第6章 概率 章末整合提升(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版)

该高中数学导学案聚焦概率统计核心内容，涵盖离散型随机变量的均值方差、条件概率、二项分布等知识点。通过零件性能测评、轰炸机命中概率等情境问题导入，连接已学概率基础，搭建从概念理解到综合应用的学习支架。 资料以“培优例题+真题体验”为特色，通过实际情境问题引导学生运用数学运算和逻辑推理解决问题，培养数学建模与数据分析素养。习题设计从基础到综合，助力学生巩固知识，提升用数学语言表达和解决实际问题的能力。

　　 一、数学运算 能够在关联的情境中确定运算对象，提出运算问题.能够针对运算问题，合理选择运算方法、设计运算程序，解决问题.能够理解运算是一种演绎推理；能够在综合运用运算方法解决问题的过程中，体会程序思想的意义和作用.在交流的过程中，能够借助运算探讨问题. 培优一　求离散型随机变量的均值和方差 甲、乙两种零件某次性能测评的分值ξ，η的分布如下，则性能更稳定的零件是　　　. ξ 8 9 10 P 0.3 0.2 0.5 η 8 9 10 P 0.2 0.4 0.4 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 培优二　条件概率与全概率公式 轰炸机轰炸某目标，它能飞到距目标400 m、200 m、100 m的概率分别是0.5，0.3，0.2，设它在距目标400 m、200 m、100 m时的命中率分别是0.01，0.02，0.1，求目标被命中的概率为多少. 尝试解答 二、逻辑推理 　　能够在关联的情境中，发现并提出数学问题，用数学语言予以表达；能够理解归纳、类比是发现和提出数学命题的重要途径.能够对与学过的知识有关联的数学命题，通过对其条件与结论的分析，探索论证的思路，选择合适的论证方法予以证明，并能用准确的数学语言表述论证过程；能够通过举反例说明某些数学结论不成立.能够理解相关概念、命题、定理之间的逻辑关系，初步建立网状的知识结构.能够在交流的过程中，始终围绕主题，观点明确，论述有理有据. 培优三　随机变量与均值、方差的应用 甲、乙两名围棋手对弈，比赛实行五局三胜制，第一局通过猜子确定甲执黑先行，其后每局交换先行者，直至比赛结束，已知甲先行时他赢下该局的概率为0.6，乙先行时他赢下该局的概率为0.5. （1）求比赛只进行了三局就结束的概率； （2）已知甲赢了第一局，求比赛进行局数的期望. 尝试解答 三、数学建模 　　数学建模是指对现实问题进行抽象，用数学语言表达和解决问题的过程.主要包括在实际情境中，从数学的视角提出问题、分析问题、表达问题、构建模型、求解结论、验证结果、改进模型，最终得到符合实际的结果.具体表现：（1）发现和提出问题；（2）建立模型；（3）求解模型；（4）检验结果和完善模型. 培优四　二项分布模型及应用 甲、乙两位同学参加诗词大会，设甲、乙两人每道题答对的概率分别为和.假定甲、乙两位同学答题情况互不影响，且每人各次答题情况相互独立. （1）用X表示甲同学连续三次答题中答对的次数，求随机变量X的分布列和数学期望； （2）设M为事件“甲、乙两人分别连续答题三次，甲同学答对的次数比乙同学答对的次数恰好多2”，求事件M发生的概率. 尝试解答 培优五　超几何分布模型及应用 一盒乒乓球中共装有2只黄色球与4只白色球，现从中随机抽取3次，每次仅取1个球. （1）若每次抽取之后，记录抽到乒乓球的颜色，再将其放回盒中，记抽到黄球的次数为随机变量X，求P（X＝1）及EX； （2）若每次抽取之后，将抽到的乒乓球留在盒外，记最终盒外的黄球个数为随机变量Y，求P（Y＝1）及EY； （3）在（1）（2）的条件之下，求P（｜X－Y｜≤1）. 尝试解答 四、数据分析 能够在关联的情境中，识别随机现象，知道随机现象与随机变量之间的关联，发现并提出概率或统计问题. 能够针对具体问题，选择离散型随机变量或连续型随机变量刻画随机现象，理解抽样方法的统计意义，能够运用适当的概率或统计模型解决问题. 　　能够在运用统计方法解决问题的过程中，感悟归纳推理的思想，理解统计结论的意义；能够用概率或统计的思维来分析随机现象，用概率或统计模型表达随机现象的统计规律. 在交流的过程中，能够用数据呈现的规律解释随机现象. 培优六　概率与统计的综合问题 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）. （1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ－3σ，μ＋3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望； （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ－3σ，μ＋3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查. ①试说明上述监控生产过程方法的合理性； ②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 9.95　10.12　9.96　9.96　10.01　9.92　9.98　10.04　10.26　9.91　10.13　10.02　9.22　10.04　10.05　9.95 经计算得＝xi＝9.97，s＝＝≈0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1，2，…，16. 用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（－3，＋3）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）. 附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ－3σ＜Z＜μ＋3σ）≈0.997 4.0.997 416≈0.959 2，≈0.09. 尝试解答 　　 1.〔一题多解〕（2023·全国甲卷6题）某地的中学生中有60％的同学爱好滑冰，50％的同学爱好滑雪，70％的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（　　） A.0.8　 　 B.0.6 C.0.5　 　 D.0.4 2.〔多选〕（2023·新高考Ⅰ卷9题）有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则（　　） A.x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数 B.x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数 C.x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差 D.x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差 3.〔多选〕〔一题多解〕（2024·新高考Ⅰ卷9题）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值＝2.1，样本方差s2＝0.01.已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N（1.8，0.12），假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N（，s2），则（若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（Z＜μ＋σ）≈0.841 3）（　　） A.P（X＞2）＞0.2 B.P（X＞2）＜0.5 C.P（Y＞2）＞0.5 D.P（Y＞2）＜0.8 4.〔多选〕（2023·新高考Ⅱ卷12题）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为α（0＜α＜1），收到0的概率为1－α；发送1时，收到0的概率为β（0＜β＜1），收到1的概率为1－β.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次；三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）（　　） A.采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为（1－α）（1－β）2 B.采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为β（1－β）2 C.采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β（1－β）2＋（1－β）3 D.当0＜α＜0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 5.（2025·全国Ⅰ卷14题）有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望EX＝　　　　. 6.（2024·新高考Ⅱ卷18题）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成.比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中1次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和. 某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立. （1）若p＝0.4，q＝0.5，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率； （2）假设0＜p＜q. （ⅰ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ⅱ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 答案 章末整合提升 【素养培优】 【例1】　乙　解析：由题意知：Eξ＝8×0.3＋9×0.2＋10×0.5＝9.2，Eη＝8×0.2＋9×0.4＋10×0.4＝9.2，Dξ＝0.3×（8－9.2）2＋0.2×（9－9.2）2＋0.5×（10－9.2）2＝0.76，Dη＝0.2×（8－9.2）2＋0.4×（9－9.2）2＋0.4×（10－9.2）2＝0.56，因为Dη＜Dξ，所以乙更稳定. 【例2】　解：设事件A1表示“飞机能飞到距目标400 m处”，设事件A2表示“飞机能飞到距目标200 m处”，设事件A3表示“飞机能飞到距目标100 m处”.设事件B表示“目标被命中”. 由题意知，P（A1）＝0.5，P（A2）＝0.3，P（A3）＝0.2，且A1，A2，A3构成一完备事件组， 又已知P（B｜A1）＝0.01，P（B｜A2）＝0.02，P（B｜A3）＝0.1， 由全概率公式得到P（B）＝P（B｜A1）P（A1）＋P（B｜A2）P（A2）＋P（B｜A3）P（A3）＝0.01×0.5＋0.02×0.3＋0.1×0.2＝0.031. 【例3】　解：（1）比赛只进行了三局，则都是甲赢或都是乙赢， 所以所求概率为0.6×0.5×0.6＋0.4×0.5×0.4＝0.18＋0.08＝0.26. （2）设比赛进行的局数为X，则X所有可能的取值为3，4，5. 当X＝3时，则前三局都是甲赢，P（X＝3）＝0.5×0.6＝0.3， 当X＝4时，则可能的情况是 一 二 三 四 乙赢 甲 乙 乙 乙 甲赢 甲 甲 乙 甲 甲赢 甲 乙 甲 甲 P（X＝4）＝0.5×0.4×0.5＋0.5×0.4×0.5＋0.5×0.6×0.5＝0.35， P（X＝5）＝1－P（X＝3）－P（X＝4）＝1－0.3－0.35＝0.35， 故EX＝3×0.3＋4×0.35＋5×0.35＝4.05. 【例4】　解：（1）由题意知X～B， P（X＝0）＝＝； P（X＝1）＝＝； P（X＝2）＝＝； P（X＝3）＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 数学期望EX＝3×＝2. （或EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝2） （2）设Y为乙同学连续3次答题中答对的次数， 由题意知Y～B， P（Y＝0）＝＝， P（Y＝1）＝＝， 所以P（M）＝P（X＝3且Y＝1）＋P（X＝2且Y＝0） ＝×＋×＝. 【例5】　解：（1）由题意知，每次取到黄球的概率为＝，故X～B（3，）， 因为P（X＝k）＝×（）k×（）3－k（k＝0，1，2，3）， 代入k＝1得P（X＝1）＝， 同理可得P（X＝0）＝， P（X＝2）＝， P（X＝3）＝， 故EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝1. （或EX＝np＝3×＝1） （2）由题意可知Y服从超几何分布，P（Y＝k）＝（k＝0，1，2）， 代入k＝1得P（Y＝1）＝， 同理可得P（Y＝0）＝，P（Y＝2）＝， 故EY＝0×＋1×＋2×＝1. （或EY＝n＝3×＝1） （3）由（1）（2）知，P（｜X－Y｜≤1）＝1－P（｜X－Y｜≥2） ＝1－P（X＝0，Y＝2）－P（X＝2，Y＝0）－P（X＝3，Y＝0）－P（X＝3，Y＝1） ＝1－×－×－×－×＝1－＝. 【例6】　解：（1）抽取的一个零件的尺寸在（μ－3σ，μ＋3σ）之内的概率为0.997 4，从而零件的尺寸在（μ－3σ，μ＋3σ）之外的概率为0.002 6，故X～B（16，0.002 6）.因此P（X≥1）＝1－P（X＝0）＝1－0.997 416≈0.040 8. X的数学期望为EX＝16×0.002 6＝0.041 6. （2）①如果生产状态正常，一个零件尺寸在（μ－3σ，μ＋3σ）之外的概率只有0.002 6，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在（μ－3σ，μ＋3σ）之外的零件的概率只有0.040 8，发生的概率很小.因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的. ②由＝9.97，s≈0.212，得μ的估计值为＝9.97，σ的估计值为＝0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在（－3，＋3）之外，因此需对当天的生产过程进行检查.剔除（－3，＋3）之外的数据9.22，剩下数据的平均数为（16×9.97－9.22）＝10.02， 因此μ的估计值为10.02. ＝16×0.2122＋16×9.972≈1 591.134， 剔除（－3，＋3）之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为（1 591.134－9.222－15×10.022）≈0.008， 因此σ的估计值为≈0.09. 【真题体验】 1.A　法一　如图，左圆表示爱好滑冰的学生所占比例，右圆表示爱好滑雪的学生所占比例，A表示爱好滑冰且不爱好滑雪的学生所占比例，B表示既爱好滑冰又爱好滑雪的学生所占比例，C表示爱好滑雪且不爱好滑冰的学生所占比例，则0.6＋0.5－B＝0.7，所以B＝0.4，C＝0.5－0.4＝0.1.所以若该学生爱好滑雪，则他也爱好滑冰的概率为＝＝0.8，故选A. 法二　令事件A，B分别表示该学生爱好滑冰、该学生爱好滑雪，事件C表示该学生爱好滑雪的条件下也爱好滑冰，则P（A）＝0.6，P（B）＝0.5，P（AB）＝P（A）＋P（B）－0.7＝0.4，所以P（C）＝P（A｜B）＝＝＝0.8，故选A. 2.BD　若该组样本数据为1，2，3，4，5，8，则2，3，4，5的平均数为，1，2，3，4，5，8的平均数为，两组数据的平均数不相等，故A错误；不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6，则x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，x3，x4，x5，x6的中位数，故B正确；若该组样本数据为1，2，2，2，2，8，则2，2，2，2的标准差为0，而1，2，2，2，2，8的标准差大于0，故C错误；由对选项B的分析可知，x2，x3，x4，x5的极差为x5－x2，x1，x2，x3，x4，x5，x6的极差为x6－x1，且易得x6－x1≥x5－x2，故D正确.故选B、D. 3.BC　法一　依题可知，＝2.1，s2＝0.01，所以Y～N（2.1，0.12），故P（Y＞2）＝P（Y＞2.1－0.1）＝P（Y＜2.1＋0.1）≈0.841 3＞0.5，C正确，D错误；因为X～N（1.8，0.12），所以P（X＞2）＝P（X＞1.8＋2×0.1），因为P（X＜1.8＋0.1）≈0.841 3，所以P（X＞1.8＋0.1）≈1－0.841 3＝0.158 7＜0.2，而P（X＞2）＝P（X＞1.8＋2×0.1）＜P（X＞1.8＋0.1）＜0.2，B正确，A错误，故选B、C. 法二　由P（Z＜μ＋σ）≈0.841 3，得P（μ－σ＜Z＜μ＋σ）≈0.682 6，又Y～N（2.1，0.12），X～N（1.8，0.12），则P（X＞2）＝≈＝0.022 8＜0.5，P（Y＞2）＝0.5＋≈0.5＋0.341 3＝0.841 3＞0.8＞0.5，故选B、C. 4.ABD　对于A，因为信号的传输是相互独立的，所以采用单次传输方案依次发送1，0，1，依次收到1，0，1的概率p＝（1－β）（1－α）（1－β）＝（1－α）（1－β）2，则A正确；对于B，因为信号的传输是相互独立的，所以采用三次传输方案发送1，即发送3次1，依次收到1，0，1的概率p＝（1－β）·β（1－β）＝β（1－β）2，则B正确；对于C，因为信号的传输是相互独立的，所以采用三次传输方案发送1，译码为1包含两种情况：2次收到1，3次都收到1.而这两种情况是互斥的，所以采用三次传输方案发送1，收到译码为1的概率p＝（1－β）2β＋（1－β）3＝3β（1－β）2＋（1－β）3，则C错误；对于D，设“采用单次传输方案发送0，译码为0”为事件B，则P（B）＝1－α.设采用三次传输方案发送0，收到的信号为0的次数为X，则P（X≥2）＝P（X＝2）＋P（X＝3）＝（1－α）2α＋（1－α）3＝（1＋2α）（1－α）2.又当0＜α＜0.5时，P（X≥2）－P（B）＝（1＋2α）（1－α）2－（1－α）＝α（1－α）（1－2α）＞0，所以采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率，则D正确.故选A、B、D. 5.　解析：X的所有取值为1，2，3，X＝1表示3次取同一个数字的球，则P（X＝1）＝（）3＝；X＝3表示3次取不同数字的球并排序，则P（X＝3）＝（）3＝；X＝2表示3次取2个不同数字的球，其中一个球取了两次并排序，P（X＝2）＝×2×3×（）3＝.（优解）P（X＝2）＝1－P（X＝1）－P（X＝3）＝. 所以X的分布列为 X 1 2 3 P 所以EX＝1×＋2×＋3×＝. 6.解：（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次， 所以比赛成绩不少于5分的概率P＝（1－0.63）（1－0.53）＝0.686. （2）（ⅰ）设甲参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概率为P甲， 则P甲＝[1－（1－p）3]·q3＝pq3·（3－3p＋p2）. 设乙参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概率为P乙， 则P乙＝[1－（1－q）3]·p3＝qp3·（3－3q＋q2）. 则P甲－P乙＝pq（3q2－3pq2＋p2q2－3p2＋3p2q－p2q2）＝3pq（q－p）·（p＋q－pq）， 由0＜p＜q≤1，得q－p＞0，p＋q－pq＝p＋q（1－p）＞0， 所以P甲－P乙＞0，即P甲＞P乙. 故应该由甲参加第一阶段比赛. （ⅱ）若甲参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩X的所有可能取值为0，5，10，15. P（X＝0）＝（1－p）3＋[1－（1－p）3]·（1－q）3， P（X＝5）＝[1－（1－p）3]··q·（1－q）2， P（X＝10）＝[1－（1－p）3]··q2·（1－q）， P（X＝15）＝[1－（1－p）3]·q3， 所以EX＝[1－（1－p）3]·[15q（1－q）2＋30q2·（1－q）＋15q3]＝[1－（1－p）3]·15q＝15pq·（p2－3p＋3）. 若乙参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩Y的所有可能取值为0，5，10，15. 同理，可得EY＝15pq（q2－3q＋3）. EX－EY＝15pq（p2－3p－q2＋3q）＝15pq·（q－p）·（3－p－q）， 由0＜p＜q≤1，得q－p＞0，3－p－q＝3－（p＋q）＞0， 所以EX－EY＞0，即EX＞EY. 故应该由甲参加第一阶段比赛. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $