精品解析：广东省惠州市河南岸中学2025-2026学年上学期九年级数学期中试题

河南岸中学2025-2026学年第一学期第二阶段教学质量检测 九年级数学科试题 (考试时间：120分钟 试卷满分：120分) 一、单选题 (每题3分，共30分) 1. 数学推理与运算离不开数学符号的规范使用，下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的定义，解题的关键是掌握两种图形的判定方法（轴对称图形沿直线折叠后重合，中心对称图形绕中心旋转后重合）． 分别判断各选项图形是否同时满足轴对称和中心对称的判定条件． 【详解】解：A、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，此选项不符合题意； B、该图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，此选项不符合题意； C、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，此选项不符合题意； D、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，此选项符合题意； 故选：D． 2. 已知是方程的一个根，则实数的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，把代入方程即可求解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】解：将代入原方程得：， 解得：， 故选：． 3. 已知一圆锥侧面展开图如图所示，则该圆锥的底面半径为（ ） A. B. 1 C. π D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．根据这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长列方程即可． 【详解】解：依题意， 解得： 故选：B． 4. 将二次函数的图象向上平移6个单位，向左平移2个单位后得到的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查抛物线的平移变换，解题的关键是掌握抛物线平移规律：左加右减，上加下减．根据抛物线平移规律即可得到答案． 【详解】解：将二次函数的图像向上平移6个单位，向左平移2个单位后得到的函数解析式为， 即， 故选：C． 5. 某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了21条航线，则这个航空公司共有个飞机场，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设这个航空公司共有个飞机场，根据题意，列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设这个航空公司共有个飞机场，根据题意，得 故选：D． 6. 如图，在长为30米，宽为18米的矩形地面上修筑等宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为480平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将图形利用平移进行转化，可得空白长方形的面积=长×宽，列方程即可． 【详解】利用图形平移可将原图转化为下图，道路的宽为x米． 根据题意可得：． 故选：B． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的实际运用，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键． 7. 如图，点在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 8. 如图， 在中，，将绕着点A顺时针旋转后，得到，且点在上， 则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质．熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 先根据旋转的性质得到，，再根据等腰三角形的性质得到，然后根据邻补角的定义计算出的度数． 【详解】解：绕着点顺时针旋转后，得到，且点在上， ，， ， ， ． 故选：D． 9. 已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的大致图象可能是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由二次函数图象可知a＞0，－c＜0，∴a＞0，c＞0． 根据一次函数图象与系数的关系： ①当，时，函数的图象经过第一、二、三象限； ②当，时，函数的图象经过第一、三、四象限； ③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限； ④当，时，函数的图象经过第二、三、四象限． ∴由函数的，，故它的图象经过第一、二、三象限．故选A． 10. 如图是二次函数（，，是常数，）图象的一部分，与x轴的交点在点和之间，顶点为对于下列结论：①；②；③；④当时，；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为．其中正确的是（ ） A. ①②⑤ B. ①②④ C. ①②③ D. ②③⑤ 【答案】A 【解析】 【分析】根据对称轴判断①，根据抛物线与轴的另一个交点在和之间，得出当时，，即可判断②，根据当时，，即可判断③，根据函数图象即可判断④,根据抛物线与直线的交点关于对称即可求解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，即， ∴，故①正确； ∵抛物线与x轴的交点在点和之间，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点在和之间， ∴当时，，即，故②正确； ∵抛物线与x轴的交点在点和之间， ∴当时， 又 ∴ ∴，故③错误 根据函数图象可知，当时，的值有正有负，故④错误， ∵抛物线与直线的交点关于对称， 设的两根为,根据对称性可得，则， 同理的两根和为， ∴若方程有四个根， 这四个根的和为．故⑤正确 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 二、填空题 (每题3分，共15分) 11. 在平面直角坐标系中，点 关于原点的对称点是_____________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，熟练掌握关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数是解题的关键．根据关于原点对称的点的坐标特征，即横、纵坐标都互为相反数来求解． 【详解】解：点，关于原点对称的点的横坐标为，纵坐标为， 所以对称点是． 故答案为：． 12. 二次函数的顶点坐标为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数顶点解析式即可确定二次函数的顶点坐标． 【详解】解：由顶点式可知的顶点为． 故答案为：． 13. 如图，一次函数与二次函数的图象分别交于点，．不等式成立时，的取值范围是__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，直接根据一次函数与二次函数的图象即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数与二次函数的图象分别交于点，， ∴不等式成立时，二次函数图象在一次函数上方的部分的的取值即为不等式的解， ∴的取值范围是或， 故答案为：或． 14. 如图，四边形是的内接四边形，若 则的度数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟知圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 先根据圆内接四边形的性质求出的度数，再由圆周角定理即可得出结论． 【详解】解：四边形是的内接四边形，， ， ． 故答案为：． 15. 如图，P为矩形外一点，且点P到的中点O的距离为1，，当线段绕点O旋转时，的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的性质等知识点，发现点P的轨迹是以的中点O为圆心，以半径为1的圆是解题的关键． 先运用等腰三角形的判定与性质以及三角形内角和定理说明，易得：点P的轨迹是以的中点O为圆心，以半径为1的圆，连接并延长交于点，即为的最大值，然后运用勾股定理以及圆的基本性质即可解答． 【详解】解：∵点P到的中点O的距离为1，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴如图：点P的轨迹是以的中点O为圆心，以半径为1的圆，连接并延长交于点，即为的最大值， ∵矩形，， ∴， ∴， ∴． 故答案为． 三、解答题 (一)(每题7分，共21分) 16. 在解一元二次方程 时，小明的解法如下： 第一步： 第二步： 第三步： 第四步： 或 第五步： 问： （1）小明第三步配方的依据是 ； A．完全平方公式 B．平方差公式 C．多项式与多项式乘法法则 （2）上述解题过程有误，错在步骤 (填序号) （3）请你写出正确的解答过程． 【答案】（1）A （2）2 （3） ， ， ， ， 则， 所以，． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程配方法，熟知配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． （1）根据所给步骤，得出第三步的依据即可； （2）观察所给步骤可知，第二步等式右边漏加了1，据此可解决问题； （3）根据题意，解出方程即可． 【小问1详解】 解：由题知，第三步配方的依据是完全平方公式， 所以A选项符合题意． 故答案为：A； 【小问2详解】 解：由解题步骤可知， 第二步等式右边漏加了1， 所以第二步出现错误． 故答案为：2； 【小问3详解】 略 17. 如图，三个顶点的坐标分别为． （1）请画出关于原点对称的，并写出的坐标； （2）请画出绕点B逆时针旋转后的． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求，的坐标为； （2） 如图所示，即为所求． 【解析】 【分析】此题考查了旋转和中心对称的作图． （1）找到关于原点对称的对应点，顺次连接即可得到，写出的坐标即可； （2）找到绕点B逆时针旋转后的对应点，顺次连接即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为，与y轴的交点为． （1）求该抛物线的表达式； （2）求该抛物线与直线的交点坐标． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是熟记二次函数的性质和熟练解一元二次方程． （1）将代入，即可求解； （2）将代入解析式，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：根据题，抛物线的表达式为． 将代入，得， 解得． ∴该抛物线的表达为． 【小问2详解】 由（1）可知， 当时，， 解得，． ∴该抛物线与直线的交点坐标分别为，． 四、解答题 (二)(每题9分，共27分) 19. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若此方程的两根分别为，，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出，，结合，可得出关于m的一元二次方程，解之取其小于的值即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， 【小问2详解】 解：，是一元二次方程的两个实数根， ，， ，即， 整理得：， 解得：，． 又， ． 【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有两个不相等实数根”；（2）根据根与系数的关系，找出关于m的一元二次方程． 20. 如图，为等腰三角形，O是底边的中点，腰与相切于点D． （1）求证：是的切线． （2）已知：，，求的半径是多少？ 【答案】（1） 证明：过点O作于点E，连接， 为等腰三角形，O是底边的中点， 是的平分线． 与O相切于点D， ∴， ，即是的半径， 是的切线； （2）的半径是 【解析】 【分析】（1）过点O作于点E，连接，根据等腰三角形“三线合一”的性质结合角平分线的性质定理，得出，即是的半径，即证是的切线； （2）根据等腰三角形“三线合一”的性质可求出，，再根据含30度角的直角三角形的性质得出，即得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵为等腰三角形，O是底边的中点， ∴是的平分线，，， ∴． ∴． ∵， ， 的半径是． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，切线的性质和判定，角平分线的性质定理，含30度角的直角三角形的性质，连接常用辅助线是解题关键． 21. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇． 某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率； 任务2 当零件的实际售价定为多少元时，每个月获得的销售利润最大？最大利润为多少？ 【答案】（1）任务一：；任务二：零件的实际售价定为65元时，每个月获得的销售利润最大，最大利润为12250元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用、二次函数的应用，理解题意，正确列出方程和函数解析式是解答的关键． 任务一：设平均增长率为a，根据题意，直接列方程求解即可； 任务二：设零件的实际售价定为x元，每个月获得的销售利润为y元，根据题意列出y关于x的函数表达式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：任务一：设该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为a，根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为； 任务二：设零件的实际售价定为x元，每个月获得的销售利润为y元， 根据题意，得， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为12250， 答：零件的实际售价定为65元时，每个月获得的销售利润最大，最大利润为12250元． 五、解答题 (三) (22题13分， 23题14分， 共27分) 22. 【问题背景】 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接． 【知识技能】 （1）求此抛物线的解析式． 【构建联系】 （2）在下方的抛物线上有一点，过点作轴，交于点，交轴于点，当点的坐标为多少时，线段的长度最大？最大是多少？ （3）在轴上找一点，使得为等腰三角形，直接写出点的坐标． 【答案】（1）（2）点N的坐标为，有最大值，最大值为（3）或或或 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、待定系数法、二次函数的最值等，其中（3）要注意分类求解，避免遗漏． （1）由得，，再运用待定系数法求出函数解析式即可； （2）运用待定系数法求出直线的解析式为，设，则，求出，根据二次函数的性质可得结论； （3）根据勾股定理求出，再分为腰和底两种情况讨论求解即可． 【详解】解：（1）∵ ∴，， 把，代入，得， ， 解得，， ∴此抛物线的解析式为． （2）设直线的解析式为， 把把，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为； 设点的坐标为，则点， ∴ ∴ ∵， ∴有最大值，最大值为，此时点N的坐标为； （3）∵ ∴ 如图， 当为底边时，点的坐标为； 当为腰时，点的坐标为或或； 综上，为等腰三角形时，点的坐标为或或或． 23. 【知识技能】（1）利用旋转作辅助线，通常能使分散的条件相对集中起来，如题1图，已知，作，连接，求证：． 【数学理解】（2）如题2图，在正方形中，点是对角线上任意一点（不与点重合），以为边作正方形，点恰好落在射线上． ①当时，求的长； ②直接写出之间的数量关系． 【拓展探索】（3）如题3图，在菱形中，，点在对角线的延长线上，以为边在上方作等边三角形，连接．若，求的面积． 【答案】 （1）证明： ， 在与中， ， ； （2）①； ②； （3）的面积为． 【解析】 【分析】题目主要考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，作出辅助线是解题关键． （1）根据全等三角形的判定和性质证明即可； （2）①根据题意得出，将绕点顺时针旋转得到，根据全等三角形的性质及正方形的性质求解即可；②由①得，，再由等腰直角三角形的性质求解即可； （3）连接交于点O，连接．根据等边三角形的判定和性质得出是等边三角形，，再由全等三角形的判定和性质、勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）①四边形是正方形，， ， 将绕点顺时针旋转得到，如图所示： 则， 四边形和四边形都是正方形 、、三点共线 是等腰直角三角形 ； ②由①得，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； （3）解：如图2，连接交于点O，连接． 四边形是菱形， ， 是等边三角形， 是等边三角形， 在与中 （） 的面积为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南岸中学2025-2026学年第一学期第二阶段教学质量检测 九年级数学科试题 (考试时间：120分钟 试卷满分：120分) 一、单选题 (每题3分，共30分) 1. 数学推理与运算离不开数学符号的规范使用，下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是方程的一个根，则实数的值是（ ） A. B. C. D. 3. 已知一圆锥侧面展开图如图所示，则该圆锥的底面半径为（ ） A. B. 1 C. π D. 2 4. 将二次函数的图象向上平移6个单位，向左平移2个单位后得到的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了21条航线，则这个航空公司共有个飞机场，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在长为30米，宽为18米的矩形地面上修筑等宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为480平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图， 在中，，将绕着点A顺时针旋转后，得到，且点在上， 则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的大致图象可能是 A. B. C. D. 10. 如图是二次函数（，，是常数，）图象的一部分，与x轴的交点在点和之间，顶点为对于下列结论：①；②；③；④当时，；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为．其中正确的是（ ） A. ①②⑤ B. ①②④ C. ①②③ D. ②③⑤ 二、填空题 (每题3分，共15分) 11. 在平面直角坐标系中，点 关于原点的对称点是_____________ 12. 二次函数的顶点坐标为________ 13. 如图，一次函数与二次函数的图象分别交于点，．不等式成立时，的取值范围是__________． 14. 如图，四边形是的内接四边形，若 则的度数为_______． 15. 如图，P为矩形外一点，且点P到的中点O的距离为1，，当线段绕点O旋转时，的最大值为______． 三、解答题 (一)(每题7分，共21分) 16. 在解一元二次方程 时，小明的解法如下： 第一步： 第二步： 第三步： 第四步： 或 第五步： 问： （1）小明第三步配方的依据是 ； A．完全平方公式 B．平方差公式 C．多项式与多项式乘法法则 （2）上述解题过程有误，错在步骤 (填序号) （3）请你写出正确的解答过程． 17. 如图，三个顶点的坐标分别为． （1）请画出关于原点对称的，并写出的坐标； （2）请画出绕点B逆时针旋转后的． 18. 在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为，与y轴的交点为． （1）求该抛物线的表达式； （2）求该抛物线与直线的交点坐标． 四、解答题 (二)(每题9分，共27分) 19. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若此方程的两根分别为，，且，求的值． 20. 如图，为等腰三角形，O是底边的中点，腰与相切于点D． （1）求证：是的切线． （2）已知：，，求的半径是多少？ 21. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇． 某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率； 任务2 当零件的实际售价定为多少元时，每个月获得的销售利润最大？最大利润为多少？ 五、解答题 (三) (22题13分， 23题14分， 共27分) 22. 【问题背景】 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接． 【知识技能】 （1）求此抛物线的解析式． 【构建联系】 （2）在下方的抛物线上有一点，过点作轴，交于点，交轴于点，当点的坐标为多少时，线段的长度最大？最大是多少？ （3）在轴上找一点，使得为等腰三角形，直接写出点的坐标． 23. 【知识技能】（1）利用旋转作辅助线，通常能使分散的条件相对集中起来，如题1图，已知，作，连接，求证：． 【数学理解】（2）如题2图，在正方形中，点是对角线上任意一点（不与点重合），以为边作正方形，点恰好落在射线上． ①当时，求的长； ②直接写出之间的数量关系． 【拓展探索】（3）如题3图，在菱形中，，点在对角线的延长线上，以为边在上方作等边三角形，连接．若，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $