专题4.3 数列求通项与求和方法全归纳（期末复习讲义）高二数学上学期人教A版选择性必修第二册

该高中数学期末复习讲义聚焦数列求通项与求和，通过表格梳理核心考点、复习目标及考情规律，分10个知识点系统呈现递推式求通项（累加、累乘、构造等）和求和方法（裂项、错位相减等），构建清晰知识脉络与内在联系。 讲义亮点在于“题型-技巧-变式”三阶设计，如构造法通过待定系数法转化等比数列，错位相减结合典例规范步骤，培养数学思维与运算能力。分层练习（基础通关、重难突破）满足不同学生需求，助力教师精准教学与学生自主复习。

专题4.3 数列求通项与求和方法全归纳（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 数列的常见递推式求通项 掌握几种经典递推型的转化方法（如累加、累乘、构造法） 高频中档考点，常在解答题第一问出现 数列求和的常用方法 能根据通项特征选择合适求和方法（裂项相消、错位相减、分组求和） 高频核心考点，解答题重点考查。 知识点01 由与关系求通项公式 由题目给出与（或者直接给出多项数列相加）关系式求通项公式 可以考虑退位相减，构造，然后根据化简求 注意：构造后，，所以求出通项公式后，记得验证首项是否满足通项公式。 知识点02 累加法求通项公式 型（是关于的函数）： 知识点03 累乘法求通项公式 型（是关于的函数）： （右侧的相乘一般可以上下抵消，注意隔项相除不要消错） 知识点04 构造数列法求通项公式 1、 目标把拆分成的形式，使得为公比为的等比数列（其中的满足） 2、 目标把拆分成的形式，使得为公比为的等比数列（其中的满足 3、 两边同时除以，得，然后按照的方法去求通项。 知识点05 倒数法求通项公式 型 化成形式，得{}为等差数列 知识点06 递推式求周期性数列 同函数的周期性一致，数列也具有周期性。以下举出几个常见周期数列的特征。 1、 型 分式递推式，可能为周期数列，可计算出几项来证实一下周期性。 2、 或 3、 4、 分段式数列 以上几种数列，当觉得可能为周期数列时，可计算出几项来验证一下周期性。 知识点07 裂项相消法求和 对通项进行裂项变换，使得裂项后产生可以连续相互抵消的项．抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，但是前后所剩项数一定相同．下面给出一些常见的裂项模型。 模型1：等差型 （1） （2） （3） （4） 对等差型的分式，例，先对分母进行因式分解，把目标分解成，再合并比较看看想化成需乘系数。 模型2：根式型 （1） （2） （3） 利用分母有有理化的方法。 模型3：指数型 （1） （2） 方法类似等差型。 知识点08 错位相减法求和 等比数列的求和方法即错位相减法。若有差数列,等比数列，对数列求和也可以用到错位相减法 1、 找出等比数列的公比，对求和中的每项都乘以公比 2、 然后用，注意将两式“错项对齐”，按照相同幂次方来对齐，方便合并。 知识点09倒序相加法求和 等差数列的求和方法即倒序相加法。若数列整个顺序颠倒后，同原数列放一起，每个相同序号的两项的和相等，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 知识点10分组求和 若数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． 题型一 由与关系求通项公式 解｜题｜技｜巧 根据关系，依据题目条件来决定 1、 消求得的通项公式 2、 消求得的通项公式 3、 如果题目给出的是某个有规律的数列连加时，要联想到是 【典例1】（24-25高二上�江苏南京�期末）已知数列满足，设，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二上�广东深圳�期末）已知数列的前项和为，其中，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025高三·全国·专题练习）已知在数列中，，前项和为，若，求数列的通项． 【变式2】（多选）（24-25高二上�广东深圳�期末）已知为数列的前n项和，且，，，则（    ） A．为常数列 B．为单调递增数列 C． D．的前n项和恒小于1 题型二 累加法求通项公式 解｜题｜技｜巧 根据对左右两边进行累加，注意验证项是否符合最后的通项。 【典例1】（24-25高二上�安徽淮南�期末）已知数列，，对于任意正整数n，都满足，则 ． 【典例2】（24-25高二上�浙江杭州�期末）已知数列满足，，则的最大值为（   ） A．420 B．380 C．342 D．6 【变式1】（24-25高二上�广东广州�期末）已知数列中，则数列通项公式 ． 【变式2】（24-25高二上�江苏连云港�期末）已知数列满足，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 题型三 累乘法求通项公式 解｜题｜技｜巧 根据对左右两边进行累乘，右边累乘时一般是分式可以上下消项，但如果隔项相消要看清楚最后留下的项，还有要验证项是否符合最后的通项。 【典例1】（24-25高二上�浙江温州�期末）已知数列的前n项和为，满足，对于恒成立，则的最小值为（    ） A． B．0 C．1 D．4 【典例2】（多选）（24-25高二上�江苏南通�期末）已知数列的前n项和为且则（    ） A． B． C． D．数列的前n项和为 【变式1】（24-25高二上�浙江衢州�期末）已知正项数列，满足，，则（    ） A．2 B． C．2024 D． 【变式2】（24-25高二上�江苏淮安�期末）数列满足，，数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 题型四 构造法求通项公式 解｜题｜技｜巧 构造法求通项公式均可以用待定系数法，构造一个等比数列，通过待定系数来拆分项。 【典例1】（24-25高二上�广西贵港�期末）设数列的前项和为，若，且的等差中项为），则（    ） A．4 B．8 C．10 D．12 【典例2】（25-26高二上�江苏镇江�期中）已知数列中，，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上�福建莆田�月考）已知数列的前项和为，且满足，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D．数列的前20项的和为250 【变式2】（25-26高三上�河南新乡�期中）在数列中，，，则 . 题型五 倒数法求通项公式 解｜题｜技｜巧 先能识别出递推式符合倒数成等差数列，直接除以来构造数列 【典例1】（24-25高二上�福建福州�期末）已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】24-25高三上�黑龙江哈尔滨�期中）已知数列满足，，若成立，则的最大值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式1】（25-26高二上�浙江宁波�期中）已知数列满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．的前项和 D．的前项和 【变式2】（24-25高二下�河南南阳�期中）已知数列中，，且，则 ． 题型六 由递推关系求周期数列 解｜题｜技｜巧 周期数列的样式可以参考前面给出的几种形态，当符合要求时，具体的数列周期可自行计算出。 【典例1】（24-25高二上·福建南平·期末）已知数列满足：，若，则（ ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二上·河北邢台·期末）已知数列满足.若，则（    ） A．3 B． C． D． 【变式1】（多选）（25-26高三上·山西·月考）已知数列满足，，记数列的前项之积为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·广西贵港·期末）若数列满足，则 . 题型七 错位相减法求和 解｜题｜技｜巧 等比数列的求和方法即错位相减法。若有差数列等比数列，则数列求和也可以用到错位相减法。 【典例1】（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，若对任意的，恒成立，求的取值范围. 【典例2】（24-25高二上·广东清远·期末）已知数列的前项和为，数列是公比为3的等比数列，且． (1)求数列、的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【变式1】（24-25高二上·甘肃甘南·期末）已知数列中，，. (1)证明数列是等差数列，并求的通项公式； (2)设，求的前项和． 【变式2】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知数列的前项和为，，数列满足，. (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前项和. 题型八 分组求和法求和 解｜题｜技｜巧 一般分段数列、奇偶数列、绝对值数列会用到分组求和，根据规律把数列先分组，再按照其余的求和方法分别对其求和即可。 【典例1】（24-25高二上·浙江金华·期末）已知数列满足，且，该数列前20项和 ． 【典例2】（24-25高二上·安徽·期末）在递增的等比数列中，，且是和的等差中项. (1)求的通项公式； (2)若求数列的前项和. 【变式1】（24-25高二上·安徽六安·期末）已知数列满足，. (1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【变式2】（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知首项为的数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 题型九 倒序相加法求和 解｜题｜技｜巧 等差数列的求和可以用到倒序相加法，通常也会跟函数联合在一起，根据函数的基本性质，再来使用倒序相加的方法来求和。 【典例1】（2025高二�全国�专题练习）设，，求的值． 【典例2】（24-25高二下�陕西西安�月考）若等差数列满足，则（    ） A．2025 B． C． D． 【变式1】（24-25高二下�黑龙江哈尔滨�月考）若等差数列满足，则（   ） A．2025 B． C． D． 【变式2】（24-25高二下�广东佛山�月考）已知，若等比数列满足，则（   ） A． B．1013 C．2025 D．2026 题型十 裂项相消法求和 解｜题｜技｜巧 难点在对通项进行裂项的方法上，对常见的几种裂项方式熟练掌握，等差分式、分母有理化、指数型这三种考察的比较多。 【典例1】（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知为数列的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，求证：． 【典例2】（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知数列满足，且，，，设． (1)求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【变式1】（24-25高二上·新疆昌吉·期末）已知数列为等差数列，前n项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)是否存在正整数m，n，（）使得成等差数列？若存在，求出，m，n的值；若不存在，请说明理由． 【变式2】（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知为数列的前n项和，，且且. (1)证明：是等比数列，并求数列的通项公式; (2)若，记为数列的前n项和，求证：. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二上�浙江杭州�期末）已知数列的前项和为，则数列的通项公式为 . 2．（24-25高二上�江苏�期末）在数列中，，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上�江苏连云港�期末）已知数列中，，则 . 4．（2025高三�全国�专题练习）已知数列满足，且，若数列为递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2026高三�全国�专题练习）已知数列满足，且，求数列的通项公式． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（2026高三�全国�专题练习）在数列中，，，则 ． 2．（24-25高二上·河南洛阳·期末）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（m为正整数），，当时，（   ） A．92 B．106 C．113 D．120 3．（多选）（24-25高二上�江苏�期末）数列满足，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知无穷数列的通项公式为，其前项和为，若对于任意，有恒成立，则实数的取值集合为（　　） A． B． C． D． 5．（多选）（24-25高三上�浙江宁波�期末）已知函数，数列满足，前项和为．则（   ） A．函数的对称中心为 B．函数为奇函数 C．不等式的解集为 D．若，，则的最小值为 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知数列和，数列的前n项和，（），数列满足. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的前n项和； (3)若对一切恒成立，求实数m的取值范围. 2．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知等差数列的前n项和为且 (1)求的通项公式； (2)若 ，求数列的前2n项和. 3．（24-25高三上�天津�期末）已知各项为正数的数列满足：，其中是数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)设． （ⅰ）求数列的通项公式及其前n项和； （ⅱ）若且，证明：． 4．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知为等差数列的前项和，，，． (1)求的通项公式； (2)记为数列的前项和，设 （i）求的表达式； （ii）若整数满足，求的最大值，并说明理由． 5．（24-25高二上·福建龙岩·期末）已知正项数列的前n项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，记数列的前n项和为．证明：对于任意，都有． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.3 数列求通项与求和方法全归纳（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 数列的常见递推式求通项 掌握几种经典递推型的转化方法（如累加、累乘、构造法） 高频中档考点，常在解答题第一问出现 数列求和的常用方法 能根据通项特征选择合适求和方法（裂项相消、错位相减、分组求和） 高频核心考点，解答题重点考查。 知识点01 由与关系求通项公式 由题目给出与（或者直接给出多项数列相加）关系式求通项公式 可以考虑退位相减，构造，然后根据化简求 注意：构造后，，所以求出通项公式后，记得验证首项是否满足通项公式。 知识点02 累加法求通项公式 型（是关于的函数）： 知识点03 累乘法求通项公式 型（是关于的函数）： （右侧的相乘一般可以上下抵消，注意隔项相除不要消错） 知识点04 构造数列法求通项公式 1、 目标把拆分成的形式，使得为公比为的等比数列（其中的满足） 2、 目标把拆分成的形式，使得为公比为的等比数列（其中的满足 3、 两边同时除以，得，然后按照的方法去求通项。 知识点05 倒数法求通项公式 型 化成形式，得{}为等差数列 知识点06 递推式求周期性数列 同函数的周期性一致，数列也具有周期性。以下举出几个常见周期数列的特征。 1、 型 分式递推式，可能为周期数列，可计算出几项来证实一下周期性。 2、 或 3、 4、 分段式数列 以上几种数列，当觉得可能为周期数列时，可计算出几项来验证一下周期性。 知识点07 裂项相消法求和 对通项进行裂项变换，使得裂项后产生可以连续相互抵消的项．抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，但是前后所剩项数一定相同．下面给出一些常见的裂项模型。 模型1：等差型 （1） （2） （3） （4） 对等差型的分式，例，先对分母进行因式分解，把目标分解成，再合并比较看看想化成需乘系数。 模型2：根式型 （1） （2） （3） 利用分母有有理化的方法。 模型3：指数型 （1） （2） 方法类似等差型。 知识点08 错位相减法求和 等比数列的求和方法即错位相减法。若有差数列,等比数列，对数列求和也可以用到错位相减法 1、 找出等比数列的公比，对求和中的每项都乘以公比 2、 然后用，注意将两式“错项对齐”，按照相同幂次方来对齐，方便合并。 知识点09倒序相加法求和 等差数列的求和方法即倒序相加法。若数列整个顺序颠倒后，同原数列放一起，每个相同序号的两项的和相等，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 知识点10分组求和 若数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． 题型一 由与关系求通项公式 解｜题｜技｜巧 根据关系，依据题目条件来决定 1、 消求得的通项公式 2、 消求得的通项公式 3、 如果题目给出的是某个有规律的数列连加时，要联想到是 【典例1】（24-25高二上�江苏南京�期末）已知数列满足，设，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用与间的关系，得到，从而有，再利用裂项相消法，即可求解. 【详解】因为①， 当时，②， 由①②得到，得到， 又时，，满足，所以，则， 所以， 则数列的前项和为， 故选：D. 【典例2】（24-25高二上�广东深圳�期末）已知数列的前项和为，其中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意构造得，由等比数列定义和通项公式可得，从而得解. 【详解】因为， 所以，所以， 而，故， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 即，所以． 故选：C 【变式1】（2025高三·全国·专题练习）已知在数列中，，前项和为，若，求数列的通项． 【答案】 【分析】利用将已知条件进行转化，得到与的关系式，再通过变形得到的表达式，然后利用累乘法求出的表达式，最后根据求出数列的通项公式，并且要单独验证时的情况. 【详解】由，当时，，得， 化简得：， 当时，， 因为，所以，那么， 当，， 当时，，满足， 数列的通项为. 【变式2】（多选）（24-25高二上�广东深圳�期末）已知为数列的前n项和，且，，，则（    ） A．为常数列 B．为单调递增数列 C． D．的前n项和恒小于1 【答案】ABD 【分析】由数列的递推式和数列的通项与求和的关系，推得，，对各个选项分析，可得结论． 【详解】由，，可得，解得， 当时，由， 可得，相减可得，即， 即有，即，对也成立， 所以为常数列，故A正确； ，为单调递增数列，故B正确； ，当时，，故C错误； ，则的前n项和为，故D正确． 故选： 题型二 累加法求通项公式 解｜题｜技｜巧 根据对左右两边进行累加，注意验证项是否符合最后的通项。 【典例1】（24-25高二上�安徽淮南�期末）已知数列，，对于任意正整数n，都满足，则 ． 【答案】/ 【分析】化简得，用累加法和裂项相消公式求出即可求解的值. 【详解】因为，所以， 则，，……，，， 所以当时， ， 又满足上式，所以，所以， . 故答案为：. 【典例2】（24-25高二上�浙江杭州�期末）已知数列满足，，则的最大值为（   ） A．420 B．380 C．342 D．6 【答案】A 【分析】条件可变形为①，将代入递推公式可得或；当时，②. ①-②化简变形可得或.当时，或； 当时，，故数列是以为首项，公差为2的等差数列.由等差数列通项公式可得，再利用累加法即可求解. 【详解】，①. 当时，，解得或. 当时，②. ①-②得， 或. 当时，或； 当时，， ∴数列是以为首项，公差为2的等差数列. 要使取得最大值，则，， 由等差数列通项公式可得. ，，，…，， 以上式子相加得 ， . 故的最大值为420. 故选：A. 【点睛】本题考查求数列通项公式与数列求和，解题关键是当时，两条件式作差变形后可得或.对第二种情况变形后利用等差数列通项公式与累加法即可求解. 【变式1】（24-25高二上�广东广州�期末）已知数列中，则数列通项公式 ． 【答案】 【分析】先将的表达式化简，再依次写出，，，的式子，将这些式子累加，消去中间项，从而得到与的关系，进而求出. 【详解】化简的表达式： 所以. 利用累加法求 当时，； 当时，； . 将以上个式子累加得： 已知，则： . 故答案为：. 【变式2】（24-25高二上�江苏连云港�期末）已知数列满足，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用累加法求，再求其最小值. 【详解】因为， 所以当时，，，，， 所以，又， 所以当时，， 当时，也满足关系， 所以，， 所以当时，取最小值，最小值为， 故选：D. 题型三 累乘法求通项公式 解｜题｜技｜巧 根据对左右两边进行累乘，右边累乘时一般是分式可以上下消项，但如果隔项相消要看清楚最后留下的项，还有要验证项是否符合最后的通项。 【典例1】（24-25高二上�浙江温州�期末）已知数列的前n项和为，满足，对于恒成立，则的最小值为（    ） A． B．0 C．1 D．4 【答案】B 【分析】由累乘法求得，再结合错位相减求和，即可求解. 【详解】由题， ， 又符合上式，所以 则，①， ，②， 由①-②，得， 所以， 若对于恒成立，即对恒成立， 所以对恒成立，所以，所以. 故选：B 【典例2】（多选）（24-25高二上�江苏南通�期末）已知数列的前n项和为且则（    ） A． B． C． D．数列的前n项和为 【答案】ABD 【分析】利用给定条件求解数列单调性判断A，利用累乘法求出数列通项公式判断B，利用等差数列求和公式结合给定条件判断C，利用裂项相消法求和判断D即可. 【详解】由题意得，且， 可知，则为正项递增数列， 得到，即，故A正确； 由，则时， ， 又符合上式，故， 当时，，故B正确； 由等差数列求和公式得，则，故C错误； 而， 故数列的前n项和为 ，故D正确. 故选：ABD 【变式1】（24-25高二上�浙江衢州�期末）已知正项数列，满足，，则（    ） A．2 B． C．2024 D． 【答案】D 【分析】用相减法求得的关系，用连乘法求得结论． 【详解】因为， 所以当时，， 两式相减，得， 所以， 所以， 所以， 所以， 因为数列为正项数列， 所以， 所以， 所以， 所以， 又， 所以， 所以 故选：D． 【变式2】（24-25高二上�江苏淮安�期末）数列满足，，数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用累乘法求出通项公式，再由错位相减法求和即可. 【详解】由可得， 累乘可得， 即，所以，也符合该式，故. 所以，① ，② ①②可得， 因此，. 故选：D 题型四 构造法求通项公式 解｜题｜技｜巧 构造法求通项公式均可以用待定系数法，构造一个等比数列，通过待定系数来拆分项。 【典例1】（24-25高二上�广西贵港�期末）设数列的前项和为，若，且的等差中项为），则（    ） A．4 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】根据的关系，构造法求数列的通项公式，并确定为等差数列，最后应用等差中项的性质求. 【详解】因为， 当时，，得， 当时，， 所以，则， 所以，又， 所以，所以是等差数列. 因为，所以. 故选：D 【典例2】（25-26高二上�江苏镇江�期中）已知数列中，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用条件证明数列是等差数列并求出数列的通项公式，将代入即可得解. 【详解】已知，两边同时除以， 可得，即. 又当时，， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以， 所以. 故选：A 【变式1】（25-26高二上�福建莆田�月考）已知数列的前项和为，且满足，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D．数列的前20项的和为250 【答案】ACD 【分析】由和的关系可得，进而可得，将代入可得，计算可判断ABC，求得，分和求解即可判断D. 【详解】已知数列的前项和为，且满足 时，，， 时，， 由得， 化简得， 两边同除以，得， 因此，数列是首项为，公差为1的等差数列， 所以，即， 代入得 对于A：，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：数列中，所以， 令，得，则前项和需分和讨论： 当时，，则前5项和为； 当时，，则前项和为： ，故D正确. 故选：ACD 【变式2】（25-26高三上�河南新乡�期中）在数列中，，，则 . 【答案】 【分析】由已知的递推公式构造等比数列，求得该等比数列的通项公式，从而得到数列的通项公式. 【详解】由，得. 由，得，则， 所以. 所以数列是首项为，公比为的等比数列. 所以. 所以. 故答案为：. 题型五 倒数法求通项公式 解｜题｜技｜巧 先能识别出递推式符合倒数成等差数列，直接除以来构造数列 【典例1】（24-25高二上�福建福州�期末）已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由递推关系证明数列是等比数列从而得，代入即可求解. 【详解】易知，从而由题意，即， 也就是数列是以为首项，为公比的等比数列， 从而，所以，解得. 故选：A. 【典例2】24-25高三上�黑龙江哈尔滨�期中）已知数列满足，，若成立，则的最大值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】分析可知数列是首项为3，公差为1的等差数列，进而可得，根据题意利用裂项相消法可得，运算求解即可. 【详解】因为数列满足，，可得， 可得数列是首项为3，公差为1的等差数列， 则，即， 则， 可得 ， 因为，可得，解得， 即所求的最大值为6. 故选：B. 【变式1】（25-26高二上�浙江宁波�期中）已知数列满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．的前项和 D．的前项和 【答案】BCD 【分析】运用构造法求出数列的解析式后，易知其既是正项数列，又是递减数列，其最大项为，再运用分组求和法与裂项相消法分别解决选项C，D中的数列求和问题. 【详解】由题可得，可构造为， 又，因此是以3为首项，3为公比的等比数列. ，得. 对于A：由的解析式，易知其为递减数列，故A错误； 对于B：因为故.又因为为递减数列，其最大项为.故B正确； 对于C：，其前项和.故C正确； 对于D：设. 又注意到，. 因此 因此的前项和 .故D正确. 故选：BCD. 【变式2】（24-25高二下�河南南阳�期中）已知数列中，，且，则 ． 【答案】 【分析】将两边取倒数，即可得到，从而求出的通项，即可得解. 【详解】由，可得，即， 又， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，即，所以． 故答案为： 题型六 由递推关系求周期数列 解｜题｜技｜巧 周期数列的样式可以参考前面给出的几种形态，当符合要求时，具体的数列周期可自行计算出。 【典例1】（24-25高二上·福建南平·期末）已知数列满足：，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题可先根据数列的递推公式求出数列的前几项，再找出数列的周期，最后根据周期求出的值. 【详解】解：因为且 所以，， ，， ，， 所以数列是周期数列，且周期为4， 所以. 故选：C. 【典例2】（24-25高二上·河北邢台·期末）已知数列满足.若，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用和数列递推公式，依次求出数列的项，得出其周期，利用周期性即可求得. 【详解】因，由依次对赋值，可得，， ，，， 可见数列的最小正周期为4，故. 故选：B. 【变式1】（多选）（25-26高三上·山西·月考）已知数列满足，，记数列的前项之积为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】先判断数列是周期为的数列，从而可判断AB的正误，再求得，，，可判断C选项错误，D选项正确. 【详解】，所以，， 所以数列是周期为的数列. 由题意，，，所以， ，故A选项错误； 而，故，故B选项正确； 所以，又为数列的前项之积， 所以， 所以，故C选项错误； 因为数列是周期为的数列，为数列的前项之积， 所以，故D选项正确. 故选：BD 【变式2】（24-25高二上·广西贵港·期末）若数列满足，则 . 【答案】/0.8 【分析】根据递推式写出前几项，得到数列的周期，利用周期性求项. 【详解】因为， 所以， 所以数列是周期为4的周期数列，故. 故答案为： 题型七 错位相减法求和 解｜题｜技｜巧 等比数列的求和方法即错位相减法。若有差数列等比数列，则数列求和也可以用到错位相减法。 【典例1】（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，若对任意的，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由数列的通项与求和的关系，以及等比数列的通项公式，可得所求. （2）由数列的裂项相消求和，可得，再由参数分离和不等式恒成立思想，结合数列的单调性，可得所求取值范围. 【详解】（1）当时，，，解得， 当时，由，可得，相减可得，对也成立， 由此可得数列是首项为，公比为的等比数列，所以， 所以，数列的通项公式为. （2）， 则 两式相减可得： , 整理可得, 若对任意的，恒成立,即为恒成立， 设，则，当时，即时，所以当时，， 所以当时，，当时，， 当时，，当时，， 可以看出在处取得最小值，所以从后才开始递增，即当，，时，， 当时，，所以， 所以的取值范围为. 【典例2】（24-25高二上·广东清远·期末）已知数列的前项和为，数列是公比为3的等比数列，且． (1)求数列、的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【答案】(1)，. (2). 【分析】（1）把当时，当时，代入，化简求出，再根据等比数列的通项公式求出； （2）由（1）和条件求出，利用错位相减法求出数列的前项和． 【详解】（1）因为，所以当时，， 当时，， 当时，，所以， 又因为，数列是公比为3的等比数列， 所以. 故，. （2）由（1）可知，， ，① ，② 由① - ②得： ， ， ∴. 【变式1】（24-25高二上·甘肃甘南·期末）已知数列中，，. (1)证明数列是等差数列，并求的通项公式； (2)设，求的前项和． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）利用已知条件转化推出是以为首项，为公差的等差数列，然后求解通项公式； （2）化简，然后利用错位相减法求和求解即可． 【详解】（1）当时，， 所以，， 又，所以， 故是以为首项，为公差的等差数列， 故，所以，． （2）， 所以，， 令，① 则，② ①②得：， ，故， 所以，． 【变式2】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知数列的前项和为，，数列满足，. (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）运用关系式，得到，再用等比数列公式计算即可； （2）先求出，再用错位相减求和. 【详解】（1）当时，，则； 当时，，整理得， 因此数列是以1为首项，3为公比的等比数列， 所以数列的通项公式为； 由得，即，所以数列是常数列，，所以数列的通项公式为 （2）由（1）知，， 则， 于是， 两式相减得 ，所以. 题型八 分组求和法求和 解｜题｜技｜巧 一般分段数列、奇偶数列、绝对值数列会用到分组求和，根据规律把数列先分组，再按照其余的求和方法分别对其求和即可。 【典例1】（24-25高二上·浙江金华·期末）已知数列满足，且，该数列前20项和 ． 【答案】1078 【分析】由递推公式得到数列的通项公式，由此计算出数列的. 【详解】∴当为奇数时，，当为偶数时，， ∴数列的奇数项是等比数列，偶数项是等差数列， ∴， ∴ . 故答案为：1078. 【典例2】（24-25高二上·安徽·期末）在递增的等比数列中，，且是和的等差中项. (1)求的通项公式； (2)若求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件求出，结合可得公比，由此计算可得数列的通项公式. （2）利用分组求和法可得. 【详解】（1）∵是和的等差中项，∴， ∵，∴，解得，故. 设等比数列的公比为，则，解得或（舍）， ∴， ∴. （2）由（1）得， ∴ . 【变式1】（24-25高二上·安徽六安·期末）已知数列满足，. (1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）递推关系两边同除以可得，两边同时减1，化简后利用等比数列的定义与通项公式求解即可； （2）利用错位相减法与分组求和法，结合等差数列与等比数列的求和公式求解即可. 【详解】（1）由，两边同除以可得， 化为，又因为， 所以数列是以为首项以为公比的等比数列， 所以，则； （2） 即， 设①， 则②， ①减②得：， 所以 所以. 【变式2】（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知首项为的数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析可知数列是以首项为，公比为3的等比数列，即可得，即求数列的通项公式； （2）整理可得，利用分组求和结合等比数列求和公式运算求解. 【详解】（1）因为，可得， 且， 可知数列是以首项为，公比为3的等比数列， 则，可得， 当时，， 且符合上式，所以. （2）由（1）可知：， 可得 ， 所以. 题型九 倒序相加法求和 解｜题｜技｜巧 等差数列的求和可以用到倒序相加法，通常也会跟函数联合在一起，根据函数的基本性质，再来使用倒序相加的方法来求和。 【典例1】（2025高二�全国�专题练习）设，，求的值． 【答案】 【分析】计算得出为常数，再运用倒序相加法求和即可． 【详解】 因为， 所以 ． 故 ， 所以． 【典例2】（24-25高二下�陕西西安�月考）若等差数列满足，则（    ） A．2025 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差中项的性质，利用倒序相加法，可得答案. 【详解】由等差数列满足，则对于，，当时，， 则， 设， 则， 两式相加可得，解得. 故选：B. 【变式1】（24-25高二下�黑龙江哈尔滨�月考）若等差数列满足，则（   ） A．2025 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差中项的性质，利用倒序相加法，可得答案. 【详解】由等差数列满足， 则对于，当时，， 则， 设，则， 两式相加可得，解得. 故选：C. 【变式2】（24-25高二下�广东佛山�月考）已知，若等比数列满足，则（   ） A． B．1013 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】由等比数列的性质可得，再计算，再利用倒序相加计算结果． 【详解】因，数列是等比数列，有， 因为，所以， 故有 设， 则， 则， 则. 故选：D. 题型十 裂项相消法求和 解｜题｜技｜巧 难点在对通项进行裂项的方法上，对常见的几种裂项方式熟练掌握，等差分式、分母有理化、指数型这三种考察的比较多。 【典例1】（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知为数列的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，求证：． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用的关系式探究数列的特性，再求出其通项公式. （2）利用裂项求和法求得，进而证得不等式成立. 【详解】（1）数列中，由，得， 两式相减得，而，则， 又，，因此，数列是首项为2，公差为1的等差数列 所以的通项公式. （2）由（1）知，， 所以 . 【典例2】（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知数列满足，且，，，设． (1)求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析，； (2). 【分析】（1）转化已知条件，求得，即可证明为等比数列，结合逐差法，即可求得； （2）根据（1）中所求，利用裂项求和法求得，再根据恒成立问题，求得的最大值，即可求得的取值范围. 【详解】（1），故可得，又，即， 故数列为首项，公比为的等比数列，则； 故，则， 即，故. （2）， 故的前项和为 ， 不等式对任意恒成立， 则，即恒成立； 令，则， 则， 当时，，当时，， 故数列的最大项为， 故恒成立，也即，故实数的取值范围为. 【变式1】（24-25高二上·新疆昌吉·期末）已知数列为等差数列，前n项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)是否存在正整数m，n，（）使得成等差数列？若存在，求出，m，n的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，，. 【分析】（1）由等差数列通项公式及求和公式列出等式求出首项、公差即可； （2）由裂项相消法求和即可； （3）由等差中项列出等式求解即可. 【详解】（1）由， 可得：， 解得：， 所以； （2）由（1）可得：， 所以， 所以 （3）假设存在正整数m，n，（），使得成等差数列， 则， 即， 即， 取，可得：， 所以存在，，. 【变式2】（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知为数列的前n项和，，且且. (1)证明：是等比数列，并求数列的通项公式; (2)若，记为数列的前n项和，求证：. 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）当时，可得，进而两式相减，可得，进而可得是等比数列，可求通项公式； （2）利用裂项相消法可求得，进而可证结论. 【详解】（1）当时，；当时，； 当时，，可得， 两式相减并整理得，所以. 又，所以，又，满足上式， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以； （2）由（1）知=， 所以 . 因为，所以递增，所以，即. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二上�浙江杭州�期末）已知数列的前项和为，则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】先求，再利用与关系求出，再检验是否符合即可求解. 【详解】当时，， 当时，， 当时，， 经检验，不符合上式， 所以. 故答案为： 2．（24-25高二上�江苏�期末）在数列中，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由累加法和裂项相消法求通项即可得出答案. 【详解】由可得： ， ．经验证，也适合上式. 故选：B. 3．（24-25高二上�江苏连云港�期末）已知数列中，，则 . 【答案】 【分析】根据已知条件，利用累乘法求通项. 【详解】，， ，即， . 故答案为：. 4．（2025高三�全国�专题练习）已知数列满足，且，若数列为递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变形给定等式，利用构造法求出通项公式，再由递增数列建立不等式求出范围. 【详解】由数列为递增数列，，得，由， 得，即，因此， 数列是以为首项，为公比的等比数列，， 整理得，而， 则，整理得， 因此，解得，所以的取值范围是. 故选：C 5．（2026高三�全国�专题练习）已知数列满足，且，求数列的通项公式． 【答案】 【分析】将条件变为，根据等比数列的定义，可证是以3为首项，3为公比的等比数列，可得，变形可得，根据等比数列的定义，可证是以为首项，为公比的等比数列，整理计算，即可得答案. 【详解】因为， 所以，即， 又， 所以是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以，即， 左右同除得：， 所以，即， 又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 则，所以. 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（2026高三�全国�专题练习）在数列中，，，则 ． 【答案】 【分析】结合递推公式的结构特点构建一个等差数列，利用等差数列的通项公式求出构建的数列的通项公式，进而得解. 【详解】将两边同时除以，得，即． 由等差数列的定义知，数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，故． 故答案为：. 2．（24-25高二上·河南洛阳·期末）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（m为正整数），，当时，（   ） A．92 B．106 C．113 D．120 【答案】A 【分析】先根据题意得到的值，再根据数列的周期性求得，从而得解. 【详解】依题意，， 故， 又，所以． 所以． 故选：A. 3．（多选）（24-25高二上�江苏�期末）数列满足，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由数列各项不为两边同除以得，构造等比数列，进而求出通项，求出相应项可判断AB；再结合不等式性质与二项式定理求范围，进而放缩求解和的范围判断CD. 【详解】首先证明数列中任意一项不为. 证明：假设数列中存在某项， 由， 得，将代入得 则有，即，同理依次递推可知，这与矛盾. 故假设错误，即数列中从第2项起均不为. 又已知，故数列中任意一项不为，得证. 由证明结论可得，由， 两边同除以得，即， 两边同加上整理得，，又， 所以， 故数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即，所以. A项，，故A正确； B项，，则，故B错误； C项，，其中，， 则，所以，故C正确； D项，当时，；当时，，； 当时，， 所以，此时. 综上，，故D正确 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过构造法得是以为首项，为公比的等比数列，再求出，再一一分析即可. 4．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知无穷数列的通项公式为，其前项和为，若对于任意，有恒成立，则实数的取值集合为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，分为偶数和奇数讨论，当为偶数时，可得，当为奇数时，可得，结合条件分析得解. 【详解】因为， 当为偶数时，， 且时，； 当为奇数时，， 且时，； 由对任意，， 故当为偶数时，；当为奇数时，， 则实数只能为1. 故选：B. 5．（多选）（24-25高三上�浙江宁波�期末）已知函数，数列满足，前项和为．则（   ） A．函数的对称中心为 B．函数为奇函数 C．不等式的解集为 D．若，，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】A：计算的和是否为即可判断；B：设，计算的和是否为即可判断；C：根据函数的单调性和对称中心即可判断；D：利用数列求和得到，再根据基本不等式求最小值即可. 【详解】 . 所以函数关于对称，A正确； 令，则， 由A知，，所以. 所以不是奇函数，B错误； 因为，所以 因为在R上单调递增，所以，，C正确； 由A知，，且，， . 又因为，所以. 时，， 当且仅当即，，时等号成立； 时， ， 当且仅当即，，时等号成立； 所以若，，则的最小值为，D正确. 故选：ACD. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知数列和，数列的前n项和，（），数列满足. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的前n项和； (3)若对一切恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2). (3). 【分析】（1）由求出数列的通项，再根据等差数列的定义判断即可； （2）将代入求出，进一步求得，利用错位相减法求解； （3）判断数列的单调性，求出最大项得解. 【详解】（1）当时，； 当时，. 又也符合上式，所以（）. 因为， 所以数列是等差数列. （2）由，得， 故， ， 则， 两式相减得 ， 即. （3）因为， 当时，，即，当时，易得， 所以，故是数列中的最大项，且. 要使对一切恒成立，只需即可， 故实数m的取值范围为. 2．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知等差数列的前n项和为且 (1)求的通项公式； (2)若 ，求数列的前2n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设的公差为d，利用已知条件求出可得答案； （2）求出n为奇数、偶数时，再利用分组利用等差数列、等比数列求和公式可得答案. 【详解】（1）设的公差为d， 由得， 化简得，解得，所以； （2）当n为奇数时，， 当n为偶数时 所以 3．（24-25高三上�天津�期末）已知各项为正数的数列满足：，其中是数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)设． （ⅰ）求数列的通项公式及其前n项和； （ⅱ）若且，证明：． 【答案】(1) (2)（i）；；（ii）证明见解析. 【分析】（1）利用的关系消去得到之间的递推关系后求解； （2）（i）利用组合数的性质，利用倒序相加法处理；（ii）先求出的表达式，然后利用放缩法进行证明. 【详解】（1）由，得， 当时，由，得， 整理得， 又因为，， 又因为 所以数列是首项和公差均为1的等差数列， 故数列的通项公式为． （2）（i）， 所以， ， 两式相加可得 故数列的通项公式为； 所以 又 将以上两式相减得 所以． （ⅱ）由题， 数列满足， 即， 则， 所以， 两式相减得 所以， 当时，，所以． 【点睛】关键点睛：求解出通项公式是研究数列其他性质的前提，本题多次考到数列和其前项和的关系，常见的处理方法是消去，得出新的递推关系，从而进行化简整理. 4．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知为等差数列的前项和，，，． (1)求的通项公式； (2)记为数列的前项和，设 （i）求的表达式； （ii）若整数满足，求的最大值，并说明理由． 【答案】(1) (2)（i）；（ⅱ）4 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解， （2）（i）根据等差求和公式以及等比求和公式，结合分组求解可求解，即可得，（ⅱ）根据的表达式分析数列的单调性和符号，进而可得结果. 【详解】（1）设数列的公差为d， 依题意，， 即，解得， 所以的通项公式是. （2）（i）由（1）知，所以， 则， ， 所以， （ⅱ）令， 且，则，可得 又因为，，， 若，所以的最大值为4. 5．（24-25高二上·福建龙岩·期末）已知正项数列的前n项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，记数列的前n项和为．证明：对于任意，都有． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）运用之间的关系式，结合等差数列性质公式计算即可； （2）运用裂项相消法计算，结合不等式性质，证明即可. 【详解】（1）∵， 当时，， ∴两式相减并化简得， 又，则； 当时，， 即，∴， ∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴. （2）证明：由（1）得，， 又，则， 则 . 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $