精品解析：贵州省遵义清华中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

遵义清华中学2025-2026学年度第一学期期中考 高二数学 (满分：150分时间：120分钟) 注意事项： 1.考试开始前，请用黑色签字笔将答题卡上的学校，姓名，班级，考号填写清楚，并在相应置粘贴条形码. 2.客观题答题时，请用2B铅笔答题，若需改动，请用橡皮轻轻擦拭干净后再选涂其它选项，主观题答题时，请用黑色签字笔在答题卡相应的位置答题；在规定区域以外的答题不给分；在试卷上作答无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是答题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. 45° D. 135° 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可知直线的斜率为1，设直线的倾斜角为，则，结合的范围可得结果. 【详解】依题意可知直线的斜率为1，设直线的倾斜角为，则，又，故. 故选：C. 2. 已知直线与直线，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两直线垂直其斜率的关系即求. 【详解】由题得， ∴. 故选：B. 3. 已知直线与平行，则实数的取值是 A. －1或2 B. 0或1 C. －1 D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】因为两直线的斜率都存在，由与平行得，当时，两直线重合，，故选C. 4. 已知平面向量且，则一定共线的三点是（    ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】先考虑向量共线时，的位置关系，再考虑向量不共线时，利用向量共线定理和平面向量基本定理逐项判断即可. 【详解】若向量共线，则共线，此时共线， 当向量不共线时， 对于A选项， ，所以三点共线，A正确； 对于B选项，设 ，则 ，即 无解，B错误； 对于C选项，设 ，则 ，即 ，无解，C错误； 对于D选项， ，设 ， 即 ，即 ，无解，D错误． 故选：A 5. 下列说法中，错误的是（ ） A. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 B. 点关于直线的对称点为 C. 直线经过定点 D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程只有 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，求出直线与坐标轴的交点坐标，即可求出三角形面积；对于B，判断两个点的中点是否在直线上以及求出连线斜率判断是否和直线垂直即可；对于C，令即可判断；对于D，举反例可得直线过原点的情况. 【详解】对于A，直线与两坐标轴交于，， 所以围成的三角形面积为，故A正确； 对于B，点和的中点在直线上， 且连线的斜率为，可得与直线垂直， 所以点关于直线的对称点为，故B正确； 对于C，令，解得， 可得直线经过定点，故C正确； 对于D，若直线经过原点，满足题意，此时直线方程为，故D错误. 故选：D. 6. 已知是三个不同的平面，是两条不同的直线，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. ，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中直线与平面的位置关系一一判定即可. 【详解】如图所示正方体中， 若直线分别对应，底面对应，显然有， 但，即A错误； 若底面对应，侧面分别对应，显然有， 但，即B错误； 同上假设底面对应，侧面分别对应， 则直线分别对应，显然三条直线两两垂直，即D错误； 由面面平行的性质可知C项正确. 故选：C 7. 如图，往一个正四棱台密闭容器内倒入的水，水面高度恰好为棱台高度的，且，，则这个容器的容积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设水体对应的台体的高为，利用台体的体积公式可求出的值，可知容器的高为，再利用台体的体积公式可求出容器的容积. 【详解】设水体对应的台体的高为，则水体对应台体的上底面是边长为的正方形， 由台体的体积公式可得，解得， 故容器的高为，容器的容积为， 故选：A. 8. 瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出点C的坐标，求出的重心并代入欧拉线方程，验证并排除部分选项，余下选项再由外心、垂心验证判断作答. 【详解】设顶点的坐标为，则的重心坐标为， 依题意，，整理得：， 对于A，当时，，不满足题意，排除A； 对于D，当时，，不满足题意，排除D； 对于B，当时，， 对于C，当时，， 直线AB的斜率，线段AB中点，线段AB中垂线方程：，即， 由解得：，于是得的外心， 若点，则直线BC的斜率，线段BC中点，该点与点M确定直线斜率为， 显然，即点M不在线段BC的中垂线上，不满足题意，排除B； 若点，则直线BC的斜率，线段BC中点，线段BC中垂线方程为：，即， 由解得，即点为的外心，并且在直线上， 边AB上的高所在直线：，即， 边BC上的高所在直线：，即， 由解得：，则的垂心，此时有， 即的垂心在直线上，选项C满足题意. 故选：C 【点睛】结论点睛：的三顶点，则的重心为. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对得6分，有选错的得0分，部分选对的得3分. 9. 已知直线的两点式方程为，则下列选项正确的是（ ） A. 直线经过点 B. 直线的斜截式方程为 C. 直线的一个方向向量为 D. 直线的一个法向量为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用直线的两点式方程可判断A选项；将直线的方程变形可判断B选项；利用直线的方向向量的概念可判断C选项；利用直线法向量的概念可判断D选项. 【详解】对于A选项，由直线的两点式方程可知，直线经过点、，A对； 对于B选项，将直线的方程变形为，即，B对； 对于C选项，直线的一个方向向量为，C对； 对于D选项，直线的一个法向量为，D错. 故选：ABC. 10. 已知直线：与：，则下列选项正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 若，则，间的距离为 D. 原点到的距离的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据直线的平行和垂直以及距离公式依次判断4个选项即可. 【详解】对于A， ，两直线重合，错误； 对于B， ，正确； 对于C，若 ，则，解得或.当时，，重合， 当时， ，∴的方程为，的方程为，，间的距离为，正确； 对于D，由，可得恒过点，所以原点到的距离的最大值为，正确； 故选：BCD. 11. 如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的有（ ） A. 直线与所成角的正切值为 B. 用平面截该正方体，所得截面周长为 C. 若平面，则长度的取值范围为 D. 若，则动点的轨迹长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：利用三角函数定义即可求得结果.对于B：做出截面的图形，分别求每条边的长即可求得结果, 对于C：找出点Q的轨迹，即可求出长度的取值范围，对于D：同样找出点Q的轨迹，即可求出动点的轨迹长度. 【详解】对于A： 如图，连接,直线与所成角即直线与所成角,即, 在三角形中，,故A正确； 对于B，如图，截面为等腰梯形， 周长，B错误； 对于C，如图取中点的中点为，平面即为平面, 因为,平面,平面,平面, 同理：平面,所以平面平面， 动点的轨迹为线段，，又可知是等腰三角形， 所以,最小值为边上的高， 可得的长度取值范围为，C正确； 对于D，因为平面，平面，所有， 则有，所以点轨迹是以为圆心，为半径的圆弧， 圆心角是，轨迹长度为，D正确． 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 两直线和的交点为______． 【答案】 【解析】 【分析】联立两条直线的方程可得交点. 【详解】由题意可得，解得， 交点坐标为. 故答案为： 13. 不论a为何实数，直线恒过一定点，则此定点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】将直线重新整理并令的系数为零，通过解方程组可得定点坐标. 【详解】将直线整理为； 直线过定点与无关，所以，且； 联立解方程组可得； 可得定点坐标为. 故答案为： 14. 一个正三棱台的上､下底面边长分别为1和2，则它的外接球体积的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理求出上、下底面外接圆的半径，设高为，外接球的半径，上底面外接圆圆心，下底面外接圆圆心，外接球球心为，利用勾股定理得到，即可得到，再由基本不等式求出，最后由体积公式计算可得. 【详解】因为正三棱台的上､下底面边长分别为1和2， 所以上底面外接圆的半径， 下底面外接圆的半径， 设高为，外接球的半径，上底面外接圆圆心，下底面外接圆圆心，外接球球心为， 则，则， 所以， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以， 所以外接球体积的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的顶点坐标为． （1）求过点且与直线平行的直线的方程（写成一般式）； （2）求边上的中垂线所在直线的方程（写成一般式）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出直线的斜率，再利用点斜式方程得到所求直线方程，再化为一般式即可； （2）先求出直线的斜率，再根据垂直求出中垂线的斜率，再求出线段的中点，再利用点斜式方程得到所求直线方程，再化为一般式即可. 【小问1详解】 设过点且与直线平行的直线为，其斜率为， 则，设， 整理得：. 【小问2详解】 边上的中垂线所在直线为，其斜率为 ，直线，，解得， 又因为的中点坐标为，即， 故可设， 整理得：. 16. 在正四棱柱中，是棱上的中点． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，通过验证即可证明； （2）写出与平面的法向量，再运用向量夹角公式即可得解. 【小问1详解】 如图，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 因为， 所以， ， 因为， 所以. 【小问2详解】 由题可知，. 则， 设平面的法向量为， 则有，即， 不妨取，则，故. 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知直线均过点． （1）若直线过点，且，求直线的方程（写成斜截式）； （2）若直线在轴和轴上的截距互为相反数，求直线的方程（写成斜截式）； （3）若直线与两坐标轴的正半轴能够围成三角形，求该三角形面积最小时直线的方程（写成斜截式）． 【答案】（1） （2）为或 （3） 【解析】 【分析】（1）先求出直线的斜率，再根据两直线垂直斜率积为求出直线的斜率，进而求出方程； （2）分斜率不存在，为，不为三种情况讨论，求出在轴和轴上的截距，进而求出，写出方程； （3）写出直线的点斜式方程，求出在轴和轴上的截距，列式求出的范围，进而求出三角形的面积，根据均值不等式求出最小值和，写出方程. 【小问1详解】 ，又，所以， 所以直线的方程为，即； 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，不满足条件； 当直线斜率为时，直线的方程为，不满足条件； 当斜率存在且不为时，设直线的方程为， 令，则，令，则， 因为直线在轴和轴上的截距互为相反数， 所以，所以或， 又因为直线过点，所以， 所以当时，；当时，； 所以直线的方程为或； 【小问3详解】 因为直线与两坐标轴的正半轴能够围成三角形，所以直线的斜率一定存在且不为， 又直线过点，所以设直线的方程为， 令，则，令，则， 所以，解得， ， 当且仅当，即时，取得最小值， 所以直线的方程为，即. 18. 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，平面ABCD，平面ABCD，． （1）若G为AE的中点，求证：平面DEF； （2）若多面体ABCDEF的体积为32， ①求CF的长度； ②求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明：连接CG，如图所示，因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 因为G为AE的中点，， 所以， 则四边形CFEG是平行四边形，所以， 因为平面DEF，平面DEF， 所以平面DEF； （2）①2；②0. 【解析】 【分析】（1）连接CG，由线面垂直的性质得到，再由集合关系证明四边形CFEG是平行四边形可得； （2）①连接，，由面面垂直的性质得到平面，利用组合体的体积等于两棱锥的体积建立方程可得； ②作(Q在EF上) ，连接DQ，由几何关系结合余弦定理可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①连接，，   因为四边形ABCD是正方形，平面，平面， 所以平面平面， 平面平面，又， 平面ABCD， 所以平面． 多面体ABCDEF的体积等于． 假设， 所以四棱锥和四棱锥的高都为， 四边形（直角梯形）的面积为， 因为多面体的体积为32，故， 解得，故； ②作(Q在EF上) ，连接DQ， 因为，，， 所以由勾股定理得，， 又，故， 在中，由余弦定理得， 故， 所以， 因为≌，则，则为二面角的平面角， 同理可得， 由于，故，， 二面角的余弦值为0． 19. 已知直线和点，点到直线的有向距离用如下方法规定：若，，若，． （1）已知直线，直线，求原点到直线的有向距离； （2）已知点和点，是否存在通过点的直线，使得？如果存在，求出所有这样的直线，如果不存在，说明理由； （3）设直线，问是否存在实数，使得对任意的参数都有：点到的有向距离满足？如果满足，求出所有满足条件的实数；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）或 （3）存在， 【解析】 【分析】(1)直接利用点到直线的有向距离公式进行计算即可. (2)分斜率存在和斜率不存在两种情况，分别利用点到直线的有向距离公式进行化简，即可求出直线方程. (3)分和，分别计算出，然后根据题意 可得出关于和的等量关系，进行求出的结果. 【小问1详解】 由直线，直线，根据点到直线的有向距离公式得， ，； 即， 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时，舍去； 当直线的斜率存在时，直线的方程为， 由题意,所以直线可化为， 假设，则，解得或． 所以存在直线的方程为或； 【小问3详解】 当时，直线， ， 由，整理得 ，，，，即， 当时，直线， 得， 由， 即， 或，解得 或， 由题意对任意的参数都有恒成立，所以， 综上所述，存在实数满足题目条件，即 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义清华中学2025-2026学年度第一学期期中考 高二数学 (满分：150分时间：120分钟) 注意事项： 1.考试开始前，请用黑色签字笔将答题卡上的学校，姓名，班级，考号填写清楚，并在相应置粘贴条形码. 2.客观题答题时，请用2B铅笔答题，若需改动，请用橡皮轻轻擦拭干净后再选涂其它选项，主观题答题时，请用黑色签字笔在答题卡相应的位置答题；在规定区域以外的答题不给分；在试卷上作答无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是答题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. 45° D. 135° 2. 已知直线与直线，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线与平行，则实数的取值是 A. －1或2 B. 0或1 C. －1 D. 2 4. 已知平面向量且，则一定共线的三点是（    ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 下列说法中，错误的是（ ） A. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 B. 点关于直线的对称点为 C. 直线经过定点 D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程只有 6. 已知是三个不同的平面，是两条不同的直线，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. ，则 7. 如图，往一个正四棱台密闭容器内倒入的水，水面高度恰好为棱台高度的，且，，则这个容器的容积为（ ） A. B. C. D. 8. 瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对得6分，有选错的得0分，部分选对的得3分. 9. 已知直线的两点式方程为，则下列选项正确的是（ ） A. 直线经过点 B. 直线的斜截式方程为 C. 直线的一个方向向量为 D. 直线的一个法向量为 10. 已知直线：与：，则下列选项正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 若，则，间的距离为 D. 原点到的距离的最大值为 11. 如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的有（ ） A. 直线与所成角的正切值为 B. 用平面截该正方体，所得截面周长为 C. 若平面，则长度的取值范围为 D. 若，则动点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 两直线和的交点为______． 13. 不论a为何实数，直线恒过一定点，则此定点的坐标为________． 14. 一个正三棱台的上､下底面边长分别为1和2，则它的外接球体积的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的顶点坐标为． （1）求过点且与直线平行的直线的方程（写成一般式）； （2）求边上的中垂线所在直线的方程（写成一般式）． 16. 在正四棱柱中，是棱上的中点． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知直线均过点． （1）若直线过点，且，求直线的方程（写成斜截式）； （2）若直线在轴和轴上的截距互为相反数，求直线的方程（写成斜截式）； （3）若直线与两坐标轴的正半轴能够围成三角形，求该三角形面积最小时直线的方程（写成斜截式）． 18. 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，平面ABCD，平面ABCD，． （1）若G为AE的中点，求证：平面DEF； （2）若多面体ABCDEF的体积为32， ①求CF的长度； ②求二面角的余弦值． 19. 已知直线和点，点到直线的有向距离用如下方法规定：若，，若，． （1）已知直线，直线，求原点到直线的有向距离； （2）已知点和点，是否存在通过点的直线，使得？如果存在，求出所有这样的直线，如果不存在，说明理由； （3）设直线，问是否存在实数，使得对任意的参数都有：点到的有向距离满足？如果满足，求出所有满足条件的实数；如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $