5.4.3 正切函数的性质与图象(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

5.4.3　正切函数的性质与图象 1.D　由2x＋≠＋kπ，k∈Z，得x≠＋，k∈Z.∴函数f（x）＝－2tan（2x＋）的定义域是{x∈R｜x≠＋，k∈Z}. 2.B　因为－≤x≤，且x≠0，所以－1≤tan x＜0或0＜tan x≤1，则≤－1或≥1. 3.C　由－＋kπ＜x＋＜＋kπ，k∈Z，得－＋kπ＜x＜＋kπ，k∈Z，故f（x）的单调递增区间是（－＋kπ，＋kπ），k∈Z. 4.D　∵tan x≥1，由图象（图略）知，＋kπ≤x＜＋kπ，k∈Z. 5.AB　令x∈（0，），则∈（0，），所以y＝tan在（0，）上单调递增，所以A正确；tan（－）＝－tan，故y＝tan为奇函数，所以B正确；T＝＝2π，所以C不正确；由≠＋kπ，k∈Z，得函数的定义域为{x｜x≠π＋2kπ，k∈Z}，所以D不正确. 6.AD　令2x－＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，所以直线x＝＋，k∈Z与函数y＝tan（2x－）的图象不相交，所以令k＝－1，x＝－；k＝0，x＝. 7.－5　解析：易知函数f（x）为奇函数，故f（a）＋f（－a）＝0，则f（－a）＝－f（a）＝－5. 8.　解析：因为0＜ω＜1，f（x）在区间［0，］上的最大值为，所以f（x）max＝tan＝，所以＝，所以ω＝. 9.＞　解析：∵＜3＜π＜4＜π，y＝tan x在（，π）上单调递增，∴tan 4＞tan 3. 10.解：因为y＝｜tan x｜＋tan x＝画出函数y＝｜tan x｜＋tan x的图象，如图所示，则函数的单调递增区间是［kπ，kπ＋），k∈Z，最小正周期是π. 11.A　在y＝tan（2x＋）中，令x＝0，得y＝tan＝1，故OD＝1.又函数y＝tan（2x＋）的最小正周期为T＝，所以EF＝.所以S△DEF＝·EF·OD＝××1＝. 12.A　由题意，可知T＝，所以ω＝＝4，即f（x）＝tan 4x，所以f（）＝tan（4×）＝tan π＝0，故选A. 13.　解析：画出函数y＝6cos x，y＝5tan x，y＝sin x在（0，）上的图象，如图所示.观察图象可知，线段P1P2的长即为满足6cos x＝5tan x时的x对应的sin x的值，所以6cos x＝5tan x＝5·，所以6cos2x＝5sin x.因为sin2x＋cos2x＝1，x∈（0，），所以0＜sin x＜1，则6sin2x＋5sin x－6＝0，所以sin x＝（负值舍去），故线段P1P2的长为. 14.解：（1）因为f（x）＝3tan（－）＝－3tan（－）， 所以T＝＝＝4π， 由kπ－＜－＜kπ＋，k∈Z， 4kπ－＜x＜4kπ＋，k∈Z， 因为y＝tan（－）在（4kπ－，4kπ＋），k∈Z上单调递增， 所以f（x）＝3tan（－）在（4kπ－，4kπ＋），k∈Z上单调递减. 故函数的最小正周期为4π，单调递减区间为（4kπ－，4kπ＋），k∈Z. （2）f（π）＝3tan（－）＝3tan（－）＝－3tan， f（）＝3tan（－）＝3tan（－）＝－3tan， 因为＜，且y＝tan x在（0，）上单调递增， tan＜tan，所以f（π）＞f（）. 15.解：（1）当θ＝－时，f（x）＝x2－x－1＝－. ∵x∈[－1，]，且f（x）的图象开口向上， ∴当x＝时，f（x）min＝－； 当x＝－1时，f（x）max＝. （2）函数f（x）的图象的对称轴为直线x＝－tan θ. ∵f（x）在区间[－1，]上是单调函数， ∴－tan θ≥或－tan θ≤－1， 即tan θ≤－或tan θ≥1， ∴－＋kπ＜θ≤－＋kπ或＋kπ≤θ＜＋kπ，k∈Z， 故θ的取值范围是（－＋kπ，－＋kπ］∪［＋kπ，＋kπ），k∈Z. 1 / 59 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.4.3　正切函数的性质与图象 1.函数f（x）＝－2tan（2x＋）的定义域是（　　） A.{x∈R｜x≠} B.{x∈R｜x≠－} C.{x∈R｜x≠kπ＋，k∈Z} D.{x∈R｜x≠＋，k∈Z} 2.函数y＝（－≤x≤，且x≠0）的值域为（　　） A.[－1，1] B.（－∞，－1]∪[1，＋∞） C.（－∞，1] D.[－1，＋∞） 3.函数f（x）＝tan（x＋）的单调递增区间是（　　） A.（kπ－，kπ＋），k∈Z B.（2kπ－，2kπ＋），k∈Z C.（kπ－，kπ＋），k∈Z D.［kπ－，kπ＋］，k∈Z 4.tan x≥1的解集为（　　） A.{x｜x≥kπ＋，k∈Z} B.{x｜x≥2kπ＋，k∈Z} C.{x｜x≥} D.{x｜kπ＋≤x＜kπ＋，k∈Z} 5.〔多选〕函数y＝tan的性质有（　　） A.在（0，）上单调递增 B.为奇函数 C.以π为最小正周期 D.定义域为 6.〔多选〕与函数y＝tan（2x－）的图象不相交的一条直线是（　　） A.x＝ B.x＝－ C.x＝ D.x＝－ 7.已知函数f（x）＝tan x＋，若f（a）＝5，则f（－a）＝　　　　. 8.已知f（x）＝tan ωx（0＜ω＜1）在区间［0，］上的最大值为，则ω＝　　　　. 9.比较大小：tan 4　　　　tan 3. 10.画出函数y＝｜tan x｜＋tan x的图象，并根据图象求出函数的单调区间、最小正周期. 11.如图所示， 函数y＝tan（2x＋）的部分图象与坐标轴分别交于点D，E，F，则△DEF的面积等于（　　） A. B. C.π D.2π 12.已知函数f（x）＝tan ωx（ω＞0）的图象的相邻两支截直线y＝所得线段长为，则f（）＝（　　） A.0 B.－ C.－1 D. 13.设定义在区间（0，）上的函数y＝6cos x的图象与y＝5tan x的图象交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为P1，直线PP1与函数y＝sin x的图象交于点P2，则线段P1P2的长为　　　　. 14.已知函数f（x）＝3tan（－）. （1）求它的最小正周期和单调递减区间； （2）试比较f（π）与f（）的大小. 15.已知函数f（x）＝x2＋2xtan θ－1，其中θ≠＋kπ，k∈Z. （1）当θ＝－，x∈[－1，]时，求函数f（x）的最大值与最小值； （2）求使y＝f（x）在区间[－1，]上是单调函数的θ的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $