第6章 统计（高效培优讲义）数学湘教版2019必修第一册

该高中数学统计复习讲义通过思维导图构建知识体系，涵盖数据来源、抽样方法、统计图表及数字特征四大模块。用表格对比简单随机抽样与分层抽样的适用场景，结合即学即练例题呈现重难点分布，清晰展现知识内在逻辑。 讲义亮点在于“知识点解析+题型突破”双轨设计，如分层抽样中按比例计算样本量，频率分布直方图求中位数等例题，培养数据观念与运算能力。分层练习适配不同学生，教师可据此实施精准复习，提升教学效率。

第六章 统计 复习讲义 教学目标 1.理解直接来源与间接来源； 2.理解简单随机抽样、分层抽样； 3.掌握常用的统计图表； 4.理解并掌握常用的数字特征； 教学重难点 1.重点：分层抽样、统计图表、数字特征； 2.难点：统计图表、数字特征； 知识点01 获取数据地来源 1.直接来源：通过调查和实验直接得到； 2.间接来源：又称二手数据； 【即学即练1】(25-26高一上·重庆·开学考试)下列调查中最适合采用全面调查(普查)的是(   ) A．了解长寿沙田柚的甜度情况 B．了解某品牌新能源汽车电池的续航能力 C．了解重庆市中学生收看9月3日阅兵直播情况 D．对我国首艘电磁弹射航空母舰福建舰各零部件质量情况的调查 知识点02 抽样 (一)简单随机抽样 1.概念：一般地，从元素个数为N的总体中逐个不放回地抽取容量为的样本，如果每一次抽取时总体中的各个个体有相同的可能性被抽到，这种抽样方法叫做简单随机抽样． 2.最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法 3.适用范围是：总体中的个体性质相似，无明显层次；总体容量较小，尤其是样本容量较小. (二)分层抽样 1.概念：当总体由有明显差别的几部分组成时，为使抽取的样本更好地反映总体的情况，常采用分层抽样，将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不交叉的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样或系统抽样，这种抽样方法叫做分层抽样． 2.总体由差异明显的几部分组成的情况； 分层后，在每一层抽样时可采用简单随机抽样或系统抽样． 3.特征：等比例抽样 4.分层抽样的平均数计算 在分层随机抽样中，以层数是2为例，如果第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，第1层和第2层的样本平均数分别为，，样本平均数位， 则；我们可以采用样本平均数估计总体平均数. 【即学即练2】(23-24高一下·湖北武汉·期末)某中学高一年级有400人，高二年级有320人，高三年级有280人，若用随机数法在该中学抽取容量为n的样本，每人被抽到的可能性都为0.3，则n等于(   ) A．160 B．200 C．280 D．300 知识点03 统计图表 (一)频率分布直方图(表) 1.频率分布直方图的画法： (1)求极差;(2)决定组距和组数;(3)将数据分组;(4)列频率分布表; (5)画频率分布直方图：纵轴表示， 2.频率分布直方图基础概念 ①纵轴表示:， ②频率：小长方形面积=频率. 2.频率、频数、样本容量的计算方法 (1)×组距＝频率．(2)＝频率，(3)＝样本容量，(4)样本容量×频率＝频数． 3.频率分布直方图性质 (1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数． (2)频率分布直方图中各个小方形的面积总和等于1． (3)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的． 设中位数为，利用左(右)侧矩形面积之和等于，即可求出． (4)平均数是频率分布直方图的“重心”， ，其中为每个小长方形底边的中点，为每个小长方形的面积． (二)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图． 随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑的曲线，统计中称之为总体密度曲线，它能够更加精细的反映出总体的分布规律． (三)茎叶图 1.概念：当数据有两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分好似茎，两边部分好似叶，通常把这样的图叫做茎叶图． 当数据有三位有效数字，前两位相对比较集中时，常以前两位为茎，第三位(个位)为叶(其余类推)． 2.两个突出的优点：其一是统计图上没有原始数据的损失，所有信息都可以从这个茎叶图中得到，其二是在比赛时随时记录，方便记录与表示． 【即学即练3】(24-25高一上·山东潍坊·期末)某市教育局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了200名学生，他们的身高分成，，，，五个组，根据抽样结果得到统计图表，则样本中(   ) A．女生人数和男生人数一样多 B．组中男生人数多于女生人数 C．组男生人数为24人 D．组人数最少 知识点04 用样本估计总体 (一)众数、中位数、平均数. (1)众数：一组数据中出现次数最多的数叫众数，众数反应一组数据的多数水平． (2)中位数：将一组数据按大小顺序依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数，中位数反应一组数据的中间水平． 若有奇数个数，则最中间的数是中位数； 若有偶数个数，则中间两数的平均数是中位数． (3)平均数：个样本数据的平均数为，反映了一组数据的平均水平． 公式变形：． (二)总体百分位数的估计 (1)定义：一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值． (2)计算一组个数据的的第百分位数的步骤 ①按从小到大排列原始数据． ②计算． ③若i不是整数而大于i的比邻整数j，则第p百分位数为第j项数据； 若i是整数，则第p百分位数为第i项与第i+1项数据的平均数． (3)四分位数 第25、50、75百分位数称为四分位数．它们把一组由小到大排列后的数据分成四等份． (三)标准差和方差 (1)标准差：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用表示． 假设样本数据是，表示这组数据的平均数， 则标准差：． (2)方差：方差就是标准差的平方，即：s2＝． 显然，在刻画样本数据的分散程度上，方差与标准差是一样的．在解决实际问题时，多采用标准差． (3)数据特征 标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动程度的大小． 标准差、方差越大，则数据的离散程度越大； 标准差、方差越小，数据的离散程度越小． 反之亦可由离散程度的大小推算标准差、方差的大小． (四)平均数、方差的运算性质：如果数据的平均数为，方差为，标准差为，那么一组新数据： 的平均数为，方差是，标准差为. 【即学即练4-1】(24-25高一下·新疆阿克苏·期末)某班级的老师随机抽查了该班8名同学周末在家学习的时长(单位：h)，所得数据如下：3，4，4，5，6，6，7，8，则这组数据的75%分位数为(   ) A．6.5 B．6 C．5.5 D．5 【即学即练4-2】(多选)(24-25高一下·福建漳州·期末)四名同学各掷骰子7次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断可能出现了点数6的是(    )． A．平均数为3，中位数为4 B．平均数为3，方差为1 C．平均数为4，极差为4 D．平均数为2，第80百分位数为4 题型01 获取数据地来源 【典例1-1】(25-26高一上·重庆潼南·开学考试)下列调查中，适合采用抽样调查的是(   ) A．调查重庆市鲁能巴蜀中学九年级(1)班50名同学的视力情况 B．重庆西站对乘坐高铁的旅客进行安检 C．为保证飞机飞行安全，工人对其零部件进行检查 D．调查重庆市中学生的周末作业完成时间 【典例1-2】(24-25高一上·江西·月考)在下列调查中，适合用全面调查的是(    ) A．调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例 B．调查一个县各村的粮食播种面积 C．调查一批炮弹的杀伤半径 D．调查一批玉米种子的发芽率 【典例1-3】(多选)(24-25高一下·广东揭阳·期中)从某市参加升学考试的学生中随机抽查1000名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法正确的是(   ) A．总体指的是该市参加升学考试的全体学生的数学成绩 B．样本是指1000名学生的数学成绩 C．样本量指的是1000名学生 D．个体指的是该市参加升学考试的每一名学生的数学成绩 【典例1-4】(25-26高一上·全国·课前预习)想知道一锅菜的咸淡，取一点尝尝是 (填“普查”或“抽样调查”) 【变式1-1】(25-26高一上·全国·开学考试)为了解某校七年级学生的近视情况，从中随机抽取40名学生进行调查，其中40是该调查的(    ) A．总体 B．样本容量 C．个体 D．样本 【变式1-2】(2025高一上·全国·专题练习)某高中为了了解高一年级1200名学生的视力情况，抽查了其中200名学生的视力，并进行统计分析．下列叙述正确的是(    ) A．上述调查属于普查 B．每名学生是总体的一个个体 C．200名学生的视力是总体的一个样本 D．1200名学生是总体 【变式1-3】(24-25高一下·天津河西·期末)下列调查方式合适的是(   ) A．要了解一批节能灯泡的使用寿命，采用全面调查的方式 B．要调查某个班级同学的身高，采用抽样调查的方式 C．调查海河某段水域的水质情况，采用抽样调查的方式 D．调查全市高中生每天的睡眠时间，采用全面调查的方式 【变式1-4】(24-25高一下·天津河北·期末)为了了解某地参加计算机水平测试的5000名学生的成绩，从中抽取了200名学生进行调查分析.在这个问题中，被抽取的200名学生是(   ) A．个体 B．样本 C．总体 D．样本量 【变式1-5】(多选)(24-25高一上·全国·课后作业)对于下列调查，不属于抽样调查的是(    ) A．某商场对所进的一批盒装牛奶中三聚氰胺含量进行调查 B．某种灯泡使用寿命的测定 C．入学报考者的学历调查 D．要了解高一一班50名学生的身高 【变式1-6】(25-26高一上·全国·课前预习)普查：为了掌握调查对象的整体情况，对 进行研究的一种调查方式. 题型02 抽样方法 【典例2-1】(24-25高一下·湖南岳阳·期末)某校高中生共有3600人，其中高一年级1300人，高二年级人，高三年级1100人，现采取分层抽样法抽取容量为36的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为(　　) A．11，14，11 B．12，12，12 C．14，12，10 D．13，12，11 【典例2-2】(24-25高一上·河北保定·月考)某高中共有学生1800人，其中高一有学生640人、高二有学生600人，现用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为90的样本，则高一年级应该抽取的人数为(    ) A．28 B．30 C．32 D．36 【典例2-3】(多选)(25-26高一上·全国·单元测试)某高中学校从有120名学生的“航天”社团中随机抽取30名参加一个交流会，若按社团中高一、高二、高三年级的成员人数比例分层随机抽样，则高一年级抽取10人；若按性别比例分层随机抽样，则男生抽取18人．则下列结论正确的有 (    ) A．样本量为30 B．120名社团成员中男生有72人 C．高二与高三年级的社团成员共有85人 D．高一年级的社团成员中女生最多有48人 【典例2-4】(25-26高一上·全国·单元测试)某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行抽样调查，先将650名学生进行编号：001，002，…，649，650．从中抽取50个样本，下面提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是 ． 32 21 18 34 29  78 64 54 07 32  52 42 06 44 38  12 23 43 56 77  35 78 90 56 42 84 42 12 53 31  34 57 86 07 36  25 30 07 32 86  23 45 78 89 07  23 68 96 08 24 32 56 78 08 43  67 89 53 55 77  34 89 94 83 75  22 53 55 78 32  45 77 89 23 45 【变式2-1】(25-26高一上·全国·单元测试)某班有55人，要抽出3人，用随机数法确定人选，班长给全班同学编号为01，02，03，…，55，依次得到4个随机数为02，29，68，47，其中，不能作为编号的随机数是(    ) A．02 B．29 C．68 D．47 【变式2-2】(2025高一·全国·专题练习)某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，分别为001，002，…，599，600，再从中抽取60个样本.随机数表的第5行到第7行如下. 84  42  12  53  31  34  57  86  07  36  25  30  07  32  86  23  45  78  89  07  23  68  96  08  04   32  56  78  08  43  67  89  53  55  77  34  89  94  83  75  22  53  55  78  32  45  77  89  23  45   32  21  18  34  29  78  64  54  07  32  52  42  06  44  38  12  23  43  56  77  35  78  90  56  42 若从第6行第6列开始向右每次读取3个数字，则得到的第8个样本的编号为(    ) A．324 B．345 C．577 D．578 【变式2-3】(24-25高一下·河北·期末)某校高一年级有720名学生，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为48的样本，其中身高在175cm以下的学生人数为32，则该校高一年级身高在175cm以下的学生人数为(    ) A．320 B．360 C．420 D．480 【变式2-4】(24-25高一下·云南大理·月考)某工厂生产A，B两种型号的零件共10000件，其中A型号的零件6000件．质检员为了解这两种型号的零件的合格率，采用分层抽样的方法从这批零件中抽取500件进行质检，则B型号的零件被抽到的数量是(    ) A．240 B．200 C．300 D．100 【变式2-5】(多选)(25-26高一上·全国·单元测试)下列从总体中抽得样本的方法是简单随机抽样的是(    ) A．总体编号为1~75，随机依次选出编号范围内的10个数作为抽中的编号 B．总体编号为1~75，在0~99之间产生随机整数r，若或，则舍弃，重新抽取 C．总体编号为1~75，在0~99之间产生随机整数r，r除以75的余数作为抽中的编号，若余数为0，则抽中75 D．总体编号为6001~6879，在1~879之间产生随机整数r，把作为抽中的编号 【变式2-6】(25-26高一上·全国·单元测试)当今，青少年视力水平的下降已引起全社会的关注．为了了解某中学高三年级400名学生的视力情况，从中抽取了50名学生进行视力检测． (1)在这个问题中，总体、样本各是什么？ (2)为深入了解这50名学生的视力情况，从中随机抽取6人，分别写出利用抽签法和随机数法抽取该样本的过程． 题型03 统计图表 【典例3-1】(24-25高一下·甘肃白银·期末)在检测一批相同规格共800kg的航空用耐热垫片的品质时，随机抽取了360片，检测到有5片非优质品，则这批垫片中非优质品约为(    ) A．11.1kg B．36kg C．111kg D．50kg 【典例3-2】(25-26高一上·安徽阜阳·开学考试)某校为了解学生的身高情况，随机对部分学生进行抽样调查，已知抽取的样本中，男生、女生人数相同，分组情况为(单位：)，，，，，利用所得数据绘制如下统计图表： 根据图表提供的信息，可知样本数据中下列信息正确的是(    ) A．身高在区间的男生比女生多人 B．B组中男生和女生占比相同 C．超过一半的男生身高在以上 D．女生身高在组的人数有人 【典例3-3】(多选)(24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末)为了关注学生的健康成长，某学校开展了一次高一年级学生身高的抽样调查，随机抽取了100名学生，将他们的身高划分成了A，B，C，D，E五个层次，根据抽样结果得到如下统计图，则从图中能得出的信息是(    ) A．样本中A层次身高的女生少于男生 B．样本中B层次身高的学生人数最多 C．样本中D层次身高的学生人数占总人数的17% D．样本中E层次身高的男生有6人 【典例3-4】(24-25高一上·江西抚州·月考)某中职学校为了解全校学生国庆小长假期间阅读古典名著的时间的情况，抽查了1000名学生，将他们的阅读时间进行分组抽样结果绘成的频率分布直方图如图所示，则实数 . 【变式3-1】(24-25高一下·广西河池·期末)某校举办了一次环境保护知识竞赛，为了解学生的环境保护知识掌握程度，学校采用简单随机抽样从全校名学生中抽取了一个容量为的样本，已知样本的成绩全部分布在区间内，根据调查结果绘制学生成绩的频率分布直方图如图所示，则频率分布直方图中(   ) A． B． C． D． 【变式3-2】(24-25高一上·全国·周测)在如图所示的扇形统计图中，数据丙的频率为(   ) A．31％ B．30％ C．21％ D．11％ 【变式3-3】(24-25高一下·安徽阜阳·期末)年度全省地区生产总值为本年度第一、二、三产业增加值之和．观察下列两个图表，则下列说法错误的是(    ) A．2020至2024年第一产业增加值逐年下降 B．2020至2024年第二产业增加值逐年升高 C．2020至2024年第三产业增加值占地区生产总值比重逐年升高 D．2020至2024年全省地区生产总值逐年增长 【变式3-4】(24-25高一上·江西宜春·期末)某校高一组建了演讲，舞蹈，合唱，绘画，英语协会五个社团，高一1500名学生每人都参加且只参加其中一个社团，学校从这1500名学生中随机选取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图不完整的两个统计图：    则估计该校参加舞蹈社团的学生人数为(    ) A．300 B．225 C．150 D．40 【变式3-5】(多选)(24-25高一下·广东清远·期末)某学校对高一学生预选科进行调查统计，发现学生选科仅有物化生､政史地､物化地､物化政､生史地五种组合，其中选择物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则(    ) A．该校高一学生总人数为800 B．该校高一学生中选择物化政组合的人数为90 C．该校高一学生中选择物理的人数比选择历史的人数多 D．按选科组合用分层随机抽样的方法从该校高一学生抽取40人，则生史地组合应抽取8人 【变式3-6】(24-25高一上·全国·课后作业)某校为了了解学生家长对孩子使用手机的态度情况，随机抽取部分学生家长进行问卷调查，发出问卷140份，每位学生家长1份，每份问卷仅表明一种态度，将回收的问卷进行整理(假设回收的问卷都有效)，并绘制了如图两幅不完整的统计图. 根据以上信息解答下列问题： 回收的问卷数为 份，“严加干涉”部分对应扇形的圆心角度数为 ． 题型04 数据特征 【典例4-1】(24-25高一下·甘肃定西·期末)样本数据，，，，，，，的第70百分位数为(    ) A．5 B．4 C． D．3 【典例4-2】(24-25高一上·贵州遵义·月考)已知甲、乙两名同学在高一的6次数学周测的成绩统计如图，则下列说法不正确的是(    ) A．甲的中位数高于乙的中位数 B．若甲、乙两组数据的平均数分别为，则 C．甲成绩的极差大于乙成绩的极差 D．甲成绩比乙成绩稳定 【典例4-3】(多选)(24-25高一下·吉林松原·期末)为了检测员工的技术水平，某企业组织职工技能大赛，在装配钳工比赛中，6位选手的得分分别为：(单位：分)，则这组样本数据的(    ) A．极差为4 B．平均数为7 C．分位数为7.5 D．方差为5 【典例4-4】(25-26高一上·辽宁沈阳·月考)若样本数据的标准差为6，则数据的方差为 【变式4-1】(24-25高一下·辽宁朝阳·月考)样本数据6，12，18，14，16，30去掉一个最低分的平均数为(    ) A．15 B．16 C．17 D．18 【变式4-2】(24-25高一下·江苏泰州·月考)下面是校篮球队某队员若干场比赛的得分数据. 每场比赛得分 3 6 7 10 11 13 30 频数 2 1 2 2 1 1 1 则下列说法不正确的是(    ) A．该队员得分的平均数是10 B．该队员得分的极差是27 C．该队员得分的第四十百分位数是7 D．该队员得分的方差是48.4 【变式4-3】(25-26高一上·全国·开学考试)某班30位同学的安全知识测试成绩统计如表，其中有两个数据被遮盖，不影响下列关于成绩的统计量的是(    ) 成绩 24 25 26 27 28 29 30 人数 ▄ ▄ 3 3 6 7 9 A．平均数，众数 B．中位数，众数 C．平均数，方差 D．中位数，方差 【变式4-4】(24-25高一下·安徽合肥·期末)一组数据按从小到大排列为：1，2，4，6，7，10，．这组数据的第60百分位数等于他们的平均数，则为(    ) A．12 B．15 C．17 D．19 【变式4-5】(多选)(24-25高一下·福建福州·期末)某中学九年级在体能测试后，为分析学生的跳绳成绩，随机抽取了名学生的分钟跳绳的次数，将所得数据整理后，分为组画出如图频率分布直方图．为进一步分析学生的成绩分布情况，经计算得到这名学生中，跳绳次数位于的学生跳绳次数的方差为，跳绳次数位于的学生跳绳次数的方差为．(同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值为代表)则下列正确的是(    ) A． B．估计该年级学生跳绳次数的分位数约为 C．估计该年级学生跳绳次数在次及以上的学生跳绳次数的平均数为 D．估计该年级学生跳绳次数在次及以上的学生跳绳次数的方差为 【变式4-6】(2025高一上·辽宁沈阳·专题练习)已知甲、乙两组按顺序排列的数据：甲组：27，28，37，，40，50；乙组：24，，34，43，48，52；若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数分别对应相等，则等于 . 一、单选题 1.(24-25高一下·云南昭通·期末)为了了解全校200名学生的年龄情况，从中抽取40名学生进行调查，被抽取的40名学生是(   ) A．样本 B．个体 C．样本量 D．总体 2.(2025高一·全国·专题练习)某班级有男生20人，女生30人，从中抽取10人作为样本，其中一次抽样结果是：抽到了4名男生、6名女生，则下列命题中正确的是(    ) A．这次抽样可能采用的是简单随机抽样 B．这次抽样一定没有采用分层抽样 C．这次抽样中每个女生被抽到的概率大于每个男生被抽到的概率 D．这次抽样中每个女生被抽到的概率小于每个男生被抽到的概率 3.(24-25高一下·内蒙古·期末)某班有男生30人，女生20人，现需要安排5人参加男女混合跑步接力比赛，若按照性别进行分层随机抽样，则应抽取的女生人数为(   ) A．4 B．3 C．2 D．1 4.(24-25高一上·重庆长寿·期末)年月日时至次日时(次日的时间前加表示)重庆的温度走势 下列说法错误的是(    ) A．月日时至时重庆气温逐渐升高，时到次日时重庆气温逐渐降低 B．月日时至次日时重庆的最低气温为，最高气温为 C．根据图象，这一天时所对应的温度为 D．根据图象，这一天时所对应的温度为 5.(22-23高一下·广东佛山·期末)某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险.各种保险按相关约定进行参保与理赔.该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表.则下列说法中一定错误的是( ) A．丁险种参保人数超过五成 B．41岁以上参保人数超过总参保人数的五成 C．18－29周岁人群参保的总费用最少 D．人均参保费用不超过5000元 6.(22-23高一下·云南昆明·期末)二战期间，为估计德军坦克的月生产能力，盟军请统计学家参与情报的收集和分析，统计学家从缴获的德军坦克中，随机抽取某月生产的坦克编号作为样本来估计坦克月生产量.抽取的坦克编号从小到大依次为，假设坦克的月生产量为，将区间分成个小区间：，，……，，，统计学家利用前个区间的平均长度来估计所有个区间的平均长度，进而得到的估计值.若抽取的某月生产的坦克编号为2，13，41，75，107，118，159，194，206，230，则的估计值为(    ) A．236 B．253 C．360 D．420 7.(24-25高一下·重庆万州·月考)我国在2024年的全国发电装机容量为33.5亿千瓦，包括水电、火电、核电、风电、太阳能发电，其占比如图所示，根据此扇形图，下面说法正确的是(   ) A．2024年我国太阳能发电装机容量部分的扇形圆心角小于90° B．2024年我国火电发电装机容量超过15亿千瓦 C．2024年我国火电发电装机容量超过新能源(太阳能、风电、核电)的发电装机容量 D．若2025年核电规模要达到2024年全国发电装机容量规模的11.8%，则还要再建设的核电的发电装机容量为3.35亿千瓦 8.(25-26高二上·上海松江·期中)某课外活动小组为研究日平均气温的变化情况，将每连续5天的日平均气温(单位： )的记录数据作为一组样本，他们得到了满足下列条件的四个样本：①平均数为3，极差为2；②中位数为7，众数为9；③众数为5，极差为6；④平均数为4，方差为2；则这四个样本中，连续5天的日平均气温记录数据均低于的样本个数至少有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、多选题 9.(25-26高一上·全国·单元测试)某大型企业对改善员工福利的A，B，C三种方案进行了问卷调查，调查结果如下(单位：人)： 支持A方案 支持B方案 支持C方案 35岁以下 200 400 800 35岁及以上 100 100 400 则下列说法正确的是(    ) A．所有参与调查的有2000人 B．按照年龄进行分层随机抽样，则抽取的35岁以下的人数和35岁及以上的人数之比为 C．从所有参与调查的人中，按支持方案进行分层随机抽样的方法抽取n人，已知从支持A方案的人中抽取了6人，则 D．从支持B方案的人中，用分层随机抽样的方法抽取5人，这5人中年龄在35岁及以上的人数是4 10.(24-25高一下·安徽芜湖·期末)某学生一日时间分配饼形图，如图，下列说法正确的有(    ) A．该饼形图为某一位中学生的一日时间分配情况 B．该饼形图为中学生这个群体的平均一日时间分配情况 C．该图表明中学生一日睡眠时间约为7小时 D．该图表明中学生一天花费在课外活动的时间与自由活动､通勤时间总和相当 11.(24-25高一下·湖北·期末)一组样本有互不相等的5个数据，平均数记为，方差记为，下列说法错误的是(   ) A．去掉样本数据中的最大值和最小值后得到一组新数据，其平均数等于 B．去掉样本数据中的最大值和最小值后得到一组新数据，其方差小于 C．去掉样本数据中的最小值后得到一组新数据，其方差小于 D．去掉样本数据中的中位数后得到一组新数据，其方差小于 三、填空题 12.(24-25高一下·福建福州·期末)某校高一年级的学生共有800人，按性别进行分层，现用分层随机抽样的方法从该年段的学生中按比例分配抽取100人进行肺活量测试，这100人中有60人是女生，则该校高一年级女生共有 人． 13.(25-26高一上·全国·课后作业)神舟十三号载人飞行任务的圆满成功，标志着空间站关键技术验证阶段任务圆满完成，中国空间站即将进入建造阶段．某机构研究室通过随机抽样的方式，对18岁及以上人群进行了“你是否曾有过航天梦想”的调查研究，得到如下的统计结果．    根据调查结果，以下说法正确的是 (填序号)． ①在“曾有过航天梦想”的人群中，54岁及以上的人数最少； ②在“曾有过航天梦想”的人群中，年龄越大，在航天相关方面的人均消费越少； ③在“曾有过航天梦想”的人群中，18—29岁在航天相关方面的总消费最多． 14.(24-25高一下·山东青岛·期末)对于没有重复数据的样本，记这m个数的第k百分位数为.若在区间中的样本数据有且只有13个，则m的所有可能值的和为 . 四、解答题 15.(13分)(25-26高一上·全国·单元测试)某英语老师负责甲、乙两个班的英语课，其中甲班有60名学生，乙班有48名学生，为分析他们的英语成绩，该老师计划用分层随机抽样的方法抽取部分学生，统计他们英语考试的分数，若乙班抽取了8人． (1)求计划抽取的学生人数； (2)该老师在甲班采用随机数法抽取所需要的学生，为此将甲班学生随机编号为01~60，按照以下随机数表，以第2行第21列的数字4为起点，从左到右依次读取数据，每次读取两位随机数，重复的跳过，一行读完之后接下一行左端，求抽出的甲班学生的编号． 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9243 4935 8200 3623 4869 6938 7481 2976 3413 2841 4241 2424 1985 9313 2322 8303 9822 5888 2410 1158 2729 6443 2943 16.(15分)(24-25高一下·全国·单元测试)春节前，有超过20万名广西、四川等省籍的外出务工人员选择驾乘摩托车沿321国道长途跋涉返乡过年，为防止摩托车驾驶人员因长途疲劳驾驶，手脚僵硬影响驾驶操作而引发交通事故，肇庆市公安交警部门在321国道沿线设立了多个长途行驶摩托车驾乘人员休息站，让返乡过年的摩托车驾乘人员有一个停车休息的场所．交警小李在某休息站连续5天对进站休息的驾驶人员每隔50辆摩托车就进行一次省籍询问，询问结果如图所示： (1)交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是普查还是抽查？ (2)用分层随机抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽样，若广西籍的有5人，则四川籍的应抽取几人？ 17.(15分)(25-26高一上·甘肃·期末)从某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表： 质量指标值分组 频数 6 26 38 22 8 (1)根据上表补全所示的频率分布直方图； (2)估计这种产品质量指标值的平均数、方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)及中位数(保留一位小数)； (3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？ 质量指标值分组 频数 6 26 38 22 8 频率/组距 0.006 0.026 0.038 0.022 0.008 18.(17分)(24-25高一上·全国·课堂例题)某学校为了了解和掌握学生的期末数学成绩的情况，随机地取出了100名考生的数学成绩(单位：分)，数据如下： 135    98    102    110    99    121    110    96 100    103   125    97     117   113    110    92 102    109    104    112    105   124    87     131 97     102   123    104    104   128    109    123 111    103   105    92      114    108  104    102 129    126   97     100    115   111    106    117 104    109   111    89     110   121     80     120 121    104   108    118    129   99     90     99 121    123   107    111    91    100    99     101 116    97     102    108    101   95     107    101 102    108   117    99     118   106    119    97 126    108    123    119    98     121     101    113 102    103   104   108 (1)列出频率分布表； (2)画出频率分布直方图． 19.(15分)(24-25高一上·山东青岛·月考)某校举行了数学、英语两门学科竞赛，两门学科竞赛前10名成绩的茎叶图如下： 数学竞赛前10名分数 英语竞赛前10名分数 8 6 4 2 0 0 8 6 4 2 14 13 0 0 1 2 3 4 6 7 8 9 (1)分别求出数学、英语竞赛前10名分数的平均数、标准差； (2)经检查发现：有一名同学的数学与英语竞赛成绩均在前10名，但是老师却将其数学与英语竞赛成绩统计反了，已知正确的数学竞赛前10名分数的平均分为141，标准差为. (i)求正确的英语竞赛前10名分数的标准差； (ii)为了便于成绩分析，对数学竞赛前10名的正确分数进行“分数”转换，要求如下：转化前后名次不变，且10个“分数”的平均分为、标准差为.请你给出一个满足要求的线性转换公式：(其中，表示数学竞赛分数，表示数学竞赛分数对应的“分数”，为常数)，并证明. (参考公式：) 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 统计 复习讲义 教学目标 1.理解直接来源与间接来源； 2.理解简单随机抽样、分层抽样； 3.掌握常用的统计图表； 4.理解并掌握常用的数字特征； 教学重难点 1.重点：分层抽样、统计图表、数字特征； 2.难点：统计图表、数字特征； 知识点01 获取数据地来源 1.直接来源：通过调查和实验直接得到； 2.间接来源：又称二手数据； 【即学即练1】(25-26高一上·重庆·开学考试)下列调查中最适合采用全面调查(普查)的是(   ) A．了解长寿沙田柚的甜度情况 B．了解某品牌新能源汽车电池的续航能力 C．了解重庆市中学生收看9月3日阅兵直播情况 D．对我国首艘电磁弹射航空母舰福建舰各零部件质量情况的调查 【答案】D【难度】0.94【知识点】普查与抽样的合理选择 【分析】根据抽样调查和普查的特点逐一判断. 【详解】对于A，了解长寿沙田柚的甜度情况，普查工作量大且有破坏性，适合抽样调查； 对于B，了解某品牌新能源汽车电池的续航能力，普查工作量大且有破坏性，适合抽样调查； 对于C，了解重庆市中学生收看9月3日阅兵直播情况，普查工作量大，适合抽样调查； 对于D，对我国首艘电磁弹射航空母舰福建舰各零部件质量情况的调查，是精确度要求高的调查，适合全面调查. 故选：D. 知识点02 抽样 (一)简单随机抽样 1.概念：一般地，从元素个数为N的总体中逐个不放回地抽取容量为的样本，如果每一次抽取时总体中的各个个体有相同的可能性被抽到，这种抽样方法叫做简单随机抽样． 2.最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法 3.适用范围是：总体中的个体性质相似，无明显层次；总体容量较小，尤其是样本容量较小. (二)分层抽样 1.概念：当总体由有明显差别的几部分组成时，为使抽取的样本更好地反映总体的情况，常采用分层抽样，将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不交叉的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样或系统抽样，这种抽样方法叫做分层抽样． 2.总体由差异明显的几部分组成的情况； 分层后，在每一层抽样时可采用简单随机抽样或系统抽样． 3.特征：等比例抽样 4.分层抽样的平均数计算 在分层随机抽样中，以层数是2为例，如果第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，第1层和第2层的样本平均数分别为，，样本平均数位， 则；我们可以采用样本平均数估计总体平均数. 【即学即练2】(23-24高一下·湖北武汉·期末)某中学高一年级有400人，高二年级有320人，高三年级有280人，若用随机数法在该中学抽取容量为n的样本，每人被抽到的可能性都为0.3，则n等于(   ) A．160 B．200 C．280 D．300 【答案】D【难度】0.94【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】根据从总体中抽取样本的概率计算方法可得. 【详解】由题意,所以(人) 故选：D. 知识点03 统计图表 (一)频率分布直方图(表) 1.频率分布直方图的画法： (1)求极差;(2)决定组距和组数;(3)将数据分组;(4)列频率分布表; (5)画频率分布直方图：纵轴表示， 2.频率分布直方图基础概念 ①纵轴表示:， ②频率：小长方形面积=频率. 2.频率、频数、样本容量的计算方法 (1)×组距＝频率．(2)＝频率，(3)＝样本容量，(4)样本容量×频率＝频数． 3.频率分布直方图性质 (1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数． (2)频率分布直方图中各个小方形的面积总和等于1． (3)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的． 设中位数为，利用左(右)侧矩形面积之和等于，即可求出． (4)平均数是频率分布直方图的“重心”， ，其中为每个小长方形底边的中点，为每个小长方形的面积． (二)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图． 随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑的曲线，统计中称之为总体密度曲线，它能够更加精细的反映出总体的分布规律． (三)茎叶图 1.概念：当数据有两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分好似茎，两边部分好似叶，通常把这样的图叫做茎叶图． 当数据有三位有效数字，前两位相对比较集中时，常以前两位为茎，第三位(个位)为叶(其余类推)． 2.两个突出的优点：其一是统计图上没有原始数据的损失，所有信息都可以从这个茎叶图中得到，其二是在比赛时随时记录，方便记录与表示． 【即学即练3】(24-25高一上·山东潍坊·期末)某市教育局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了200名学生，他们的身高分成，，，，五个组，根据抽样结果得到统计图表，则样本中(   ) A．女生人数和男生人数一样多 B．组中男生人数多于女生人数 C．组男生人数为24人 D．组人数最少 【答案】C【难度】0.94【知识点】根据条形统计图解决实际问题、根据扇形统计图解决实际问题 【分析】根据给定的柱状图及饼状图，逐项判断即可. 【详解】对于A，女生组有18人，组有48人，组有30人，组有18人，组有6人， 女生共有人，男生有人，因此女生人数多于男生人数，A错误； 对于B，由扇形图，男生组有人，而女生有18人，因此女生多于男生，B错误； 对于C，组有人人，C正确； 对于D，组有人，组有人，组人数不是最少的，D错误. 故选：C 知识点04 用样本估计总体 (一)众数、中位数、平均数. (1)众数：一组数据中出现次数最多的数叫众数，众数反应一组数据的多数水平． (2)中位数：将一组数据按大小顺序依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数，中位数反应一组数据的中间水平． 若有奇数个数，则最中间的数是中位数； 若有偶数个数，则中间两数的平均数是中位数． (3)平均数：个样本数据的平均数为，反映了一组数据的平均水平． 公式变形：． (二)总体百分位数的估计 (1)定义：一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值． (2)计算一组个数据的的第百分位数的步骤 ①按从小到大排列原始数据． ②计算． ③若i不是整数而大于i的比邻整数j，则第p百分位数为第j项数据； 若i是整数，则第p百分位数为第i项与第i+1项数据的平均数． (3)四分位数 第25、50、75百分位数称为四分位数．它们把一组由小到大排列后的数据分成四等份． (三)标准差和方差 (1)标准差：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用表示． 假设样本数据是，表示这组数据的平均数， 则标准差：． (2)方差：方差就是标准差的平方，即：s2＝． 显然，在刻画样本数据的分散程度上，方差与标准差是一样的．在解决实际问题时，多采用标准差． (3)数据特征 标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动程度的大小． 标准差、方差越大，则数据的离散程度越大； 标准差、方差越小，数据的离散程度越小． 反之亦可由离散程度的大小推算标准差、方差的大小． (四)平均数、方差的运算性质：如果数据的平均数为，方差为，标准差为，那么一组新数据： 的平均数为，方差是，标准差为. 【即学即练4-1】(24-25高一下·新疆阿克苏·期末)某班级的老师随机抽查了该班8名同学周末在家学习的时长(单位：h)，所得数据如下：3，4，4，5，6，6，7，8，则这组数据的75%分位数为(   ) A．6.5 B．6 C．5.5 D．5 【答案】A【难度】0.94【知识点】总体百分位数的估计 【分析】根据百分位数的计算公式即可求解。 【详解】，故这组数据的75%分位数为， 故选：A 【即学即练4-2】(多选)(24-25高一下·福建漳州·期末)四名同学各掷骰子7次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断可能出现了点数6的是(    )． A．平均数为3，中位数为4 B．平均数为3，方差为1 C．平均数为4，极差为4 D．平均数为2，第80百分位数为4 【答案】AC【难度】0.4 【知识点】总体百分位数的估计、计算几个数据的极差、方差、标准差、计算几个数的平均数、计算几个数的中位数 【分析】对于A，由平均数为3，中位数为4，列出符合条件的点数，即可判断；对于B，由平均数为，方差为，，利用方差公式得到，即可判断；对于C，由平均数为4，极差为4，列出符合条件的点数，即可判断；对于D，首先计算出第80百分位数是第6个数，若平均数为2，得到，假设第6个数是4，第7个数是6，分析出前5个数的点数和为4即可判断. 【详解】对于A，假设这7个数据从小到大排列为， 若平均数为3，中位数为4，则， 即， 若，可以取满足条件，所以A选项可能出现了点数6； 对于B，若平均数为，方差为，， 则由方差公式可知，， 若，则，即若出现点数6，方差会大于1，所以B选项不可能出现了点数6； 对于C，设最大值为，最小值为， 若极差为4，则有， 若平均数为4，则有，， 若，则，7次的点数可以取， 满足平均数为4，极差为4的条件，所以C选项可能出现了点数6； 对于D，因为，所以第80百分位数是第6个数， 若平均数为2，则，若第6个数是4，第7个数是6， 那么前5个数的点数和为4，而骰子的点数最小为1， 所以D选项不可能出现了点数6.故选：AC 题型01 获取数据地来源 【典例1-1】(25-26高一上·重庆潼南·开学考试)下列调查中，适合采用抽样调查的是(   ) A．调查重庆市鲁能巴蜀中学九年级(1)班50名同学的视力情况 B．重庆西站对乘坐高铁的旅客进行安检 C．为保证飞机飞行安全，工人对其零部件进行检查 D．调查重庆市中学生的周末作业完成时间 【答案】D【难度】0.94【知识点】普查与抽样的合理选择 【分析】根据抽样调查的特点，它适用于总体较大、全面调查不经济或不现实的情况，分析选项即可. 【详解】对于A，调查重庆市鲁能巴蜀中学九年级(1)班50名同学的视力情况：总体较小(仅50人)，容易进行全面调查，不适合抽样调查， 对于B，重庆西站对乘坐高铁的旅客进行安检：安检涉及安全风险，必须对每位旅客进行全面检查，不适合抽样调查， 对于C，为保证飞机飞行安全，工人对其零部件进行检查：飞机零部件检查要求全面性，任何遗漏都可能造成安全事件，不适合抽样调查， 对于D，调查重庆市中学生的周末作业完成时间：调查对象是全市范围中学生，总体较大，适合抽样调查， 因此，适合采用抽样调查的是D， 故选：D. 【典例1-2】(24-25高一上·江西·月考)在下列调查中，适合用全面调查的是(    ) A．调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例 B．调查一个县各村的粮食播种面积 C．调查一批炮弹的杀伤半径 D．调查一批玉米种子的发芽率 【答案】B【难度】0.85【知识点】普查与抽样的合理选择 【分析】根据全面调查的定义可得出合适的选项. 【详解】全面调查是对调查对象的所有单位一一进行调查的调查方式， A. 查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例.，调查数目较多，不适合全面调查； B. 调查一个县各村的粮食播种面积适合全面调查； C.调查一批炮弹的杀伤半径，调查数目较多，可以使用抽样调查； D. 调查一批玉米种子的发芽率，调查数目较多，且具有破坏性，不适合全面调查. 故选：B. 【典例1-3】(多选)(24-25高一下·广东揭阳·期中)从某市参加升学考试的学生中随机抽查1000名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法正确的是(   ) A．总体指的是该市参加升学考试的全体学生的数学成绩 B．样本是指1000名学生的数学成绩 C．样本量指的是1000名学生 D．个体指的是该市参加升学考试的每一名学生的数学成绩 【答案】ABD【难度】0.85【知识点】总体与样本 【分析】根据总体、样本、样本容量和个体的定义直接判断选项即可. 【详解】总体指的是该市参加升学考试的全体学生的数学成绩，故A正确； 样本是指1000名学生的数学成绩，故B正确；样本量是1000，故C错误； 个体指的是该市参加升学考试的每一名学生的数学成绩，故D正确． 故选：ABD． 【典例1-4】(25-26高一上·全国·课前预习)想知道一锅菜的咸淡，取一点尝尝是 (填“普查”或“抽样调查”) 【答案】抽样调查【难度】0.94【知识点】普查与抽样的合理选择 【分析】根据抽样的方式即可得出答案. 【详解】想知道一锅菜的咸淡，取一点尝尝是抽样调查. 故答案为：抽样调查. 【变式1-1】(25-26高一上·全国·开学考试)为了解某校七年级学生的近视情况，从中随机抽取40名学生进行调查，其中40是该调查的(    ) A．总体 B．样本容量 C．个体 D．样本 【答案】B【难度】0.94【知识点】总体与样本 【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目，我们在区分总体、个体、样本、样本容量这四个概念时，首先找出考查的对象，从而找出总体、个体，再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量. 【详解】为了了解某校七年级学生的近视情况，从中随机抽取40名学生，并对他们的近视进行分析，样本是总体中所抽取的一部分个体，样本容量则是指样本中个体的数目，则在该调查中，40是样本容量. 故选：B. 【变式1-2】(2025高一上·全国·专题练习)某高中为了了解高一年级1200名学生的视力情况，抽查了其中200名学生的视力，并进行统计分析．下列叙述正确的是(    ) A．上述调查属于普查 B．每名学生是总体的一个个体 C．200名学生的视力是总体的一个样本 D．1200名学生是总体 【答案】C【难度】0.94【知识点】总体与样本 【分析】由抽样调查的定义逐个分析判断即可 【详解】对于A，因为抽取一部分对象的调查方式是抽查，对全体对象进行研究的调查方式是普查，所以此调查为抽样调查，所以A错误； 对于B，每名学生的视力是总体的一个个体，所以B错误； 对于C，200名学生的视力是总体的一个样本，所以C正确； 对于D，1200名学生的视力是总体，所以D错误. 故选：C 【变式1-3】(24-25高一下·天津河西·期末)下列调查方式合适的是(   ) A．要了解一批节能灯泡的使用寿命，采用全面调查的方式 B．要调查某个班级同学的身高，采用抽样调查的方式 C．调查海河某段水域的水质情况，采用抽样调查的方式 D．调查全市高中生每天的睡眠时间，采用全面调查的方式 【答案】C【难度】0.94【知识点】普查与抽样的合理选择 【分析】根据全面调查与抽样调查的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，了解一批节能灯的使用寿命，调查过程带有破坏性，只能采取抽样调查， 而不能将整批节能灯全部用于实验，故A错误； 对于B，要调查某个班级同学的身高，采用全面调查的方式，故B错误； 对于C，调查海河某段水域的水质情况，采用抽样调查的方式，故C正确； 对于D，调查全市高中生每天的睡眠时间，采用抽样调查的方式，故D错误. 故选：C. 【变式1-4】(24-25高一下·天津河北·期末)为了了解某地参加计算机水平测试的5000名学生的成绩，从中抽取了200名学生进行调查分析.在这个问题中，被抽取的200名学生是(   ) A．个体 B．样本 C．总体 D．样本量 【答案】B【难度】0.85【知识点】总体与样本 【分析】根据总体，个体，样本，样本量的定义判断即可. 【详解】被抽取的200名学生是样本. 故选：B. 【变式1-5】(多选)(24-25高一上·全国·课后作业)对于下列调查，不属于抽样调查的是(    ) A．某商场对所进的一批盒装牛奶中三聚氰胺含量进行调查 B．某种灯泡使用寿命的测定 C．入学报考者的学历调查 D．要了解高一一班50名学生的身高 【答案】CD【难度】0.85【知识点】普查与抽样的合理选择 【分析】根据调查的过程具有破坏性，应采用抽样调查方式；调查的对象数目不多，应采用普查方式的方式来判断． 【详解】A．某商场对所进的一批盒装牛奶中三聚氰胺含量进行调查，应采用抽样调查方式，不符合题意； B．某种灯泡使用寿命的测定，应采用抽样调查方式，不符合题意； C．入学报考者的学历调查，应采用普查方式，符合题意； D．要了解高一一班50名学生的身高，应采用普查方式，符合题意； 故选：CD． 【变式1-6】(25-26高一上·全国·课前预习)普查：为了掌握调查对象的整体情况，对 进行研究的一种调查方式. 【答案】全体调查对象【难度】0.94【知识点】普查与抽样的定义辨析 【分析】略 【详解】略 题型02 抽样方法 【典例2-1】(24-25高一下·湖南岳阳·期末)某校高中生共有3600人，其中高一年级1300人，高二年级人，高三年级1100人，现采取分层抽样法抽取容量为36的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为(　　) A．11，14，11 B．12，12，12 C．14，12，10 D．13，12，11 【答案】D【难度】0.94【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】根据分层抽样的定义求得抽样比，分别计算每个年级被抽到的人数，可得答案. 【详解】用分层抽样在各层中的每个个体被抽到的可能性为， 则在高一年级抽取的人数是(人)， 高二年级抽取的人数是(人)， 高三年级抽取的人数是(人)， 所以高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为13，12，11, 故选：D. 【典例2-2】(24-25高一上·河北保定·月考)某高中共有学生1800人，其中高一有学生640人、高二有学生600人，现用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为90的样本，则高一年级应该抽取的人数为(    ) A．28 B．30 C．32 D．36 【答案】C【难度】0.85【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】利用分层抽样的抽样比计算作答. 【详解】由题意得，高三有学生人， 所以该高中高一、高二、高三学生人数之比为， 高一年级学生人数所占比例为， 所以从该校所有学生中抽取一个容量为90的样本， 则高一年级应该抽取的人数为 故选：C 【典例2-3】(多选)(25-26高一上·全国·单元测试)某高中学校从有120名学生的“航天”社团中随机抽取30名参加一个交流会，若按社团中高一、高二、高三年级的成员人数比例分层随机抽样，则高一年级抽取10人；若按性别比例分层随机抽样，则男生抽取18人．则下列结论正确的有 (    ) A．样本量为30 B．120名社团成员中男生有72人 C．高二与高三年级的社团成员共有85人 D．高一年级的社团成员中女生最多有48人 【答案】AB【难度】0.85【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、分层抽样的概率 【分析】根据分层抽样的相关概念及等比例性质依次判断各项的正误. 【详解】A：从中随机抽取30名，则样本量为30，对； B：设120名社团成员中男生有人，因为按性别比例分层随机抽样时男生抽取18人， 所以，解得，所以120名社团成员中男生有72人，对； C：设高二与高三年级的社团成员共有人， 因为按社团中高一、高二、高三年级的成员人数比例分层随机抽样时高一年级抽取10人， 所以，解得，所以高二与高三年级的社团成员共有80人，错； D：根据C知，高一年级的社团成员有(人)，故高一年级的社团成员中女生最多有40人，错. 故选：AB 【典例2-4】(25-26高一上·全国·单元测试)某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行抽样调查，先将650名学生进行编号：001，002，…，649，650．从中抽取50个样本，下面提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是 ． 32 21 18 34 29  78 64 54 07 32  52 42 06 44 38  12 23 43 56 77  35 78 90 56 42 84 42 12 53 31  34 57 86 07 36  25 30 07 32 86  23 45 78 89 07  23 68 96 08 24 32 56 78 08 43  67 89 53 55 77  34 89 94 83 75  22 53 55 78 32  45 77 89 23 45 【答案】623【难度】0.85【知识点】随机数表法 【分析】根据随机表数据的读取方法确定前6个编号，即可得. 【详解】按照随机数表的数据，三位一组进行读数，只取001到650内的数，重复的数只取一次． 从第5行第6列开始向右读取数据， 第一个数是253， 第二个数是313，第三个数是457，下一个数是860，不符合， 下一个数是736，不符合，下一个数是253，重复，不符合，第四个数是007，第五个数是328， 第六个数是623．故答案为：623 【变式2-1】(25-26高一上·全国·单元测试)某班有55人，要抽出3人，用随机数法确定人选，班长给全班同学编号为01，02，03，…，55，依次得到4个随机数为02，29，68，47，其中，不能作为编号的随机数是(    ) A．02 B．29 C．68 D．47 【答案】C【难度】0.94【知识点】随机数表法 【分析】随机数需在编号范围内，且不能重复. 【详解】由于，所以68不能作为编号． 故选：C. 【变式2-2】(2025高一·全国·专题练习)某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，分别为001，002，…，599，600，再从中抽取60个样本.随机数表的第5行到第7行如下. 84  42  12  53  31  34  57  86  07  36  25  30  07  32  86  23  45  78  89  07  23  68  96  08  04   32  56  78  08  43  67  89  53  55  77  34  89  94  83  75  22  53  55  78  32  45  77  89  23  45   32  21  18  34  29  78  64  54  07  32  52  42  06  44  38  12  23  43  56  77  35  78  90  56  42 若从第6行第6列开始向右每次读取3个数字，则得到的第8个样本的编号为(    ) A．324 B．345 C．577 D．578 【答案】B【难度】0.94【知识点】随机数表法 【分析】用随机数表法抽取，按既定的方法向右读，直到取到符合条件的第8个样本为止，即可得其编号． 【详解】从第6行第6列开始抽取三位数，分别为： 808，不满足；436，满足；789，不满足；535，满足；577，满足；348，满足； 994，不满足；837，不满足；522，满足；535，前面已有，故不满足；578，满足； 324，满足；577，前面已有，故不满足；892，不满足；345，满足，且为第8个样本的编号. 故选：B. 【变式2-3】(24-25高一下·河北·期末)某校高一年级有720名学生，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为48的样本，其中身高在175cm以下的学生人数为32，则该校高一年级身高在175cm以下的学生人数为(    ) A．320 B．360 C．420 D．480 【答案】D【难度】0.85【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】根据分层抽样定义计算即可. 【详解】由比例分配的分层抽样方法可得高一年级身高在175cm以下的学生人数为. 故选：D. 【变式2-4】(24-25高一下·云南大理·月考)某工厂生产A，B两种型号的零件共10000件，其中A型号的零件6000件．质检员为了解这两种型号的零件的合格率，采用分层抽样的方法从这批零件中抽取500件进行质检，则B型号的零件被抽到的数量是(    ) A．240 B．200 C．300 D．100 【答案】B【难度】0.65【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】由分层抽样的定义列出比例式即可求解. 【详解】由题意可得B型号的零件被抽到的数量是． 故选：B. 【变式2-5】(多选)(25-26高一上·全国·单元测试)下列从总体中抽得样本的方法是简单随机抽样的是(    ) A．总体编号为1~75，随机依次选出编号范围内的10个数作为抽中的编号 B．总体编号为1~75，在0~99之间产生随机整数r，若或，则舍弃，重新抽取 C．总体编号为1~75，在0~99之间产生随机整数r，r除以75的余数作为抽中的编号，若余数为0，则抽中75 D．总体编号为6001~6879，在1~879之间产生随机整数r，把作为抽中的编号 【答案】ABD【难度】0.85【知识点】简单随机抽样的特征及适用条件 【分析】根据简单随机抽样的等可能性判断各项的正误. 【详解】A：因为总体编号为，且随机依次选出编号范围内的10个数， 所以每个数被抽中是等可能的，所以是简单随机抽样，对； B：总体编号为，在之间产生随机整数，若或则舍弃，重新抽取， 则每个编号均可能被抽中，且每个编号被抽中的可能性相同，所以是简单随机抽样，对； C：总体编号为，在之间产生随机整数，除以75的余数作为抽中的编号，若余数为0，则抽中75， 因为号与号被抽中的可能性不同，所以不是简单随机抽样，错； D：总体编号为，在之间产生随机整数，把作为抽中的编号， 则每个编号被抽中的可能性相同，所以是简单随机抽样，对. 故选：ABD 【变式2-6】(25-26高一上·全国·单元测试)当今，青少年视力水平的下降已引起全社会的关注．为了了解某中学高三年级400名学生的视力情况，从中抽取了50名学生进行视力检测． (1)在这个问题中，总体、样本各是什么？ (2)为深入了解这50名学生的视力情况，从中随机抽取6人，分别写出利用抽签法和随机数法抽取该样本的过程． 【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.【难度】0.85【知识点】总体与样本、抽签法、随机数表法 【分析】(1)根据总体、样本的定义及题干信息确定问题中总体和样本； (2)根据抽签法、随机数法的抽样过程，设计抽样步骤即可. 【详解】(1)总体是该中学高三年级400名学生的视力，样本是所抽取的50名学生的视力； (2)利用抽签法步骤如下： 第一步：将这50名学生编号，编号为1，2，3，…，50． 第二步：将50个号码分别写在纸条上，并揉成团，制成号签． 第三步：将得到的号签放在一个不透明的容器中，搅拌均匀． 第四步：从容器中逐一抽取6个号签，并记录上面的号码． 对应上面6个号码的学生就是抽取的学生; 利用随机数法步骤如下： 第一步：将这50名学生编号，编号为． 第二步：用计算机产生范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号． 第三步：重复第二步的过程，若出现重复的号码，则舍去，直到抽足6个号码． 对应上面6个号码的学生就是抽取的学生. 题型03 统计图表 【典例3-1】(24-25高一下·甘肃白银·期末)在检测一批相同规格共800kg的航空用耐热垫片的品质时，随机抽取了360片，检测到有5片非优质品，则这批垫片中非优质品约为(    ) A．11.1kg B．36kg C．111kg D．50kg 【答案】A【难度】0.94【知识点】根据频率分布表解决实际问题 【分析】先求出样本中非优质品所占比例；再利用样本估计总体的思想即可求解. 【详解】由题意可得：样本中非优质品所占比例为， 所以这批垫片中非优质品约为. 故选：A. 【典例3-2】(25-26高一上·安徽阜阳·开学考试)某校为了解学生的身高情况，随机对部分学生进行抽样调查，已知抽取的样本中，男生、女生人数相同，分组情况为(单位：)，，，，，利用所得数据绘制如下统计图表： 根据图表提供的信息，可知样本数据中下列信息正确的是(    ) A．身高在区间的男生比女生多人 B．B组中男生和女生占比相同 C．超过一半的男生身高在以上 D．女生身高在组的人数有人 【答案】D【难度】0.85【知识点】根据条形统计图解决实际问题、根据扇形统计图解决实际问题 【分析】根据直方图即可求得抽取男生的总人数也就是女生的总人数，然后根据扇形统计图乘以对应的百分比即可求解. 【详解】解析：抽取的男生总人数为(人)， 因为抽取的样本中，男生、女生人数相同， 所以抽取的女生总人数为人， 由直方图可知，身高在区间的男生人数为12人， 由扇形统计图可知，身高在区间的女生人数为(人)， 则身高在区间的男生比女生少3人，选项A错误； B组中男生和女生占比不相同，选项B错误； 男生身高在以上的占比为，则选项C错误； 女生中E组的人数为(人)，则选项D正确； 故选：D. 【典例3-3】(多选)(24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末)为了关注学生的健康成长，某学校开展了一次高一年级学生身高的抽样调查，随机抽取了100名学生，将他们的身高划分成了A，B，C，D，E五个层次，根据抽样结果得到如下统计图，则从图中能得出的信息是(    ) A．样本中A层次身高的女生少于男生 B．样本中B层次身高的学生人数最多 C．样本中D层次身高的学生人数占总人数的17% D．样本中E层次身高的男生有6人 【答案】ABC【难度】0.85 【知识点】根据条形统计图解决实际问题、补全扇形统计图、根据扇形统计图解决实际问题 【分析】由题中统计图可判断各选项正误. 【详解】对于A，样本中女生人数为，则样本中男生有(人)，样本中A层次身高的男生人数为，女生人数为4，所以样本中A层次身高的女生少于男生．故A正确； 对于B，因为男生中B层次身高的人数比例最大，女生中B层次身高的人数比例也最大，所以样本中B层次身高的学生人数最多．故B正确； 对于C，样本中D层次身高的女生有8人，D层次身高的男生有(人)，所以样本中D层次身高的学生人数占总人数的比例为．故C正确； 对于D，样本中E层次身高的男生有(人)．故D错误. 故选：ABC 【典例3-4】(24-25高一上·江西抚州·月考)某中职学校为了解全校学生国庆小长假期间阅读古典名著的时间的情况，抽查了1000名学生，将他们的阅读时间进行分组抽样结果绘成的频率分布直方图如图所示，则实数 . 【答案】【难度】0.85【知识点】补全频率分布直方图 【分析】由频率分布直方图结合频率和为1可得答案. 【详解】由图可得各分组频率之和为： 因各分组频率之和为1，则 故答案为：0.14. 【变式3-1】(24-25高一下·广西河池·期末)某校举办了一次环境保护知识竞赛，为了解学生的环境保护知识掌握程度，学校采用简单随机抽样从全校名学生中抽取了一个容量为的样本，已知样本的成绩全部分布在区间内，根据调查结果绘制学生成绩的频率分布直方图如图所示，则频率分布直方图中(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.94【知识点】补全频率分布直方图 【分析】根据所有直方图面积之和为可求得实数的值. 【详解】在频率分布直方图可知，所有直方图面积之和为， 所以，解得. 故选：B. 【变式3-2】(24-25高一上·全国·周测)在如图所示的扇形统计图中，数据丙的频率为(   ) A．31％ B．30％ C．21％ D．11％ 【答案】D【难度】0.94【知识点】补全扇形统计图 【分析】根据扇形图各部分所占的百分比之和为1即可求解. 【详解】由已知得. 故选：D． 【变式3-3】(24-25高一下·安徽阜阳·期末)年度全省地区生产总值为本年度第一、二、三产业增加值之和．观察下列两个图表，则下列说法错误的是(    ) A．2020至2024年第一产业增加值逐年下降 B．2020至2024年第二产业增加值逐年升高 C．2020至2024年第三产业增加值占地区生产总值比重逐年升高 D．2020至2024年全省地区生产总值逐年增长 【答案】A【难度】0.85【知识点】根据条形统计图解决实际问题 【分析】根据图1和图2，逐项分析判断即可. 【详解】结合图1和图2，计算可得2020至2024年第一产业增加值依次为 3167.578，3362.034,3505.425,3520.571,3543.75，成递增趋势，故A错误； 结合图1和图2，计算可得2020至2024年第二产业增加值依次为 15297.084,16939.479,17709.225,18712.076,19591.875，成递增趋势，故B正确； 由图2可知，2020至2024年第三产业增加值占地区生产总值比重逐年升高，故C正确； 由图1可知，2020至2024年全省地区生产总值逐年增长，故D正确. 故选：A. 【变式3-4】(24-25高一上·江西宜春·期末)某校高一组建了演讲，舞蹈，合唱，绘画，英语协会五个社团，高一1500名学生每人都参加且只参加其中一个社团，学校从这1500名学生中随机选取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图不完整的两个统计图：    则估计该校参加舞蹈社团的学生人数为(    ) A．300 B．225 C．150 D．40 【答案】A【难度】0.85【知识点】根据条形统计图解决实际问题、根据扇形统计图解决实际问题 【分析】结合两个统计图直接求解即可； 【详解】由条形图得合唱人数为70，演讲人数为30，由饼状图得合唱人数占比， 因此演讲人数占比为，舞蹈人数占比为， 用样本估计总体，估计该校参加舞蹈社团的人数为. 故选：A. 【变式3-5】(多选)(24-25高一下·广东清远·期末)某学校对高一学生预选科进行调查统计，发现学生选科仅有物化生､政史地､物化地､物化政､生史地五种组合，其中选择物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则(    ) A．该校高一学生总人数为800 B．该校高一学生中选择物化政组合的人数为90 C．该校高一学生中选择物理的人数比选择历史的人数多 D．按选科组合用分层随机抽样的方法从该校高一学生抽取40人，则生史地组合应抽取8人 【答案】ACD【难度】0.85 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、根据条形统计图解决实际问题、根据扇形统计图解决实际问题 【分析】选项A：由选科为政史地这种组合的学生人数和所占比例即可求得总人数；选项B：由选科为物化政这种组合的学生所占比例和高一学生总人数即可求得选科为物化政这种组合的学生人数；选项C：比较选择物理的学生所占比例与选择历史的学生所占比例即可；选择D：根据选科是生史地这种组合的学生所占比例进行分层随机抽样即可. 【详解】选项A：由扇形图可知选科是政史地这种组合的学生所占比例为， 由条形图可知选科是政史地这种组合的学生人数为200， 故该校高一学生总人数为，选项A正确； 选项B：由条形图可知选科是生史地这种组合的学生人数为160， 则选科是生史地这种组合的学生所占比例为， 依题意，选择物化地和物化政组合的人数相等， 因此选科是物化政这种组合的学生所占比例为， 故选科是物化政这种组合的学生人数为，选项B错误； 选项C：该校高一学生中选择物理的学生所占比例为：， 该校高一学生中选择历史的学生所占比例为：，， 故该校高一学生中选择物理的人数比选择历史的人数多，故选项C正确； 选项D：选科是生史地这种组合的学生所占比例为， 故生史地组合应抽取人，选择D正确. 故选：ACD. 【变式3-6】(24-25高一上·全国·课后作业)某校为了了解学生家长对孩子使用手机的态度情况，随机抽取部分学生家长进行问卷调查，发出问卷140份，每位学生家长1份，每份问卷仅表明一种态度，将回收的问卷进行整理(假设回收的问卷都有效)，并绘制了如图两幅不完整的统计图. 根据以上信息解答下列问题： 回收的问卷数为 份，“严加干涉”部分对应扇形的圆心角度数为 ． 【答案】120；30°【难度】0.85【知识点】根据条形统计图解决实际问题、补全扇形统计图 【分析】根据“从来不管”的问卷数及其所占的比例可求出回收的问卷数的总数，从而可求出“严加干涉”部分对应扇形的圆心角度数. 【详解】由统计图表可知“从来不管”的问卷数为30，所占的比例为， 所以回收的问卷数为份， 所以“严加干涉”所占的比例为， 所以“严加干涉”部分对应扇形的圆心角度数为. 故答案为：120， 题型04 数据特征 【典例4-1】(24-25高一下·甘肃定西·期末)样本数据，，，，，，，的第70百分位数为(    ) A．5 B．4 C． D．3 【答案】B【难度】0.94【知识点】总体百分位数的估计 【分析】根据第百分位数的概念，求出一列数字的第70百分位数即可. 【详解】样本数据由小到大排列为，，，，，，，，共8个数字， 因为，所以第70百分位数为第6个数字，即. 故选：B. 【典例4-2】(24-25高一上·贵州遵义·月考)已知甲、乙两名同学在高一的6次数学周测的成绩统计如图，则下列说法不正确的是(    ) A．甲的中位数高于乙的中位数 B．若甲、乙两组数据的平均数分别为，则 C．甲成绩的极差大于乙成绩的极差 D．甲成绩比乙成绩稳定 【答案】C【难度】0.85 【知识点】用方差、标准差说明数据的波动程度、众数、平均数、中位数的比较、用中位数的代表意义解决实际问题 【分析】根据甲、乙两名同学在高一年级的6次数学周测的成绩统计的折线图，根据中位数，平均数，极差和数据的波动性，逐项分析判断，即可求解. 【详解】由甲、乙两名同学在高一年级的6次数学周测的成绩统计的折线图， 对于A中，由统计的折线图知，甲同学的中位数大于，乙同学的中位数小于， 所以甲的中位数高于乙的中位数，所以A正确； 对于B中，由统计的折线图知，甲同学只有第2次的周测成绩低于乙同学， 其他次的周测成绩都高于乙同学，可得，所以B正确； 对于C中，因为极差为样本数据的最大值与最小值的差， 由统计的折线图知，甲同学的周测成绩的极差小于乙同学周测成绩的极差，所以C不正确； 对于D中，由统计的折线图知，甲同学周测成绩的波动性小于乙同学成绩的波动性， 所以甲同学的周测成绩比乙同学的周测成绩更稳定，所以D正确. 故选：C. 【典例4-3】(多选)(24-25高一下·吉林松原·期末)为了检测员工的技术水平，某企业组织职工技能大赛，在装配钳工比赛中，6位选手的得分分别为：(单位：分)，则这组样本数据的(    ) A．极差为4 B．平均数为7 C．分位数为7.5 D．方差为5 【答案】AB【难度】0.85 【知识点】总体百分位数的估计、计算几个数据的极差、方差、标准差、计算几个数的平均数 【分析】通过排序样本数据，依次计算极差、平均数、分位数、方差，逐一验证各选项的正误. 【详解】将位选手的得分排序为. 选项A： 极差为最大值与最小值的差，即，该说法正确. 选项B： 得分总和为，平均数为，该说法正确. 选项C： 分位数的位置为，对应排序后第个数，并非，该说法错误. 选项D： 各得分与平均数的差的平方和为， 所以方差为，并非，该说法错误. 故选：AB 【典例4-4】(25-26高一上·辽宁沈阳·月考)若样本数据的标准差为6，则数据的方差为 【答案】144【难度】0.85 【知识点】各数据同时乘除同一数对方差的影响、各数据同时加减同一数对方差的影响 【分析】利用方差和标准差的关系结合方差的性质求解即可. 【详解】由样本数据的标准差为6，即方差为36， 则数据的方差为. 故答案为：144 【变式4-1】(24-25高一下·辽宁朝阳·月考)样本数据6，12，18，14，16，30去掉一个最低分的平均数为(    ) A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】D【难度】0.94【知识点】计算几个数的平均数 【分析】根据平均数的知识求得正确答案. 【详解】去掉一个最低分6，剩余数据的平均数为. 故选：D 【变式4-2】(24-25高一下·江苏泰州·月考)下面是校篮球队某队员若干场比赛的得分数据. 每场比赛得分 3 6 7 10 11 13 30 频数 2 1 2 2 1 1 1 则下列说法不正确的是(    ) A．该队员得分的平均数是10 B．该队员得分的极差是27 C．该队员得分的第四十百分位数是7 D．该队员得分的方差是48.4 【答案】D【难度】0.94 【知识点】总体百分位数的估计、计算几个数据的极差、方差、标准差、计算几个数的平均数 【分析】分别根据平均数，极差，百分位数，方差的定义即可判断. 【详解】该队员得分的平均数是，故A正确；极差是，故B正确； ，所以第百分位数是，故C正确； 方差是，故D错误.故选：D 【变式4-3】(25-26高一上·全国·开学考试)某班30位同学的安全知识测试成绩统计如表，其中有两个数据被遮盖，不影响下列关于成绩的统计量的是(    ) 成绩 24 25 26 27 28 29 30 人数 ▄ ▄ 3 3 6 7 9 A．平均数，众数 B．中位数，众数 C．平均数，方差 D．中位数，方差 【答案】B【难度】0.85【知识点】计算几个数的中位数、计算几个数的众数 【分析】根据中位数和众数的定义求解即可得． 【详解】∵， ∴被遮盖的两个数据之和为， ∴这组数据中，30出现的次数最多， ∴这组数据的众数是30，不受被遮盖的两个数据的影响， ∵将30位同学的成绩按从小到大进行排序后，第15个数和第16个数的平均数即为中位数，且，， ∴这组数据的中位数是，不受被遮盖的两个数据的影响， 故选：B． 【变式4-4】(24-25高一下·安徽合肥·期末)一组数据按从小到大排列为：1，2，4，6，7，10，．这组数据的第60百分位数等于他们的平均数，则为(    ) A．12 B．15 C．17 D．19 【答案】D【难度】0.85【知识点】总体百分位数的估计、根据平均数求参数、计算几个数的平均数 【分析】根据百分位数的计算规则，算出第60百分位数，再算出平均数，列出关于的等式，计算得出的值. 【详解】位置，根据百分位数的计算规则，第60百分位数是第5个数据，即7， 因为这组数据的第60百分位数等于他们的平均数，所以， 解得. 故选：D 【变式4-5】(多选)(24-25高一下·福建福州·期末)某中学九年级在体能测试后，为分析学生的跳绳成绩，随机抽取了名学生的分钟跳绳的次数，将所得数据整理后，分为组画出如图频率分布直方图．为进一步分析学生的成绩分布情况，经计算得到这名学生中，跳绳次数位于的学生跳绳次数的方差为，跳绳次数位于的学生跳绳次数的方差为．(同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值为代表)则下列正确的是(    ) A． B．估计该年级学生跳绳次数的分位数约为 C．估计该年级学生跳绳次数在次及以上的学生跳绳次数的平均数为 D．估计该年级学生跳绳次数在次及以上的学生跳绳次数的方差为 【答案】BD【难度】0.65 【知识点】补全频率分布直方图、由频率分布直方图估计平均数、计算频率分布直方图中的方差、标准差、总体百分位数的估计 【分析】对于A选项，频率分布直方图里各长方形面积和为，把各区间频率系数相加乘组距得到总面积表达式，令其等于，即可求出； 对于B选项，先算出前几个矩形面积和，通过与比较，确定分位数所在区间.再根据百分位数的定义，用已有的面积和加上该区间的面积等于，列方程求解百分位数； 对于C选项，根据加权平均的方法，以比例为权重乘以对应数值，即可求解平均数； 对于D选项，根据方差公式，以不同区域的比例为权重，分别计算每个区间数值与平均数差值的平方加上给定值，再求和得到方差. 【详解】对于A，由频率分布直方图中各长方形面积和为，得，解得，故A错误； 对于B，根据百分位数的计算，假设该年级学生跳绳次数的分位数为，则，又，所以解得，故B正确； 对于C，该年级学生跳绳次数在次及以上的学生跳绳次数的平均数为，故C错误； 对于D，该年级学生跳绳次数在次及以上的学生跳绳次数的方差为，故D正确. 故选：BD. 【变式4-6】(2025高一上·辽宁沈阳·专题练习)已知甲、乙两组按顺序排列的数据：甲组：27，28，37，，40，50；乙组：24，，34，43，48，52；若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数分别对应相等，则等于 . 【答案】/【难度】0.85【知识点】总体百分位数的估计 【分析】根据百分位数的定义计算，建立关于的方程组，解之即可求解. 【详解】对于甲组数据，， 所以甲组数据的第30百分位数为28，第50百分位数为 对于乙组数据，， 所以乙组数据的第30百分位数为，第50百分位数为. 由题意得，，解得，所以.故答案为： 一、单选题 1.(24-25高一下·云南昭通·期末)为了了解全校200名学生的年龄情况，从中抽取40名学生进行调查，被抽取的40名学生是(   ) A．样本 B．个体 C．样本量 D．总体 【答案】A【难度】0.94【知识点】总体与样本 【分析】结合总体、个体、样本及样本量的相关概念进行判断即可. 【详解】根据定义，被抽取的40名学生是样本. 故选:A． 2.(2025高一·全国·专题练习)某班级有男生20人，女生30人，从中抽取10人作为样本，其中一次抽样结果是：抽到了4名男生、6名女生，则下列命题中正确的是(    ) A．这次抽样可能采用的是简单随机抽样 B．这次抽样一定没有采用分层抽样 C．这次抽样中每个女生被抽到的概率大于每个男生被抽到的概率 D．这次抽样中每个女生被抽到的概率小于每个男生被抽到的概率 【答案】A【难度】0.94 【知识点】简单随机抽样的特征及适用条件、简单随机抽样的概率、分层抽样的特征及适用条件 【分析】根据简单随机抽样、分层抽样的定义可以判断A，B；通过计算概率可判断C，D. 【详解】对于A，这次抽样可能采用的是简单随机抽样，故A正确. 对于B，由知，采用的可以是分层抽样，故B错误. 对于C和D，抽样中每个女生被抽到的概率与每个男生被抽到的概率均等于，故C和D均错误. 故选：A. 3.(24-25高一下·内蒙古·期末)某班有男生30人，女生20人，现需要安排5人参加男女混合跑步接力比赛，若按照性别进行分层随机抽样，则应抽取的女生人数为(   ) A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C【难度】0.94【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】先求出女生所占比例，再求出女生人数即可. 【详解】由题意得该班女生所占比例为， 应抽取的女生人数为，故C正确. 故选：C 4.(24-25高一上·重庆长寿·期末)年月日时至次日时(次日的时间前加表示)重庆的温度走势 下列说法错误的是(    ) A．月日时至时重庆气温逐渐升高，时到次日时重庆气温逐渐降低 B．月日时至次日时重庆的最低气温为，最高气温为 C．根据图象，这一天时所对应的温度为 D．根据图象，这一天时所对应的温度为 【答案】C【难度】0.85【知识点】根据折线统计图解决实际问题 【分析】根据折线图逐项判断. 【详解】A. 由折线图知：月日时至时重庆气温逐渐升高，时到次日时重庆气温逐渐降低，故正确； B. 由折线图知：月日时至次日时重庆的最低气温为，最高气温为，故正确； C.根据图象，这一天时所对应的温度约为，故错误； D. 根据图象，这一天时所对应的温度为，故正确， 故选：C 5.(22-23高一下·广东佛山·期末)某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险.各种保险按相关约定进行参保与理赔.该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表.则下列说法中一定错误的是( ) A．丁险种参保人数超过五成 B．41岁以上参保人数超过总参保人数的五成 C．18－29周岁人群参保的总费用最少 D．人均参保费用不超过5000元 【答案】B【难度】0.85 【知识点】根据条形统计图解决实际问题、根据折线统计图解决实际问题、根据扇形统计图解决实际问题 【分析】利用统计图表一一分析选项即可. 【详解】对于A，由条形图可知丁险种参保比例为， 超过五成，故A正确； 对于B，由扇形图可知，41岁以上参保人数占比：，故B错误； 对于C，由扇形图与折线图可知18－29周岁人群参保人数占比， 人均参保费用在，而54岁及以上人群参保比例虽， 但人均参保费用在6000，所以18－29周岁人群参保的总费用最少，故C正确； 对于D，由扇形图与折线图可知，人均参保费用约 ， 不超过5000元，故D正确. 故选：B 6.(22-23高一下·云南昆明·期末)二战期间，为估计德军坦克的月生产能力，盟军请统计学家参与情报的收集和分析，统计学家从缴获的德军坦克中，随机抽取某月生产的坦克编号作为样本来估计坦克月生产量.抽取的坦克编号从小到大依次为，假设坦克的月生产量为，将区间分成个小区间：，，……，，，统计学家利用前个区间的平均长度来估计所有个区间的平均长度，进而得到的估计值.若抽取的某月生产的坦克编号为2，13，41，75，107，118，159，194，206，230，则的估计值为(    ) A．236 B．253 C．360 D．420 【答案】B【难度】0.65【知识点】非等距的系统抽样问题 【分析】根据题意列出等式即可求解. 【详解】因为统计学家利用前个区间的平均长度来估计所有个区间的平均长度， 已知某月生产的坦克编号为2，13，41，75，107，118，159，194，206，230， 所以， 此时，解得. 故选：B. 7.(24-25高一下·重庆万州·月考)我国在2024年的全国发电装机容量为33.5亿千瓦，包括水电、火电、核电、风电、太阳能发电，其占比如图所示，根据此扇形图，下面说法正确的是(   ) A．2024年我国太阳能发电装机容量部分的扇形圆心角小于90° B．2024年我国火电发电装机容量超过15亿千瓦 C．2024年我国火电发电装机容量超过新能源(太阳能、风电、核电)的发电装机容量 D．若2025年核电规模要达到2024年全国发电装机容量规模的11.8%，则还要再建设的核电的发电装机容量为3.35亿千瓦 【答案】D【难度】0.65【知识点】根据扇形统计图解决实际问题 【分析】对于A，太阳能发电装机容量超过即可判断；对于B，由即可判断；对于C，由即可判断；对于D，由即可判断. 【详解】对于A：太阳能发电装机容量占26.5%，超过，则扇形圆心角大于90°，所以A错误； 对于B：2024年我国火电发电装机容量占43.1%，因为，所以B错误； 对于C：2024年我国火电发电装机容量占43.1%，新能源(太阳能、风电、核电)的发电装机容量占比和为，所以C错误； 对于D：还要再建设的核电的发电装机容量为亿千瓦，所以D正确. 故选：D. 8.(25-26高二上·上海松江·期中)某课外活动小组为研究日平均气温的变化情况，将每连续5天的日平均气温(单位： )的记录数据作为一组样本，他们得到了满足下列条件的四个样本：①平均数为3，极差为2；②中位数为7，众数为9；③众数为5，极差为6；④平均数为4，方差为2；则这四个样本中，连续5天的日平均气温记录数据均低于的样本个数至少有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C【难度】0.4【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差、用平均数的代表意义解决实际问题 【分析】将天数据从小到大排序为：，对于①，由平均数为3得，又极差为2，则，可推导，与平均值矛盾；对于②，根据中位数，纵数推导即可；对于③，根据题意可推导第天超过10即可判断；对于④，根据均值方差推导即可判断． 【详解】设“连续5天的日平均温度均低于”，将天数据从小到大排序为：， ①选项，，，若，则， 与平均数为矛盾，所以①选项正确； ②选项，中位数是，众数是，所以将数据从小到大排序后，第3个数是， 第个数为，所以个数据都小于，所以②选项正确； ③选项，众数是，极差为，如，第天超过，不符合，所以③选项错误； ④选项，， ，， 若，则，矛盾，所以④选项正确； 故选：C． 二、多选题 9.(25-26高一上·全国·单元测试)某大型企业对改善员工福利的A，B，C三种方案进行了问卷调查，调查结果如下(单位：人)： 支持A方案 支持B方案 支持C方案 35岁以下 200 400 800 35岁及以上 100 100 400 则下列说法正确的是(    ) A．所有参与调查的有2000人 B．按照年龄进行分层随机抽样，则抽取的35岁以下的人数和35岁及以上的人数之比为 C．从所有参与调查的人中，按支持方案进行分层随机抽样的方法抽取n人，已知从支持A方案的人中抽取了6人，则 D．从支持B方案的人中，用分层随机抽样的方法抽取5人，这5人中年龄在35岁及以上的人数是4 【答案】AC【难度】0.85【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】根据分层抽样的概念、等比例性质分析判断各项的正误. 【详解】A：由题意得，所有参与调查的人数为，对； B：35岁以下的人数为1400，35岁及以上的人数为600， 所以按照年龄进行分层随机抽样，抽取35岁以下的人数和35岁及以上的人数之比为，错； C：从所有参与调查的人中，按支持方案进行分层随机抽样的方法抽取人， 已知从支持A方案的人中抽取了6人，则，解得，对； D：从支持B方案的人中，用分层随机抽样抽取5人，年龄在35岁及以上的人数为，错. 故选：AC 10.(24-25高一下·安徽芜湖·期末)某学生一日时间分配饼形图，如图，下列说法正确的有(    ) A．该饼形图为某一位中学生的一日时间分配情况 B．该饼形图为中学生这个群体的平均一日时间分配情况 C．该图表明中学生一日睡眠时间约为7小时 D．该图表明中学生一天花费在课外活动的时间与自由活动､通勤时间总和相当 【答案】BCD【难度】0.85【知识点】根据扇形统计图解决实际问题 【分析】根据题意，上图为中学生一日时间分配饼形图，可判断AB；分别算出睡眠时间、课外活动的时间和自由活动､通勤时间总和，即可判断CD. 【详解】根据题意，上图为中学生一日时间分配饼形图， 不能确定是某一位中学生的具体一日时间分配，故A错误； 该饼形图为中学生这个群体的平均一日时间分配情况，B正确； 该图表明中学生一日睡眠时间约为小时，从而估计中学生一日睡眠时间约为7小时，C正确； 该图表明中学生一天花费在课外活动的时间为小时， 自由活动､通勤时间总和为小时， 故中学生一天花费在课外活动的时间与自由活动､通勤时间总和相当，D正确. 故选：BCD 11.(24-25高一下·湖北·期末)一组样本有互不相等的5个数据，平均数记为，方差记为，下列说法错误的是(   ) A．去掉样本数据中的最大值和最小值后得到一组新数据，其平均数等于 B．去掉样本数据中的最大值和最小值后得到一组新数据，其方差小于 C．去掉样本数据中的最小值后得到一组新数据，其方差小于 D．去掉样本数据中的中位数后得到一组新数据，其方差小于 【答案】ACD【难度】0.4【知识点】用方差、标准差说明数据的波动程度、计算几个数据的极差、方差、标准差、计算几个数的平均数、计算几个数的中位数 【分析】AC选项，可举出实例；B选项，由方差的意义可得；D选项，当平均数和中位数相等时，掉样本数据中的中位数后，其方差为，D错误. 【详解】对于 A，设这5个互不相等的数据为， 则它们的平均数为， 去掉最大值和最小值后，新数据为，其平均数为， 一般情况下， 例如数据，其平均数为， 去掉1和10后，新数据的平均数为，不相等，故A选项错误； 对于B，方差反映数据的离散程度，原数据中最大值和最小值会使数据的离散程度较大， 去掉最大值和最小值后，数据相对更加集中，根据方差的意义，新数据的方差会小于原方差，故B选项正确； 对于C，去掉最小值后，新数据的方差不一定小于原方差，故C选项错误， 下面举出例子，设这5个互不相等的数据为0,0.1,0.2,0.3,4， 则它们的平均数为， 方差为， 去掉最小值0后，新数据为0.1,0.2,0.3,4，其平均数为， 其方差为， ，C错误； 对于 D，设这5个互不相等的数据为， 则它们的平均数为， 方差为， 中位数是将数据排序后位于中间位置的数，当去掉中位数后， 剩下的4个数其平均数为， 所以当时，其方差为， 其方差会大于原方差，故D错误. 故选：ACD 三、填空题 12.(24-25高一下·福建福州·期末)某校高一年级的学生共有800人，按性别进行分层，现用分层随机抽样的方法从该年段的学生中按比例分配抽取100人进行肺活量测试，这100人中有60人是女生，则该校高一年级女生共有 人． 【答案】【难度】0.94【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】利用分层抽样的性质直接求解． 【详解】设该校高一年级女生共有人， 由分层抽样的性质得：，解得． 故答案为：． 13.(25-26高一上·全国·课后作业)神舟十三号载人飞行任务的圆满成功，标志着空间站关键技术验证阶段任务圆满完成，中国空间站即将进入建造阶段．某机构研究室通过随机抽样的方式，对18岁及以上人群进行了“你是否曾有过航天梦想”的调查研究，得到如下的统计结果．    根据调查结果，以下说法正确的是 (填序号)． ①在“曾有过航天梦想”的人群中，54岁及以上的人数最少； ②在“曾有过航天梦想”的人群中，年龄越大，在航天相关方面的人均消费越少； ③在“曾有过航天梦想”的人群中，18—29岁在航天相关方面的总消费最多． 【答案】①③【难度】0.65【知识点】根据折线统计图解决实际问题、根据扇形统计图解决实际问题 【分析】根据扇形图及折线图得出数据判断各个选项即可. 【详解】对于①，从“曾有过航天梦想”的人年龄分布图可知，在“曾有过航天梦想”的人群中， 54岁及以上的人数最少，所以①正确； 对于②，在“曾有过航天梦想”的人群中，随着年龄增大，在航天相关方面的人均消费先变大后再变小，所以②错误； 对于③，设总人数为岁在航天相关方面的总消费约为， 30-40岁在航天相关方面的总消费约为， 41-53岁在航天相关方面的总消费约为， 54岁及以上在航天相关方面的总消费约为． 所以在“曾有过航天梦想”的人群中，18-29岁在航天相关方面的总消费最多，所以③正确． 故答案为：①③． 14.(24-25高一下·山东青岛·期末)对于没有重复数据的样本，记这m个数的第k百分位数为.若在区间中的样本数据有且只有13个，则m的所有可能值的和为 . 【答案】【难度】0.4【知识点】总体百分位数的估计 【分析】分是否为整数求出，根据在区间中的样本数据有且只有13个，取得的范围，然后验证可得. 【详解】不妨假设，用表示不超过的最大整数. 若为正整数，即为正整数，则是5的倍数，此时必是正整数， 则， 则在区间的数据为， 所以，解得； 若都不是正整数，则， 则在区间的数据为， 所以，则， 解得. 综上，的可能取值有. 当时，在区间内的数据有，共个数，满足题意； 当时，在区间内的数据有，共个数，不满足题意； 当时，在区间内的数据有，共个数，不满足题意； 当时，在区间内的数据有，共个数，满足题意； 当时，在区间内的数据有，共个数，满足题意； 当时，在区间内的数据有，共个数，不满足题意； 当时，在区间内的数据有，共个数，满足题意； 当时，在区间内的数据有，共个数，满足题意； 当时，在区间内的数据有，共个数，不满足题意； 当时，在区间内的数据有，共个数，不满足题意； 故的可能取值有，. 故答案为： 四、解答题 15.(13分)(25-26高一上·全国·单元测试)某英语老师负责甲、乙两个班的英语课，其中甲班有60名学生，乙班有48名学生，为分析他们的英语成绩，该老师计划用分层随机抽样的方法抽取部分学生，统计他们英语考试的分数，若乙班抽取了8人． (1)求计划抽取的学生人数； (2)该老师在甲班采用随机数法抽取所需要的学生，为此将甲班学生随机编号为01~60，按照以下随机数表，以第2行第21列的数字4为起点，从左到右依次读取数据，每次读取两位随机数，重复的跳过，一行读完之后接下一行左端，求抽出的甲班学生的编号． 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9243 4935 8200 3623 4869 6938 7481 2976 3413 2841 4241 2424 1985 9313 2322 8303 9822 5888 2410 1158 2729 6443 2943 【答案】(1)；(2)48，38，29，34，13，28，41，42，24，19【难度】0.94 【知识点】随机数表法、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】(1)先由乙班确定抽样比，再根据分层抽样的规则计算出计划抽取的学生人数； (2)利用分层抽样求出甲班抽取的学生数，再在随机数表中按要求依次读取编号. 【详解】(1)因为乙班48人抽取了8人，所以抽样比为． 甲、乙两班共有(人)，所以计划抽取的学生人数为 ． (2)根据分层随机抽样的方法，需要在甲班抽取的人数为． 在随机数表中依次读取的编号为48，38，29，34，13，28，41，42，24，19， 即为抽出的甲班学生的编号． 16.(15分)(24-25高一下·全国·单元测试)春节前，有超过20万名广西、四川等省籍的外出务工人员选择驾乘摩托车沿321国道长途跋涉返乡过年，为防止摩托车驾驶人员因长途疲劳驾驶，手脚僵硬影响驾驶操作而引发交通事故，肇庆市公安交警部门在321国道沿线设立了多个长途行驶摩托车驾乘人员休息站，让返乡过年的摩托车驾乘人员有一个停车休息的场所．交警小李在某休息站连续5天对进站休息的驾驶人员每隔50辆摩托车就进行一次省籍询问，询问结果如图所示： (1)交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是普查还是抽查？ (2)用分层随机抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽样，若广西籍的有5人，则四川籍的应抽取几人？ 【答案】(1)抽查；(2)2人【难度】0.85 【知识点】普查与抽样的合理选择、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、根据折线统计图解决实际问题 【分析】(1)利用普查和抽查的定义即可判断； (2)由题图可分别求出被询问了省籍的驾驶人员广西籍和四川籍的人数，再利用分层抽样的比例关系即可求解. 【详解】(1)交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是抽查的方法． (2)从题图可知，被询问了省籍的驾驶人员广西籍的有(人), 四川籍的有(人), 设四川籍的驾驶人员应抽取人， 依题意得，解得，即四川籍的应抽取2人． 17.(15分)(25-26高一上·甘肃·期末)从某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表： 质量指标值分组 频数 6 26 38 22 8 (1)根据上表补全所示的频率分布直方图； (2)估计这种产品质量指标值的平均数、方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)及中位数(保留一位小数)； (3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？ 质量指标值分组 频数 6 26 38 22 8 频率/组距 0.006 0.026 0.038 0.022 0.008 【答案】(1)答案见解析；(2)平均数为，方差为，中位数为99.7；(3)答案见解析【难度】0.65 【知识点】由频率分布直方图估计平均数、由频率分布直方图估计中位数、频率分布直方图的实际应用、补全频率分布直方图 【分析】(1)由图表绘制直方图即可； (2)根据直方图，结合平均数、中位数的概念求值； (3)根据质量指标值不低于95的产品所占比例说明即可. 【详解】(1) 质量指标值分组 频数 6 26 38 22 8 频率/组距 0.006 0.026 0.038 0.022 0.008 则频率分布直方图如下图所示： (2)质量指标值的样本平均数为： ， 质量指标值的样本方差为： ， ∴这种产品质量指标值的平均数约为100，方差约为104． 第一组频率为：0.06，第二组频率为：0.26，第三组频率为：0.38， ∵，， ∴中位数落在第三组内，设中位数为x， 则，解得， 因此，中位数为99.7； (3)质量指标值不低于95的产品所占比例约为， 由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定． 18.(17分)(24-25高一上·全国·课堂例题)某学校为了了解和掌握学生的期末数学成绩的情况，随机地取出了100名考生的数学成绩(单位：分)，数据如下： 135    98    102    110    99    121    110    96 100    103   125    97     117   113    110    92 102    109    104    112    105   124    87     131 97     102   123    104    104   128    109    123 111    103   105    92      114    108  104    102 129    126   97     100    115   111    106    117 104    109   111    89     110   121     80     120 121    104   108    118    129   99     90     99 121    123   107    111    91    100    99     101 116    97     102    108    101   95     107    101 102    108   117    99     118   106    119    97 126    108    123    119    98     121     101    113 102    103   104   108 (1)列出频率分布表； (2)画出频率分布直方图． 【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析【难度】0.4 【知识点】绘制频率分布表、绘制频率分布直方图 【分析】(1)根据题目所给数据列出频率分布表. (2)根据频率分布表画出频率分布直方图. 【详解】(1)在这100个数据中，最大值为135，最小值为80，极差为． 取组距为5，则组数为． 频率分布表如下： 分组 频数 频率 [80，85) 1 0.01 [85，90) 2 0.02 [90，95) 4 0.04 [95，100) 14 0.14 [100，105) 24 0.24 [105，110) 15 0.15 [110，115) 12 0.12 [115，120) 9 0.09 [120，125) 11 0.11 [125，130) 6 0.06 [130，135] 2 0.02 合计 100 1.00 (2)根据频率分布表中的有关信息画出频率分布直方图，如图所示． 19.(15分)(24-25高一上·山东青岛·月考)某校举行了数学、英语两门学科竞赛，两门学科竞赛前10名成绩的茎叶图如下： 数学竞赛前10名分数 英语竞赛前10名分数 8 6 4 2 0 0 8 6 4 2 14 13 0 0 1 2 3 4 6 7 8 9 (1)分别求出数学、英语竞赛前10名分数的平均数、标准差； (2)经检查发现：有一名同学的数学与英语竞赛成绩均在前10名，但是老师却将其数学与英语竞赛成绩统计反了，已知正确的数学竞赛前10名分数的平均分为141，标准差为. (i)求正确的英语竞赛前10名分数的标准差； (ii)为了便于成绩分析，对数学竞赛前10名的正确分数进行“分数”转换，要求如下：转化前后名次不变，且10个“分数”的平均分为、标准差为.请你给出一个满足要求的线性转换公式：(其中，表示数学竞赛分数，表示数学竞赛分数对应的“分数”，为常数)，并证明. (参考公式：) 【答案】(1)数学、英语竞赛前10名分数的平均数分别为140、140；标准差分别为；(2)(i)正确的英语竞赛前10名分数的标准差为；(ii)，，证明见解析.【难度】0.4 【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差、由茎叶图计算平均数、计算几个数的平均数 【分析】(1)根据茎叶图给出的数据，利用平均数、标准差公式直接计算；(2)(i)由数学平均分的差异说明该同学正确的成绩应该是数学比英语多10分，找到可能的数据，利用标准差验证；(ii)给定线性转换公式，并验证. 【详解】(1)设数学、英语竞赛前10名的平均分分别为、，标准差分别为、， 则， ， (2)(i)因为正确的数学竞赛前名的平均分为，所以正确总分比错误的总分多了分， 所以该同学数学成绩与英语成绩相差分，由茎叶图，可能是英语132分数学142分统计反了；也可能是英语134分数学144分统计反了； 若英语132分数学142分，则； 若英语134分数学144分，则； 所以是英语132分数学142分统计反了. 所以英语正确的平均分， 英语正确分数的标准差； (ii)设转换公式为，则， 所以，将代入， 得，所以，， 即满足要求的线性转换公式为：，下面证明 因为“分数”转换之前的10个正确分数的平均分是，标准差为， 则转换后的平均分； 因为， 所以转换后的标准差， 即转换公式满足条件得证. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 第六章统计复习讲义 内容概览 1.教学目标、教学重难点 2.知识点01获取数据地途径 题型01获取数据地途径 第6章统计复习 3.知识点02抽样 题型02抽样方法 题型03统计图表 题型04常用数字特征 4.知识点03统计图表 5.知识点04用样本估计总体 教学目标、教学重难点 1.理解直接来源与间接来源： 2.理解简单随机抽样、分层抽样： 教学目标 3.掌握常用的统计图表； 4理解并掌握常用的数字特征； 1.重点：分层抽样、统计图表、数字特征： 教学重难点 2.难点：统计图表、数字特征： 知识清单 知识点01获取数据地来源 1.直接来源：通过调查和实验直接得到； 2.间接来源：又称二手数据： 【即学即练1】(25-26高一上重庆开学考试)下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是() A.了解长寿沙田柚的甜度情况 B.了解某品牌新能源汽车电池的续航能力 C.了解重庆市中学生收看9月3日阅兵直播情况 D.对我国首艘电磁弹射航空母舰福建舰各零部件质量情况的调查 知识点02抽样 (一)简单随机抽样 1.概念：一般地，从元素个数为W的总体中逐个不放回地抽取容量为的样本，如果每一次抽取时总体中的 各个个体有相同的可能性被抽到，这种抽样方法叫做简单随机抽样。 2.最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法 3.适用范围是：总体中的个体性质相似，无明显层次；总体容量较小，尤其是样本容量较小 第1页共19页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (二)分层抽样 1.概念：当总体由有明显差别的几部分组成时，为使抽取的样本更好地反映总体的情况，常采用分层抽样， 将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不交叉的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所 占比例进行简单随机抽样或系统抽样，这种抽样方法叫做分层抽样. 2.总体由差异明显的几部分组成的情况： 分层后，在每一层抽样时可采用简单随机抽样或系统抽样。 3.特征：等比例抽样 4.分层抽样的平均数计算 在分层随机抽样中，以层数是2为例，如果第1层和第2层包含的个体数分别为M和N,抽取的样本量分 别为m和n,第1层和第2层的样本平均数分别为x,,样本平均数位而 则a=4x十年)=x十一我们可以采用样本平均数a信计总体平均数丽. mtn m+n 【即学即练21(23-24高一下·湖北武汉·期末)某中学高一年级有400人，高二年级有320人，高三年级有280 人，若用随机数法在该中学抽取容量为n的样本，每人被抽到的可能性都为0.3，则n等于() A.160 B.200 C.280 D.300 知识点03统计图表 (一)频率分布直方图（表） 1.频率分布直方图的画法： (1)求极差；(2)决定组距和组数：(3)将数据分组；(4)列频率分布表； 6)画频率分布直方图：纵轴表示整 2.频率分布直方图基础概念 ①纵轴表示器 ②频率：小长方形面积=频率 2频率、颜数、样本容量的计算方法 1器组距=频车。（②=频率，《器=样本容量。（④样本容量×频率=频数。 频率 3.频率分布直方图性质 (1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数. (2)频率分布直方图中各个小方形的面积总和等于1. (3)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的. 设中位数为x,利用x左（右）侧矩形面积之和等于0.5，即可求出x. (④)平均数是频率分布直方图的“重心”， 元=x1p1十x2P2+·十xnPn,其中xn为每个小长方形底边的中点，pn为每个小长方形的面积. (二)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图 随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条 第2页共19页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 光滑的曲线，统计中称之为总体密度曲线，它能够更加精细的反映出总体的分布规律， (三)茎叶图 1.概念：当数据有两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位 数，即第二个有效数字，它的中间部分好似茎，两边部分好似叶，通常把这样的图叫做茎叶图。 当数据有三位有效数字，前两位相对比较集中时，常以前两位为茎，第三位（个位）为叶（其余类推） 2.两个突出的优点：其一是统计图上没有原始数据的损失，所有信息都可以从这个茎叶图中得到，其二是 在比赛时随时记录，方便记录与表示. 【即学即练3】(24-25高一上山东潍坊·期末)某市教育局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽 取了200名学生，他们的身高分成A,B,C,D,E五个组，根据抽样结果得到统计图表，则样本中() 女生身高情况条形图 男生身高情况扇形图 48缬数人 4 B 36 30 A10% 24 C 25% E15% 12 h D20% OA B C D E身高 A.女生人数和男生人数一样多 B.D组中男生人数多于女生人数 C.B组男生人数为24人 D.A组人数最少 知识点04用样本估计总体 (一)众数、中位数、平均数. (①)众数：一组数据中出现次数最多的数叫众数，众数反应一组数据的多数水平. (2)中位数：将一组数据按大小顺序依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数） 叫做这组数据的中位数，中位数反应一组数据的中间水平。 若有奇数个数，则最中间的数是中位数： 若有偶数个数，则中间两数的平均数是中位数. (3)平均数：n个样本数据x,X,,x,的平均数为元=+++色，反映了一组数据的平均水平 公式变形：】 =: (二)总体百分位数的估计 (1)定义：一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值， 且至少有100-p)%的数据大于或等于这个值. (2)计算一组n个数据的的第p百分位数的步骤 ①按从小到大排列原始数据， ②计算i=nXp% ③若i不是整数而大于i的比邻整数j,则第p百分位数为第j项数据： 第3页共19页 品学科网·上好课 www zxx k co m 上好每一堂课 若i是整数，则第p百分位数为第i项与第计1项数据的平均数. (3)四分位数 第25、50、75百分位数称为四分位数.它们把一组由小到大排列后的数据分成四等份. (三)标准差和方差 (1)标准差：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示. 假设样本数据是x1,X2,…Xn,表示这组数据的平均数， 则标准差：S=】 层081-2+x2-列2+…+&-)21. (2方差：方差就是标准差的平方，即：52=s=[区1-)2+(x2-)2+…+(&-)]. 显然，在刻画样本数据的分散程度上，方差与标准差是一样的.在解决实际问题时，多采用标准差。 (3)数据特征 标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动程度的大小. 标准差、方差越大，则数据的离散程度越大： 标准差、方差越小，数据的离散程度越小 反之亦可由离散程度的大小推算标准差、方差的大小， (四)平均数、方差的运算性质：如果数据x1,x2,x的平均数为元，方差为s2,标准差为s,那么一组新数据： ax1+b,x2+b,,axn+b的平均数为a+b,方差是a2s2,标准差为aS. 【即学即练41】(24-25高一下·新疆阿克苏期末)某班级的老师随机抽查了该班8名同学周末在家学习的时 长（单位：h),所得数据如下：3,4,4,5,6,6,7,8，则这组数据的75%分位数为） A.6.5 B.6 C.5.5 D.5 【即学即练4-2】（多选）24-25高一下·福建漳州·期末)四名同学各掷骰子7次，分别记录每次骰子出现的点 数.根据四名同学的统计结果，可以判断可能出现了点数6的是(). A.平均数为3，中位数为4 B.平均数为3，方差为1 C.平均数为4，极差为4 D.平均数为2，第80百分位数为4 题型精讲 题型01获取数据地来源 【典例1-1】(25-26高一上·重庆潼南·开学考试)下列调查中，适合采用抽样调查的是() A.调查重庆市鲁能巴蜀中学九年级(1)班50名同学的视力情况 B.重庆西站对乘坐高铁的旅客进行安检 C.为保证飞机飞行安全，工人对其零部件进行检查 D.调查重庆市中学生的周末作业完成时间 第4页共19页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【典例1-2】(24-25高一上江西·月考)在下列调查中，适合用全面调查的是() A.调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例B.调查一个县各村的粮食播种面积 C.调查一批炮弹的杀伤半径 D.调查一批玉米种子的发芽率 【典例1-3】（多选24-25高一下广东揭阳·期中)从某市参加升学考试的学生中随机抽查1000名学生的数学 成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法正确的是() A.总体指的是该市参加升学考试的全体学生的数学成绩 B.样本是指1000名学生的数学成绩 C.样本量指的是1000名学生 D.个体指的是该市参加升学考试的每一名学生的数学成绩 【典例1-4】(25-26高一上·全国·课前预习)想知道一锅菜的咸淡，取一点尝尝是（填“普查”或“抽样调查"） 【变式1-1】(25-26高一上·全国·开学考试)为了解某校七年级学生的近视情况，从中随机抽取40名学生进行 调查，其中40是该调查的) A.总体 B.样本容量 C.个体 D.样本 【变式1-2(2025高一上·全国.专题练习)某高中为了了解高一年级1200名学生的视力情况，抽查了其中200 名学生的视力，并进行统计分析.下列叙述正确的是() A.上述调查属于普查 B.每名学生是总体的一个个体 C.200名学生的视力是总体的一个样本 D.1200名学生是总体 【变式1-3】(24-25高一下·天津河西·期末)下列调查方式合适的是() A.要了解一批节能灯泡的使用寿命，采用全面调查的方式 B.要调查某个班级同学的身高，采用抽样调查的方式 C.调查海河某段水域的水质情况，采用抽样调查的方式 D.调查全市高中生每天的睡眠时间，采用全面调查的方式 【变式1-4】(24-25高一下·天津河北期末)为了了解某地参加计算机水平测试的5000名学生的成绩，从中抽 取了200名学生进行调查分析.在这个问题中，被抽取的200名学生是() A.个体 B.样本 C.总体 D.样本量 凰变式1-5】（多选）24-25高一上全国课后作业)对于下列调查，不属于抽样调查的是() A.某商场对所进的一批盒装牛奶中三聚氰胺含量进行调查 B.某种灯泡使用寿命的测定 C.入学报考者的学历调查 第5页共19页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D.要了解高一一班50名学生的身高 【变式1-6】(25-26高一上全国课前预习)普查：为了掌握调查对象的整体情况，对进行研究的一种 调查方式. 题型02抽样方法 【典例2-1】(24-25高一下.湖南岳阳·期末)某校高中生共有3600人，其中高一年级1300人，高二年级1200 人，高三年级1100人，现采取分层抽样法抽取容量为36的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人 数分别为 ） A.11,14,11 B.12,12,12 C.14,12,10 D.13,12,11 【典例2-2】(24-25高一上河北保定·月考)某高中共有学生1800人，其中高一有学生640人、高二有学生 600人，现用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为90的样本，则高一年级应该抽取的人数为 () A.28 B.30 C.32 D.36 【典例2-3】（多选25-26高一上·全国.单元测试）某高中学校从有120名学生的“航天”社团中随机抽取30名 参加一个交流会，若按社团中高一、高二、高三年级的成员人数比例分层随机抽样，则高一年级抽取10人： 若按性别比例分层随机抽样，则男生抽取18人.则下列结论正确的有 () A.样本量为30 B.120名社团成员中男生有72人 C.高二与高三年级的社团成员共有85人D.高一年级的社团成员中女生最多有48人 【典例2-4】(25-26高一上·全国.单元测试)某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行 抽样调查，先将650名学生进行编号：001,002，，649,650.从中抽取50个样本，下面提供随机数表 的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是 32211834297864540732524206443812234356773578905642 84421253313457860736253007328623457889072368960824 32567808436789535577348994837522535578324577892345 【变式2-1】(25-26高一上·全国·单元测试)某班有55人，要抽出3人，用随机数法确定人选，班长给全班同 学编号为01,02,03，，55，依次得到4个随机数为02,29,68,47，其中，不能作为编号的随机数是() A.02 B.29 C.68 D.47 【变式2-2】(2025高一.全国.专题练习)某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600 个零件进行编号，分别为001,002，，599,600，再从中抽取60个样本.随机数表的第5行到第7行如下. 第6页共19页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 84421253313457860736253007328623457889072368960804 32567808436789535577348994837522535578324577892345 32211834297864540732524206443812234356773578905642 若从第6行第6列开始向右每次读取3个数字，则得到的第8个样本的编号为) A.324 B.345 C.577 D.578 变式2-3】(24-25高一下·河北·期末)某校高一年级有720名学生，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取 一个容量为48的样本，其中身高在175cm以下的学生人数为32，则该校高一年级身高在175cm以下的学 生人数为) A.320 B.360 C.420 D.480 【变式2-4】(24-25高一下·云南大理·月考)某工厂生产A,B两种型号的零件共10000件，其中A型号的零 件6000件.质检员为了解这两种型号的零件的合格率，采用分层抽样的方法从这批零件中抽取500件进行 质检，则B型号的零件被抽到的数量是() A.240 B.200 C.300 D.100 【变式2-5】（多选）25-26高一上·全国.单元测试)下列从总体中抽得样本的方法是简单随机抽样的是() A.总体编号为175，随机依次选出编号范围内的10个数作为抽中的编号 B.总体编号为175，在099之间产生随机整数r,若r=0或r>75,则舍弃，重新抽取 C.总体编号为175，在099之间产生随机整数r,r除以75的余数作为抽中的编号，若余数为0，则抽中 75 D.总体编号为6001~6879，在1~879之间产生随机整数r,把r+6000作为抽中的编号 【变式2-6】(25-26高一上·全国.单元测试)当今，青少年视力水平的下降已引起全社会的关注.为了了解某 中学高三年级400名学生的视力情况，从中抽取了50名学生进行视力检测. (1)在这个问题中，总体、样本各是什么？ (2)为深入了解这50名学生的视力情况，从中随机抽取6人，分别写出利用抽签法和随机数法抽取该样本的 过程 题型03统计图表 【典例3-1】(24-25高一下·甘肃白银·期末)在检测一批相同规格共800kg的航空用耐热垫片的品质时，随机 抽取了360片，检测到有5片非优质品，则这批垫片中非优质品约为) A.11.1kg B.36kg C.111kg D.50kg 【典例3-2】(25-26高一上·安徽阜阳开学考试)某校为了解学生的身高情况，随机对部分学生进行抽样调查， 己知抽取的样本中，男生、女生人数相同，分组情况为（单位：cm)A:x<155,B:155≤x<160,C:160≤ 第7页共19页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 x<165,D:165≤x<170,E:x≥170，利用所得数据绘制如下统计图表： 男生身高情况直方图 女生身高情况扇形统计图 个频数（人数） 12 10 B 37.5% /17.5% 6 E 4 C 15% 2 25% 0 A BC D E身高(cm) 根据图表提供的信息，可知样本数据中下列信息正确的是() A.身高在155≤x<160区间的男生比女生多3人 B.B组中男生和女生占比相同 C.超过一半的男生身高在165cm以上 D.女生身高在E组的人数有2人 【典例3-3】（多选24-25高一上辽宁葫芦岛·期末）为了关注学生的健康成长，某学校开展了一次高一年级学 生身高的抽样调查，随机抽取了100名学生，将他们的身高划分成了A,B,C,D,E五个层次，根据抽样 结果得到如下统计图，则从图中能得出的信息是() 12人数 1 46% 16 6 E 2 25% OABC D E身高/cm 女生身高情况条形图 男生身高情况扇形图 A.样本中A层次身高的女生少于男生 B.样本中B层次身高的学生人数最多 C.样本中D层次身高的学生人数占总人数的17% D.样本中E层次身高的男生有6人 【典例3-4】(24-25高一上江西抚州·月考)某中职学校为了解全校学生国庆小长假期间阅读古典名著的时间 的情况，抽查了1000名学生，将他们的阅读时间进行分组[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12]抽样结果绘成的 频率分布直方图如图所示，则实数a= 第8页共19页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 频率 组距 0.1 0.12 88a 24681012阅读时间/小时 【变式31】(24-25高一下·广西河池·期末)某校举办了一次环境保护知识竞赛，为了解学生的环境保护知识 掌握程度，学校采用简单随机抽样从全校5000名学生中抽取了一个容量为100的样本，已知样本的成绩全 部分布在区间[45,95]内，根据调查结果绘制学生成绩的频率分布直方图如图所示，则频率分布直方图中 m=() 频率组距 0.035 m 0.015 0.010 455565758595得分 A.0.3 B.0.03 c.0.25 D.0.025 【变式32】(24-25高一上·全国·周测)在如图所示的扇形统计图中，数据丙的频率为() 丙 25% 甲 64% A.31% B.30% C.21% D.11% 【变式33】(24-25高一下·安徽阜阳·期末)年度全省地区生产总值为本年度第一、二、三产业增加值之和.观 察下列两个图表，则下列说法错误的是() 60000单位：亿元 100% 50625 50000 45525 487 80% 口第一产业 43103 52.2 52.9 53.4 53.9 54.3 38629 ☐第二产业 40000 60% 口第三产业 30000 40% 20000 39.6 39.3 38.9 38.8 38.7 10000 20% 0% 8.2 7.8 7.7 7.3 7.0 2020年2021年2022年2023年2024年 2020年2021年2022年2023年2024年 图12020至2024年全省地区生产总值 图22020至2024年三类产业增加值占地区生产总值比重 第9页共19页 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.2020至2024年第一产业增加值逐年下降 B.2020至2024年第二产业增加值逐年升高 C.2020至2024年第三产业增加值占地区生产总值比重逐年升高 D.2020至2024年全省地区生产总值逐年增长 【变式3-4】（24-25高一上江西宜春期末)某校高一组建了演讲，舞蹈，合唱，绘画，英语协会五个社团， 高一1500名学生每人都参加且只参加其中一个社团，学校从这1500名学生中随机选取部分学生进行调查， 并将调查结果绘制成如图不完整的两个统计图： 个人数 80--- 0 合唱 60 绘画 35% 06 40 30 英语协会 演讲 20 20% 舞蹈 演讲舞蹈合唱绘画英语协会社团 则估计该校参加舞蹈社团的学生人数为() A.300 B.225 C.150 D.40 《变式35】（多选24-25高一下·广东清远·期末）某学校对高一学生预选科进行调查统计，发现学生选科仅有 物化生、政史地、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选择物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如 下的扇形图和条形图，则() y人数（单位：人） 300 物化 250 地 200 200 60 物化生 物化政 150 35% 100 生史地 50 政史地 物 物 物 25% 的 生组合 地 生 地 政 地 A.该校高一学生总人数为800 B.该校高一学生中选择物化政组合的人数为90 C.该校高一学生中选择物理的人数比选择历史的人数多 D.按选科组合用分层随机抽样的方法从该校高一学生抽取40人，则生史地组合应抽取8人 【变式36】(24-25高一上·全国课后作业)某校为了了解学生家长对孩子使用手机的态度情况，随机抽取部 分学生家长进行问卷调查，发出问卷140份，每位学生家长1份，每份问卷仅表明一种态度，将回收的问 卷进行整理（假设回收的问卷都有效），并绘制了如图两幅不完整的统计图. 第10页共19页丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 第六章统计复习讲义 内容概览 1.教学目标、教学重难点 2.知识点01获取数据地途径 题型01获取数据地途径 第6章统计复习 3.知识点02抽样 题型02抽样方法 题型03统计图表 题型04常用数字特征 4.知识点03统计图表 5.知识点04用样本估计总体 教学目标、教学重难点 1.理解直接来源与间接来源： 2.理解简单随机抽样、分层抽样； 教学目标 3.掌握常用的统计图表； 4理解并掌握常用的数字特征； 1.重点：分层抽样、统计图表、数字特征： 教学重难点 2.难点：统计图表、数字特征： 知识清单 知识点01获取数据地来源 1.直接来源：通过调查和实验直接得到； 2.间接来源：又称二手数据： 【即学即练1】(25-26高一上重庆开学考试)下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是() A.了解长寿沙田柚的甜度情况 B.了解某品牌新能源汽车电池的续航能力 C.了解重庆市中学生收看9月3日阅兵直播情况 D.对我国首艘电磁弹射航空母舰福建舰各零部件质量情况的调查 【答案】D【难度】0.94【知识点】普查与抽样的合理选择 【分析】根据抽样调查和普查的特点逐一判断， 【详解】对于A,了解长寿沙田柚的甜度情况，普查工作量大且有破坏性，适合抽样调查： 对于B,了解某品牌新能源汽车电池的续航能力，普查工作量大且有破坏性，适合抽样调查： 对于C,了解重庆市中学生收看9月3日阅兵直播情况，普查工作量大，适合抽样调查： 对于D,对我国首艘电磁弹射航空母舰福建舰各零部件质量情况的调查，是精确度要求高的调查，适合全面 调查 第1页共36页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故选：D. 知识点02抽样 (一)简单随机抽样 1.概念：一般地，从元素个数为的总体中逐个不放回地抽取容量为的样本，如果每一次抽取时总体中的 各个个体有相同的可能性被抽到，这种抽样方法叫做简单随机抽样。 2.最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法 3.适用范围是：总体中的个体性质相似，无明显层次：总体容量较小，尤其是样本容量较小 (二)分层抽样 1.概念：当总体由有明显差别的几部分组成时，为使抽取的样本更好地反映总体的情况，常采用分层抽样， 将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不交叉的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所 占比例进行简单随机抽样或系统抽样，这种抽样方法叫做分层抽样。 2.总体由差异明显的几部分组成的情况： 分层后，在每一层抽样时可采用简单随机抽样或系统抽样. 3.特征：等比例抽样 4.分层抽样的平均数计算 在分层随机抽样中，以层数是2为例，如果第1层和第2层包含的个体数分别为M和N,抽取的样本量分 别为m和n,第1层和第2层的样本平均数分别为x,,样本平均数位而， 则而=4十=天+：我们可以采用样本平均数面估计总体平均数取. 【即学即练2】(23-24高一下·湖北武汉·期末)某中学高一年级有400人，高二年级有320人，高三年级有280 人，若用随机数法在该中学抽取容量为n的样本，每人被抽到的可能性都为0.3，则n等于() A.160 B.200 C.280 D.300 【答案】D【难度】0.94【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】根据从总体中抽取样本的概率计算方法可得 【详解】由题意，。” 400+320+280 =0.3,所以n=1000×0.3=300(人) 故选：D 知识点03统计图表 (一)颜率分布直方图（表） 1.频率分布直方图的画法： (1)求极差：(2)决定组距和组数：(3)将数据分组：(4)列频率分布表： (5)画频率分布直方图：纵轴表示组距 频率 2.频率分布直方图基础概念 ①纸轴表示器 ②频率：小长方形面积=频率 2.频率、频数、样本容量的计算方法 第2页共36页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1器组距=频率。② 组距 =频率，B)题数=样本容量，4样本容量×频率=频数. 频率 3频率分布直方图性质 (1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数， (2)频率分布直方图中各个小方形的面积总和等于1. (3)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的. 设中位数为x,利用x左（右）侧矩形面积之和等于0.5，即可求出x. (④平均数是频率分布直方图的“重心， 元=x1P1十x2p2十…+xnPn,其中xn为每个小长方形底边的中点，pn为每个小长方形的面积. (二)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图 随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条 光滑的曲线，统计中称之为总体密度曲线，它能够更加精细的反映出总体的分布规律。 (三)茎叶图 1.概念：当数据有两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位 数，即第二个有效数字，它的中间部分好似茎，两边部分好似叶，通常把这样的图叫做茎叶图。 当数据有三位有效数字，前两位相对比较集中时，常以前两位为茎，第三位（个位）为叶（其余类推） 2.两个突出的优点：其一是统计图上没有原始数据的损失，所有信息都可以从这个茎叶图中得到，其二是 在比赛时随时记录，方便记录与表示. 【即学即练3】(24-25高一上山东潍坊·期末)某市教育局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽 取了200名学生，他们的身高分成A,B,C,D,E五个组，根据抽样结果得到统计图表，则样本中() 女生身高情况条形图 男生身高情况扇形图 48缬数人 B 6 30 A10% 24 18 25 E15% 12 6 D20% A B C D E身高 A.女生人数和男生人数一样多 B.D组中男生人数多于女生人数 C.B组男生人数为24人 D.A组人数最少 【答案】C【难度】0.94【知识点】根据条形统计图解决实际问题、根据扇形统计图解决实际问题 【分析】根据给定的柱状图及饼状图，逐项判断即可 【详解】对于A,女生A组有18人，B组有48人，C组有30人，D组有18人，E组有6人， 女生共有18+48+30+18+6=120人，男生有200-120=80人，因此女生人数多于男生人数，A错 误； 对于B,由扇形图，男生D组有80×20%=16人，而女生有18人，因此女生多于男生，B错误： 对于C,B组有人80×(1-20%-25%-15%-10%)=80×30%=24人，C正确： 对于D,A组有18+80×10%=26人，E组有6+80×15%=18人，A组人数不是最少的，D错误. 第3页共36页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故选：C 知识点04用样本估计总体 (一)众数、中位数、平均数. (1)众数：一组数据中出现次数最多的数叫众数，众数反应一组数据的多数水平， (2)中位数：将一组数据按大小顺序依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数） 叫做这组数据的中位数，中位数反应一组数据的中间水平. 若有奇数个数，则最中间的数是中位数； 若有偶数个数，则中间两数的平均数是中位数 (③)平均数：n个样本数据x,,x,的平均数为元=+2+，反映了一组数据的平均水平. n 公式变形： ∑x=nx. (二)总体百分位数的估计 (1)定义：一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值， 且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值， (2)计算一组n个数据的的第p百分位数的步骤 ①按从小到大排列原始数据， ②计算i=n×p%, ③若i不是整数而大于i的比邻整数j,则第p百分位数为第j项数据： 若i是整数，则第p百分位数为第i项与第计1项数据的平均数. (3)四分位数 第25、50、75百分位数称为四分位数.它们把一组由小到大排列后的数据分成四等份. (三)标准差和方差 (1)标准差：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示. 假设样本数据是x1,X2,…xn,表示这组数据的平均数， 则标准差：s=】 层[6&-对2+x2-对2+…+k。-网1. (2)方差：方差就是标准差的平方，即：2=s=[区1-)2+(&2-)2+…+(，-8]. 显然，在刻画样本数据的分散程度上，方差与标准差是一样的.在解决实际问题时，多采用标准差， (3)数据特征 标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动程度的大小. 标准差、方差越大，则数据的离散程度越大： 标准差、方差越小，数据的离散程度越小， 反之亦可由离散程度的大小推算标准差、方差的大小， (四)平均数、方差的运算性质：如果数据x1,x2,xn的平均数为元，方差为s2,标准差为s,那么一组新数据： ax1+b,ax2+b,,axn+b的平均数为a+b,方差是a2s2,标准差为as. 第4页共36页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【即学即练41】(24-25高一下，新疆阿克苏·期末)某班级的老师随机抽查了该班8名同学周末在家学习的时 长（单位：h),所得数据如下：3,4,4,5,6,6,7,8，则这组数据的75%分位数为） A.6.5 B.6 C.5.5 D.5 【答案】A【难度】0.94【知识点】总体百分位数的估计 【分析】根据百分位数的计算公式即可求解。 【详解】8×759%=6，故这组数据的75%分位数为号=6.5， 故选：A 〖即学即练4-2】（多选）(24-25高一下·福建漳州·期末)四名同学各掷骰子7次，分别记录每次骰子出现的点 数.根据四名同学的统计结果，可以判断可能出现了点数6的是() A.平均数为3，中位数为4 B.平均数为3，方差为1 C.平均数为4，极差为4 D.平均数为2，第80百分位数为4 【答案】AC【难度】0.4 【知识点】总体百分位数的估计、计算几个数据的极差、方差、标准差、计算几个数的平均数、计算几个 数的中位数 【分析】对于A,由平均数为3，中位数为4，列出符合条件的点数1,11,4,4,4,6，即可判断：对于B,由平 均数为=3，方差为s2=1,n=7,利用方差公式得到（飞-3）2=7×1=7，即可判断：对于C, 2i=1 由平均数为4，极差为4，列出符合条件的点数2,2,4,4,4,6,6，即可判断：对于D,首先计算出第80百分位 数是第6个数，若平均数为2，得到∑1x=14,假设第6个数是4，第7个数是6，分析出前5个数的点 数和为4即可判断。 【详解】对于A,假设这7个数据从小到大排列为a1≤a2≤a3≤a4≤a5≤a6≤a, 若平均数为3，中位数为4，则(a1+a2+a3+4+a5+a6+a7)=3, 即a1+a2+a3+a5+a6+a7=21-4=17, 若a,=6,可以取a1=a2=ag=1,a5=a6=4满足条件，所以A选项可能出现了点数6： 对于B,若平均数为元=3，方差为s2=1,n=7, 则由方差公式2=∑《-习可知，》 G-3=7×1=7 若x=6,则(6-3)2=9>7，即若出现点数6，方差会大于1，所以B选项不可能出现了点数6； 对于C,设最大值为xmax,最小值为xmim, 若极差为4，则有xmax一xmim=4, 若平均数为4，则有21=4,71名=28， 若xm=6,则xmim=2,7次的点数可以取2,2,4,4,4,6,6， 满足平均数为4，极差为4的条件，所以C选项可能出现了点数6： 对于D,因为7×80%=5.6，所以第80百分位数是第6个数， 若平均数为2，则1七=14，若第6个数是4，第7个数是6， 第5页共36页 而学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 那么前5个数的点数和为4，而骰子的点数最小为1， 所以D选项不可能出现了点数6.故选：AC 题型精讲 题型01获取数据地来源 【典例1-1】(25-26高一上，重庆潼南·开学考试)下列调查中，适合采用抽样调查的是() A.调查重庆市鲁能巴蜀中学九年级(1)班50名同学的视力情况 B.重庆西站对乘坐高铁的旅客进行安检 C.为保证飞机飞行安全，工人对其零部件进行检查 D.调查重庆市中学生的周末作业完成时间 【答案】D【难度】0.94【知识点】普查与抽样的合理选择 【分析】根据抽样调查的特点，它适用于总体较大、全面调查不经济或不现实的情况，分析选项即可. 【详解】对于4，调查重庆市鲁能巴蜀中学九年级(1)班50名同学的视力情况：总体较小（仅50人），容易进 行全面调查，不适合抽样调查， 对于B,重庆西站对乘坐高铁的旅客进行安检：安检涉及安全风险，必须对每位旅客进行全面检查，不适合 抽样调查， 对于C,为保证飞机飞行安全，工人对其零部件进行检查：飞机零部件检查要求全面性，任何遗漏都可能造 成安全事件，不适合抽样调查， 对于D,调查重庆市中学生的周末作业完成时间：调查对象是全市范围中学生，总体较大，适合抽样调查， 因此，适合采用抽样调查的是D, 故选：D. 【典例1-2】(24-25高一上江西·月考)在下列调查中，适合用全面调查的是() A.调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例B.调查一个县各村的粮食播种面积 C.调查一批炮弹的杀伤半径 D.调查一批玉米种子的发芽率 【答案】B【难度】0.85【知识点】普查与抽样的合理选择 【分析】根据全面调查的定义可得出合适的选项. 【详解】全面调查是对调查对象的所有单位一一进行调查的调查方式， A.查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例.，调查数目较多，不适合全面调查： B.调查一个县各村的粮食播种面积适合全面调查： C调查一批炮弹的杀伤半径，调查数目较多，可以使用抽样调查： D.调查一批玉米种子的发芽率，调查数目较多，且具有破坏性，不适合全面调查. 故选：B 〖典例1-3】（多选）(24-25高一下广东揭阳·期中)从某市参加升学考试的学生中随机抽查1000名学生的数学 成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法正确的是() A.总体指的是该市参加升学考试的全体学生的数学成绩 B.样本是指1000名学生的数学成绩 第6页共36页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C.样本量指的是1000名学生 D.个体指的是该市参加升学考试的每一名学生的数学成绩 【答案】ABD【难度】0.85【知识点】总体与样本 【分析】根据总体、样本、样本容量和个体的定义直接判断选项即可 【详解】总体指的是该市参加升学考试的全体学生的数学成绩，故A正确： 样本是指1000名学生的数学成绩，故B正确：样本量是1000，故C错误： 个体指的是该市参加升学考试的每一名学生的数学成绩，故D正确。 故选：ABD. 【典例1-4】(2526高一上全国课前预习)想知道一锅菜的咸淡，取一点尝尝是（填“普查”或“抽样调查"） 【答案】抽样调查【难度】0.94【知识点】普查与抽样的合理选择 【分析】根据抽样的方式即可得出答案， 【详解】想知道一锅菜的咸淡，取一点尝尝是抽样调查. 故答案为：抽样调查. 《变式1-1】(25-26高一上.全国开学考试)为了解某校七年级学生的近视情况，从中随机抽取40名学生进行 调查，其中40是该调查的) A.总体 B.样本容量 C.个体 D.样本 【答案】B【难度】0.94【知识点】总体与样本 【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个 考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目，我们在区分总体、 个体、样本、样本容量这四个概念时，首先找出考查的对象，从而找出总体、个体，再根据被收集数据的 这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量 【详解】为了了解某校七年级学生的近视情况，从中随机抽取40名学生，并对他们的近视进行分析，样本 是总体中所抽取的一部分个体，样本容量则是指样本中个体的数目，则在该调查中，40是样本容量 故选：B 【变式1-2(2025高一上·全国.专题练习)某高中为了了解高一年级1200名学生的视力情况，抽查了其中200 名学生的视力，并进行统计分析.下列叙述正确的是() A.上述调查属于普查 B.每名学生是总体的一个个体 C.200名学生的视力是总体的一个样本 D.1200名学生是总体 【答案】c【难度】0.94【知识点】总体与样本 【分析】由抽样调查的定义逐个分析判断即可 【详解】对于A,因为抽取一部分对象的调查方式是抽查，对全体对象进行研究的调查方式是普查，所以此 调查为抽样调查，所以A错误： 对于B,每名学生的视力是总体的一个个体，所以B错误： 对于C,200名学生的视力是总体的一个样本，所以C正确： 对于D,1200名学生的视力是总体，所以D错误. 第7页共36页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故选：C 《变式1-3】(24-25高一下.天津河西期末)下列调查方式合适的是() A.要了解一批节能灯泡的使用寿命，采用全面调查的方式 B.要调查某个班级同学的身高，采用抽样调查的方式 C.调查海河某段水域的水质情况，采用抽样调查的方式 D.调查全市高中生每天的睡眠时间，采用全面调查的方式 【答案】C【难度】0.94【知识点】普查与抽样的合理选择 【分析】根据全面调查与抽样调查的定义逐项判断即可. 【详解】对于A,了解一批节能灯的使用寿命，调查过程带有破坏性，只能采取抽样调查， 而不能将整批节能灯全部用于实验，故A错误： 对于B,要调查某个班级同学的身高，采用全面调查的方式，故B错误： 对于C,调查海河某段水域的水质情况，采用抽样调查的方式，故C正确： 对于D,调查全市高中生每天的睡眠时间，采用抽样调查的方式，故D错误. 故选：C 【变式1-4】(24-25高一下·天津河北期末)为了了解某地参加计算机水平测试的5000名学生的成绩，从中抽 取了200名学生进行调查分析.在这个问题中，被抽取的200名学生是() A.个体 B.样本 C.总体 D.样本量 【答案】B【难度】0.85【知识点】总体与样本 【分析】根据总体，个体，样本，样本量的定义判断即可 【详解】被抽取的200名学生是样本. 故选：B 〖变式1-5】（多选24-25高一上·全国·课后作业）对于下列调查，不属于抽样调查的是(） A.某商场对所进的一批盒装牛奶中三聚氰胺含量进行调查 B.某种灯泡使用寿命的测定 C.入学报考者的学历调查 D.要了解高一一班50名学生的身高 【答案】cD【难度】o.85【知识点】普查与抽样的合理选择 【分析】根据调查的过程具有破坏性，应采用抽样调查方式；调查的对象数目不多，应采用普查方式的方 式来判断. 【详解】A.某商场对所进的一批盒装牛奶中三聚氰胺含量进行调查，应采用抽样调查方式，不符合题意： B.某种灯泡使用寿命的测定，应采用抽样调查方式，不符合题意： C.入学报考者的学历调查，应采用普查方式，符合题意： D.要了解高一一班50名学生的身高，应采用普查方式，符合题意： 故选：CD 【变式1-6】(25-26高一上全国·课前预习)普查：为了掌握调查对象的整体情况，对 进行研究的一种 第8页共36页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 调查方式. 【答案】全体调查对象【难度】0.94【知识点】普查与抽样的定义辨析 【分析】略 【详解】略 题型02抽样方法 【典例2-1】(24-25高一下·湖南岳阳·期末)某校高中生共有3600人，其中高一年级1300人，高二年级1200 人，高三年级1100人，现采取分层抽样法抽取容量为36的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人 数分别为) A.11,14,11 B.12,12,12 C.14,12,10 D.13,12,11 【答案】D【难度】0.94【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】根据分层抽样的定义求得抽样比，分别计算每个年级被抽到的人数，可得答案. 【详解】用分层抽样在各层中的每个个体被抽到的可能性为130+120+10m一0 36 1 则在高一年级抽取的人数是1300×之=13（人）， 100 高二年级抽取的人数是120×高=12人)， 高三年级抽取的人数是100×高=1（人）： 所以高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为13,12,11， 故选：D. 【典例2-2】(24-25高一上河北保定·月考)某高中共有学生1800人，其中高一有学生640人、高二有学生 600人，现用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为90的样本，则高一年级应该抽取的人数为 (） A.28 B.30 C.32 D.36 【答案】C【难度】0.85【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】利用分层抽样的抽样比计算作答 【详解】由题意得，高三有学生1800-640-600=560人， 所以该高中高一、高二、高三学生人数之比为640：600：560=16：15：14， 高一年级学生人数所占比例为治 所以从该校所有学生中抽取一个容量为90的样本， 则高一年级应该抽取的人数为90×号=32 故选：C 【典例2-3】（多选25-26高一上全国·单元测试）某高中学校从有120名学生的“航天"”社团中随机抽取30名 参加一个交流会，若按社团中高一、高二、高三年级的成员人数比例分层随机抽样，则高一年级抽取10人： 若按性别比例分层随机抽样，则男生抽取18人.则下列结论正确的有 () A.样本量为30 B.120名社团成员中男生有72人 第9页共36页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C.高二与高三年级的社团成员共有85人D.高一年级的社团成员中女生最多有48人 【答案】AB【难度】0.85【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、分层抽样的概率 【分析】根据分层抽样的相关概念及等比例性质依次判断各项的正误。 【详解】A:从中随机抽取30名，则样本量为30，对： B:设120名社团成员中男生有n人，因为按性别比例分层随机抽样时男生抽取18人， 所以器=云解得n=72,所以120名社团成员中男生有72人，对： C:设高二与高三年级的社团成员共有m人， 因为按社团中高一、高二、高三年级的成员人数比例分层随机抽样时高一年级抽取10人， 所以0。=0解得m=80,所以高二与高三年级的社团成员共有80人，错： 30 D:根据C知，高一年级的社团成员有120-80=40（人），故高一年级的社团成员中女生最多有40人，错. 故选：AB 【典例2-4】(25-26高一上·全国.单元测试)某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行 抽样调查，先将650名学生进行编号：001,002，，649,650.从中抽取50个样本，下面提供随机数表 的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是 32211834297864540732524206443812234356773578905642 84421253313457860736253007328623457889072368960824 32567808436789535577348994837522535578324577892345 【答案】623【难度】0.85【知识点】随机数表法 【分析】根据随机表数据的读取方法确定前6个编号，即可得. 【详解】按照随机数表的数据，三位一组进行读数，只取001到650内的数，重复的数只取一次. 从第5行第6列开始向右读取数据， 第一个数是253，第二个数是313，第三个数是457，下一个数是860，不符合， 下一个数是736，不符合，下一个数是253，重复，不符合，第四个数是007，第五个数是328 第六个数是623.故答案为：623 【变式2-1】(25-26高一上·全国·单元测试)某班有55人，要抽出3人，用随机数法确定人选，班长给全班同 学编号为01,02,03，.，55，依次得到4个随机数为02,29,68,47，其中，不能作为编号的随机数是() A.02 B.29 C.68 D.47 【答案】C【难度】0.94【知识点】随机数表法 【分析】随机数需在编号范围内，且不能重复 【详解】由于68>55，所以68不能作为编号. 故选：C 【变式2-2】(2025高一·全国专题练习)某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600 个零件进行编号，分别为001,002，，599,600，再从中抽取60个样本.随机数表的第5行到第7行如下 84421253313457860736253007328623457889072368960804 32567808436789535577348994837522535578324577892345 第10页共36页