湖南省湘潭市部分学校2025-2026学年高二上学期12月学情检测数学试题

2025~2026学年度第一学期12月学情检测 高二数学试题参考答案与评分标准 选择题：1-8题，每题5分，9-11题，每题6分，满分58分。 题号 1 2 5 6 7 8 9 10 11 答案 A B D B A D ABC BD AC 填空题：共3题，每题5分，满分15分。 12【答案】2 13.【答案】214 14.【答案】6 解答题：共5题，满分77分。 15.【答案】(1)13(2)L是数列a}的第10项. 120 120 【解答】解：(1)数列{a}的通项公式为a,= 1 (nEN), (n+2) 11 11 .43= 3x515a=4x624 .4分 1,18.513 4+a=15+24120120120 6分 (2):L为数列a}中的项， 1 1 8分 120 n+2)120 .nn+2)=120,整理得t+2-120=0,由neN,解得n=10, 12分 :1是数列a}的第10项. 13分 120 16.【答案】(1)证明见解析； (2)4 【解答】证明：(1)在△PAB中，PA=2√2，PB=√2，AB=√6，所以PA=PB2+AB2,1分 所以PB L AB,2分 又平面PAB⊥平面ABC,平面PAB⌒平面ABC=AB,PBC平面PAB, 所以PB平面ABC,…。 3分 又ACC平面ABC,所以PB⊥AC, .4分 又AC L PC,PB∩PC=P,PB,PCC平面PBC,所以AC⊥平面PBC,5分 又BCC平面PBC,所以BC⊥AC. 7分 解：（2)在△ABC中，BC1AC,AC=√5，AB=√6，所以BC=√5..8分 以C为坐标原点，CB,CA,BP方向分别为x轴，y轴，z轴的正A方向，建立如图所示的空间直角 坐标系，则C(0,0,0),A(0,V5,0),B(V3,0,0),P(3,0,√)，9分 所以5号.-(589，丽-509，西-5a0, D 高二数学参考答案与评分标准第1页（共7页） 2025~2026学年度第一学期12月学情检测 m=-5+-:-0 设平面ADB的一个法向量为i=(x,y,z),则 12分 2 z=0 2 取x=V2,则y=√2,2=V5,所以i=(W2,V2,5,13分 设直线BC与平面ADB所成的角为0，则sin0cos(CB,m CB. 6 4 1CB13.V2+2+37) 所以直线BC与平面ADs所成角的正弦值是 1 ..15分 17.【答案】(1)ma-)=(2)B- 【解答】解：1>因为a=@6=-sip.com,)=(号，所以e=、 3=1 1 4 1分 所以i.b=-cosasin B+sin a cos B=sin(a-f),|a曰b月c=1.3分 因为a+万H,所以a+万，即a2+2.万+b2=1,5分 所以2nu-月=1，即a-)=方 .7分 (2)因为u,所以a=(5,又+=（血0号co+, 22 a/16+), 6 9分 整理得：sm-孕 11分 因为0c0,号日-骨号 .13分 所以A-青名即A= .15分 18.【答案】(1)(x-2y+y=9:(2)x=3或y=3x-;(3)23. 4X-4 【解答】解：（1)设圆的方程为：x2+y2+Dx+y+F=0, (-1)2-D+F=0 由题意得： 22+32+2D+3E+F=0, .2分 2x((940 解得D=-4,E=0,F=-5,所以圆方程为x2+y2-4x-5=0;.4分 (2)由(1)知圆c的方程为：(x-2)2+y2=9,故圆心为(2,0)，半径r=3, 当直线1的斜率不存在时，将x=3代入圆的方程可得可得y=士22,5分 高二数学参考答案与评分标准第2页（共7页） 2025~2026学年度第一学期12月学情检测 所以|Pg2×2W2=4V2,符合题意；6分 当直线1的斜率存在时，设直线1的方程为：y-2=k(x-3),即-y-3k+2=0, 弦长P022-d=29-dP=4W2,可得d=1,7分 所以112+2=1，解得-子 V1+k2 8分 所以直线Q的方程为y子子 9分 综上所述：直线的方程为：=3或子子：10分 (3)令t=4x+3y,表示直线4x+3y-t=0,又M坐标满足(x-2)2+y2=9,12分 所以直线4x+3y-t=0与圆(x-2)2+y2=9有公共点，… .14分 所以圆心到直线的距离d=2x4-1≤3，解得-7<123，故t的最大值为23.17分 V42+32 19.【答案】(1)+二-1：(2)①设直线1为x=+m≠士2，Qk,）,Px,), 43 [x2,y2 根据子+3-1，化简得(3f+42+6+30㎡-)=0， x=ty+n 根的判别式△=36n2t2-12(3t2+4)(n2-4)>0,即3t2-n2+4>0, 根据书达定理可得⅓为4四：里，1，青： k=当.丛 yiy2 yiy2 x-2x2-2(y+n-2)2+n-2)t3yy2+t(n-2)y,+y2)+0-2)2 3(m2-4) 3t2+4 3(n+2)3 +02240m二2》2’解得m=，此时32m+4=32+32、 >0, 3(2-4)t26n(n-2)t2 2 3t2+4 3t2+4 因此直线为=+子即直线过定点M写0：②16,6 9 【解答】解：（1）令椭圆C半焦距为8，根据题意，e=分2a-6-1,1分 解得a=2,C=1,b=√2-C2=√3,2分 因此椭圆c为+上 =1。.4分 43 (2)①证明：设直线1为x=y+n6≠士2)，(32，y2),P(k,y),.5分 高二数学参考答案与评分标准第3页（共7页） 2025~2026学年度第一学期12月学情检测 根据手+3-1，化简得(6r+4y2+6+30r2-利=0，…6分 x=tv+n 根的判别式△=36n-12(31+4(m2-4)>0,即32-m+4>0,7分 6nt 根据韦达定理可得+证二 3+4，=9,+n,X=+n, k,=业 yy Vy2 x-2x2-2(y+n-2)y2+n-2)ty2+t(n-2y1+y2)+n-2)2 3(2-4) 3t2+4 30m2-4)t261n-2)2 22》-号，解得M,此时3m+42+32、0 3 9 >0,94分 3t2+4 3t2+4 因此直线1为x=+名，即直线1过定点N呢，0).10分 4t 根据@知，42,0，那么AW3,片+为=3十4y4=-2 33t2+41 -w1yF0+w-40-NG+罗x4 416t2,1281 N -16327t+32=165 27t+36 4 14分 √27t2+32+ V27t2+32 令u=V27产+32∈[4W2,+w),y=+4在[4V5,+）上单调递增， 15分 当u=4v2,即t=0时，√27t2+32+ 4 取得最小值 9 √27t2+32 …16分 所以当t=0时，此时s取得最大值6√6 .17分 9 以上各解答题如有其它解法且正确，请按步骤给分。 高二数学参考答案与评分标准第4页（共7页） 20252026学年度第一学期12月学情检测 详解 1.【答案】c 【解答】解：直线x+y-2=0的斜率是：太=-1，直线x-29+3=0的斜率是：么 故两直线的位置关系是：相交但不垂直， 2.【答案】A 【解答】解：由题意得m<0,令x2+广=0，解得y=士mx,则m=V2,即m=-2, 所以双曲线的方程为C:r-二=1，所以c=+2=5,所以c的焦点坐标为任5,0. 2 3.【答案】B 【解答】解：因为为a,=(-1)”.2"+a,4=1,即-2+a=1,解得a=3,所以4=-2+3=-5. 4.【答案】D 【解答】解：因为直线1：之+=1a>b>0经过点Q2》,所以+名1， a b 可得a+b=a+bl+3=3+b+2a3+22,当且仅当2_2时，即b=√2a时，等号成立， a b 所以直线1在x轴和y轴上的截距之和取最小值为3+22，此时b=a,则？：a-5 b√2a2 5.【答案】C 【解答】解：双曲线C的渐近线为y=x, 根据对称性不妨取x-y=0,圆(x-)2+y2=1的圆心为1,0)，半径r=1, 可得圆心到衡近线的距%为日=方-三，则弦长为2-受=5 22 6.【答案】B 【解答】解：设MN=2a,以直线MN为x轴、MN的垂直平分线为y轴， 建立直角坐标系， H(X.V 则M(-a,0),Na,0),设H(x,),则M应=(x+a,y),N匠=(x-a,0), 由M.应=2，得(x+ax-+y·y=2,整理得x2+y2=a2+2,该方程表 示以00,0)为圆心，半径r=Va2+2的圆， 7.【答案】A 【解答】解：：底面圆的半径为4，M为母线PB的中点， :过点M所截圆的半径为2，圆的面积为4π，故①正确；作轴截面图如 图：0OB=4,OP=2,PB=2W5,则cos∠B=25 高二数学参考答案与评分标准第5页（共7页） 2025~2026学年度第一学期12月学情检测 在AMB中，由余弦定理可得1AM64+5-2x8×5×25=VB7,，故②正确； 5 在与平面PAB垂直且过点M的平面内建立平面直角坐标系， 不纺设双由线的标准方程为若兰a6>0,则ML,即a=1, 把点2,2代入，可得4是1，解得6=2,82， a 设双自线肉渐近线的关角为20，m0H“子故③精送： 不妨设抛物线的标准方程为y2-2(p>0),则oM=√5，抛物线上一点的坐标为(W5,), 把点(5，)代入可得4-2p×5,解得p-85,:抛物线中焦点到准线的距离p为s5 5 故④错误. 5 :.正确的个数为2个. 8.【答案】D 【解答】解：令y=1,得(x+1fxf(1)=fx+),代入f(1)=2,得2x+1)f)=fx+), 当x为正整数时，fx+-2x+D,所以0+D.f6x-D.f②-2+D2x2-D2x2 f(x)x f(x)f(x-1)f(x-2)f0)xx-1x-21 所以f+D-2,x+),代入∫(1)=2，得fc+D=c+)-2, f) 所以f)=x.2'(≥2Lx∈N),又当x=1时，也符合题意，所以f(w)=x.2(x∈N). 所以2f)=f(1)+f(2)++f20=1x2+2×2+3x2+.+20×2”, 令S=1×2+2×22+3×23+..+20×220,则2S=1×22+2×23+3×24++20×221, 所以-8=2+2+2+…+20-20×2斗，即-S=20-2）-20×2=-2-19×20,所以5=19×2+2. 1-2 9.【答案】ABC 【解答】解：等差数列{a}是递减数列，则公差d<0,A正确： 由题意d:品2-4<0,4<0， 则a,=a,-2d=0,从而S,取最大值时，n=4或n=3,D错误； 所以a=4-3a)=含4>0，B正确： 又-m+d,少-宁-0，由820得1，c正商 2 故选：ABC, 10.【答案】BD 【解答】解：直线：x-y+2k=0,即y=k(x+2),则直线恒过定点(-2,0)，故A错误； 当k=-2时，直线1：-y+2k=0与直线l。:x-2y+2=0垂直，故B正确： 高二数学参考答案与评分标准第6页（共7页） 2025~2026学年度第一学期12月学情检测 :定点(-2,0)在圆O:x2+y2=9内部，.直线1与圆0相交，故C不正确： 当k=-1时，直线1化为-x-y-2=0,即x+y+2=0, 圆心0到直线的距消d号5，直线1被圆0裁得的张长为20=2，放n正确 11.【答案】AC 【解答】解：由题意知D4,O.C(5,-3》,代入T的方程解得d=2,6=6,所以r的方程为士-上=1， 26 A正确：因为a=√2，b=V6,c=2√2，所以离心率e=C=2,B错误： a 「的焦点为±22.0)，渐近线为y=±V5x，所以焦点到渐近线的距离为2√6 =√6，C正确； V(W3)2+12 日仅当即1=土6m时取等号，但将1土女代入T的方程后，无解，D错透 12.【答案】2n-1。 20 【解答】解：数列似的前4项分别为号石即为：2,2“，2,2， 21 22 23， 24 故数列a,)的通项公式为a=21. 2 13.【答案】214. 【解答】解：圆C:x2+y2=16,圆心C(0,0),半径r=4, 直线1：(a-b0x+b-2ay-a=0,即a-2y-D+b-=0,令-2y-1=0,解得=-1 y-x=0 y=-1 直线1恒过定点4A(-1,-),当圆C被直线1截得的弦长最小值时，圆心与定点A(-1,-1)的连线与直线1垂 直，|AC=√2，圆C被直线1截得的弦长的最小值为2Vr2-AC=2W16-2=214. 14.【答案】6. 【解答】解：由圆C,:x2+y2-4x+3=0,即(x-2)2+y2=1,可知圆的圆心C,(2,0),圆的半径为1， 设R是双曲线C的下焦点，则F0,-V⑤)，由双曲线定义可得1MF-|M=4,如图： MF|+|MW=M|+|MN+4>|C,E|-1+4=6,又|C,F=V4+5=3, 当且仅当C,N,R,M四点共线时，取得最小值，即IMFI+MN1的最小值是6. 高二数学参考答案与评分标准第7页（共7页）绝密★启用前 2025~2026学年度第一学期12月学情检测 高二数学试题 考试时间：120分钟满分：150 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整、笔迹清晰。 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿 纸、试卷上答题无效。 4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项 符合题目要求。 1.直线x+y-2=0与直线x-2y+3=0的位置关系是() A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直D.不能确定 2.已知双曲线c:x+卫=10m≠0)的一条渐近线方程为y=√x,则c的焦点坐标为() A.±V3,0) B.(0,±3) C.(±1,0) D.(0,±1) 3.已知数列{a}的一个通项公式为a=(-1)”.2+a,且a=1,则4等于() A.-6 B.-5 C.5 D.6 4.若直线1后方a>0b>0经过点Q,2,则直线1在x轴和y轴上的截距之和取最小值时，g() A.2 B. C.√2 D. 2 5.双曲线C:x2-y2=1的一条渐近线被圆(x-1)2+y2=1所截得的弦长为() A.2 B.1 C.2 D. 6.法国天文学家乔凡尼·多美尼卡.卡西尼在研究土星及其卫星的运动规律时，发现了平面内到两个 定点的距离之积为常数的点的轨迹，并称为卡西尼卵形线(Cas siniOval)小张同学受到启发，提出类似 疑问，若平面内动点与两定点所成向量的数量积为定值，则动点的轨迹是什么呢？设定点M和N, 动点为H,若M匠.N匠=2，则动点H的轨迹为() A.直线 B.圆 C.椭圆 D.抛物线 7.在圆锥Po中，已知高PO=2,底面圆的半径为4，M为母线PB的中点，根据圆锥曲线的定义， 下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命题，正确的个数为() 【高二数学试题第1页（共4页）】 BA ①圆的面积为4π； ②椭圆的长轴为√37； ③双曲线两渐近线的夹角正切值为；④抛物线的焦点到准线的距离为4W5 5 A.2个 B.3个 C.4个 D.1个 8.己知函数f(x)是定义在R上不恒为零的函数，对任意的x,y∈N均满足：(x+)f(x)fO)=xwf(x+), f(1)=2,则2f=( ) A.220+2 B.221-2 C.19×220+2 D.19×221+2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知公差为d的等差数列{a}是递减数列，其前n项和为S,且满足4。=24，则下列结论正确的是 () A.d<0 B.a>0 C.若S≥0，则n的最大值为7 D.S,取最大值时，n=4 10.已知直线1：kx-y+2k=0和圆O:x2+y2=9,则() A.直线1恒过定点(2,0) B.存在k使得直线l与直线，：x-2y+2=0垂直 C.直线1与圆o相离 D.若k=-1,直线1被圆o截得的弦长为2√万 11.如图是唐代纹八棱金杯，其主体纹饰为八位手执乐器的乐工，分布于八个棱面，乐工手执竖箜篌、 曲项琵琶、排箫等，金杯无论造型还是装饰风格都有着浓郁的域外特征，是唐代中外文化交流的见证、 该杯的主体部分可近似看作是双曲线工。a>0,6>0)与直线x=0,y=3,y=6围成的曲边四 边形ABcD绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为214，下底外直径为2√5， 双曲线T与x轴交于E,F两点，则() A.T的方程为二-上=1 26 B.I的离心率e= 5 C.T的焦点到渐近线的距离为√6 D.若孤网为r上任意一点，则名的最大值为号 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 【高二数学试题第2页（共4页）】 12.已知数列a}的前4项分别为)3，则数列a}的通项公式为a=一 24816 13.已知圆C:x2+y2=16,直线1：(a-b)x+(b-2y-a=0(a、b不同时为0)，当a、b变化时，圆c被 直线1截得的弦长的最小值为一· 14.已知点F是双曲线G:千-r-1的上焦点，M是C下支上的一点，点N是圆C×+y-4+3=0上 一点，则IMF1+NI的最小值是一· 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知数列{a,}的通项公式为a= 1 1nn+2) n∈W. (1)计算a,+4的值： (2)1是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由。 120 16.(本小题满分15分) 如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC,PA=2N2,PB=√2，AB=√6，AC⊥PC,D是棱 PC的中点 (1)求证：BC⊥AC; (2)若AC=√3，求直线BC与平面ADB所成角的正弦值. D 17.(本小题满分15分) 在平面直角坐标系0中，设向量a=au面6-（血Rwd=(号 (1)若1a+bHcl,求sin(a-B)的值； (2)设x+p=π+2kπkeZ),且a/1亿+，求B的值. 32 【高二数学试题第3页（共4页）】 18.(本小题满分17分) 已知圆C经过A(-1,0),B(2,3)两点，且圆心C在直线2x-y-4=0上. (1)求圆C的方程： (2)过点(3,2)的直线1与圆c交于P,Q两点，如果1PQ非4√2，求直线1的方程； (3)已知M(x,)是圆C上动点，求4x+3y的最大值. 19.(本小题满分17分) 已知o为坐标原点，月，R是椭圆C言+片-1a>b>0)的左、右焦点，c的离心率为，点M是c上 一点，|M|的最小值为1. (1)求椭圆c的方程； (2)已知A,B是椭圆C的左、右顶点，不与x轴平行或重合的直线1交椭圆C于P,Q两点，记直 线阳的斜率为，直线B0的斜率为，且么么=} ①证明：直线1过定点； ②设△APQ的面积为S,求S的最大值. 【高二数学试题第4页（共4页）】