在农业生产中发挥作用，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．一半径为2m的筒车水轮如图，水轮圆心O距离水面1m，已知水轮每30s逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上的点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列结论错误的是（ ） A．点P再次进入水中用时20s B．当水轮转动25s时，点P处于最低点 C．当水轮转动28.75s时，点P距离水面 D．点P第三次到达距水面时用时42.5s 【变式5.1】（24-25高一下·四川凉山·期中）如图，摩天轮上一点距离地面的高度关于时间的函数表达式为，，已知摩天轮的半径为，其中心点距地面，摩天轮以每分钟转一圈的方式做匀速转动，而点的起始位置在摩天轮的最低点处.在摩天轮转动一圈内，点距离地面超过有多长时间（    ） A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟 【变式5.2】（24-25高一上·江苏盐城·期末）一个半径为6m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面3m，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，且当水轮上的点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间．    (1)将点P距离水面的高度y（单位：m．在水面下，则y为负数）表示为时间x（单位：s）的函数； (2)在转动的一个周期内，点P在水中的时间是多少？ 【变式5.3】（24-25高一下·上海·期中）坐落于奉贤渔人码头的摩天轮，堪称上海独一无二的海滨摩天轮.在晴朗的傍晚时分，踏上这场别具一格的海边摩天轮之旅，你将有机会与落日余晖、轻柔晚风、辽阔大海以及璀璨星空进行一场浪漫的邂逅.若已知摩天轮最高点距离地面高度为50米，转盘直径为40米，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，进舱后开始计时，若开始转动（单位：分钟）后距离地面的高度为（单位：米），转一周大约需要15分钟. (1)已知关于的函数关系式满足（其中，，），求摩天轮转动一周的解析式； (2)若游客在距离地面至少40米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮在运行一周的过程中，游客能有多长时间有最佳视觉效果？ 【题型6 函数y=Asin(ωx+φ)与三角恒等变换的综合应用】 【例6】（24-25高一下·贵州毕节·期末）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数的最大值为 C．把函数的图象向右平移个单位长度得的图象 D．函数在区间上单调递减 【变式6.1】（24-25高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数的最小正周期是，将的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若为偶函数，则正实数的最小值是（   ） A． B． C． D． 【变式6.2】（24-25高一上·山西太原·期末）已知． (1)求的单调递减区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域． 【变式6.3】（24-25高一下·四川泸州·期中）已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)将函数的图象向右平移个单位，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上有两个零点，求实数m的取值范围． 一、单选题 1．（24-25高一下·山东聊城·期末）要得到函数的图象，只需将的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 2．（24-25高一上·安徽宣城·期末）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则函数的图象的一个对称中心是（   ） A． B． C． D． 3．（2025高一·全国·专题练习）把函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点横坐标放大到原来的2倍，则所得函数的解析式为（    ）． A． B． C． D． 4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的部分图象如图所示，且为函数图象上相邻的最高点和最低点，且，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则在下列区间一定单调递增的是（    ）    A． B． C． D． 5．（24-25高一下·北京顺义·期末）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 6．（25-26高一上·四川绵阳·期中）已知函数的部分图象如图所示，给出下列结论： ①； ②当时，； ③函数的单调递增区间为，； ④将的图象向右平移个单位，得到的图象；其中正确的结论个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（24-25高一下·广东广州·期末）如图，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：秒）之间的关系为（，，），则（   ） A． B． C．盛水筒出水后至少经过秒就可到达最低点 D．盛水筒P在转动一圈的过程中，P在水中的时间为秒 8．（24-25高一上·安徽亳州·期末）函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B．的最小正周期为 C．在区间上单调递减 D．在区间上共有8100个零点 二、多选题 9．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．的图象关于直线对称 C．若方程在上有且只有6个根，则 D．的图象向左平移个单位长度后得到函数 10．（24-25高一下·福建宁德·期末）已知函数的最大值为2，则（    ） A． B．的图象关于直线对称 C．的最小正周期为 D．方程在上有4个解 11．（25-26高一上·全国·单元测试）已知某单摆运动的振幅为2，单摆离开平衡位置的位移（单位：cm）和时间（单位：s）近似满足函数关系，其部分图象如图所示，则（    ） A．该单摆运动的最小正周期为 B．该单摆运动的初相为 C．当时间时，该单摆离开平衡位置的位移为 D．该单摆运动在时间上，随着的增大而增大 三、填空题 12．（24-25高一下·上海·月考）已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为 ． 13．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数的部分图象如图所示，其中，若的图象向右平移个单位长度后关于原点对称，则 ．    14．（25-26高一上·全国·课后作业）若函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到函数的图象，若在上恰有3个零点，则的取值范围为 ．    四、解答题 15．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）请用“五点法”画函数在内的图象. (1)并指出函数在定义域上的单调区间，零点. (2)当定义域都为时，如何平移伸缩，能得到的图象？ (3)求函数在区间上的最值及取得最值时的值. 16．（25-26高三上·安徽·期中）已知函数（）的最小正周期为. (1)求的解析式； (2)将曲线向右平移个单位长度后，再将曲线上各点的横坐标变为原来的2倍，得到曲线.若关于x的方程在区间上有解，求m的取值范围. 17．（24-25高一下·四川泸州·期末）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式及对称中心坐标； (2)将的图象向右平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移1个单位，得到函数的图象．求不等式的解集． 18．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）如图，某摩天轮最高点距离地面米，最低点距离地面高度为米，设置有个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要分钟． (1)以轴心为原点，与地面平行的直线为轴，所在的直线为轴建立直角坐标系，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米，求关于的函数解析式； (2)求游客甲从坐上摩天轮之后的一周内，距离地面高度不超过米的总时长； (3)若甲、乙两人座舱之间间隔一个座舱，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值．（精确到个位） 参考公式与数据：，，，． 19．（24-25高一下·四川巴中·期中）已知. (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)求在上的值域； (3)将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若对任意的恒成立，求的取值范围. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $