23.从切线到抛物线阿基米德三角形讲义-2026届高三数学二轮专题复习

该高中数学讲义聚焦圆锥曲线切线与应用高考专题，按“基础方法—二级结论—综合性质”整合切线方程求法、阿基米德三角形性质及极值应用等核心考点，通过知识点梳理构建内在联系，结合方法指导与真题训练，帮助学生突破切线方程、焦点弦性质等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料以数学思维与几何直观为导向，创新设计阿基米德三角形性质推导等探究活动，通过2019全国三卷等真题解析强化应用，设置分层练习实现精准突破。能快速提升学生解题效率，为教师把控复习节奏提供清晰指导，助力高效备考。

第1节 圆锥曲线的切线与应用 要点提炼： 1. 圆锥曲线切线方程的通用求法 2. 抛物线阿基米德三角形的核心性质 3. 切线几何性质在极值问题中的应用 1、 知识点梳理 1.圆锥曲线的切线方程 1.基本方法 联立曲线方程与直线方程后，令一元二次方程的判别式为零. 2.二级结论 圆锥曲线方程 曲线上一点处的切线方程 圆 椭圆 双曲线 2. 抛物线阿基米德三角形 1.知识要点：如图，假设抛物线方程为，过抛物线准线上一点向抛物线引两条切线，切点分别记为，其坐标为.则以点和两切点围成的三角形中，有如下的常见结论: 结论1.直线过抛物线的焦点. 证明：参见下面的例1. 结论2.直线的方程为. 证明：参见下面的例1.也可由极点与极线得到. 进一步，设：，则. 则，显然由于过焦点，代入可得.我们得到了抛物线焦点弦两端点坐标之间的基本关系. 上述结论的逆向也成立，即： 结论3.过的直线与抛物线交于两点，以分别为切点做两条切线，则这两条切线的交点的轨迹即为抛物线的准线. 证明：过点的切线方程为，过点的切线方程为，两式相除可得：.这就证明了该结论. 结论4.. 证明：由结论3，，.那么. 结论5.. 证明：,则.由抛物线焦点弦的性质可知，代入上式即可得，故. 结论6.直线的中点为，则平行于抛物线的对称轴. 证明：由结论3的证明可知，过点的切线的交点在抛物线准线上.且的坐标为，显然平行于抛物线的对称轴. 二、题型归类 1. 切线方程与几何性质集合运算 例1．已知抛物线：的焦点为，准线与轴交于点，点在第一象限且在抛物线上，则当取最大值时，直线方程为（    ） A． B． C． D． 解析：过点作与准线垂直，垂足为，，如图： 当最大时，取最大值，此时与抛物线相切.∵抛物线的焦点，∴，设切线方程为，则，∴， 由解得，，∵点M在第一象限内，∴，直线方程为：.故选：C. 例2（多选题）．双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得：过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知O为坐标原点，分别为双曲线的左、右焦点，过C右支上一点作双曲线的切线交x轴于点，则（    ） A． B．平面上点的最小值为 C．若经过左焦点的入射光线经过点A，且，则入射光线与反射光线的夹角为 D．过点作，垂足为H，则 解析：对于A项，设直线的方程为，，联立方程组，消去整理得，， ，即，又因为，所以上式可化简整理得， 所以，所以直线的方程为，即，所以，因为，所以，故A项正确； 对于B项，由双曲线定义得，且， 则，所以的最小值为.故B项正确； 对于C项，根据双曲线的光学性质可知反射光线所在直线即直线，因为且，所以，若，则， 所以直线直线；同理可知当也可判断直线直线，所以入射光线与反射光线的夹角为，故C项错误； 对于D项，如图，为双曲线的切线，由双曲线的光学性质可知，平分， 延长与的延长线交于点.则垂直平分，即点为的中点. 又是的中点，所以，，故项正确.故选：ABD. 【变式练习】 1．已知P为直线上一动点，过点P作抛物线的两条切线，切点记为A，B，则原点到直线距离的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 解析：选：B 2.已知抛物线，点P为的任意一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，则点到直线AB的距离的最大值为___________. 解析：答案为： 2. 阿基米德三角形综合应用 例1.（2024届广州市高三二模）已知点是抛物线的焦点，的两条切线交于点，，是切点. （1）若，，求直线的方程； （2）若点在直线上，记的面积为，的面积为，求的最小值； （3）证明：. 解析：（2）设切点，则，依题意切线斜率不为0，不妨设，联立直线与抛物线得 ，由解得，所以切线的方程化简为，同理切线的方程化简为.于是可得： ，同理有. 焦点到直线的距离，同理，焦点到直线的距离， 所以，所以 ，联立求得 ，即，代入上式，化简整理得: , 又,代入得 ，当且仅当时取等号.所以的最小值为16. （3）由（2） 可知 ， ,所以， 即因此，故而. 【变式练习】 2.（2024届武汉市高三四调）已知抛物线，过点的直线与抛物线交 于两点，设抛物线在点处的切线分别为和，已知与轴交于点与轴交于点，设与的交点为.（公众号：凌晨讲数学） （1）证明：点在定直线上； （2）若面积为，求点的坐标； （3）若四点共圆，求点的坐标. 解析：（1）设.由，得，所以方程为：，整理得：.同理，方程为：.联立得：.设直线的方程为，与抛物线方程联立得：，故，所以，有.所以点在定直线上. （2）在的方程中，令，得，所以面积.故，带入可得：. ，解得：或.所以点的坐标为或. （3）抛物线焦点，由得直线斜率， 所以，同理，所以是外接圆的直径.若点也在该圆上，则.由，得直线的方程为：.又点在定直线上，联立两直线方程，解得点的坐标为. 【过关检测】 1.过点的两条直线与抛物线分别相切于两点,则三角形的面积为（ ） A． B．3 C．27 D． 解析：抛物线，即，故，设两点的坐标为，则有，整理得，同理 故直线的方程为，由得， 故，因为点到直线的距离为，故三角形的面积为故选：. 2.已知为抛物线：的焦点，过直线上任一点向抛物线引切线，切点分别为A，，若点在直线上的射影为，则的取值范围为______． 解析：故答案为：． 3．已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为． （1）求； （2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值． 解析：（1）． （2）（方法1） 抛物线的方程为,即,对该函数求导得,设点、、,直线的方程为,即,即,同理可知，直线的方程为，由于点为这两条直线的公共点，则，所以，点A、的坐标满足方程， 所以，直线的方程为，联立，可得， 由韦达定理可得，， 所以，，点到直线的距离为，所以，， ， 由已知可得，所以，当时，的面积取最大值. （方法2）同方法一得到．过P作y轴的平行线交于Q，则．．P点在圆M上，则 ．故当时的面积最大，最大值为． 4.（2019年全国三卷）已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B. （1）证明：直线AB过定点：（公众号：凌晨讲数学） （2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积. 解析：（1）设,,则．又因为，所以. 故，整理得.设，同理得. ,都满足直线方程.于是直线过点，而两个不同的点确定一条直线，所以直线方程为.即， 当时等式恒成立．所以直线恒过定点. （2）由（1）得直线的方程为.由，可得， 于是 .设分别为点到直线的距离，则.因此，四边形ADBE的面积.设M为线段AB的中点，则， 由于，而，与向量平行，所以，解得或.当时，；当时，因此，四边形的面积为或. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1节 圆锥曲线的切线与应用 要点提炼： 1. 圆锥曲线切线方程的通用求法 2. 抛物线阿基米德三角形的核心性质 3. 切线几何性质在极值问题中的应用 1、 知识点梳理 1.圆锥曲线的切线方程 1.基本方法 联立曲线方程与直线方程后，令一元二次方程的判别式为零. 2.二级结论 圆锥曲线方程 曲线上一点处的切线方程 圆 椭圆 双曲线 2. 抛物线阿基米德三角形 1.知识要点：如图，假设抛物线方程为，过抛物线准线上一点向抛物线引两条切线，切点分别记为，其坐标为.则以点和两切点围成的三角形中，有如下的常见结论: 结论1.直线过抛物线的焦点. 证明：参见下面的例1. 结论2.直线的方程为. 证明：参见下面的例1.也可由极点与极线得到. 进一步，设：，则. 则，显然由于过焦点，代入可得.我们得到了抛物线焦点弦两端点坐标之间的基本关系. 上述结论的逆向也成立，即： 结论3.过的直线与抛物线交于两点，以分别为切点做两条切线，则这两条切线的交点的轨迹即为抛物线的准线. 证明：过点的切线方程为，过点的切线方程为，两式相除可得：.这就证明了该结论. 结论4.. 证明：由结论3，，.那么. 结论5.. 证明：,则.由抛物线焦点弦的性质可知，代入上式即可得，故. 结论6.直线的中点为，则平行于抛物线的对称轴. 证明：由结论3的证明可知，过点的切线的交点在抛物线准线上.且的坐标为，显然平行于抛物线的对称轴. 二、题型归类 1. 切线方程与几何性质集合运算 例1．已知抛物线：的焦点为，准线与轴交于点，点在第一象限且在抛物线上，则当取最大值时，直线方程为（    ） A． B． C． D． 例2（多选题）．双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得：过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知O为坐标原点，分别为双曲线的左、右焦点，过C右支上一点作双曲线的切线交x轴于点，则（    ） A． B．平面上点的最小值为 C．若经过左焦点的入射光线经过点A，且，则入射光线与反射光线的夹角为 D．过点作，垂足为H，则 1．已知P为直线上一动点，过点P作抛物线的两条切线，切点记为A，B，则原点到直线距离的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 2．已知抛物线，点P为的任意一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，则点到直线AB的距离的最大值为___________. 2. 阿基米德三角形综合应用 例1.（2024届广州市高三二模）已知点是抛物线的焦点，的两条切线交于点，，是切点. （1）若，，求直线的方程； （2）若点在直线上，记的面积为，的面积为，求的最小值； （3）证明：. 【变式练习】 2.（2024届武汉市高三四调）已知抛物线，过点的直线与抛物线交 于两点，设抛物线在点处的切线分别为和，已知与轴交于点与轴交于点，设与的交点为.（公众号：凌晨讲数学） （1）证明：点在定直线上； （2）若面积为，求点的坐标； （3）若四点共圆，求点的坐标. 【过关检测】 1.过点的两条直线与抛物线分别相切于两点,则三角形的面积为（ ） A． B．3 C．27 D． 4．已知为抛物线：的焦点，过直线上任一点向抛物线引切线，切点分别为A，，若点在直线上的射影为，则的取值范围为______． 2．已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为． （1）求； （2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值． 3.（2019年全国三卷）已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B. （1）证明：直线AB过定点：（公众号：凌晨讲数学） （2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积. 2 学科网（北京）股份有限公司 $