精品解析：湖南省麻阳苗族自治县锦江中学2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题

江中学2025年下学期期中考试八年级数学问卷 满分：120分 考试时间：120分钟 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列根式是最简二次根式的是（      ） A. B. C. D. 2. 若分式的值为0，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 不能确定 3. 下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（       ） A. B. C. D. 5. 如果将分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（ ） A. 扩大到原来的3倍 B. 扩大到原来的9倍 C. 缩小到原来的 D. 不变 6. 若可以用完全平方公式来分解因式，则常数的值为（ ） A. 5 B. 1或5 C. 1 D. 7或 7. 已知是分式方程的解，那么的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ） A. B. C. D. 9. 如今倡导绿色出行，共享单车和共享电动车成为常见出行工具．假设某社区组织居民去距离社区的环保主题公园参加环保宣传活动．一部分居民骑共享单车先出发，后其余居民骑共享电动车出发，结果同时到达．已知共享电动车的速度是共享单车速度的倍，设共享单车的速度为，根据题意可列方程（        ） A. B. C. D. 10. 当时，定义一种新运算：例：．若，求的值．小明的答案是，小亮的答案是．下列判断正确的是（ ） A. 只有小明的答案正确 B. 只有小亮的答案正确 C. 小明和小亮的答案合在一起才正确 D. 小明和小亮的答案都不正确 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 计算：________． 12. 分解因式：a3－a=___________ 13. 要使代数式有意义，则x取值范围为_______________ 14. 钾—氩测年法（法）是常用的地质测年方法，天然钾中放射性同位素40K的丰度为．数据用科学记数法表示为______________ 15. 分式：的最简公分母是___________________ 16. 已知，则的值为__________________ 17. 若关于的分式方程有增根，则此分式方程的增根为_________． 18. 甲、乙两个同学因式分解时，甲看错了，分解结果为，乙看错了，分解结果为，则 ____________，_______________ 三、解答题：本题共8小题，其中第19、20题各6分，第21、22题各8分，23、24题各9分，25、26题各10分，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算： 20. 先化简，再求值：，并从1，2，3中选一个合适的值代入． 21. 因式分解： （1） （2） 22. 解下列方程： （1） （2） 23. 高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，物品从离地面米的高处自由落下，落到地面的时间为t秒，经过实验，发现（不考虑阻力的影响）． （1）求物体从的高空落到地面的时间；（结果保留根号） （2）已知从高空坠落的物体所带能量（单位：物体质量（）×高度（），一串质量为的钥匙经过落在地上，这串钥匙再下落的过程中所带能量会对楼下行人产生危害吗？你有什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 24. 某校积极响应国家“科教兴园”战略．开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A、B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多150元，用3500元购买A型机器人模型和用2100元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型的数量不超过A型机器人模型数量的2倍，问购买A型机器人模型至少为多少台？ 25. 观察下列等式： 根据上述材料，解决下列问题： （1）化简：= （2）猜想： （，且为整数），并验证你的猜想． （3）计算： 26. 阅读学习：已知，求的值． 解：由知 所以，即 所以 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫作“倒数法”． （1）已知，则 （2）类比探究：已知，求的值 （3）拓展延伸：已知，求的值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江中学2025年下学期期中考试八年级数学问卷 满分：120分 考试时间：120分钟 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列根式是最简二次根式的是（      ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是最简二次根式的识别，最简二次根式需满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数，根据定义判断即可. 【详解】解： A选项，，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； B选项，，被开方数含分母，不是最简二次根式； D选项， ，被开方数含分母，不是最简二次根式； C选项，，13是质数，无平方因数，是最简二次根式． 故选：C． 2. 若分式的值为0，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的分子为0，分母不为0时，分式的值为0，进行计算即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， ∴， 又∵，即：， ∴； 故选C． 【点睛】本题考查分式的值为0．熟练掌握分式的分子为0，分母不为0时，分式的值为0，是解题的关键． 3. 下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解本题的关键．因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．利用因式分解的定义判断即可． 【详解】解：A、没有把多项式化为几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意； B、没有把多项式化为几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意； C、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意； D、符合因式分解的定义，故本选项符合题意． 