专题5.8 三角函数的应用（5类必考点）讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦三角函数的应用这一核心知识点，系统梳理应用步骤及简谐运动、圆周运动、生活周期问题等常见类型，通过几何模型、圆周运动、物理应用、生活实例、新定义五大考点，搭建从理论到实际问题解决的学习支架。 该资料特色在于结合多领域实例，如几何面积最值、水轮运动高度、弹簧振子位移等，引导学生用数学眼光观察现实世界，通过建模与推理发展数学思维，用函数表达式精准描述现象提升数学语言能力。课中助力教师系统教学，课后分层练习帮助学生巩固应用能力，有效查漏补缺。

专题5.8三角函数的应用 【知识梳理】 1 【考点1： 几何中的三角函数模型】 1 【考点2：圆周运动中的三角函数模型】 4 【考点3：三角函数在物理学中的应用】 6 【考点4：三角函数在生活中的应用】 9 【考点5：三角函数新定义】 12 【知识梳理】 1．三角函数应用的步骤 2．三角函数的常见应用类型 ①三角函数在物体简谐运动问题中的应用. 物体的简谐运动是一种常见的运动，它的特点是周而复始，因此可以用三角函数来模拟这种运动状态. ②三角函数在几何、实际生活中的圆周运动问题中的应用. 物体的旋转显然具有周期性，因此也可以用三角函数来模拟这种运动状态. ③三角函数在生活中的周期性变化问题中的应用. 大海中的潮汐现象、日常生活中的气温变化、季节更替等都具有周期性，因此常用三角函数模型来解 决这些问题. 【考点1： 几何中的三角函数模型】 1．（2025·四川成都·三模）为迎接大运会的到来，学校决定在半径为，圆心角为的扇形空地的内部修建一平行四边形观赛场地，如图所示.则观赛场地的面积最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·浙江温州·期中）已知是半径为2，为圆心，圆心角为的扇形，，是扇形弧上的动点，满足，是扇形的内接矩形，则矩形的面积的最大值为 . 3．（2026高三·全国·专题练习）如图，已知等腰梯形的面积为，高为，求的最小值． 4．（25-26高一上·云南昆明·期末）如图，为半圆的直径，，为圆心，是半圆上的一点，，将射线绕逆时针旋转90°到，过分别作于，于. (1)建立适当的直角坐标系，用的三角函数表示，两点的坐标： (2)求四边形面积的最大值. 5．（2026高三·全国·专题练习）如图，已知墙角处有一根木棍过定点． (1)求的最小值； (2)求的最小值． 【考点2：圆周运动中的三角函数模型】 1．（25-26高三上·湖南衡阳·月考）如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列说法错误的是（    ） A．点第一次到达最高点需要20秒 B．当水轮转动155秒时，点距离水面1米 C．当水轮转动50秒时，点在水面下方，距离水面2米 D．点距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为 2．（25-26高三·江西赣州·月考）如图，摩天轮的半径为m，其中心点距离地面的高度为m，摩天轮按逆时针方向匀速转动，且转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中下列说法正确的是（   ）    A．转动后点距离地面 B．若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的 C．第和第点距离地面的高度相同 D．摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于m的时间长为 3．（多选）（25-26高三上·辽宁大连·月考）如图，一个大风车的半径为8 m，12 min旋转一周，它的最低点离地面2 m，风车翼片的一个端点P从开始按逆时针方向旋转，则点P离地面的距离h(m)与时间t(min)之间的函数关系式是（    ）      A． B． C． D． 4．（24-25高一下·河南漯河·月考）如图，圆O的半径为2，l为圆O外一条直线，圆心O到直线l的距离为圆周上一点，且，点P从处开始以2秒一周的速度绕点O在圆周上按逆时针方向做匀速圆周运动. (1)1秒钟后，求点P的横坐标； (2)t秒钟后，求点P到直线l的距离用t表示的函数关系式. 5．（24-25高一下·河南南阳·月考）直径为8m的水轮如图所示，水轮圆心距离水面2m，已知水轮沿逆时针方向匀速旋转，每分钟转动6圈，当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间． (1)将点距离水面的高度表示为时间的函数； (2)在水轮转动的一圈内，有多长时间点在水面下？ 【考点3：三角函数在物理学中的应用】 1．（24-25高一下·广东广州·期末）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，，小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（ ） A． B．秒与秒时小球偏离平衡位置的距离之比为2 C．当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 D．当时，若时刻小球偏离平衡位置的距离相同，则 2．（多选）（25-26高一下·山东临沂·期中）某弹簧振子在简谐运动过程中，振子位移关于时间的函数解析式为，则（    ） A．周期为 B．初相是 C．该振子离开平衡位置的最大距离是20 D．当时，振子第一次到达平衡位置 3．（2026高一·全国·专题练习）如图，点为作简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为，周期为，且物体向右运动到距平衡位置最远处（点处）时开始计时，则物体相对平衡位置的位移（单位：）和时间（单位：）之间的函数关系为 ． 4．（24-25高一下·四川德阳·期末）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y（m）和时间t（s）的函数关系为，如图，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，（），且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为 s． 5．（25-26高一上·全国·课后作业）如图，弹簧挂着的小球做上下运动．若以小球的平衡位置为原点，运动路径所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，将小球视为点，则小球的运动可视为点在之间的上下运动．它在时相对于平衡位置（点）的高度（在点下方时，）（单位：）由关系式确定．若点在开始运动（即）时的位置位于平衡位置上方处． (1)求关于的解析式；每8秒钟点能往复运动多少次？ (2)在图中画出关于的函数在长度为一个周期的闭区间上的简图． (3)当点开始运动时，轴的负半轴上点处连续发出一束光经过的中点，在时点恰好被这束光第3次照到，求的值． 【考点4：三角函数在生活中的应用】 1．（多选）（2026高三·全国·专题练习）潮汐现象是地球上的海水受月球和太阳的万有引力作用而引起的周期性涨落现象．某观测站通过长时间观察，发现某港口的潮汐涨落规律为，其中（单位：m）为港口水深，（单位：h）为时间（），该观测站观察到水位最高点和最低点的时间间隔最少为6h，且中午12点的水深为8m，为保证安全，当水深超过8m时，应限制船只出入，则（    ） A． B．最高水位为10m C．该港口从上午8点开始首次限制船只出入 D．一天内限制船只出入的时长为4h 2．（25-26高一上·陕西榆林·期末）已知某地区某天的温度（单位：）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系，且这天的最大温差为，则 ；若温度不低于需要开空调降温，则这天需要降温的时长为 h． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知甲、乙两车间的污水瞬时排放量（单位：）关于时间单位：h）的关系均近似地满足函数．其图象如图所示：    (1)根据图象求函数解析式； (2)若甲车间先投产，1h后乙车间再投产，求两车间都投产时的最大污水排放量． 4．（25-26高三上·福建莆田·期中）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表： 时刻 0：00 3：00 6：00 9：00 12：00 15：00 18：00 21：00 24：00 水深/米 4.5 6.5 4.5 2.5 4.5 6.5 4.5 2.5 4.5 (1)已知该港口的水深与时刻间的变化满足函数，画出函数图象，并求出函数解析式；    (2)现有一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为米，安全条例规定至少要有米的间隙（船底与海底的距离），该船何时能进入港口？（参考数据：) 5．（25-26高一上·全国·单元测试）我国核电在建规模占全球核电在建规模的50%以上，是全球核电建设最活跃的国家.核电抗飞防爆结构是保障核电工程安全的重要基础设施，为此国家制定了一系列核电钢筋混凝土施工强制规范，连接技术全面采用HRB500高强钢筋替代HRB400及以下钢筋.某项目课题组针对HRB500高强钢筋的现场加工难题，对螺纹滚道几何成形机理进行了深入研究，研究中发现某型螺纹丝杠旋铣的滚道径向残留高度（单位：mm）关于滚道径向方位角（单位：rad）的函数近似地满足，其图象的一部分如图所示.    (1)求函数的解析式； (2)为制造一批特殊钢筋混凝土，现需一批滚道径向残留高度不低于且不高于的钢筋，若这批钢筋由题中这种型螺纹丝杠旋铣制作，求这种型螺纹丝杠旋铣能制作出符合要求的钢筋的比例. 【考点5：三角函数新定义】 1．（多选）（25-26高一·全国·期末预测）在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，且（），定义，称“”为“正余弦函数”.对于“正余弦函数”，下列结论中正确的是（    ） A．该函数的图像与直线有公共点 B．该函数的一个对称中心是 C．该函数是偶函数 D．该函数的单调递增区间是， 2．（2025·上海浦东新·三模）著名数学家傅立叶认为所有的乐声都能用一些形如的正弦型函数之和来描述，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．研究表明，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波．若对应于的泛音是对应于的基本音的一个谐波，则正整数的所有可能取值之和为 3．（24-25高一下·北京西城·期中）已知，都是定义在R上的函数，若存在实数m，n使得，则称为，在R上的生成函数. ①若，，则是，在R上的生成函数. ②若，，则，在R上的生成函数的最大值为2. ③若，，则，在R上的生成函数的值域为. ④若，，则，在R上的生成函数的所有对称轴方程为，. ⑤若，，则，在R上的生成函数的增区间为，. 其中正确命题的序号是 . 4．（24-25高一下·河南·月考）对于定义在R上的连续函数，若存在常数t（），使得对任意的实数x都成立，则称是阶数为t的回旋函数． (1)试判断函数是否是一个阶数为的回旋函数，并说明理由； (2)若是回旋函数，求实数ω的值； (3)若回旋函数（）在[0，1]上恰有2024个零点，求ω的值． 5．（24-25高一下·江苏淮安·月考）对于集合和常数，定义：为集合A相对的的“余弦方差”. (1)若集合，求集合A相对的“余弦方差”； (2)若集合，是否存在，使得相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值？若存在，求出的值：若不存在，则说明理由. 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.8三角函数的应用 【知识梳理】 1 【考点1： 几何中的三角函数模型】 1 【考点2：圆周运动中的三角函数模型】 6 【考点3：三角函数在物理学中的应用】 11 【考点4：三角函数在生活中的应用】 16 【考点5：三角函数新定义】 21 【知识梳理】 1．三角函数应用的步骤 2．三角函数的常见应用类型 ①三角函数在物体简谐运动问题中的应用. 物体的简谐运动是一种常见的运动，它的特点是周而复始，因此可以用三角函数来模拟这种运动状态. ②三角函数在几何、实际生活中的圆周运动问题中的应用. 物体的旋转显然具有周期性，因此也可以用三角函数来模拟这种运动状态. ③三角函数在生活中的周期性变化问题中的应用. 大海中的潮汐现象、日常生活中的气温变化、季节更替等都具有周期性，因此常用三角函数模型来解 决这些问题. 【考点1： 几何中的三角函数模型】 1．（2025·四川成都·三模）为迎接大运会的到来，学校决定在半径为，圆心角为的扇形空地的内部修建一平行四边形观赛场地，如图所示.则观赛场地的面积最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，设，可用的三角函数值表示，，即可得到四边形的面积，再根据三角函数的值域的求法即可求解． 【详解】如图所示： ． 连接，设，作，，垂足分别为， 由四边形是平行四边形，可知为矩形，又，则，，， 于是，． 因此四边形的面积也为四边形的面积， 即有 ，而，则当时，， 所以. 故选：D 2．（24-25高一下·浙江温州·期中）已知是半径为2，为圆心，圆心角为的扇形，，是扇形弧上的动点，满足，是扇形的内接矩形，则矩形的面积的最大值为 . 【答案】 【分析】取中点为，连接，设，则，，把四边形的面积表示为含有的函数，利用三角函数求最值. 【详解】如图，取中点为，连接， 设， 则，， ， ，， 当，即时，矩形的面积有最大值为. 故答案为： 【点睛】本题考查了二倍角的正弦、余弦公式、辅助角公式以及三角函数的性质，属于基础题. 3．（2026高三·全国·专题练习）如图，已知等腰梯形的面积为，高为，求的最小值． 【答案】． 【分析】设，，表示出，，，进而，利用数形结合求出当且仅当时，取得最大值即可. 【详解】设，则，且，， 则， 从而， 故， 令，，则可看作点和点确定的直线斜率，所以，当且仅当时取等号， 故， 即的最小值为． 4．（25-26高一上·云南昆明·期末）如图，为半圆的直径，，为圆心，是半圆上的一点，，将射线绕逆时针旋转90°到，过分别作于，于. (1)建立适当的直角坐标系，用的三角函数表示，两点的坐标： (2)求四边形面积的最大值. 【答案】(1)建系见解析，点，点； (2)最大值为. 【分析】（1）如图，以所在直线为轴，为原点建立直角坐标系，利用三角函数的定义及诱导公式即可表示两点的坐标； （2）把四边形的面积表示为的函数，利用三角函数求最值即可. 【详解】（1）如图，以所在直线为轴，为原点建立直角坐标系， ，圆的半径为， 点坐标为，点的坐标为， 坐标为. （2）， ∴四边形的面积 ，， 当时，即时，， 四边形的面积的最大值为. 5．（2026高三·全国·专题练习）如图，已知墙角处有一根木棍过定点． (1)求的最小值； (2)求的最小值． 【答案】(1)4． (2)． 【分析】（1）设，用表示出和，利用三角函数的取值范围得到的最小值； （2）令，利用，得到，利用均值不等式得到最值. 【详解】（1）设， 则，，， 所以， 因为，，， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为4． （2）令， 则 ， 即的最小值为． 【考点2：圆周运动中的三角函数模型】 1．（25-26高三上·湖南衡阳·月考）如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列说法错误的是（    ） A．点第一次到达最高点需要20秒 B．当水轮转动155秒时，点距离水面1米 C．当水轮转动50秒时，点在水面下方，距离水面2米 D．点距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为 【答案】B 【分析】根据题意求出点距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为，结合选项依次判断即可. 【详解】设点距离水面的高度为（米）与时间（秒）之间的函数解析式为，， 由题意，，，解得, ，则. 当时，，则， 又，则. 综上，，故D正确； 令，则， 若，得秒，故A正确； 当秒时，米，故B不正确； 当秒时，米，故C正确. 故选：B. 2．（25-26高三·江西赣州·月考）如图，摩天轮的半径为m，其中心点距离地面的高度为m，摩天轮按逆时针方向匀速转动，且转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中下列说法正确的是（   ）    A．转动后点距离地面 B．若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的 C．第和第点距离地面的高度相同 D．摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于m的时间长为 【答案】D 【分析】设转动过程中，点离地面距离的函数为，由题意求得解析式，然后逐项求解判断. 【详解】设转动过程中，点离地面距离的函数为： ， 由题意得：， ，则 ， 所以 ， 选项A，转到后，点距离地面的高度为： ，故A不正确； 选项B，若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的2倍， 故B不正确； 选项C，因为 ， ， 所以 ， 即第和第点距离地面的高度不相同，故C不正确； 选项D，令， 则 ，由， 解得 ， 所以， 即摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于m的时间为， 故D正确； 故选：D. 3．（多选）（25-26高三上·辽宁大连·月考）如图，一个大风车的半径为8 m，12 min旋转一周，它的最低点离地面2 m，风车翼片的一个端点P从开始按逆时针方向旋转，则点P离地面的距离h(m)与时间t(min)之间的函数关系式是（    ）      A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由题意得出的最大值和最小值，以及最小正周期，可求出的值，再将点代入函数解析式求出的值，由此可得出与之间的函数关系式. 【详解】设， 由题意可得，，， ，，， ， 当时，，得， 且，可取， 所以. 故选：AD. 4．（24-25高一下·河南漯河·月考）如图，圆O的半径为2，l为圆O外一条直线，圆心O到直线l的距离为圆周上一点，且，点P从处开始以2秒一周的速度绕点O在圆周上按逆时针方向做匀速圆周运动. (1)1秒钟后，求点P的横坐标； (2)t秒钟后，求点P到直线l的距离用t表示的函数关系式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出一秒钟后的大小，利用三角函数知识可解决问题； （2）由（1）分析可表示出t秒钟后，点P的横坐标，然后可得答案. 【详解】（1）因运动速度为2秒一周，则每秒钟运动角度为. 初始位置为，与x轴正方向夹角为，则一秒后对应角度为. 则此时P的坐标为：，则横坐标为. （2）由（1）分析可得：t秒钟后，点P的横坐标为. 则t秒钟后，求点P到直线l的距离用t表示的函数关系式为：. 5．（24-25高一下·河南南阳·月考）直径为8m的水轮如图所示，水轮圆心距离水面2m，已知水轮沿逆时针方向匀速旋转，每分钟转动6圈，当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间． (1)将点距离水面的高度表示为时间的函数； (2)在水轮转动的一圈内，有多长时间点在水面下？ 【答案】(1) (2)秒． 【分析】（1）结合图形，利用角速度公式、任意角的概念以及三角函数求解. （2）结合图形，根据三角函数的解析式建立不等式，利用正弦函数解不等式. 【详解】（1）由题意可知，， 设角是以Ox为始边，为终边的角， 由条件得， 将，代入，得， ∴，∴； （2）由题意知，即， ∴，． 即，， ∴. 答：在水轮转动的一圈内，点在水下时间为秒． 【考点3：三角函数在物理学中的应用】 1．（24-25高一下·广东广州·期末）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，，小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（ ） A． B．秒与秒时小球偏离平衡位置的距离之比为2 C．当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 D．当时，若时刻小球偏离平衡位置的距离相同，则 【答案】B 【分析】根据周期求出，代入得到，从而得到函数解析式，即可判断A，代入求值判断B，根据正弦函数的性质判断C，利用特殊值判断D. 【详解】由题，小球运动的周期，又，所以，解得， 当时，，即，，所以， 则，故A错误； 因为，， 所以秒与秒时小球偏离平衡位置的距离之比为，故B正确； 若，则，又当时，小球有且只有三次到达最高点， 所以，解得，即，故C错误； 因为，令，， 则，， 满足且时刻小球偏离平衡位置的距离相同， 此时，故D错误. 故选：B 2．（多选）（25-26高一下·山东临沂·期中）某弹簧振子在简谐运动过程中，振子位移关于时间的函数解析式为，则（    ） A．周期为 B．初相是 C．该振子离开平衡位置的最大距离是20 D．当时，振子第一次到达平衡位置 【答案】ACD 【分析】根据正弦函数的性质，分别对周期、初相、振子离开平衡位置的最大距离以及振子第一次到达平衡位置的时间进行分析求解. 【详解】在函数中，，则周期，所以A选项正确. 在函数中，初相，所以B选项错误. 对于正弦函数，表示振子离开平衡位置的最大距离. 在函数中，，则振子离开平衡位置的最大距离是，所以C选项正确. 振子到达平衡位置时，，即，则（）. 解这个方程可得： ， 因为，当时，，所以当时，振子第一次到达平衡位置，D选项正确. 故选：ACD. 3．（2026高一·全国·专题练习）如图，点为作简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为，周期为，且物体向右运动到距平衡位置最远处（点处）时开始计时，则物体相对平衡位置的位移（单位：）和时间（单位：）之间的函数关系为 ． 【答案】（） 【分析】由题可设，再求相关参数即可. 【详解】设， 则，，所以，即． 又函数过点，所以，得，． 故（）． 故答案为：  ． 4．（24-25高一下·四川德阳·期末）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y（m）和时间t（s）的函数关系为，如图，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，（），且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为 s． 【答案】 【分析】利用已知条件可求得周期，再借助正弦曲线即可求解. 【详解】该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，（），且，， ，，，，， 由可得， ，， ， 在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为. 故答案为：. 5．（25-26高一上·全国·课后作业）如图，弹簧挂着的小球做上下运动．若以小球的平衡位置为原点，运动路径所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，将小球视为点，则小球的运动可视为点在之间的上下运动．它在时相对于平衡位置（点）的高度（在点下方时，）（单位：）由关系式确定．若点在开始运动（即）时的位置位于平衡位置上方处． (1)求关于的解析式；每8秒钟点能往复运动多少次？ (2)在图中画出关于的函数在长度为一个周期的闭区间上的简图． (3)当点开始运动时，轴的负半轴上点处连续发出一束光经过的中点，在时点恰好被这束光第3次照到，求的值． 【答案】(1)，2 (2)图象见解析 (3)5 【分析】（1）将代入解析式求出，利用正弦函数的性质求出最小正周期即可求解； （2）根据五点法列表，根据表格画出图象即可； （3）根据题意得，解出即可得到被这束光第3次照到时的值. 【详解】（1）由题意可知， 又，所以， 所以， 因为，所以每8秒钟点往复运动2次． （2）由取值列表如下， 0 4 2 0 －2 0 图象如图所示： （3）点恰好被这束光第三次照到的时间即为与的图象的第三个交点的横坐标， 由，得， 则或， 解得或， 将方程的正根从小到大排列得，所以． 【考点4：三角函数在生活中的应用】 1．（多选）（2026高三·全国·专题练习）潮汐现象是地球上的海水受月球和太阳的万有引力作用而引起的周期性涨落现象．某观测站通过长时间观察，发现某港口的潮汐涨落规律为，其中（单位：m）为港口水深，（单位：h）为时间（），该观测站观察到水位最高点和最低点的时间间隔最少为6h，且中午12点的水深为8m，为保证安全，当水深超过8m时，应限制船只出入，则（    ） A． B．最高水位为10m C．该港口从上午8点开始首次限制船只出入 D．一天内限制船只出入的时长为4h 【答案】ABC 【分析】根据余弦函数的图象和性质解出判断AB，解不等式判断CD即可. 【详解】依题意，解得，A正确； 当时，，解得，所以最高水位为10m，B正确； 由上可知，令，即， 解得或， 所以从上午8点开始首次限制船只出入，一天内限制出入时长为8h，C正确，D错误， 故选：ABC 2．（25-26高一上·陕西榆林·期末）已知某地区某天的温度（单位：）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系，且这天的最大温差为，则 ；若温度不低于需要开空调降温，则这天需要降温的时长为 h． 【答案】 4 6 【分析】根据题意结合正弦函数的图象和性质求解即可. 【详解】对于，其最小正周期， 故这天的最大温差即为的最大值与最小值的差， 又，故，解得， 令，即，， 由，得， 所以或，解得， 则一天中需要降温的时长为， 故答案为：4；6 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知甲、乙两车间的污水瞬时排放量（单位：）关于时间单位：h）的关系均近似地满足函数．其图象如图所示：    (1)根据图象求函数解析式； (2)若甲车间先投产，1h后乙车间再投产，求两车间都投产时的最大污水排放量． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用图象可得，再将点代入即可求； （2）构造时刻的污水排放量，利用两角和差的余弦公式以及辅助角公式化简即可； 【详解】（1）由图可得． 最小正周期， 将代入，得 又， 所求函数的解析式为． （2）设乙车间投产甲、乙两车间污水排放量之和为， 此时甲车间污水排放量为，乙车间污水排放量为， 故， ． 故两车间都投产时的最大污水排放量为． 4．（25-26高三上·福建莆田·期中）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表： 时刻 0：00 3：00 6：00 9：00 12：00 15：00 18：00 21：00 24：00 水深/米 4.5 6.5 4.5 2.5 4.5 6.5 4.5 2.5 4.5 (1)已知该港口的水深与时刻间的变化满足函数，画出函数图象，并求出函数解析式；    (2)现有一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为米，安全条例规定至少要有米的间隙（船底与海底的距离），该船何时能进入港口？（参考数据：) 【答案】(1)作图见解析， (2)该船在或时可以进入港口 【分析】（1）根据表格中的数据可作出函数的图象，结合图象信息可求出、、的值，当，时，并结合的取值范围可得出的值，由此可得出函数解析式； （2）分析可知，货船需要的安全水深为米，所以当时就可以进港，解不等式，即可得出结论. 【详解】（1）由表中数据可画出函数图象如下．    由图象可知，， 函数的最小正周期为，可得，则， 又因为时取最大值，即，可得，则， 因为，故，故. （2）货船需要的安全水深为米，所以当时就可以进港． 令，可得， 所以，解得， 当时，；当时，， 所以该船在或时可以进入港口． 5．（25-26高一上·全国·单元测试）我国核电在建规模占全球核电在建规模的50%以上，是全球核电建设最活跃的国家.核电抗飞防爆结构是保障核电工程安全的重要基础设施，为此国家制定了一系列核电钢筋混凝土施工强制规范，连接技术全面采用HRB500高强钢筋替代HRB400及以下钢筋.某项目课题组针对HRB500高强钢筋的现场加工难题，对螺纹滚道几何成形机理进行了深入研究，研究中发现某型螺纹丝杠旋铣的滚道径向残留高度（单位：mm）关于滚道径向方位角（单位：rad）的函数近似地满足，其图象的一部分如图所示.    (1)求函数的解析式； (2)为制造一批特殊钢筋混凝土，现需一批滚道径向残留高度不低于且不高于的钢筋，若这批钢筋由题中这种型螺纹丝杠旋铣制作，求这种型螺纹丝杠旋铣能制作出符合要求的钢筋的比例. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据图象可得函数的最大值和最小值即可求解A和B，再由函数的周期公式求，然后代点的坐标求； （2）根据题意列出不等式，然后根据正弦函数的性质解不等式即可求解. 【详解】（1）由图可知，解得由，得， 所以， 又函数图象过点， 所以，即， 所以，得， 又，所以，所以. （2）由题意得， 则，即， 令，画出的图象如图所示，    由图象可知，， 即，解得， 所以当时，，所以这种型螺纹丝杠旋铣能制作出符合要求的钢筋的比例为. 【考点5：三角函数新定义】 1．（多选）（25-26高一·全国·期末预测）在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，且（），定义，称“”为“正余弦函数”.对于“正余弦函数”，下列结论中正确的是（    ） A．该函数的图像与直线有公共点 B．该函数的一个对称中心是 C．该函数是偶函数 D．该函数的单调递增区间是， 【答案】BD 【分析】由正余弦函数定义可得，利用正弦型函数的性质，结合各选项的描述判断正误即可. 【详解】∵，， ∴， A：，则，即该函数的最大值为，其图像与直线无公共点，错， B：，该函数图像关于点对称，对， C：图像不关于轴对称，不是偶函数，错， D：，由得，，即该函数单调递增区间为，，对， 故选：BD. 2．（2025·上海浦东新·三模）著名数学家傅立叶认为所有的乐声都能用一些形如的正弦型函数之和来描述，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．研究表明，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波．若对应于的泛音是对应于的基本音的一个谐波，则正整数的所有可能取值之和为 【答案】12 【分析】由所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，可得到，，代入分析整数解，可得到有限个正整数的解，一一验证，即可得到符合条件的. 【详解】因为所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，所以，, ，两式相加得：，， 又，且，，的可能值为：1，2，4，5，10，20， 一一代入式中能同时使，为整数的值即为正解； 经检验：的值为和； 所以正整数的所有可能取值之和为. 故答案为：. 3．（24-25高一下·北京西城·期中）已知，都是定义在R上的函数，若存在实数m，n使得，则称为，在R上的生成函数. ①若，，则是，在R上的生成函数. ②若，，则，在R上的生成函数的最大值为2. ③若，，则，在R上的生成函数的值域为. ④若，，则，在R上的生成函数的所有对称轴方程为，. ⑤若，，则，在R上的生成函数的增区间为，. 其中正确命题的序号是 . 【答案】③⑤ 【分析】根据所给定义判断①，根据二次函数的性质判断②，对于③④，即可求出函数的对称轴与值域，分类讨论与数形结合判断⑤； 【详解】解：对于①：若，， 设，显然不存在、使得上式成立，故①错误； 对于②：， 所以当时，，故②错误； 对于③④，， 因为，所以，即函数的值域为， 当或时，有最大值或最小值， 此时或，即或，即. 的对称轴方程为，，故③正确，④错误. 对于⑤，令， 则，所以是的周期， 且，即为偶函数， 当时，函数单调递增， 当时，函数单调递减， 当时，函数单调递增， 函数图象如下所示： 综上可得函数的单调递增区间为，，故⑤正确. 故答案为：③⑤ 4．（24-25高一下·河南·月考）对于定义在R上的连续函数，若存在常数t（），使得对任意的实数x都成立，则称是阶数为t的回旋函数． (1)试判断函数是否是一个阶数为的回旋函数，并说明理由； (2)若是回旋函数，求实数ω的值； (3)若回旋函数（）在[0，1]上恰有2024个零点，求ω的值． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)， (3) 【分析】（1）代入题目给的定义求解即可， （2）求解分讨论即可， （3）求解讨论得 【详解】（1）因为， 所以， 所以不恒成立， 所以函数不是一个阶数为的回旋函数． （2）设是阶数为t的回旋函数，则， 若，上式对任意实数x均成立； 若，， 因为的值域为，所以， 当时，对任意实数x有， 则，， 所以，； 当时，对任意实数x有， 则，，所以，． 综上所述，，． （3）因为对任意的x都成立， 由（2）可知，，， 所以． 令，解得（）． 因为函数在[0，1]上恰有2024个零点，所以，所以． 又因为，所以，所以． 【点睛】新结构问题利用题目给的定义，结合已经掌握的知识求解，合理推理. 5．（24-25高一下·江苏淮安·月考）对于集合和常数，定义：为集合A相对的的“余弦方差”. (1)若集合，求集合A相对的“余弦方差”； (2)若集合，是否存在，使得相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值？若存在，求出的值：若不存在，则说明理由. 【答案】(1) (2)存在，；理由见解析 【分析】（1）根据已知，代入公式计算求解，即可得出答案； （2）假设存在，根据定义代入，结合三角恒等变换化简得出.即可得出当成立时，满足.两式平方相加，整理得出.进而结合已知角的范围，得出，即有.代入，整理求解得出的值，进而得出的值. 【详解】（1）因为集合， 所以. （2）假设存在，使得相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值. 由“余弦方差”的定义得： . 要使是一个与无关的定值，应有成立， 则， 即， 整理可得. 又因为， 则，，， 所以， 所以，则， 所以，， 即， 整理可得，. 又因为，所以，， 所以，假设成立，当时，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，定值为. 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $