19.圆锥曲线的六种统一性讲义——2026届高三数学二轮复习

第19节 圆锥曲线的六种统一性 要点提炼： 1. 丹德林双球与圆锥曲线的立体视角；2. 与斜率和差积商有关的轨迹问题； 3. 圆锥曲线第二定义与应用； 4. 如何用矩形折出圆锥曲线； 5. 以焦点弦为直径的圆和准线的位置关系；6. 圆锥曲线的光学性质 1、 知识点梳理 1. 丹德林双球的定义 （1）如图1所示，在圆锥内放入两个球，，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切），切点圆分别为，.这两个球都与平面相切，切点分别为，，丹德林（G·Dandelin）利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，，为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin双球. 图1 图2 如图1，设直线分别与圆锥母线交于两点，再设过点的母线分别与，交于两点，由切线长定理：，，故. 同理，对于平面与圆锥侧面的交线上任意一点，过的母线分别与，交于两点，则. 即椭圆的长轴长切点圆之间的母线长. （2）长轴长与双球半径之间的关系：设两个球，的半径分别为，球心距，则如图2，图3，. （3）焦距与双球半径之间的关系：如图4，设， 由于，最终求出. 图3 图4 （4）离心率与截面角之间的关系 在空间中，已知圆锥是由围绕旋转得到的，我们把称为轴.用平面截圆锥，得到的截口曲线取决于平面与圆锥轴所成的线面角（显然，当与平行时，），具体关系如下： ①若，平面截圆锥面所得截口曲线为椭圆； ②若，平面截圆锥面所得截口曲线为抛物线： ③若，平面截圆锥面所得截口曲线为双曲线.这个比值就是圆锥曲线的离心率，离心率是一个比. 2. 与斜率和差积商有关的轨迹问题 （1）预备结论：在平面直角坐标系中，二元二次方程 满足以下条件时，其图像为双曲线. ①系数矩阵满秩，即， ②. （2）本节核心结论： 设动点，为两定点（原点除外），，则有： ①，根据上述结论，为双曲线 ②，为抛物线 ，即，当时，为圆，时，为双曲线，且时，为椭圆. ，当时，为一条直线. 3. 圆锥曲线第二定义与应用 圆锥曲线可以统一定义为:平面内到一个定点和到一条定直线不在上)的距离之比等于常数的点的轨迹. 当时，它是椭圆；当时，它是双曲线；当时，它是抛物线.其中是圆锥曲线的离心率，定点是圆锥曲线的焦点，定直线是圆雉曲线的准线. 5. 以焦点弦为直径的圆和准线的位置关系 （1）过抛物线的焦点F作直线与抛物线交于A，B两点，以AB为直径画圆，观察它与抛物线的准线l的关系，你能得到什么结论？相应于椭圆、双曲线如何？你能证明你的结论吗？ 分析：取AB的中点M，分别过A、B、M作准线的垂线AP、BQ、MN，垂足分别为P、Q、N，如图所示： 由抛物线的定义可知，|AP|＝|AF|，|BQ|＝|BF|，在直角梯形APQB中，,故圆心M到准线的距离等于半径， ∴以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．圆半径为r，则 ，分别过点A，B做右准线的垂线，则构成一个直角梯形，两底长分别为 ,（e为离心率） 圆心到准线的距离d为梯形的中位线长即∵椭圆0＜e＜1，∴，∴相离,双曲线e＞1，可得d＜r，相交． （2）一般地，设圆锥曲线的焦点F，过焦点的弦为PQ，以PQ为直径的圆与相应于F的准线相切于N，连接MN，过，分别作的垂线，垂足分别为，， 根据圆锥曲线的第二定义可得：，于是可得： 显然，当时，椭圆中以过右焦点的焦点弦为直径的圆和右准线相离（左边类似，当时，抛物线中以过焦点的焦点弦为直径的圆和准线相切，时，双曲线中以过右焦点的焦点弦为直径的圆和右准线相交（左边类似）. 6. 圆锥曲线的光学性质 （1）抛物线的光学性质： 如图1所示，从抛物线的焦点F发出的光线，被抛物线反射后，得到的是一系列的与抛物线对称轴平行(或重合)的光线；如图2所示，设抛物线在P处的切线l交对称轴于点Q，PM⊥上切线l交对称 轴于点 M，则焦点F是QM的中点. （2）椭圆的光学性质： 如图3所示，从椭圆的一个焦点发出的光线，被椭圆反射后，必定经过另一个焦点；如图4所示，椭圆在点P处的切线为l，直线PQ⊥l 交直线 ,于点Q,则PQ平分 ，由角平分线性质定理， （3）双曲线的光学性质： 如图5所示，从双曲线一个焦点发出的光线，被双曲线反射后，反射光线的反向延长线交于另一个焦点；如图6所示，双曲线在点 P 处的切线l与直线 相交于点Q，则PQ平分. 由角平分线性质定理， 二、题型归类 1. 丹德林双球 例1. 如图是数学家 Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面与截面都相切，设图中球，球的半径分别为4和2，球心距离，截面分别与球，球相切于点（是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于_________. 【变式练习】 1. 如图，在圆锥内放入两个球，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切），切点圆（图中粗线所示）分别为，，这两个球都与平面相切，切点分别为，，丹德林（G·Dandelin）利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，，为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin双球．若圆锥的母线与它的轴的夹角为，球，的半径分别为1、4，则椭圆的长轴长为_______． 2. 如图所示，在圆锥内放入两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面和平面相切，两个球分别与平面相切于点，丹德林（）利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin双球.若平面截圆锥得的是焦点在轴上，且离心率为的椭圆，圆锥的顶点到椭圆顶点的距离为，圆锥的母线与椭圆的长轴垂直，圆锥的母线与它的轴的夹角为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过右焦点的直线与椭圆交于A，B两点，A，B中点为D，过点F2的直线MF2与AB垂直，且与直线l：交于点M，求证：O，D，M三点共线. 2. 与斜率和差积商有关的轨迹问题 例2．【多选】已知的两个顶点的坐标分别是，且所在直线的斜率之积等于且斜率之差等于，则正确的是（    ） A．当时，点的轨迹是双曲线. B．当时，点在圆上运动. C．当时，点所在的椭圆的离心率随着的增大而增大. D．无论n如何变化，点的运动轨迹是轴对称图形. 【变式练习】 1. 【多选】设两点的坐标分别是，直线相交于点，设直线的斜率分别为，下列说法正确的是（    ） A．当时，点的轨迹是椭圆的一部分 B．当时，点的轨迹是双曲线的一部分 C．当时，点的轨迹是抛物线的一部分 D．当时，点的轨迹是椭圆的一部分 2. 在平面直角坐标系中，已知，直线相交于点，且与的斜率之差为2，则的最小值为__________. 3. 圆锥曲线第二定义与应用 例3.已知直线与双曲线的左右两支分别交于、两点，与双曲线的右准线相交于点，点为右焦点，若，，则实数的值为_________. 【变式练习】 1. 已知椭圆，左焦点为，在椭圆上取三个不同点、、，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（1）设椭圆（）的左、右焦点分别为，，左、右准线方程分别为：，：.如图，由椭圆上的动点向，分别作垂线，垂足分别为，.椭圆的第二定义指出如下性质：椭圆的离心率（，）.请利用椭圆的第二定义证明：焦半径公式，. （2）借助（1）中焦半径公式解决问题：已知为椭圆上两个不同的点，为右焦点，，若线段的垂直平分线交轴于点，求. 4. 如何用矩形折出圆锥曲线 例4．（人教A版选择性必修一P116）如图，矩形ABCD中，，．E，F，G，H分别是矩形四条边的中点，R，S，T是线段OF的四等分点，，，是线段CF的四等分点．证明直线ER与、ES与、ET与的交点L，M，N都在椭圆上． 【变式练习】 1．（苏教版选修一P87）把矩形的各边n等分，如图连接直线，则对应直线的交点是否在一个椭圆上，为什么？ 2．（苏教版选修第一册P100）如图，在矩形中，把边AB分成n等份．在边的延长线上，的n分之一为单位长度连续取点．过边AB上各分点和作直线，过延长线上的对应分点和点A作直线，这两条直线的交点为P，P在什么曲线上运动？    5. 以焦点弦为直径的圆和准线的位置关系 例5.（2023年新高考2卷）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（    ）． A． B． C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形 【变式练习】 1.（2018年全国2卷）设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，． （1）求的方程； （2）求过点，且与的准线相切的圆的方程． 6. 圆锥曲线的光学性质 例6．阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年），古希腊著名数学家﹐主要著作有《圆锥曲线论》、《论切触》等.尤其《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了希腊几何的最高水平，此书集前人之大成，进一步提出了许多新的性质.其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点.已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【变式练习】 1．椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点（如图）.已知椭圆的左､右焦点分别为，过点的直线与交于点，，过点作的切线，点关于的对称点为，若，，则（    ） A．2 B． C．3 D． 2．【多选】抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出去.反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.己知抛物线为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经上另一点反射后，沿直线射出，经过点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．平分 D．延长交直线于点.则三点共线 【过关检测】 1．【多选】已知两点的坐标分别为，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率之和是2，则下列说法正确的有（    ） A．点的轨迹关于轴对称 B．点的轨迹关于原点对称 C．若且，则恒成立 D．若且，则恒成立 2．【多选】设，两点的坐标分别为，，直线，相交于点，且它们的斜率之积为常数，则下列结论正确的是（    ） A．时，点的轨迹为焦点在轴的双曲线（不含与轴的交点） B．时，点的轨迹为焦点在轴的椭圆（不含与轴的交点） C．时，点的轨迹为焦点在轴的椭圆（不含与轴的交点） D．时，点的轨迹为椭圆（不含与轴的交点） 3.如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为，右准线l的方程为：． (1)求椭圆的方程； (2)在椭圆上任取三个不同点，使，证明：为定值，并求此定值． 4.已知点，直线动点满足到点F的距离与到定直线l的距离之比为 (1)求曲线的轨迹方程； (2)在抛物线中有如下性质：如图，在抛物线中，O为抛物线顶点，过焦点F的直线交抛物线与A，B两点，连接，并延长交准线l与D，C，则以为直径的圆与相切于点F，以为直径的圆与相切于中点．那么如图在曲线E中是否具有相同的性质？若有，证明它们成立；若没有，说明理由． 5．（2003年全国卷）已知常数，在矩形中，，，为的中点，点、、分别在、、上移动，且，为与的交点（如图），问是否存在两个定点，使到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由 6. 如图，矩形中，，.、、、分别是矩形四条边的中点，设，. （1）证明：直线与的交点在椭圆：上； （2）已知为过椭圆的右焦点的弦，直线与椭圆的另一交点为，若，试判断是否成等比数列，请说明理由. 7.（2023年新高考2卷）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（    ）． A． B． C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形 8.（2018年全国2卷）设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，． （1）求的方程； （2）求过点，且与的准线相切的圆的方程． 9．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经拋物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴：反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过拋物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（    ） A． B． C． D． 10．【多选】双曲线具有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图，双曲线的左、右焦点分别为，从发出的两条光线经过的右支上的两点反射后，分别经过点和，其中共线，则（    ） A．若直线的斜率存在，则的取值范围为 B．当点的坐标为时，光线由经过点到达点所经过的路程为6 C．当时，的面积为12 D．当时， 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 第19节 圆锥曲线的六种统一性 要点提炼： 1. 丹德林双球与圆锥曲线的立体视角；2. 与斜率和差积商有关的轨迹问题； 3. 圆锥曲线第二定义与应用； 4. 如何用矩形折出圆锥曲线； 5. 以焦点弦为直径的圆和准线的位置关系；6. 圆锥曲线的光学性质 1、 知识点梳理 1. 丹德林双球的定义 （1）如图1所示，在圆锥内放入两个球，，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切），切点圆分别为，.这两个球都与平面相切，切点分别为，，丹德林（G·Dandelin）利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，，为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin双球. 图1 图2 如图1，设直线分别与圆锥母线交于两点，再设过点的母线分别与，交于两点，由切线长定理：，，故. 同理，对于平面与圆锥侧面的交线上任意一点，过的母线分别与，交于两点，则. 即椭圆的长轴长切点圆之间的母线长. （2）长轴长与双球半径之间的关系：设两个球，的半径分别为，球心距，则如图2，图3，. （3）焦距与双球半径之间的关系：如图4，设， 由于，最终求出. 图3 图4 （4）离心率与截面角之间的关系 在空间中，已知圆锥是由围绕旋转得到的，我们把称为轴.用平面截圆锥，得到的截口曲线取决于平面与圆锥轴所成的线面角（显然，当与平行时，），具体关系如下： ①若，平面截圆锥面所得截口曲线为椭圆； ②若，平面截圆锥面所得截口曲线为抛物线： ③若，平面截圆锥面所得截口曲线为双曲线.这个比值就是圆锥曲线的离心率，离心率是一个比. 2. 与斜率和差积商有关的轨迹问题 （1）预备结论：在平面直角坐标系中，二元二次方程 满足以下条件时，其图像为双曲线. ①系数矩阵满秩，即， ②. （2）本节核心结论： 设动点，为两定点（原点除外），，则有： ①，根据上述结论，为双曲线 ②，为抛物线 ，即，当时，为圆，时，为双曲线，且时，为椭圆. ，当时，为一条直线. 3. 圆锥曲线第二定义与应用 圆锥曲线可以统一定义为:平面内到一个定点和到一条定直线不在上)的距离之比等于常数的点的轨迹. 当时，它是椭圆；当时，它是双曲线；当时，它是抛物线.其中是圆锥曲线的离心率，定点是圆锥曲线的焦点，定直线是圆雉曲线的准线. 5. 以焦点弦为直径的圆和准线的位置关系 （1）过抛物线的焦点F作直线与抛物线交于A，B两点，以AB为直径画圆，观察它与抛物线的准线l的关系，你能得到什么结论？相应于椭圆、双曲线如何？你能证明你的结论吗？ 分析：取AB的中点M，分别过A、B、M作准线的垂线AP、BQ、MN，垂足分别为P、Q、N，如图所示： 由抛物线的定义可知，|AP|＝|AF|，|BQ|＝|BF|，在直角梯形APQB中，,故圆心M到准线的距离等于半径， ∴以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．圆半径为r，则 ，分别过点A，B做右准线的垂线，则构成一个直角梯形，两底长分别为 ,（e为离心率） 圆心到准线的距离d为梯形的中位线长即∵椭圆0＜e＜1，∴，∴相离,双曲线e＞1，可得d＜r，相交． （2）一般地，设圆锥曲线的焦点F，过焦点的弦为PQ，以PQ为直径的圆与相应于F的准线相切于N，连接MN，过，分别作的垂线，垂足分别为，， 根据圆锥曲线的第二定义可得：，于是可得： 显然，当时，椭圆中以过右焦点的焦点弦为直径的圆和右准线相离（左边类似，当时，抛物线中以过焦点的焦点弦为直径的圆和准线相切，时，双曲线中以过右焦点的焦点弦为直径的圆和右准线相交（左边类似）. 6. 圆锥曲线的光学性质 （1）抛物线的光学性质： 如图1所示，从抛物线的焦点F发出的光线，被抛物线反射后，得到的是一系列的与抛物线对称轴平行(或重合)的光线；如图2所示，设抛物线在P处的切线l交对称轴于点Q，PM⊥上切线l交对称 轴于点 M，则焦点F是QM的中点. （2）椭圆的光学性质： 如图3所示，从椭圆的一个焦点发出的光线，被椭圆反射后，必定经过另一个焦点；如图4所示，椭圆在点P处的切线为l，直线PQ⊥l 交直线 ,于点Q,则PQ平分 ，由角平分线性质定理， （3）双曲线的光学性质： 如图5所示，从双曲线一个焦点发出的光线，被双曲线反射后，反射光线的反向延长线交于另一个焦点；如图6所示，双曲线在点 P 处的切线l与直线 相交于点Q，则PQ平分. 由角平分线性质定理， 二、题型归类 1. 丹德林双球 例1. 如图是数学家 Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面与截面都相切，设图中球，球的半径分别为4和2，球心距离，截面分别与球，球相切于点（是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于_________. 解析：设，由，解得， 所以，所以， 设直线与圆锥的母线相交于点， 圆锥的母线与球相切于两点，如图所示， 则，两式相加得，即，过作，垂直为，则四边形为矩形，所以，，所以椭圆的离心率为. 故答案为： 【变式练习】 1. 如图，在圆锥内放入两个球，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切），切点圆（图中粗线所示）分别为，，这两个球都与平面相切，切点分别为，，丹德林（G·Dandelin）利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，，为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin双球．若圆锥的母线与它的轴的夹角为，球，的半径分别为1、4，则椭圆的长轴长为_______． 解析：如图，A、B为圆锥的一条母线与球的切点，连接、，则，连接，过作交于点D，则，在直角中，，所以，解得，故，在和中，，，为公共边，所以，有.同理可得，由椭圆的定义，得长轴+.故答案为：. 2. 如图所示，在圆锥内放入两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面和平面相切，两个球分别与平面相切于点，丹德林（）利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin双球.若平面截圆锥得的是焦点在轴上，且离心率为的椭圆，圆锥的顶点到椭圆顶点的距离为，圆锥的母线与椭圆的长轴垂直，圆锥的母线与它的轴的夹角为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过右焦点的直线与椭圆交于A，B两点，A，B中点为D，过点F2的直线MF2与AB垂直，且与直线l：交于点M，求证：O，D，M三点共线. 解析：（1）因为圆锥的母线与它的轴的夹角为，所以，且，所以直角三角形中，，所以 ，又因为，所以，，故椭圆的标准方程为 （2）设， 由题可知直线AB的斜率存在且不为0， 设其方程为，代入椭圆，得： 所以，所以， 由题可知直线的方程为，且，所以 求得：，，所以，故O，D，M三点共线. 2. 与斜率和差积商有关的轨迹问题 例2．已知的两个顶点的坐标分别是，且所在直线的斜率之积等于且斜率之差等于，则正确的是（    ） A．当时，点的轨迹是双曲线. B．当时，点在圆上运动. C．当时，点所在的椭圆的离心率随着的增大而增大. D．无论n如何变化，点的运动轨迹是轴对称图形. 解析：设，则 ，所以，，整理得， 所以对于A选项，时，点的轨迹是去除了两个点的双曲线上，故A选项错误； 对于B选项，当时，点的轨迹为圆，故在圆上运动，故B选项正确； 对于C选项，当时，点的轨迹为表示焦点在轴上的椭圆，离心率为，故当时，椭圆的离心率随着的增大而减小，故C选项错误； 对于D选项，由于，点的运动轨迹，对任意的点与均在，故曲线关于轴对称，点的运动轨迹为，可能为椭圆，双曲线，圆，但均为轴对称图形，故D选项正确.故选：BD 【变式练习】 1. (多选)设两点的坐标分别是，直线相交于点，设直线的斜率分别为，下列说法正确的是（    ） A．当时，点的轨迹是椭圆的一部分 B．当时，点的轨迹是双曲线的一部分 C．当时，点的轨迹是抛物线的一部分 D．当时，点的轨迹是椭圆的一部分 解析：设，则，当时，即， 有，故A正确； 当时，有，故B正确；当时，， 即，故C正确； 当时，，即显然不是椭圆，故D错误. 故选：ABC 2. 在平面直角坐标系中，已知，直线相交于点，且与的斜率之差为2，则的最小值为__________. 解析：设，则，，所以，即， 即动点的轨迹方程为，，所以，所以当时. 故答案为： 3. 圆锥曲线第二定义与应用 例3.已知直线与双曲线的左右两支分别交于、两点，与双曲线的右准线相交于点，点为右焦点，若，，则实数的值为_________. 解析：记、在右准线上的射影分别为点、，由及双曲线第二定义知：，又，所以，从而，则. 【变式练习】 1. 已知椭圆，左焦点为，在椭圆上取三个不同点、、，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 解析：在椭圆中，，，，如下图所示： 椭圆的左准线为，以为顶点，轴的正方向为始边的方向，为角的终边，当时，过点作，过点作，垂足分别为点、， 易知四边形为矩形，则，由椭圆第二定义可得，则，又因为轴，则，所以，，所以，，因为，即，所以，， 同理可知，当为任意角时，等式仍然成立，同理可得，，因此， ，故的最小值为.故选：B. 2．（1）设椭圆（）的左、右焦点分别为，，左、右准线方程分别为：，：.如图，由椭圆上的动点向，分别作垂线，垂足分别为，.椭圆的第二定义指出如下性质：椭圆的离心率（，）.请利用椭圆的第二定义证明：焦半径公式，. （2）借助（1）中焦半径公式解决问题：已知为椭圆上两个不同的点，为右焦点，，若线段的垂直平分线交轴于点，求. 解析：（1）由，得，，又，，所以，， 即，. （2）由题意，在椭圆中，，，，.设，， 则由焦半径公式，得，所以，所以线段的中点为.设.由题意知，直线与坐标轴不平行，且直线的斜率，所以线段的垂直平分线的斜率为，则线段的垂直平分线方程为.代入，得 ，解得，所以. 4. 如何用矩形折出圆锥曲线 例4．（人教A版选择性必修一P116）如图，矩形ABCD中，，．E，F，G，H分别是矩形四条边的中点，R，S，T是线段OF的四等分点，，，是线段CF的四等分点．证明直线ER与、ES与、ET与的交点L，M，N都在椭圆上． 解析：由题得，，所以，所以直线的方程为，①，由题得，所以，所以直线的方程为，②，联立方程①②解之得所以直线的交点为， 代入椭圆方程得，所以直线的交点在椭圆上.同理ES与、ET与的交点M，N都在椭圆上． 【变式练习】 1．（苏教版选修第一册P87）把矩形的各边n等分，如图连接直线，判断对应直线的交点是否在一个椭圆上，为什么？ 解析：设矩形的长，宽，以的中点为原点，所在的直线为轴，的中垂线为轴，建立直角坐标系，则由于整个图形关于轴对称，我们只研究第一象限，设点是上自右到左的第个分点，点是上自上到下的第个分点，则，， 所以①，②，①，②式相乘且整理得③，因为点是直线与的交点，所以点满足方程③ 故点在椭圆上． 2．（苏教版选修第一册P100）如图，在矩形中，把边AB分成n等份．在边的延长线上，的n分之一为单位长度连续取点．过边AB上各分点和作直线，过延长线上的对应分点和点A作直线，这两条直线的交点为P，P在什么曲线上运动？    解析：设，取所在的直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，设第组对应直线与的交点为，且点在第一象限， 则，，，，直线的方程为，①直线的方程为，② 点坐标满足方程①②，①②相乘得，即（点在第一象限），所以点在双曲线的右支上半部分上运动. 5. 以焦点弦为直径的圆和准线的位置关系 例5.（2023年新高考2卷）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（    ）． A． B． C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形 解析：A选项：直线过点，所以抛物线的焦点，所以，则A选项正确，且抛物线的方程为. B选项：设，由消去并化简得，解得，所以，B选项错误. C选项：设的中点为，到直线的距离分别为，因为，即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确. D选项：直线，即，到直线的距离为，所以三角形的面积为，由上述分析可知， 所以，所以三角形不是等腰三角形，D选项错误.故选：AC.    【变式练习】 1.（2018年全国2卷）设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，． （1）求的方程； （2）求过点，且与的准线相切的圆的方程． 解：（1）由题意得F（1，0），l的方程为y=k（x–1）（k>0）．设A（x1，y1），B（x2，y2）． 由得． ，故． 所以．由题设知，解得k=–1（舍去），k=1．因此l的方程为y=x–1． （2）由（1）得AB的中点坐标为（3，2），所以AB的垂直平分线方程为 ，即．设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则 解得或，因此所求圆的方程为 或． 6. 圆锥曲线的光学性质 例6．阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年），古希腊著名数学家﹐主要著作有《圆锥曲线论》、《论切触》等.尤其《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了希腊几何的最高水平，此书集前人之大成，进一步提出了许多新的性质.其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点.已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（    ） A． B． C． D． 解析：设，，，由题意知，，， 所以，，，所以， 又，所以，解得，所以. 故选：B. 【变式练习】 1．椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点（如图）.已知椭圆的左､右焦点分别为，过点的直线与交于点，，过点作的切线，点关于的对称点为，若，，则（    ） 注：表示面积. A．2 B． C．3 D． 解析：如图，由椭圆的光学性质可得三点共线.设， 则. 故，解得.又，所以，所以. 故选：C. 2．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出去.反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.己知抛物线为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经上另一点反射后，沿直线射出，经过点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．平分 D．延长交直线于点.则三点共线 解析：代入得，所以，又，直线方程为，即，由，解得或，所以， 即，，A错； ，B正确； ，，即，，又，即，且都是锐角，所以，C正确； 准线的方程是，直线方程为，由代入得，即， 所以在直线上，D正确.故选：BCD. 【过关检测】 1．已知两点的坐标分别为，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率之和是2，则下列说法正确的有（    ） A．点的轨迹关于轴对称 B．点的轨迹关于原点对称 C．若且，则恒成立 D．若且，则恒成立 解析：因直线的斜率存在，故.由可得，，整理可得，因，故得，即点的轨迹方程为：. 如上作出函数的图象，由图易得A错误； 对于B，由，可得， 即函数为奇函数，图象关于原点对称，故B正确； 对于C，当且时，因，即得恒成立，故C正确； 对于D，当且时，设，因，，故在且时不能恒大于0，即不能恒成立,故D错误.故选：BC. 2．设，两点的坐标分别为，，直线，相交于点，且它们的斜率之积为常数，则下列结论正确的是（    ） A．时，点的轨迹为焦点在轴的双曲线（不含与轴的交点） B．时，点的轨迹为焦点在轴的椭圆（不含与轴的交点） C．时，点的轨迹为焦点在轴的椭圆（不含与轴的交点） D．时，点的轨迹为椭圆（不含与轴的交点） 解析：设，则，，则， 即得，整理可得，当时，易知点的轨迹为焦点在轴的双曲线（不含与轴的交点），故A正确； 当时，可化为，因为，以点的轨迹为焦点在轴的椭圆（不含与轴的交点），故B正确； 当时，可化为，因为，所以点的轨迹为焦点在轴，以，为短轴端点的椭圆（除去点，），故C错误； 若，则，表示以原点为圆心，为半径的圆（除去点，），故D错误；故选：AB． 3.如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为，右准线l的方程为：． (1)求椭圆的方程； (2)在椭圆上任取三个不同点，使，证明：为定值，并求此定值． 解析：（1）设椭圆方程为．因焦点为，故半焦距，又右准线的方程为，从而由已知，因此，，故所求椭圆方程为. （2） 记椭圆的右顶点为A，并设（1，2，3），不失一般性，假设 ，且，．又设点在上的射影为，因椭圆的离心率，从而有  ． 解得 ． 因此， 而， 故为定值．综上，椭圆方程为；. 4.已知点，直线动点满足到点F的距离与到定直线l的距离之比为 (1)求曲线的轨迹方程； (2)在抛物线中有如下性质：如图，在抛物线中，O为抛物线顶点，过焦点F的直线交抛物线与A，B两点，连接，并延长交准线l与D，C，则以为直径的圆与相切于点F，以为直径的圆与相切于中点．那么如图在曲线E中是否具有相同的性质？若有，证明它们成立；若没有，说明理由． 解析：（1）由题知，曲线的轨迹为焦点在轴上的椭圆，且，所以 所以椭圆E的轨迹方程为 （2）以为直径的圆与不相切．理由如下：当焦点弦的最大值为长轴长，此时圆方程为，圆与直线相离；当轴时焦点弦的最短，此时圆方程为，圆与直线相离；以为直径的圆与相切于点F，证明如下： 设，，直线的方程为 由化简得由韦达定理得 直线的方程为，令，得， 同理， ，，所以，以为直径的圆过点F 又因为中点坐标为，而，即 所以，，所以为直径的圆与相切于点F 5．（2003年全国卷）已知常数，在矩形中，，，为的中点，点、、分别在、、上移动，且，为与的交点（如图），问是否存在两个定点，使到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由 解析:按题意有,,,，设由此有，，，直线的方程为：① 直线的方程为：②，从①，②消去参数，得点的坐标满足方程，整理得:. 当时，点的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点. 当时，点轨迹为椭圆的一部分，点到该椭圆焦点的距离的和为定长 当时，点到椭圆两个焦点，的距离之和为定值. 当时，点到椭圆两个焦点,的距离之和为定值. 6. 如图，矩形中，，.、、、分别是矩形四条边的中点，设，. （1）证明：直线与的交点在椭圆：上； （2）已知为过椭圆的右焦点的弦，直线与椭圆的另一交点为，若，试判断是否成等比数列，请说明理由. 解析：（1）设，依题意，，，，，则直线的方程为①  ，直线的方程为②                                 ①×②得：即  故直线与的交点M在椭圆上； （2）依题意，直线的斜率均不为零，故设直线PO的方程为， 直线MO的方程为  由得：                              由得              即成等比数列. 7.（2023年新高考2卷）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（    ）． A． B． C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形 解析：A选项：直线过点，所以抛物线的焦点，所以，则A选项正确，且抛物线的方程为. B选项：设，由消去并化简得，解得，所以，B选项错误. C选项：设的中点为，到直线的距离分别为，因为，即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确. D选项：直线，即，到直线的距离为，所以三角形的面积为，由上述分析可知， 所以，所以三角形不是等腰三角形，D选项错误.故选：AC.    8.（2018年全国2卷）设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，． （1）求的方程； （2）求过点，且与的准线相切的圆的方程． 解：（1）由题意得F（1，0），l的方程为y=k（x–1）（k>0）．设A（x1，y1），B（x2，y2）． 由得． ，故． 所以．由题设知，解得k=–1（舍去），k=1．因此l的方程为y=x–1． （2）由（1）得AB的中点坐标为（3，2），所以AB的垂直平分线方程为 ，即．设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则 解得或，因此所求圆的方程为 或． 9．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经拋物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴：反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过拋物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（    ） A． B． C． D． 解析：抛物线的焦点为，准线为，由点在抛物线上，则， 直线方程为：，即，由，消去得，解得或，由，得，于是，，而， 所以的周长为.故选：D    10．双曲线具有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图，双曲线的左、右焦点分别为，从发出的两条光线经过的右支上的两点反射后，分别经过点和，其中共线，则（    ） A．若直线的斜率存在，则的取值范围为 B．当点的坐标为时，光线由经过点到达点所经过的路程为6 C．当时，的面积为12 D．当时， 解析：如图所示，过点分别作的两条渐近线的平行线，则的斜率分别为和， 对于A中，由图可知，当点均在的右支时，或，所以A正确； 对于B中，光线由经过点到达点所经过的路程为 ，所以B正确； 对于C中，由，得，即，所以， 设，则，因为，所以，整理得，解得或（舍去），所以，，所以的面积，所以C错误； 对于D项，在直角中，，所以，所以D正确．故选：ABD． 25 学科网（北京）股份有限公司 $