故选：D． 4. 下列计算正确的是（       ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算和负整数指数幂的定义．根据二次根式的加减乘除法则和负指数幂的意义，逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵ 选项A：， ∴ A错误； ∵ 选项B： 不能直接相加，且和不为 ， ∴ B错误； ∵ 选项C：根据二次根式乘法法则，， ∴ ， ∴ C正确； ∵ 选项D：负整数指数幂定义，， ∴ ， ∴ D错误． ∴ 正确答案是C． 故选：C 5. 如果将分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（ ） A. 扩大到原来的3倍 B. 扩大到原来的9倍 C. 缩小到原来的 D. 不变 【答案】A 【解析】 【分析】x和y都扩大到原来的3倍就是分别变成原来的3倍，变成3x和3y．用3x和3y代替式子中的x和y，根据得到的式子与原来的式子的关系进行判断即可. 【详解】用3x和3y代替式子中的x和y得：原式 则分式的值扩大到原来的3倍 故选：A. 【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论. 6. 若可以用完全平方公式来分解因式，则常数的值为（ ） A. 5 B. 1或5 C. 1 D. 7或 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了运用完全平方公式进行因式分解，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k的值． 【详解】解：∵可以用完全平方公式来分解因式， ∴， 解得： 或． 故选：D． 7. 已知是分式方程的解，那么的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的解的含义，将代入分式方程，直接求解m的值. 【详解】解：∵ 是方程的解， ∴ ， 即， ∴ ， 移项得： ， ∴. 故选：C 8. 实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，化简绝对值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先观察数轴得，则，再化简，即可作答． 【详解】解：观察数轴得， 则， ∴ ， 故选：A． 9. 如今倡导绿色出行，共享单车和共享电动车成为常见出行工具．假设某社区组织居民去距离社区的环保主题公园参加环保宣传活动．一部分居民骑共享单车先出发，后其余居民骑共享电动车出发，结果同时到达．已知共享电动车的速度是共享单车速度的倍，设共享单车的速度为，根据题意可列方程（        ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，根据时间差列方程．共享单车先出发6分钟（即小时），同时到达，因此共享单车行驶时间比共享电动车多小时． 【详解】解：设共享单车速度为，则共享电动车速度为， 共享单车行驶时间： 小时， 共享电动车行驶时间： 小时． ∵ 共享单车先出发小时，且同时到达， ∴ ． 故选：B． 10. 当时，定义一种新运算：例：．若，求的值．小明的答案是，小亮的答案是．下列判断正确的是（ ） A. 只有小明的答案正确 B. 只有小亮的答案正确 C. 小明和小亮的答案合在一起才正确 D. 小明和小亮的答案都不正确 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解法，理解运算方式是解题的关键． 根据运算方式分类讨论的值，列出分式方程运算即可． 【详解】解：当时，则，， ∵， ∴， 解得：，不符合题意，此情况不成立； 当时，则，， ∴， 解得：， 检验：把代入可得：， 故是原方程的解； 故选：B． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，将被开方数分解为完全平方数与剩余因数的乘积，即可完成化简． 【详解】解：= ． 12. 分解因式：a3－a=___________ 【答案】 【解析】 【详解】解：a3－a =a(a2-1) = 故答案为： 13. 要使代数式有意义，则x取值范围为_______________ 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查代数式有意义的条件，需同时考虑二次根式的被开方数非负和分式的分母不为零，再进一步求解即可． 【详解】解：∵代数式 有意义， ∴且， 即 且； 故答案为：且． 14. 钾—氩测年法（法）是常用的地质测年方法，天然钾中放射性同位素40K的丰度为．数据用科学记数法表示为______________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示较小数，对于绝对值小于1的数，科学记数法形式为，其中，n为负整数，其绝对值等于原数中第一个非零数字前所有零的个数（包括小数点前的零），正确的确定的值即可. 【详解】解： . 故答案为： 15. 分式：的最简公分母是___________________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了最简公分母． 最简公分母由各分母系数的最小公倍数和所有字母因式的最高次幂的积组成． 【详解】解：分母系数分别为3、2、5，其最小公倍数为30， 分母字母的最高次幂为， 分母字母的最高次幂为， 分母字母的最高次幂为， 故最简公分母为． 故答案为：． 16. 已知，则的值为__________________ 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的非负性，解二元一次方程组，完全平方公式，代数式求值． 将化为，根据二次根式的非负性，平方的非负性得到关于和的方程组，解方程组后求的值即可． 【详解】解：， ∵，， ∴，， ∴，， 即， 解得：， 则． 故答案为：． 17. 若关于的分式方程有增根，则此分式方程的增根为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是求解分式方程的增根，根据增根的含义可得，再进一步求解即可. 【详解】解：∵分式方程有增根， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 甲、乙两个同学因式分解时，甲看错了，分解结果为，乙看错了，分解结果为，则 ____________，_______________ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查的是多项式的乘法运算与因式分解，甲看错了b，因此甲计算中的a值正确；乙看错了a，因此乙计算中的b值正确．分别展开甲和乙的因式分解结果，得到a和b的值． 【详解】解：甲的结果为， ∴； 乙的结果为， ∴， 故答案为：12， 三、解答题：本题共8小题，其中第19、20题各6分，第21、22题各8分，23、24题各9分，25、26题各10分，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的加法运算，零次幂，负整数指数幂以及绝对值．先化简绝对值，零次幂，负整数指数幂以及运用二次根式的性质化简，再运算加减法，即可作答． 【详解】解： ． 20. 先化简，再求值：，并从1，2，3中选一个合适的值代入． 【答案】，当时，原式 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，接着根据分式有意义的条件确定x的值并代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， ∵分式要有意义， ∴， ∴且， ∴当时，原式． 21. 因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先提公因式进行因式分解，再运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． （2）先提公因式进行因式分解，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 22. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把分式方程化为整式方程，再解得，最后验根，即可作答． （2）先把分式方程化为整式方程，再解得，最后验根，即可作答． 【小问1详解】 解：， 去分母得， 去括号得， ∴， 检验：当时，， ∴分式方程的解为． 【小问2详解】 解：， 去分母得， 去括号得， ∴， ∴， 检验：当时，， ∴是原分式方程的增根， 此方程无解． 23. 高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，物品从离地面米的高处自由落下，落到地面的时间为t秒，经过实验，发现（不考虑阻力的影响）． （1）求物体从的高空落到地面的时间；（结果保留根号） （2）已知从高空坠落的物体所带能量（单位：物体质量（）×高度（），一串质量为的钥匙经过落在地上，这串钥匙再下落的过程中所带能量会对楼下行人产生危害吗？你有什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 【答案】（1） （2）会产生危害，严禁高空抛物． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，熟练掌握二次根式的计算法则是解题的关键． （1）根据公式，代入计算即可． （2）先根据公式，求得高度，再根据能量计算公式计算，进一步判断得解． 【小问1详解】 解：当时， 答：物体从的高空落到地面的时间为． 【小问2详解】 解：当时，，解得， 已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）的计算公式为，其中为物体质量（单位：），为高度（单位：m） ∴， ∵， ∴这串钥匙在下落到地面时会对人构成伤害，因此严禁高空抛物． 24. 某校积极响应国家“科教兴园”战略．开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A、B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多150元，用3500元购买A型机器人模型和用2100元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型的数量不超过A型机器人模型数量的2倍，问购买A型机器人模型至少为多少台？ 【答案】（1）A型机器人模型的单价为是375元，B型机器人模型的单价为是225元 （2）购买A型机器人模型至少为14台 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，解一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，设B型机器人模型的单价为x元，则A型机器人模型的单价为元，结合用3500元购买A型机器人模型和用2100元购买B型机器人模型的数量相同，进行列方程，解方程，最后验根，即可作答． （2）设购买A型机器人模型m台，则购买B型机器人模型台，根据购买B型机器人模型的数量不超过A型机器人模型数量的2倍，进行列不等式，即可作答． 【小问1详解】 解：设B型机器人模型的单价为x元，则A型机器人模型的单价为元， 由题意可得 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， ．， 答：A型机器人模型的单价为是375元，B型机器人模型的单价为是225元； 【小问2详解】 解：设购买A型机器人模型m台，则购买B型机器人模型台， 由题意可得： 解得 又∵m为正整数， ∴购买A型机器人模型至少为14台． 25. 观察下列等式： 根据上述材料，解决下列问题： （1）化简：= （2）猜想： （，且为整数），并验证你的猜想． （3）计算： 【答案】（1） （2） ； （3） 【解析】 【分析】本题考查了化简复合二次根式，分母有理化，二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干解题过程，得，即可作答． （2）模仿题干解题过程，得，即可作答． （3）先根据复合二次根式的性质化简，再进行分母有理化，最后运算加减法，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： ． 26. 阅读学习：已知，求的值． 解：由知 所以，即 所以 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫作“倒数法”． （1）已知，则 （2）类比探究：已知，求的值 （3）拓展延伸：已知，求的值 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）模仿题干过程，进行化简计算，即可作答． （2）已知等式“取倒数”求出的值，原式“取倒数”后，将的值代入计算即可； （3）已知三等式“取倒数”后相加求出的值，原式“取倒数”后代入计算即可求出值． 【小问1详解】 解：由知， ∴， 即， ∴； ∴， 【小问2详解】 解：由知， ∴，即， ∴， ∴ ， 故． 【小问3详解】 解：∵ ∴x，y，z均不为0， ∴， ，， ∴， 则， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $