第六章 概率（复习课件）数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学单元复习课件系统梳理了概率单元核心知识，包括条件概率、事件独立性、全概率公式、离散型随机变量及其分布列、均值方差以及二项分布、超几何分布、正态分布等内容，通过单元知识图谱将各知识点串联，清晰呈现从基础概念到概率模型的逻辑脉络。 其亮点在于采用“考点串讲-题型剖析-针对训练”的复习策略，题型剖析涵盖8类典型问题，结合2021新高考Ⅰ卷等真题，通过AI视频鉴定、抽奖概率等实际情境题，培养学生用数学眼光抽象问题、用数学思维推理运算、用数学语言表达模型的能力。针对训练分层设计，从基础巩固到综合应用，助力学生精准突破难点，也为教师提供系统复习框架，提升教学效率。

单元复习课件 第六章 概率 北师大版2019选择性必修第一册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.掌握条件概率、事件独立性及全概率公式，能求解离散型随机变量的分布列、均值与方差，会运用二项分布、超几何分布、正态分布解决实际问题，提升数学建模与运算素养. 3.全概率公式在复杂情境中的灵活使用、随机变量数字特征的实际意义解读、不同概率分布模型的辨析与合理选择. 2.条件概率与全概率公式的应用、离散型随机变量的分布列及数字特征计算、三类概率分布模型的特征与实际运用. 单元学习目标 单元知识图谱 概率 条件概率 条件概率公式 事件的独立性 全概率公式 离散型随机变量 分布列 均值 方差 概率分布模型 二项分布 超几何分布 正态分布 一、随机事件的条件概率 设是两个事件，且，则称 为在事件发生的条件下事件发生的条件概率．读作发生的条件下发生的概率．显然，. 从集合的角度看，若事件已发生，则为使也发生，试验结果必须是既在中又在中的样本点，即此点必属于（如图)．由于已知已经发生，故成为计算条件概率新的样本空间． 1.1 条件概率的概率 考点串讲 一、随机事件的条件概率 由条件概率的定义，则有 同理， 称公式①②为乘法公式，利用它们可以计算两个事件同时发生的概率. 1.2 乘法公式与事件的独立性 回顾事件独立性的概念我们知道，如果事件是否发生对事件发生的概率没有影响，这样的两个事件就叫作相互独立事件． 从条件概率的角度分析: 事件与事件相互独立 考点串讲 一、随机事件的条件概率 1.3 全概率公式 cv cv 设为样本空间的一个划分，若，则对任意一个事件有 称上式为全概率公式． 如果我们把看成导致事件发生的各种可能"原因"，那么，全概率公式告诉我们：事件发生的概率恰好是事件在这些"原因"下发生的条件概率的平均． 设为样本空间Ω的一个划分，若，则 称上式为贝叶斯（Bayes）公式． 考点串讲 二、离散型随机变量及其分布列 2.1 随机变量 在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得样本空间的每一个样本点都用一个确定的数值表示．在这个对应关系下，数值随着试验结果的变化而变化．像这种取值随着试验结果的变化而变化的量称为随机变量．随机变量常用字母等来表示． 2.2 离散型随机变量的分布列 取值能够一一列举出来的随机变量称为离散型随机变量． 若离散型随机变量的取值为随机变量取的概率为记作 考点串讲 二、离散型随机变量及其分布列 ①也可列成下表： 此表或①式称为离散型随机变量的分布列，简称为的分布列． 显然：(1); (2) 如果随机变量的分布列为表或①式，我们称随机变量服从这一分布列，记作 随机变量的分布列完全描述了随机现象的规律：了解了随机变量的分布列，就了解了这个随机变量的所有可能取值及取各个值的概率． 考点串讲 二、离散型随机变量及其分布列 若在某个试验中，每次试验只两个相互对立的结果，可以分别称为"成功"和"失败",每次"成功"的概率均为，每次"失败"的概率均为，则称这样的试验为伯努利试验． 如果随机变量的分布列如下表: 其中，那么称离散型随机变量服从参数为的两点分布(又称0-1分布或伯努利分布).两点分布不仅是最简单的，也是最重要的概率分布模型，在实际生活中有着广泛的应用． 1 0 考点串讲 三、离散型随机变量的均值与方差 3.1 离散型随机变量的均值 设离散型随机变量的分布列如下表: 则称 为随机变量X的均值或数学期望(简称期望). 均值刻画的是取值的"中心位置"，反映了离散型随机变量取值的平均水平是随机变量的一个重要特征． 根据均值的定义可知，随机变量的分布完全确定了它的均值；两个不同的分布可以同的均值．这表明，随机变量的分布描述了随机现象的规律，从而也决定了随机变量的均值；值只是刻画了随机变量取值的"中心位置"这一重要特征，并不能完全决定随机变量的性质． 考点串讲 三、离散型随机变量的均值与方差 3.2 离散型随机变量的方差 设离散型随机变量的分布列如下表: 则描述了相对于均值的偏离程度，而，为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度．我们称为随机变量的方差，其算术平方根为随机变量的标准差，记作. 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度．方差（标准差）越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小；反之，方差（标准差）越大，则随机变量的取值越分散. 考点串讲 四、二项分布与超几何分布 4.1 二项分布 一般地，在相同条件下重复做次伯努利试验，且每次试验的结果都不受其他试验结果的影响，称这样的次独立重复试验为重伯努利试验． 一般地，在重伯努利试验中，用表示这次试验中成功的次数，且每次成功的概率均为，则的分布列可以表示为 若一个随机变量X的分布列如上所述，则称X服从参数为的二项分布，简记为 显然，两点分布是二项分布在参数时的特殊情况． 考点串讲 四、二项分布与超几何分布 4.2 超几何分布 一般地，若随机变量，则 特殊地，若随机变量服从参数为的两点分布，则 一般地，设有件产品，其中有件次品．从中任取件产品，用表示取出的件产品中次品的件数，那么 公式中的可以取的最小值为而不一定是0． 若一个随机变量的分布列由上式确定，则称随机变量服从参数为的超几何分布.一般地，当随机变量X服从参数为的超几何分布时，其均值 考点串讲 五、正态分布 由误差引起的连续型随机变量其分布密度函数图象如图,对应的分布密度函数解析式为 其中实数为参数，这一类随机变量的分布密度(函数)称为正态分布密度(函数),简称正态分布，对应的图象为正态分布密度曲线，简称为正态曲线． 正态分布是最常见、最重要的连续型随机变量的分布，是刻画误差分布的重要模型，因此也称为误差模型． 考点串讲 五、正态分布 下面我们看正态分布的特点： 如果一个随机变量服从正态分布，那么对于任何实数，随机变量在区间的概率可以用来表示．它的几何意义就是随机变量的分布密度曲线在区间对应的曲边梯形面积的值（如图). 如果随机变量服从正态分布，那么这个正态分布完全由参数确定，记为．其中. 考点串讲 五、正态分布 正态曲线有如下性质： (1）曲线在轴的上方，与轴不相交． (2）曲线是单峰的，关于直线对称． (3）曲线的最高点位于处． (4）当时，曲线上升；当时，曲线下降；并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以轴为渐近线（如图). 因为正态分布完全由和确定，所以正态曲线还具有下列特点： (1）当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移． (2）当一定时，曲线的形状由确定．越大，曲线越"矮胖"，表示总体的分布越分散；越小，曲线越"高瘦"，表示总体的分布越集中． 考点串讲 五、正态分布 如图，正态分布随机变量在区间上取值的概率为阴影部分的面积．特别地， 因此，随机变量在区间 上取值的概率分别约为．而随机变量在区间外取值的概率只有约0.27%，通常认为这种情况在一次试验中几乎是不可能发生的，认为是小概率事件．因此，在实际应用中，通常认为服从正态分布的随机变量只取区间之间的值，并称之为原则。 考点串讲 【题型一】随机事件的条件概率 【例1】从包含男生甲、乙，女生丙的5名男生和2名女生中任选3人参加学校组织的“喜迎二十大，奋进新征程”演讲比赛，则在男生甲被选中的条件下，男生乙和女生丙至少一人被选中的概率是(　　) 解：法一：设男生甲被选中为事件，男生乙和女生丙至少一人被选中为事件， 则 法二：在男生甲被选中的情况下，基本事件总数为，其中男生乙和女生丙都没有被选中的基本事件数为，所以所求概率为 C 题型剖析 【题型二】乘法公式与事件的独立性 【例2】(2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(　　) A．甲与丙相互独立　　 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立 解：由题意可知，两球数字之和为8的所有可能为，两球数字之和为的所有可能为，事件甲发生的概率，事件乙发生的概率,事件丙发生的概率.事件丁发生的概率. 题型剖析 【题型二】乘法公式与事件的独立性 解：事件甲与事件丙同时发生的概率为0,，故错误；事件甲与事件丁同时发生的概率为，故正确；事件乙与事件丙同时发生的概率为，故错误；事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故错误．故选. 判断事件相互独立性的方法 (1)利用定义，若P(AB)＝P(A)P(B)，则事件A与事件B相互独立． (2)利用对“独立性”的理解，若事件A的发生与否不影响事件B的发生与否，则两事件相互独立． 题型剖析 【题型三】全概率公式的应用 【例3】甲单位有5名男性志愿者，7名女性志愿者；乙单位有4名男性志愿者，2名女性志愿者，从两个单位任抽一个单位，然后从所抽到的单位中任取1名志愿者，则取到男性志愿者的概率为(　　) 解：设取到男性志愿者为事件，所抽到的单位为甲单位为事件，所抽到的单位为乙单位为事件，则.故选. 题型剖析 【题型三】全概率公式的应用 利用全概率公式的策略 (1)根据题意，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件 (2)求及事件在各互斥事件发生的条件下的概率． (3)代入全概率公式． 题型剖析 【题型三】全概率公式的应用 【例4】有颜色分别是红、绿、黄的三个大小相同的口袋，红色口袋内装有两个红球、一个绿球和一个黄球；绿色口袋内装有两个红球、一个黄球；黄色口袋内装有三个红球、两个绿球(球的大小、质地相同)．若第一次先从红色口袋内随机抽取1个球，然后将取出的球放入与球同颜色的口袋内，第二次从该口袋内任取一个球，则第二次取到黄球的概率为(　　) 解：第一次抽到红、绿、黄球的事件分别为,则, 记第二次抽到黄球的事件为,所以.则 题型剖析 【题型四】离散型随机变量的分布列 【例5】设随机变量的概率分布列如下表，则(　　) 解：∵∴，由，解得，∴.故选. 1 2 3 4 分布列的两条重要性质 (1). (2). 题型剖析 【题型五】离散型随机变量的均值与方差 【例6】设离散型随机变量X的分布列为 若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有(　　) A．q＝0.1 B．E(X)＝2，D(X)＝1.4 C．E(X)＝2，D(X)＝1.8 D．E(Y)＝5，D(Y)＝7.2 解：因为，所以，故正确；由已知可得，，故正确，错误；因为，所以，，故正确． 0 1 2 3 4 0.4 0.1 0.2 0.2 题型剖析 【题型五】离散型随机变量的均值与方差 有关离散型随机变量性质问题的解题思路 若给出的随机变量与的关系为，为常数，一般思路是先求出，再利用公式求；也可以利用的分布列得到的分布列，关键是由的取值计算的取值，对应的概率相等，再由定义法求得 题型剖析 【题型六】二项分布 【例7】某商场在开业当天进行有奖促销活动，规定购物金额前200名的顾客均可获得3次抽奖机会，每次中奖的概率为，每次中奖与否相互不影响，中奖1次可获得50元奖金，中奖2次可获得100元奖金，中奖3次可获得200元奖金． (1)求顾客甲获得了100元奖金的条件下，第一次抽奖就中奖的概率； (2)若该商场开业促销活动的经费为1.5万元，则该活动是否会超过预算？请说明理由． 解：（1）设顾客甲获得了100元奖金的事件为，甲第一次抽奖就中奖的事件为，则 不会超过预算，理由见解析 题型剖析 【题型六】二项分布 解：(2)设一名顾客中奖次数为，则设该顾客获得的奖金为元，则的所有可能取值为,则 则元), 于是 故该活动不会超过预算． 题型剖析 【题型七】超几何分布 【例8】(多选)袋中有10个除颜色外完全相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量为其中白球的个数，随机变量为其中黑球的个数．若取出1个白球得2分，取出1个黑球得1分，随机变量为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是(　 　) 解：由题意知均服从超几何分布，且，，故，易得，从而，故A正确；，，，故错误，正确；，故正确． 题型剖析 【题型八】正态分布的性质 【例9】某物理量的测量结果服从正态分布，则下列结论中不正确的是(　　) A．越小，该物理量一次测量结果落在内的概率越大 B．该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5 C．该物理量一次测量结果小于9.99的概率与大于10.01的概率相等 D．该物理量一次测量结果落在内的概率与落在内的概率相等 解：设该物理量一次测量结果为对于越小，说明数据越集中在10附近，所以落在内的概率越大，所以选项正确； 题型剖析 【题型八】正态分布的性质 对于，根据正态曲线的对称性可得，所以选项正确；对于，根据正态曲线的对称性可得，，所以选项正确；对于，根据正态曲线的对称性可得，，又，所以，所以选项错误． 正态分布的特点可结合图象记忆，并可根据和的不同取值得到不同的图象，特别地，当时，图象关于轴对称． 题型剖析 【题型九】正态分布的概率计算 【例10】(多选)(2024·新课标Ⅰ卷)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口．为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差.已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则(　 　)(若随机变量服从正态分布，则) A． B． C． D． 题型剖析 【题型九】正态分布的概率计算 解：依题可知，，所以，故，正确，错误；因为，所以，因为，所以，而，正确，错误．故选 题型剖析 【练1】人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些AI视频，AI视频占有率为0.001.某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有98%的可能鉴定为AI；它的误报率是0.04，即在该视频是真实的情况下，它有4%的可能鉴定为AI.已知某个视频被鉴定为AI，则该视频是AI合成的可能性为(　　) A．0.1%　　　　　　　 B．0.4% C．2.4% D．4% ． 针对训练 解：记"视频是AI合成"为事件，记"鉴定结果为AI"为事件，则，由贝叶斯公式得 故选C. 针对训练 【练2】某校为宣传《中华人民共和国未成年人保护法》，特举行《中华人民共和国未成年人保护法》知识竞赛，规定两人为一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答两题，若答对题数不少于3，则被称为“优秀小组”，已知甲、乙两位同学组成一组，且同学甲和同学乙每题答对的概率分别为.若，则在第一轮竞赛中他们获得“优秀小组”称号的概率为(　　) 解：依题意，在第一轮竞赛中甲、乙所在的小组能获得“优秀小组”称号的所有可能的情况有：甲答对1题，乙答对2题；甲答对2题，乙答对1题；甲答对2题，乙答对2题，且每人所答两题中答对的1题有先后之分，所以所求概率为 针对训练 【练3】有甲、乙两个不透明的袋子，甲袋子里有1个白球，乙袋子里有5个白球和5个黑球，现从乙袋子里随机取出个球放入甲袋子里，再从甲袋子里随机取出一个球，记取到的白球的个数为X，则当变大时(　　) A．变小 B．先变小再变大 C．变大 D．先变大再变小 解：由题意可知，从乙袋子里随机取出个球，其中白球的个数服从超几何分布，则.故从甲袋子里随机取一球，相当于从含有个白球的个球中取一球，取到白球的个数为， 易知随机变量服从两点分布，故， 所以，随着的增大，减小．故选. 针对训练 【练4】在“学习强国”平台中，“争上游”的答题规则为：首局胜利得3分，第二局胜利得2分，失败均得1分，如果甲每局胜利的概率均为，且各局答题相互独立，那么甲作答两局的得分期望为________． 解：根据题意，设甲参加两局答题活动的总得分为，则的可能取值为若，即甲两局都失败，则 若，即甲第一局失败，而第二局胜利，则若，即甲第一局胜利，而第二局失败，则若，即甲两局都胜利，则故 针对训练 【练5】溺水、触电等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分．在竞赛中，假设甲队每人回答问题的正确率均为，乙队每人回答问题的正确率分别为且两队每人回答问题正确与否相互之间没有影响． ①分别求甲队总得分为3分与1分的概率； ②求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率． 针对训练 解：①记“甲队总得分为3分”为事件，“甲队总得分为1分”为事件. 甲队得3分，即三个人都回答正确，其概率为 甲队得1分，即三个人中只有一个人回答正确，其余两个人都回答错误，其概率 ②记“甲队总得分为2分”为事件，“乙队总得分为1分”为事件. 甲队得2分，即甲队三个人中两个人回答正确，一个人回答错误，其概率 乙队得1分，即三个人中只有一个人回答正确，其余两个人都回答错误，其概率 由题意得事件与事件相互独立，则甲队总得分为2分且乙队得分总得分为1分的概率为. 针对训练 【练6】为了了解学生的运动情况，某中学对高中三个年级的学生运动情况进行了分层随机抽样调查．调查的样本中高一年级有70%的学生每周运动总时间超过5小时，高二年级有65%的学生每周运动总时间超过5小时，高三年级有56%的学生每周运动总时间超过5小时，且三个年级的学生人数之比为，用样本的频率估计总体的概率． (1)从该校三个年级中随机抽取1名学生，估计该学生每周运动总时间超过5小时的概率； (2)假设该校每名学生每周运动总时间为随机变量(单位：小时)，且．现从这三个年级中随机抽取5名学生，设这5名学生中每周运动总时间为5至6小时的人数为，求随机变量Y的期望． 针对训练 解：(1)记随机抽取的1名学生来自高一、高二、高三年级的事件分别为抽取的1名学生每周运动总时间超过5小时的事件为，则 因此，所以该学生每周运动总时间超过5小时的概率为0.65. (2)该校每名学生每周运动总时间为随机变量(单位：小时)，，则有，由(1)知，，于是，因此，即该校学生每周运动总时间为5至6小时的概率为0.3， 依题意，，则. 针对训练 一、随机事件的条件概率 1、设是两个事件，且，则称为在事件发生的条件下事件发生的条件概率．读作发生的条件下发生的概率. 2、如果事件是否发生对事件发生的概率没有影响，这样的两个事件就叫作相互独立事件．从条件概率的角度分析:事件与事件相互独立 3、设为样本空间的一个划分，若，则对任意一个事件有称上式为全概率公式．设为样本空间Ω的一个划分，若，则称上式为贝叶斯（Bayes）公式． 课堂总结 二、离散型随机变量及其分布列 1、若离散型随机变量的取值为随机变量取的概率为记作 此表或①式称为离散型随机变量的分布列，简称为的分布列． 其中：(1); (2) 课堂总结 二、离散型随机变量及其分布列 2、若在某个试验中，每次试验只两个相互对立的结果，可以分别称为"成功"和"失败",每次"成功"的概率均为，每次"失败"的概率均为，则称这样的试验为伯努利试验．如果随机变量的分布列如下表: 其中，那么称离散型随机变量服从参数为的两点分布(又称0-1分布或伯努利分布). 1 0 课堂总结 三、离散型随机变量的均值与方差 1、设离散型随机变量的分布列如下表: 则称为随机变量X的均值或数学期望(简称期望). 2、我们称为随机变量的方差，其算术平方根为随机变量的标准差，记作 课堂总结 四、二项分布与超几何分布 1、一般地，在重伯努利试验中，用表示这次试验中成功的次数，且每次成功的概率均为，则的分布列可以表示为若一个随机变量的分布列如上所述，则称服从参数为的二项分布，简记为一般地，若随机变量，则特殊地，若随机变量服从参数为的两点分布，则 2、一般地，设有件产品，其中有件次品．从中任取件产品，用表示取出的件产品中次品的件数，那么 若一个随机变量的分布列由上式确定，则称随机变量服从参数为的超几何分布.一般地，当随机变量X服从参数为的超几何分布时，其均值 课堂总结 五、正态分布 1、由误差引起的连续型随机变量其分布密度函数图象如图,对应的分布密度函数解析式为 其中实数为参数，这一类随机变量的分布密度(函数)称为正态分布密度(函数),简称正态分布，对应的图象为正态分布密度曲线，简称为正态曲线． 2．理解正态曲线的形状特征，如对称轴、顶点、变化趋势等． 课堂总结 感谢聆听! $