21.圆锥曲线“手电筒模型”的十二个定值定点讲义-2026届高三数学二轮专题复习

第21节圆锥曲线中“手电筒模型”的十二个定点定值 要点提炼： 1.三类曲线中“手电筒模型”相关定点问题 2.三类曲线中“手电筒模型”相关定值问题 。。00.0000。00。。。0。 一、知识点梳理 圆锥曲线中的“手电筒模型” 点Pg) 椭圆 双曲线 抛物线 直线PA,PB 的斜率为k 与k2 k+k2=0 k48 b2x三kpn kAB= b2x三kpm kB=-卫=-k a2% a'yo yo k+k2=元， (2≠0) 2当，% 2b 2 2,-+ 2b2x0 则有AB过定 a a 2别 点 AB过定点 kk2 =1-e2 kB=-必 kam =-Yo o Xo kk3=元 (≠1-e2) 1a2+b2 -b2-a2 1a2-b2 b2-a2 a2-Ba-6为 d2+6·a+F为 且元≠0，则 (凌晨讲数学) 有AB过定点 二、题型归类 1.定值问题 例1(222劳药考1卷)。已点在风南我C:等号=0>)上，直线1交C于B,0两点，直 线AP,AQ的斜率之和为0. (1)求1的斜率； (2)若tan∠PAQ=2V2,求△PAQ的面积. 2 【变式练习】 1.已知动点M到直线x+2=0的距离比到点F(1,0)的距离大1. (1)求动点M所在的曲线C的方程； (2)已知点P(I,2),AB是曲线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率互为相反数，证明 直线AB的斜率为定值，并求出这个定值； 3 2.定点问题 例2.(2020新高考卷) 已知椭圆C: +京-1(a>b>0)的离心率为V2 x2 y2 且过点A(2,1. (1)求C的方程： (2)点M,N在C上，且AM⊥AN,AD⊥MN,D为垂足.证明：存在定点Q,使得DQ为定值. 【变式练习】 120全百1参)B销等+茶=.回克0B. 1 中恰有三点在椭 圆上. (1)求椭圆的方程： (2)设直线不经过点D且与椭圆交于A,B两点，若直线P,A与直线P,B的斜率之和为-1，证明：I过 定点. 6 【过关检测】 1.已知M(4,4为抛物线C:y2=2pxp>0)上的一点，F为C的焦点，0为坐标原点. (1)求△M0F的面积； (2)若AB为C上的两个动点，直线MA与MB的斜率之积恒等于-2，作MN⊥AB,N为垂足，证明：存 在定点Q,使得NQ为定值. 8 2.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点P(a,2)在C上，且PF=2 (1)求抛物线C的方程： (2)过点P作圆Ox2+y2=r2(r0)的两条切线1，l2,且1，l2分别与C相交于点A,B(异于点P)· (i)若l,⊥I,求△PAB.面积； (ⅱ)证明：直线AB过定点. 9 3已知椭圆Cx+ a2+ =1(a>b>0)的离心率为 ,且过点M(-2,0). 2 (1)求椭圆C的标准方程： (2)已知A,B为椭圆C上异于点M的两点，且MA⊥MB,MN⊥AB,点N为垂足，求证：直线 AB过定点D;并判断是否存在定点E,使得NE为定值.若存在，求出定值；若不存在，请说明理由. 10 第21节 圆锥曲线中“手电筒模型”的十二个定点定值 要点提炼： 1. 三类曲线中“手电筒模型”相关定点问题 2. 三类曲线中“手电筒模型”相关定值问题 1、 知识点梳理 二、题型归类 1. 定值问题 例1. （2022新高考1卷）．已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0． （1）求l的斜率； （2）若，求的面积． 解析：（1）解法1：设点解点 设直线的方程为，与双曲线的方程联立，消去得到，根据韦达定理，得 ，故，从而.因为直线的斜率之和为，所以直线的方程为，同理，可得：，. 所以直线的斜率为 解法2：不联立的艺术 设，由点都在双曲线上，得 ，，所以，结合斜率公式，相减后变形，可得： ，.因为直线的斜率之和为，即，所以， 由得. ② 由得. ③ 由②-③，得，从而，即的斜率为. 解法3：设而不求，韦达定理 将点代入双曲线方程得，化简得，，故双曲线方程为，由题显然直线的斜率存在，设，设，，，则联立双曲线得：，故，，， 化简得：， 故， 即，当时，直线过点A，不合题意，舍去.,故. 方法4.同构双斜率 设过点的直线方程为，直线的方程为，联立解得 ，代入双曲线的方程中，整理得，这是关于的一元二次方程，方程的两根分别为直线的斜率. 因为直线的斜率之和为，即，所以，整理后分解得.因为直线不经过点，所以，从而，即的斜率为. 方法5：齐次化联立 双曲线方程为，设， ∵AP,AQ的斜率之和为0，∴， 故将双曲线方程为变形为：， 且设直线， 由式有： ,（两边同除以）， 即，而是此方程的两根. ∴，故直线斜率为−1. 方法6：曲线系 点处的切线方程为，设直线的方程为，的方程为 ，的方程，则过这四条直线交点的二次曲线方程为 又因为双曲线过这些交点，比较的系数得. 又由，所以. （2）不妨设直线的倾斜角为，因为，所以， 由（1）知，，当均在双曲线左支时，，所以， 即，解得（负值舍去）此时PA与双曲线的渐近线平行，与双曲线左支无交点，舍去；当均在双曲线右支时，因为，所以，即，即，解得（负值舍去），于是，直线，直线， 联立可得，，因为方程有一个根为，所以，，同理可得，，． 所以，，故的面积为． 【变式练习】 1. 已知动点到直线的距离比到点的距离大1． （1）求动点所在的曲线的方程； （2）已知点，是曲线上的两个动点，如果直线的斜率与直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出这个定值； 解析：（1）已知动点到直线的距离比到点的距离大，等价于动点到直线的距离和到点的距离相等，由抛物线的定义可得：动点的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线，可得，抛物线开口向右，∴曲线的方程为． （2）设直线的斜率为，∵直线的斜率与直线的斜率互为相反数，∴直线的斜率为，设，，联立方程组，整理得，即，或（舍），可得， 联立方程组，整理得，即，或（舍），可得，则，即直线的斜率为定值． 2. 定点问题 例2. （2020新高考卷） 已知椭圆C：的离心率为，且过点． （1）求的方程： （2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值． 解析：（1）由题意可得：，解得：，故椭圆方程为：. （2）方法1.设线解点 由题意，设直线的方程为，代入椭圆方程，可得 .解得. 所以.因为，将代替上面的，可得.故. 所以直线的方程为. 化简，得.即直线恒过定点. 方法2：韦达定理 （2）设点，若直线斜率存在时，设直线的方程为：， 代入椭圆方程：消去并整理得：， 可得，，因为，所以，即，根据,代入整理可得： ，         所以，整理化简得，因为不在直线上，所以， 故，于是的方程为，所以直线过定点直线过定点.当直线的斜率不存在时，可得，由得：，得，结合可得：， 解得：或（舍）.此时直线过点. 令为的中点，即，若与不重合，则由题设知是的斜边，故，若与重合，则，故存在点，使得为定值. 方法3.齐次化 （2）将原坐标系平移，原来的O点平移至点A处，则在新的坐标系下椭圆的方程为，设直线的方程为．将直线方程与椭圆方程联立得，即，化简得，即． 设，因为则，即． 代入直线方程中得．则在新坐标系下直线过定点，则在原坐标系下直线过定点．又，D在以为直径的圆上．的中点即为圆心Q．经检验，直线垂直于x轴时也成立．故存在，使得． 方法4. 不联立，不韦达 （2）设，依题意知， 因为，所以， 整理得 同理得 相减可得即直线恒过定点. 又，D在以为直径的圆上．的中点即为圆心Q．经检验，直线垂直于x轴时也成立．故存在，使得． 方法5.曲线系 （2）A点处的切线方程为，即．设直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为．由题意得．则过A，M，N三点的二次曲线系方程用椭圆及直线可表示为（其中为系数）． 用直线及点A处的切线可表示为（其中为系数）． 即． 对比项、x项及y项系数得，将①代入②③，消去并化简得，即．故直线的方程为，直线过定点．又，D在以为直径的圆上．中点即为圆心Q．经检验，直线垂直于x轴时也成立．故存在，使得． 【变式练习】 1. （2017全国1卷）已知椭圆，四点，，中恰有三点在椭圆上． （1）求椭圆的方程： （2）设直线不经过点且与椭圆交于两点，若直线的斜率之和为，证明：过定点． 解析：（1）由条件知不在椭圆上，易得椭圆方程为． （2）①当直线的斜率不存在时，设 ，得， 此时直线过椭圆右顶点，无两个交点，故不满足． ②当直线斜率存在时，设 因为 所以 所以 又，此时，存在使得 所以直线的方程为，． 【过关检测】 1.已知为抛物线上的一点，为的焦点，为坐标原点． （1）求的面积； （2）若为上的两个动点，直线与的斜率之积恒等于，作，为垂足，证明：存在定点，使得为定值． 解析：（1）因为在抛物线上，所以，解得，    所以，. （2）由（1）可知的方程为，由题意可知直线不与轴平行，    设直线的方程为，则，联立方程得整理可得，则，且①，②， ，同理可得．由题意得，即，将①②代入可得，即，故直线的方程可化为，即，所以直线过定点， 因为于点，所以点在以为直径的圆上，故存在的中点，即，使得为定值． 2. 已知抛物线的焦点为，点在上，且. (1) 求抛物线的方程； (2) 过点作圆的两条切线，且分别与相交于点，（异于点）. 　　（ⅰ）若，求.面积； 　　（ⅱ）证明：直线过定点. 【答案】（1）;（2） 【解析】 （1） 点在上，且. 　　由题意得：，解得， 　　所以抛物线C的方程为； （2）（ⅰ）因为，设， 　　设圆心O到直线的距离为， 　　又因为，所以，所以，化简得出， 　　所以或； 　　联立直线与，得出， 所以； 　　联立直线与，得出， 所以； 　　所以　　所以； 　　（ⅱ）设直线， 　　联立得，得，则， 　　的切线斜率为， 　　是切线，所以　　即，计算得， 　　所以，化简得， 　　直线，过定点. 　　 3.已知椭圆的离心率为，且过点． (1) 求椭圆的标准方程： (2) 已知，为椭圆上异于点的两点，且，，点为垂足，求证：直线过定点；并判断是否存在定点，使得为定值．若存在，求出定值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在， 【解析】（1）  ， 　　即椭圆的标准方程为． （2） （法一）由题可知，直线的斜率不为0， 　　设直线的方程为，设， 　　由消去，得． 　　， 　　， 　　， 　　， 　　　　　　化简得，或（舍），即　　直线过定点． 　　（注：此处亦可按如下方法求　　　　　　） 　　设为的中点，即． 　　若与不重合，则是的斜边，； 　　若与重合，则． 　　综上所述，存在定点，使得为定值． 　　（法二）1.当直线斜率不存在时， 　　设， 　　， 　　，解得，不符题意（舍），或，符合题意． 　　直线过点． 　　2.当直线斜率存在时，设直线的方程为， 　　设， 　　由消去，得． 　　． 　　， 　　． 　　， 　　　　　　． 　　化简得：，或． 　　当时，，此时直线过点，不符题意，舍去： 　　当时，，此时直线过定点． 　　综上所述，直线过定点． 　　设为的中点，即． 　　若与不重合，则是的斜边，； 　　若与重合，则． 　　综上所述，存在定点，使得为定值． 　　 4.在平面直角坐标系内，已知曲线上任意一点到点的距离比到直线的距离少1． (1) 求曲线的方程； (2) 点在曲线上，若直线斜率存在并与抛物线交于、两点（、异于点）．若，证明：直线过定点． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【解析】  （1）由题干条件曲线上任意一点到点的距离比到直线的距离少， 　　即曲线上任意一点到点的距离等于到直线的距离，此即抛物线的定义， 　　且焦点为点，在轴正半轴，所以，所以曲线的方程为； （2） 将点坐标代入曲线的方程，可得，所以， 　　因为直线斜率存在并与抛物线交于、两点，所以设直线，且， 　　设，联立直线和抛物线方程，可得， 　　由韦达定理可知，所以， 　　， 　　因为，所以 　　， 　　代入化简得，注意到前三项可以因式分解， 　　即，最后两项不含，所以将分解为， 　　原式可以进一步因式分解为，解得或， 　　即直线分别过定点或，因为、异于点，所以舍去， 　　故直线过定点. 5.已知椭圆，分别为椭圆C的左、右顶点，分别为左、右焦点，直线l交椭圆C于M、N两点（l不过点）． (1) 若Q为椭圆C上（除外）任意一点，求直线和的斜率之积． (2) 若直线与直线的斜率分别是，且，求证：直线l过定点，并求出此定点． 【答案】（1）；（2）证明见解析，定点为 【解析】  （1）在椭圆中，左、右顶点分别为， 　　设点， 　　则 . （2）  设， 　　 　　易知直线的斜率不为，设其方程为（）， 　　联立，可得， 　　由，得. 　　由韦达定理，得. 　　，. 　　可化为， 　　整理即得， 　　，由， 　　进一步得，化简可得，解得， 　　直线的方程为，恒过定点. 6.对于给定的椭圆，与之对应的另一个椭圆且，则称与互为共轭椭圆.已知椭圆与椭圆互为共轭椭圆，是椭圆的右顶点. (1) 求椭圆的标准方程. (2) 不过点的直线与椭圆交于、，且直线与直线的斜率之积为. 　　①证明：直线过定点. 　　②试问在轴上是否存在点，使得直线、的斜率之积为定值？若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）①证明见解析；②答案见解析. 【解析】  （1）由题意可得，解得，，故椭圆的标准方程为. （2）①设、， 　　联立可得， 　　则，可得， 　　由韦达定理可得，， 　　因为，， 　　所以，　　， 　　整理可得，即，解得或， 　　若，则直线的方程为，此时，直线过点，不合乎题意， 　　所以，，所以，直线的方程为，则直线过定点； 　　②由①可知，，， 　　 　　设点，则，， 　　所以，　　　　， 　　要使得直线、的斜率之积为定值，只需，解得， 　　当时，； 　　当时，. 　　故在轴上存在点，使得直线、的斜率之积为定值， 　　当点的坐标为时，直线、的斜率之积为定值； 　　当点的坐标为时，直线线、的斜率之积为定值. 7.双曲线左顶点为A，实轴长为4，离心率为，过A点的两条直线分别交双曲线的右支于点P，Q. (1) 求双曲线的方程； (2) 若轴且，求三角形的面积； (3) 若，证明：直线PQ过定点. 【答案】（1）；（2）；(3) 证明见解析 【解析】  （1）由题意可得，，又，     　　解得，所以双曲线的方程为：. (2)  因为轴且，所以直线， 　　与双曲线联立可得，解得，故，  　　则 .故三角形的面积为. (3) 当直线的斜率存在时， 　　设，，，  　　直线与双曲线联立可得， 　　则，且，     　　因为， 　　代入整理得，故或，     　　代入得定点为或舍）. 　　当直线的斜率不存在时，直线过点等价于， 　　等价于等价于等价于. 　　故直线过定点. 2 学科网（北京）股份有限公司 $