5.4.3 正切函数的性质与图象 同步作业-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

5.4.3 正切函数的性质与图象 【基础巩固】 1．函数的图象与性质的描述正确的是（ ） A．定义域是 B．是定义域上的增函数 C．图象的对称轴是 D．是奇函数 【答案】D 【解析】函数的定义域是，故A错误 因为，所以函数在定义域上的不是增函数，故B错误； 函数的图象没有对称轴，故C错误； 函数是奇函数，故D正确. 故选：D. 2．若对，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意即可，所以. 故选：D. 3．函数的定义域为（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】由题意，得， 所以，，得 故选：C. 4．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，，由在区间上单调递增， 得，解得. 故选：C. 5．（多选）已知函数，则（ ） A．的最小正周期为2 B．的定义域是 C．的图象关于点对称 D．在区间上单调递增 【答案】ACD 【解析】对于A，由可知其最小正周期，故A正确； 对于B，由可知，故B错误； 对于C，令，，可得，， 所以函数的对称中心为，， 又，，所以的图象关于点对称，故C正确； 对于D，由可知， 又在上递增，故D正确. 故选：ACD. 6．若函数为奇函数，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】因为函数为奇函数,所以 由得,, 即,所以，, 解得,，,因为,取,得,所以的最小值为. 故答案为: . 7．函数的值域是______. 【答案】 【解析】函数. ，令. 函数在上单调递增，，即， ，函数的值域为. 故答案为：. 8．已知函数． (1)求的定义域； (2)求的单调区间. 【答案】见解析 【解析】(1)由题意得：，解得：， 的定义域为. (2)令，解得：， 的递增区间为，无递减区间. 【能力拓展】 9．函数的图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则（ ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，由正切函数的周期性可知，①和②面积相等， 故阴影部分的面积即为矩形的面积，易知， 设函数的最小正周期为，则， 由题意得，解得，故，得，即. 的图象过点，即， 所以，则，所以，解得，则， 所以 . 故选：B. 10．已知直线与函数图象的相邻两个交点间的距离为，若在上单调递增，则的最大值为_________． 【答案】 【解析】因为直线与函数图象的相邻两个交点间的距离为一个最小正周期，所以，即，． 由，解得， 所以在上单调递增，故， 解得，即的最大值为． 故答案为：. 11．函数中，，最小正周期为，． (1)求； (2)求函数在上的值域； (3)求不等式的解集． 【答案】见解析 【解析】(1)∵最小正周期为，∴，又∵，∴， 又∵，∴． (2)∵，∴当时，， ∴函数在上的值域为. (3)∵，∴， ∴，其中，∴， 即不等式的解集为． 【素养提升】 12．（多选）出生在美索不达米亚的天文学家阿尔·巴塔尼大约在公元920年给出了一个关于垂直高度为h的日晷及其投影长度s的公式，这个公式等价于现在的，其中，我们称为余切函数.下列关于余切函数的说法正确的是（ ） A．定义域为 B．在区间上单调递增 C．与正切函数有相同的对称中心 D．将函数的图象向右平移个单位可得到函数的图象. 【答案】ACD 【解析】选项A，因为，所以，所以. 令，则，所以函数定义域为，故A正确. 选项B，因为，所以， 因为在上单调递增，所以在上单调递减，故B错误. 选项C，正切函数的对称中心为. 因为，所以余切函数的对称中心也为，故C正确. 选项D，因为，故D正确. 故选：ACD. 第3页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.4.3 正切函数的性质与图象 【基础巩固】 1．函数的图象与性质的描述正确的是（ ） A．定义域是 B．是定义域上的增函数 C．图象的对称轴是 D．是奇函数 2．若对，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 3．函数的定义域为（ ） A．， B．， C．， D．， 4．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．（多选）已知函数，则（ ） A．的最小正周期为2 B．的定义域是 C．的图象关于点对称 D．在区间上单调递增 6．若函数为奇函数，则的最小值为________. 7．函数的值域是________. 8．已知函数． (1)求的定义域； (2)求的单调区间. 【能力拓展】 9．函数的图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则（ ） A．1 B． C． D． 10．已知直线与函数图象的相邻两个交点间的距离为，若在上单调递增，则的最大值为_________． 11．函数中，，最小正周期为，． (1)求； (2)求函数在上的值域； (3)求不等式的解集． 【素养提升】 12．（多选）出生在美索不达米亚的天文学家阿尔·巴塔尼大约在公元920年给出了一个关于垂直高度为h的日晷及其投影长度s的公式，这个公式等价于现在的，其中，我们称为余切函数.下列关于余切函数的说法正确的是（ ） A．定义域为 B．在区间上单调递增 C．与正切函数有相同的对称中心 D．将函数的图象向右平移个单位可得到函数的图象. 第2页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $