黑龙江省哈尔滨市第九中学校2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

哈尔滨市第九中学2024级高二上学期12月月考 数学试卷 （考试时间：120分钟，满分：150分） 一、单选题（本题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在等差数列中，，则（ ） A. 5 B. 6 C. 10 D. 15 2. 如果直线的一个方向向量是，则其倾斜角等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知等比数列中，，则公比（ ） A. 2 B. 4 C. 16 D. 4. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点作与轴垂直的直线与双曲线的一个交点为，且，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，是椭圆：的两个焦点，为上一点，且的内切圆半径为，若在第一象限，则点的纵坐标为（ ） A. B. 1 C. D. 6. 数列的通项公式为，满足：，则数列的最大项是第（ ）项 A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 8. 某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为（ ）（参考数据：） A. 3937万元 B. 3837万元 C. 3737万元 D. 3637万元 二、多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分） 9. 已知等差数列的前n项和为，，，则（ ） A. B. C. 使的n的最大值为25 D. 10. 随着我国航天科技的快速发展，双曲线镜的特性使得它在天文观测中具有重要作用，已知双曲线的左､右焦点分别为，，双曲线的光学性质是：从右焦点发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点，如图所示. 由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.若的最小值为2，且双曲线C的渐近线为，则下列结论正确的有（ ） A. 双曲线C的方程为 B. 若，则的面积为24 C. 若点处的切线交轴于，则轴 D. 当n过点时，光由所经过的路程为13 11. 设是各项为正数的等比数列，是其公比，是其前项的积，且，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共有3个小题，每小题5分，共15分） 12. 若点在圆外，则实数k的取值范围为___________. 13. 已知数列满足：，，则______． 14. 如图，曲线（）上的点与轴的正半轴上的点及原点构成一系列正三角形，，，…，，…设正三角形的边长为，（记为），.数列的通项公式______. 四、解答题（本题共有5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知等比数列中，，． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足 （），求前项和． 16. 在几何体中，底面为平行四边形，平面，. （1）证明：平面平面； （2）若，且，，求平面与平面夹角的余弦值. 17. 平面直角坐标系中，已知曲线上任意一点到点的距离比到直线的距离大1． （1）求曲线的方程； （2）过点作两条互相垂直的直线、，直线与曲线交于、两点，直线与曲线交于、两点，求的最小值． 18. 正项数列满足：，对一切，有其中为数列的前项和. （1）证明是等差数列，并求出的通项公式； （2）若数列前项和，求数列的通项公式； （3）若，数列的前项和为，求的最大值和最小值. 19. 已知椭圆：（）.定义第（，）次操作为：经过上的点作斜率为的直线与交于另一点，记关于轴的对称点为，若与重合，则操作停止；否则一直继续下去. （1）若，，，，求，； （2）若，，点是椭圆上一点，且位于轴的上方，、是椭圆的两个焦点，是等腰三角形，求点的坐标； （3）若，是在第一象限与不重合的一动点，求证：，并用含，的式子表示. 哈尔滨市第九中学2024级高二上学期12月月考 数学试卷 （考试时间：120分钟，满分：150分） 一、单选题（本题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】A 二、多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分） 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】BC 三、填空题（本题共有3个小题，每小题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】## 四、解答题（本题共有5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 【15题答案】 【答案】（1） （2）2728 【16题答案】 【答案】（1） 证明：因为平面，平面，所以， 因为，平面，平面，， 所以平面，平面，所以平面平面； （2）. 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1） 因，则当时，， 两式作差得，即， 因，则， 当时，，又解得，则满足上式， 故数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 其通项公式为； （2） （3）最大值为3，最小值为 【19题答案】 【答案】（1），； （2），，； （3） 证明：设斜率， 过点的直线的方程为， 即；联立方程 得到 设，由韦达定理， 所以，代入，得到， 所以，所以， 根据与的坐标关系，由坐标得到 ，所以； 由两点间的距离公式得到 所以由点斜式得到直线的方程为：， 即，点到直线的距离为， 所以， 因为点在椭圆上，所以， 所以，将其代入得到. 所以的面积为定值.所以，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $