28.概率计算的十一种题型与方法讲义——2025届高三数学二轮专题复习

该高中数学高考复习资料聚焦概率计算核心考点，涵盖枚举法、排列组合与古典概型等十一种题型，按“题型归类-方法提炼-真题应用”逻辑架构知识点，通过要点梳理、方法指导、高考真题演练等环节，帮助学生构建概率问题的解题框架，突破古典概型、条件概率等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料以“真题为载体、方法为核心”，精选2020-2023年全国卷等典型试题，如利用对称性解决比赛概率问题，培养学生数学思维。设计从基础题型到新情境问题的分层训练，结合极大似然估计等高考热点，助力学生在有限时间内掌握解题技巧，提升用数学语言表达概率问题的能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第28节 概率计算的十一种题型与方法 要点提炼： 1. 2. 3. 一、题型归类 1. 枚举法 例1．（2022新高考1卷）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的 概率为 A． B． C． D． 解析：总事件数共，第一个数取2时，第二个数可以是； 第一个数取3时，第二个数可以是；第一个数取4时，第二个数可以是； 第一个数取5时，第二个数可以是；第一个数取6时，第二个数可以是； 第一个数取7时，第二个数可以是；所以． 例2（2020全国1卷）.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为， （1）求甲连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）求丙最终获胜的概率. 解析：（1）记事件甲连胜四场，则； （2）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输，则四局内结束比赛的概率为 ，所以，需要进行第五场比赛的概率为. （3）①四场比赛丙获胜，丙在前四场获胜的概率为 ②由下表可知：五场比赛丙获胜，，， ， 丙五场比赛丙获胜的概率为 由于①②互斥，丙最终获胜的概率为. 丙的 参赛 情况 1 2 3 4 5 事件 轮空 胜 胜 败 胜 B 轮空 胜 败 轮空 胜 C 轮空 败 轮空 胜 胜 D 注：第二问在处理时直接列举情况较复杂，此时可以采取正难则反的技巧.第三问则可直接枚举出各种可能结果，这是我们在计算复杂事件时一个重要的技巧. 2. 排列组合与古典概型 例3．（2022全国甲卷）从正方体的个顶点中任选4个，则这4个点在同一平面上的概率为　 　． 解析：总的选法是，四点共面的有6个表面与6个对角面，共计12个，则． 例4.（2021全国甲卷）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 解析：将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，若2个0相邻，则有种排法，若2个0不相邻，则有种排法，所以2个0不相邻的概率为. 故选：C. 例5．（2022全国乙卷）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 ________． 解析：由题意，从甲、乙等5名学生中随机选出3人，基本事件总数，甲，乙被选中，则从剩下的3人中选一人，包含的基本事件的个数，根据古典概型及其概率的计算公式，甲、乙都入选的概率．故答案为：． 3.概率公式 例6．（2019年全国1卷）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________． 解析：前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是综上所述，甲队以获胜的概率是 例7.（2022全国甲卷）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8，各项目的比赛结果相互独立. （1）求甲学校获得冠军的概率； （2）用表示乙学校的总得分，求的分布列与期望. 解析：（1）记甲学校获得冠军为事件， 则 甲学校获得冠军的概率是0.6. （2）的可能取值为0,10,20,30，则 的期望值为 4. 利用对称性 例8．中学阶段，数学中的“对称性”不仅体现在平面几何、立体几何、解析几何和函数图象中，还体现在概率问题中．例如，甲乙两人进行比赛，若甲每场比赛获胜概率均为，且每场比赛结果相互独立，则由对称性可知，在5场比赛后，甲获胜次数不低于3场的概率为．现甲乙两人分别进行独立重复试验，每人抛掷一枚质地均匀的硬币． （1）若两人各抛掷3次，求抛掷结果中甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率； （2）若甲抛掷次，乙抛掷n次，，求抛掷结果中甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率． 解析：（1）设甲正面朝上次数等于乙正面朝上次数的概率， ，由对称性可知则甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率和甲正面朝上次数小于乙正面朝上次数的概率相等，故； （2）可以先考虑甲乙各抛赛n次的情形， ①如果出现甲正面朝上次数等于乙正面朝上次数，将该情形概率设为，则第次甲必须再抛掷出证明朝上，才能使得最终甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数； ②如果出现甲正面朝上次数小于乙正面朝上次数，则第次无论结果如何，甲正面朝上次数仍然不大于乙正面朝上次数，将该情形概率设为； ③如果出现甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数，则第次无论结果如何，甲正面朝上次数仍然大于乙正面朝上次数，将该情形概率设为，由对称性可知， 故，而由， 可得． 5. 三大分布 例9.（2023年全国甲卷）为探究某药物对小鼠的生长作用,将40只小鼠均分为两组,分别为对照组(不药物)和实验组(加药物). (1)设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为,求的分布到和数学期望; (2)测得40只小鼠体重如下(单位:g)：（已按从小到大排好) (i)求40只小鼠体重的中位数,并完成下面列联表: 对照组 实验组 (ii)根据列联表,能否有的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用. 参考数据: 解析：（1）由题意知的取值可能为 （2）略 例10. （2021新高考2卷）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（ ） A. 越小，该物理量在一次测量中在的概率越大 B. 越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C. 越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D. 越小，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 解析：对于A，为数据的方差，所以越小，数据在附近越集中，所以测量结果落在内的概率越大，故A正确； 对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为，故B正确； 对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于的概率与小于的概率相等，故C正确； 对于D，因为该物理量一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，所以一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，故D错误. 故选：D. 例11.（2022新高考2卷）．已知随机变量服从正态分布，且，则　 　． 解析：由题意可知，，故． 6. 极大似然估计与概率最值 例12（2018年全国1卷）．某工厂的某种产品成箱包装，每箱件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立． （1）记件产品中恰有件不合格品的概率为,求的最大值点； （2）现对一箱产品检验了件，结果恰有件不合格品，以（1）中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付元的赔偿费用． （i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求; （ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？ 解析：（1）件产品中恰有件不合格品的概率为. 因此. 令，得.当时，；当时，. 所以的最大值点为； （2）由（1）知，.（i）令表示余下的件产品中的不合格品件数，依题意知，，即. 所以. （ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元. 由于，故应该对余下的产品作检验. 点评：第一问中，，二项分布中参数未知，所以我们需要利用似然方法找到，即利用最大. 例13．（2023届四省联考）一个池塘里的鱼的数目记为N，从池塘里捞出200尾鱼，并给鱼作上标识，然后把鱼放回池塘里，过一小段时间后再从池塘里捞出500尾鱼，表示捞出的500尾鱼中有标识的鱼的数目． （1）若，求的数学期望； （2）已知捞出的500尾鱼中15尾有标识，试给出N的估计值（以使得最大的N的值作为N的估计值）． 解析：（1）依题意X服从超几何分布，且， 故． （2）当时，，当时，， 记，则 ．由， 当且仅当，则可知当时，； 当时，，故时，最大，所以N的估计值为6666． 7. 条件概率与全概率公式 例14. 一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调査了100人（称为对照组），得到如下数据： 不够良好 良好 病例组 60 对照组 10 90 （1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？ （2）从该地的人群中任选一人，表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，表示事件“选到的人患有该疾病”，与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为． （i）证明：； （ii）利用该调査数据，给出的估计值，并利用（i）的结果给出的估计值． 附：， 解析：（1）假设患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯没有差异， 则， 所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异； （2）（i） ，得证； （ii）由调查数据可知，， 则，，所以． 例15.（2022长沙新高考适应性考试）为了调动大家积极学习党的二十大精神，某市举办了党史知识的竞赛．初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个单位派出两个小组，且每个小组都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的小组才具备参与决赛的资格．某单位派出甲、乙两个小组参赛，在初赛中，若甲小组通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是，，乙小组通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是，，且各个小组所有轮次比赛的结果互不影响. （1）若该单位获得决赛资格的小组个数为X，求X的数学期望； （2）已知甲、乙两个小组都获得了决赛资格，决赛以抢答题形式进行．假设这两组在决赛中对每个问题回答正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概率．若最后一道题被该单位的某小组抢到，且甲、乙两个小组抢到该题的可能性分别是45%，55%，该题如果被答对，计算恰好是甲小组答对的概率． 解析：（1）设甲乙通过两轮制的初赛分别为事件则 ，由题意可得，的取值有 ， ，所以 （2） 设表示事件“该单位的某小组对最后一道题回答正确”，表示事件“甲小组抢到最后一道题”，表示事件“乙小组抢到最后一道题”，则有： ， 则 该题如果被答对，恰好是甲小组答对即为 点评：本题第二问即考察了全概率公式与贝叶斯公式，后者虽然不做高考要求，但是可以看到，它实际就是条件概率的应用，完全可以现场依据具体情况得出.再举一道贝叶斯公式的例子 8. 概率递推与马尔科夫链 例16．（2023·新高考1卷）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． （1）求第2次投篮的人是乙的概率； （2）求第次投篮的人是甲的概率； （3）已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求． 解析：（1）记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件， 所以， . （2）设，依题可知，，则 ， 即，构造等比数列，设，解得，则，又，所以是首项为，公比为的等比数列，即． （3）因为，，所以当时，，故． 9. 伯努利试验与几何分布 例17.（2024届广州市高三一模）某校开展科普知识团队接力闯关活动，该活动共有两关，每个团队由位成员组成，成员按预先安排的顺序依次上场，具体规则如下：若某成员第一关闯关成功，则该成员继续闯第二关，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第一关；若某成员第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所有成员全部上场参加了闯关，该团队接力闯关活动结束.已知团队每位成员闯过第一关和第二关的概率分别为和，且每位成员闯关是否成功互不影响，每关结果也互不影响. （1）若，用表示团队闯关活动结束时上场闯关的成员人数，求的均值； （2）记团队第位成员上场且闯过第二关的概率为，集合中元素的最小值为，规定团队人数，求. 解析：（1）依题意，的所有可能取值为，，， 所以的分布列为： 1 2 3 数学期望. （2）令，若前位玩家都没有通过第一关测试，其概率为，若前位玩家中第位玩家才通过第一关测试，则前面位玩家无人通过第一关测试，其概率为，第位玩家通过第一关测试，但没有通过第二关测试，其概率为，第位玩家到第位玩家都没有通过第二关测试，其概率为，所以前面位玩家中恰有一人通过第一关测试的概率为： ，因此第位成员闯过第二关的概率，由，得，解得，则，所以. 10. 基于期望的递推 例18.（2024届武汉高三四月调考）已知常数，在成功的概率为的伯努利试验中，记为首次成功时所需的试验次数，的取值为所有正整数，此时称离散型随机变量的概率分布为几何分布. （1）对于正整数，求，并根据求； （2）对于几何分布的拓展问题，在成功的概率为的伯努利试验中，记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为，现提供一种求的方式：先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是，即总的试验次数为；若第一次试验成功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为2，若第二次试验失败，相当于重新试验，此时总的试验次数为. （i）求； （ii）记首次出现连续次成功时所需的试验次数的期望为，求. 解析：（1）， ， 记， 则， 相减得： 由题意：. （2）（i）.解得：. （ii）期待在次试验后，首次出现连续次成功，若下一次试验成功，则试验停止，此时试验次数为；若下一次试验失败，相当于重新试验，后续期望仍是，此时总的试验次数为.即. 整理得：，即. 所以.由（1）知，代入得：. 11. 纯粹新情境问题 例19（2021新高考2卷）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，． （1）已知，求； （2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，； （3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义． 解析：（1）. （2）设，因为，故，若，则，故. ，因为，，故有两个不同零点，且， 且时，；时，； 故在，上为增函数，在上为减函数， 若，因为在为增函数且， 而当时，因为在上为减函数，故， 故为的一个最小正实根， 若，因为且在上为减函数，故1为的一个最小正实根，综上，若，则. 若，则，故. 此时，，故有两个不同零点，且，且时，；时，； 故在，上为增函数，在上为减函数，而，故， 又，故在存在一个零点，且.所以为的一个最小正实根，此时，故当时，. 意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1. 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 第28节 概率计算的十一种题型与方法 要点提炼： 1. 枚举法等十一种方法 一、题型归类 1. 枚举法 例1．（2022新高考1卷）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的 概率为 A． B． C． D． 例2（2020全国1卷）.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为， （1）求甲连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）求丙最终获胜的概率. 2. 排列组合与古典概型 例3．（2022全国甲卷）从正方体的个顶点中任选4个，则这4个点在同一平面上的概率为　 　． 例4.（2021全国甲卷）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 例5．（2022全国乙卷）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 ______． 3.概率公式 例6．（2019年全国1卷）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________． 例7.（2022全国甲卷）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8，各项目的比赛结果相互独立. （1）求甲学校获得冠军的概率； （2）用表示乙学校的总得分，求的分布列与期望. 4. 利用对称性 例8．中学阶段，数学中的“对称性”不仅体现在平面几何、立体几何、解析几何和函数图象中，还体现在概率问题中．例如，甲乙两人进行比赛，若甲每场比赛获胜概率均为，且每场比赛结果相互独立，则由对称性可知，在5场比赛后，甲获胜次数不低于3场的概率为．现甲乙两人分别进行独立重复试验，每人抛掷一枚质地均匀的硬币． （1）若两人各抛掷3次，求抛掷结果中甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率； （2）若甲抛掷次，乙抛掷n次，，求抛掷结果中甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率． 5. 三大分布 例9.（2023年全国甲卷）为探究某药物对小鼠的生长作用,将40只小鼠均分为两组,分别为对照组(不药物)和实验组(加药物). 例10. （2021新高考2卷）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（ ） A. 越小，该物理量在一次测量中在的概率越大 B. 越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C. 越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D. 越小，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 例11.（2022新高考2卷）．已知随机变量服从正态分布，且，则　 　． 6. 极大似然估计与概率最值 例12（2018年全国1卷）．某工厂的某种产品成箱包装，每箱件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立． （1）记件产品中恰有件不合格品的概率为,求的最大值点； （2）现对一箱产品检验了件，结果恰有件不合格品，以（1）中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付元的赔偿费用． （i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求; （ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？ 例13．（2023届四省联考）一个池塘里的鱼的数目记为N，从池塘里捞出200尾鱼，并给鱼作上标识，然后把鱼放回池塘里，过一小段时间后再从池塘里捞出500尾鱼，表示捞出的500尾鱼中有标识的鱼的数目． （1）若，求的数学期望； （2）已知捞出的500尾鱼中15尾有标识，试给出N的估计值（以使得最大的N的值作为N的估计值）． 7. 条件概率与全概率公式 例14. 一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调査了100人（称为对照组），得到如下数据： 不够良好 良好 病例组 60 对照组 10 90 （1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？ （2）从该地的人群中任选一人，表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，表示事件“选到的人患有该疾病”，与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为． （i）证明：； （ii）利用该调査数据，给出的估计值，并利用（i）的结果给出的估计值． 附：， 例15.（2022长沙新高考适应性考试）为了调动大家积极学习党的二十大精神，某市举办了党史知识的竞赛．初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个单位派出两个小组，且每个小组都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的小组才具备参与决赛的资格．某单位派出甲、乙两个小组参赛，在初赛中，若甲小组通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是，，乙小组通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是，，且各个小组所有轮次比赛的结果互不影响. （1）若该单位获得决赛资格的小组个数为X，求X的数学期望； （2）已知甲、乙两个小组都获得了决赛资格，决赛以抢答题形式进行．假设这两组在决赛中对每个问题回答正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概率．若最后一道题被该单位的某小组抢到，且甲、乙两个小组抢到该题的可能性分别是45%，55%，该题如果被答对，计算恰好是甲小组答对的概率． 8. 概率递推与马尔科夫链 例16．（2023·新高考1卷）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． （1）求第2次投篮的人是乙的概率； （2）求第次投篮的人是甲的概率； （3）已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求． 9. 伯努利试验与几何分布 例17.（2024届广州市高三一模）某校开展科普知识团队接力闯关活动，该活动共有两关，每个团队由位成员组成，成员按预先安排的顺序依次上场，具体规则如下：若某成员第一关闯关成功，则该成员继续闯第二关，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第一关；若某成员第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所有成员全部上场参加了闯关，该团队接力闯关活动结束.已知团队每位成员闯过第一关和第二关的概率分别为和，且每位成员闯关是否成功互不影响，每关结果也互不影响. （1）若，用表示团队闯关活动结束时上场闯关的成员人数，求的均值； （2）记团队第位成员上场且闯过第二关的概率为，集合中元素的最小值为，规定团队人数，求. 10. 基于期望的递推 例18.（2024届武汉高三四月调考）已知常数，在成功的概率为的伯努利试验中，记为首次成功时所需的试验次数，的取值为所有正整数，此时称离散型随机变量的概率分布为几何分布. （1）对于正整数，求，并根据求； （2）对于几何分布的拓展问题，在成功的概率为的伯努利试验中，记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为，现提供一种求的方式：先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是，即总的试验次数为；若第一次试验成功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为2，若第二次试验失败，相当于重新试验，此时总的试验次数为. （i）求； （ii）记首次出现连续次成功时所需的试验次数的期望为，求. 11. 纯粹新情境问题 例19（2021新高考2卷）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，． （1）已知，求； （2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，； （3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义． 8 学科网（北京）股份有限公司 $