第6章 章末复习课 统计学初步（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

该高中数学课件系统梳理了统计与分析的核心知识，涵盖抽样方法、统计图表、用样本估计总体、集中趋势与离散程度、百分位数等内容。通过知识网络将实际问题解决流程与各模块知识点串联，构建逻辑清晰的知识体系。 其亮点在于采用“知识梳理-例题解析-反思感悟-跟踪训练”模式，如分层抽样计算、频率分布直方图应用等例题，培养数学运算和数据分析能力。分层训练题满足不同学生需求，助力知识巩固，教师可依此精准开展复习教学。

章末复习课 第6章　 统计学初步 <<< 知识网络 一、抽样方法 二、统计图表 三、用样本的频率分布估计总体分布 内容索引 四、用样本的集中趋势、离散程度估计总体 五、样本的百分位数 抽样方法 一 1.抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样.一般地，当总体是由差异明显的几个层组成时选用分层抽样，否则，考虑用简单随机抽样；选用简单随机抽样时，当总体容量较小时，采用抽签法；当总体容量较大、样本容量较小时，采用随机数法. 2.抽样方法的选择与分层抽样中的计算，是常考查的知识点，要认真掌握，同时重点提升数学抽象和数学运算的核心素养. 　(1)下列抽样方法是简单随机抽样的是 A.某工厂从老年、中年、青年职工中按2∶5∶3的比例选取职工代表 B.从5个球中有放回地随机抽取3个 C.福利彩票用摇奖机摇奖 D.规定凡买到明信片最后四位号码是“6637”的人获三等奖 例 1 √ 6 (2)某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名，现用同比例分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为 A.6 B.8 C.10 D.12 设在高二年级的学生中应抽取的人数为n，则解得n＝8. 解析 √ 7 同比例分层抽样中容量的计算 同比例分层抽样的特点是“按比例抽样”，即. 反 思 感 悟 8 中国古代数学专著《算法统宗》中有这样的记载：毛诗春秋周易书，九十四册共无余，毛诗一册三人读，春秋一册四人呼，周易五人读一本.意思为：现有《毛诗》《春秋》《周易》3种书共94册，若干人读这些书，要求每个人都要读到这3种书，若3人共读一本《毛诗》，或者4人共读一本《春秋》，或者5人共读一本《周易》，则刚好没有剩余.现要用同比例分层抽样的方法从中抽取47册，则要从《毛诗》中抽取的册数为 A.12 B.14 C.18 D.20 跟踪训练 1 √ 9 设《毛诗》有x册，《春秋》有y册，《周易》有z册，学生人数为m， 则解得 因此，用同比例分层抽样的方法从中抽取47册，则要从《毛诗》中抽取的册数为40×＝20. 解析 10 二 统计图表 1.扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目；频率分布直方图能清楚显示在各个不同区间内取值，各组频率分布情况，易于显示各组之间频率的差别. 2.认识统计图表在整理数据中的作用，同时重点提升数学运算、直观想象、数据分析的核心素养. 亚健康是时下社会热门话题，进行体育锻炼是远离亚健康的一种重要方式，为了解某市初中学生每天进行体育锻炼的时间情况，随机抽样调查了100名初中学生，根据调查结果得到如图所示的统计图表. 例 2 类别 时间t(小时) 人数 A t≤0.5 5 B 0.5<t≤1 20 C 1<t≤1.5 a D 1.5<t≤2 30 E t>2 10 13 请根据图表信息解答下列问题： (1)a＝　　　　；  类别 时间t(小时) 人数 A t≤0.5 5 B 0.5<t≤1 20 C 1<t≤1.5 a D 1.5<t≤2 30 E t>2 10 14 由题表可得 a＝100－(5＋20＋30＋10)＝35. 解 15 (2)补全条形统计图； 补全条形统计图如图所示. 解 16 (3)小王说：“我每天的锻炼时间是调查所得数据的中位数”，问小王每天进行体育锻炼的时间在什么范围内？ 根据中位数的定义可知，这组数据的中位数落在C类别，所以小王每天进行体育锻炼的时间范围是1<t≤1.5. 解 17 (4)据了解该市大约有30万名初中学生，请估计该市初中学生每天进行体育锻炼时间在1小时以上的人数. 由于30×＝22.5(万人). 所以估计该市初中学生每天进行体育锻炼时间在1小时以上的人数是22.5万. 解 18 反 思 感 悟 条形统计图的特点 (1)条形统计图中，各小矩形宽相等. (2)注意横、纵轴的意义. (3)由条形统计图可以作出折线统计图：取各小矩形上边的中点，再用线段连接. (4)条形统计图能清楚地表示出每个项目中的具体数目，易于比较数据之间的差别. 19 　(多选)2024年2月29日，国家统计局发布了我国2023年国民经济和社会发展统计公报，全国居民人均可支配收入和消费支出均较上一年有所增长，结合图一、图二所示统计图，下列说法正确的是 跟踪训练 2 20 A.2019~2023年全国居民人均可支配收入逐年递增 B.2019~2023年全国居民人均可支配收入增长速度逐年递增 C.2023年全国居民人均消费支出中教育文化娱乐支出费用最少 D.2023年全国居民人均消费支出中食品烟酒和居住支出费用之和占比不 足60% √ √ 21 对于A，根据条形统计图可知，2019~2023年全国居民人均可支配收入分别为30 733元，32 189元，35 128元，36 883元，39 218元，逐年递增，即A正确； 对于B，根据折线统计图可知2020年、2022年增长速度下降，即B错误； 对于C，根据扇形统计图可知，2023年全国居民人均消费支出中教育文化娱乐支出费用为2 904元， 比衣着、生活用品及服务等要多，不是最少的，即C错误； 对于D，2023年全国居民人均消费支出中食品烟酒和居住支出费用之和占比为29.8%＋22.7%＝52.5%，不足60%，即D正确. 解析 22 用样本的频率分布估计总体分布 三 1.频率分布直方图的构成及特征 2.掌握频率分布直方图的画法及其应用，重点提升数据分析与逻辑推理的核心素养. 　某制造商生产一批直径为40 mm的乒乓球，现随机抽样检查20个，测得每个球的直径(单位：mm，保留两位小数)如下： 40.03　40.00　39.98　40.00　39.99　40.00　39.98　40.01　39.98　39.99　40.00　39.99　39.95　40.01　40.02　39.98　40.00　39.99　40.00　39.96 (1)完成下面的频率分布表，并画出频率分布直方图； 例 3 分组 频数 频率 [39.95，39.97)     [39.97，39.99)     [39.99，40.01)     [40.01，40.03]     总计     25 分组 频数 频率 [39.95，39.97) 2 0.10 [39.97，39.99) 4 0.20 [39.99，40.01) 10 0.50 [40.01，40.03] 4 0.20 总计 20 1.00 频率分布表如下： 解 频率分布直方图如图： 26 (2)假定乒乓球的直径误差不超过0.02 mm为合格品.若这批乒乓球的总数为10 000，试根据抽样检查结果估计这批产品的合格个数. ∵抽样的20个产品中在[39.98，40.02]范围内的有17个，∴合格品频率为×100%＝85%. ∴10 000×85%＝8 500. 故根据抽样检查结果，可以估计这批产品的合格个数为8 500. 解 27 与频率分布直方图有关问题的常见类型及解题策略 (1)已知频率分布直方图中的部分数据，求其他数据，可根据频率分布直方图中的数据求出样本与整体的关系，利用频率和等于1可求出其他数据. (2)已知频率分布直方图，求某个范围内的数据，可利用图形及某范围结合求解. 反 思 感 悟 28 某校为了对初三学生的体重进行调查，随机抽取了50名学生的体重(单位：kg)，将所得数据整理后，画出了频率分布直方图如图所示，体重在[45，50)内的适合跑步训练，体重在[50，55)内的适合跳远训练，体重在[55，60]内的适合投掷训练，估计该校初三学生适合参加跑步、跳远、投掷三项训练的集训人数之比为 A.4∶3∶1 B.5∶3∶1 C.5∶3∶2 D.3∶2∶1 跟踪训练 3 √ 29 体重在[45，50)内的频率为0.1×5＝0.5， 体重在[50，55)内的频率为0.06×5＝0.3， 体重在[55，60]内的频率为0.02×5＝0.1， ∵0.5∶0.3∶0.1＝5∶3∶1， ∴可估计该校初三学生适合参加跑步、跳远、投掷三项训练的集训人数之比为5∶3∶1. 解析 30 用样本的集中趋势、离散程度估计总体 四 1.为了从整体上更好地把握总体规律，我们还可以通过样本数据的众数、中位数、平均数估计总体的集中趋势，通过样本数据的方差或标准差估计总体的离散程度. 2.掌握各个数字特征的意义及应用，重点提升数据分析与数学运算的核心素养. 甲、乙两人在相同的条件下各射靶10次，每次射靶成绩(单位：环)如图所示. (1)填写下表： 例 4   平均数 方差 中位数 命中9环及以上次数 甲 7 1.2   1 乙   5.4   3 33 因为甲的射靶环数从小到大排列为5，6，6，7，7，7，7，8，8，9， 所以中位数为7； 乙的射靶环数从小到大排列为2，4，6，7，7，8，8，9，9，10， 所以×(2＋4＋6＋7＋7＋8＋8＋9＋9＋10)＝7， 所以中位数是＝7.5.于是填充后的表格如下表所示. 解   平均数 方差 中位数 命中9环及以上次数 甲 7 1.2 7 1 乙 7 5.4 7.5 3 34 (2)请从四个不同的角度对这次测试进行分析： ①从平均数和方差结合分析偏离程度； ②从平均数和中位数结合分析谁的成绩好些； ③从平均数和命中9环以上的次数相结合看谁 的成绩好些； ④从折线统计图上两人射击命中环数及走势分析谁更有潜力. 35 ①甲、乙的平均数相同，均为7，但<说明甲偏离平均数的程度小，而乙偏离平均数的程度大. ②甲、乙的平均数相同，而乙的中位数比甲大，说明乙射靶成绩比甲好. ③甲、乙的平均数相同，而乙命中9环及以上的次数比甲多2次，可知乙的射靶成绩比甲好. ④从折线统计图上看，乙的成绩呈上升趋势，而甲的成绩在平均线上波动不大，说明乙的状态在提升，更有潜力. 解 36 用样本的集中趋势、离散程度估计总体应注意的问题 (1)中位数用来描述数据的中心位置，众数体现了数据的最大集中点，平均数反映样本数据的总体水平. (2)标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度.标准差(方差)较大，数据的离散程度较大；标准差(方差)较小，数据的离散程度较小. 反 思 感 悟 37 　某电商平台对某大型活动期间的10 000名网络购物者的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示. (1)求频率直方图中的a的值； 跟踪训练 4 由题意可知，0.02＋0.08＋0.15＋0.2＋0.25＋0.1×a＝1，解得a＝3. 解 38 (2)估计这10 000名网络购物者在该活动期间消费的中位数和平均数(保留小数点后三位). 设中位数为t， 则1.5×0.1＋2.5×0.1＋(t－0.5)×3＝0.5， 解得t≈0.533， 平均数＝0.35×0.15＋0.45×0.25＋0.55×0.3＋0.65×0.2＋0.75×0.08＋0.85×0.02＝0.537. 解 39 样本的百分位数 五 1.一般地，一组数据的Pr是这样一个值，它使得这组数据中至少有r%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－r)%的数据大于或等于这个值.可以用样本数据的百分位数估计总体的百分位数. 2.掌握百分位数的计算及应用，重点提升数据分析与数学运算的核心素养. 某次数学考试后，抽取了20名同学的成绩作为样本绘制频率分布直方图如图. 估计样本数据的P25和P80(保留三位有效数字). 例 5 42 由图可知，2a＋3a＋7a＋6a＋2a＝0.1，所以a＝0.005，则[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]对应的频率分别为0.1，0.15，0.35，0.3，0.1，前两组频率之和恰为0.25，故P25为70.0，前三组频率之和为0.6，前四组频率之和为0.9，所以P80在第四组. 设P80为x，则0.6＋(x－80)×6×0.005＝0.8，解得x≈86.7. 解 43 计算一组n个数据Pr的步骤 (1)按从小到大排列原始数据. (2)计算c＝n×r%. (3)若c不是整数，而大于c的最小整数为m，则Pr＝xm；若c是整数，则Pr＝. 反 思 感 悟 44 　小明统计了周一至周五完成数学课堂作业的时间(单位：分钟)分别为43，45，30，26，32.则这组数据的P50是 A.30 B.32 C.31 D.37.5 跟踪训练 5 P50即中位数，将数据从小到大重新排序为26，30，32，43，45，所以P50为32. 解析 √ 45 第6章　 统计学初步 <<< $