精品解析：新疆 乌鲁木齐市第一○三中学2025-2026学年上学期八年级期中考试数学试卷

2025－2026学年第一学期八年级期中考试数学（问卷） 试卷满分：150分 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 汉字是中华文化的瑰宝，下列汉字是轴对称图形的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．据此解答即可． 【详解】解：A、选项中的汉字不是轴对称图形，故不符合题意； B、选项中的汉字不是轴对称图形，故不符合题意； C、选项中的汉字是轴对称图形，故符合题意； D、选项中的汉字不是轴对称图形，故不符合题意； 故选：C． 2. 如图，以D为顶点的三角形的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形，熟练掌握三角形的概念是解答本题的关键． 根据三角形的定义即可得到结论． 【详解】解：以为顶点的三角形有，，，共4个三角形， 故选：B． 3. 如图，的三边长分别是，，，则的值不可能是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可作答． 【详解】∵的三边长分别是，，， ∴， ∴， ∴的值不可能是10． 故选：D． 4. 如图，，，请问添加下面哪个条件不能判断的是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 本题要判定，已知，，得，具备了一组边一对角对应相等，根据判定方法对选项一一分析，即可选出正确答案． 【详解】解：∵，， ∴， 即， A、添加，根据有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角，故不能判断，该选项符合题意； B、添加，根据，故能判断，该选项不符合题意； C、添加，根据，故能判断，该选项不符合题意； D、添加，根据，故能判断，该选项不符合题意． 故选：A． 5. 下列选项所给条件能画出唯一的是（ ）． A. ， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定条件，三角形的三边关系，根据ASA、SAS、SSS等判定唯一三角形，同时考虑三角形三边关系．需根据每个选项逐一分析判断即可． 【详解】解：A项：，，只给出直角和斜边，无法唯一确定三角形，不符合题意； B项：, ，，已知两角及夹边，符合ASA全等条件，能唯一画出，符合题意； C项：，，，因为，不满足三角形三边关系，不能画出三角形，不符合题意； D项：，，，已知两边及非夹角，属于SSA情况，不能保证唯一三角形，不符合题意． 故选：B． 6. 如图，，，连接，若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，关键是由全等三角形的性质推出，，阴影的面积的面积．由全等三角形的性质推出，，得到，求出的面积，得到阴影的面积的面积 【详解】解：， ，， 的面积， 的面积的面积， 阴影的面积的面积 故选：A． 7. 如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是高，AE⊥AB交BC于E，则DE与BC之间的数量关系是（　　） A. BC＝3DE B. BC＝6DE C. BC＝2DE D. BC＝5DE 【答案】B 【解析】 【分析】连续多次使用30°所对的直角边等于斜边的一半和使用等角对等边即可求解． 【详解】解：∵△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B=∠C＝30° 又∵AE⊥AB交BC于E，即∠BAE＝90° ∴BE=2AE，∠AEB＝60°，∠CAE=∠BAC-∠BAE=30°， ∴∠CAE=∠C， ∴AE=CE， 又∵AD是高， ∴∠DAE＝30°， ∴AE=2DE， ∴BC=BE+CE=2AE+AE=3AE=3×2DE=6DE． 故选：B． 【点睛】本题考查含30°的直角三角形的性质，等角对等边，等边对等角等知识，掌握含30°的直角三角形的性质是解题的关键． 8. 某小组开展“用直尺和圆规作角平分线”探究活动，作图痕迹如下图．其中射线为的平分线的共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质和判定，尺规作图．根据作图痕迹，运用相关知识逐一进行判断即可． 【详解】解：图1为尺规作角平分线的方法，为的平分线； 图2中，由作图可知， ∴，， ∴， ∴， ∴为平分线； 图3为过点O作，则射线不一定是的平分线； 图4中，由作图可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的平分线． 综上所述，射线OP为的平分线的共有3个． 故选：C． 9. 如图，在中，，点为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于点，下列结论：①；②若，则；③当时，则为中点；④当为等腰三角形时，；其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和．通过等腰三角形的性质得到，利用角度的转换即可得到，故①正确；当时，可证明，即可得到，故②正确；当时，可得，利用等腰三角形三线合一的性质可得D为中点，故③正确；根据三角形外角的性质，可得，则可得到或，即可求出的度数为或，故可得④不正确． 【详解】解：∵， ， ，， ，故①正确； 若， 由①得， ， ，故②正确； 若，则可得， ∵， D为中点，故③正确； 根据三角形外角的性质，可得， 故， 当时， ； 当， ，故④不正确， 所以正确的为①②③， 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 10. 已知等腰三角形的一个角为，则它的顶角为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，分角为底角和顶角两种情况求解即可，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：当的角为底角时， 此时顶角为； 当的角为顶角时， 此时顶角为； 即该三角形的顶角为或， 故答案为：或． 11. 一副三角板按如图方式叠合在一起，与相交于点，则的度数为____________． 【答案】##75度 【解析】 【分析】本题考查了三角板中的角度计算、三角形外角的性质，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．由题意得，，再根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：由题意得，，， ∴． 故答案为：． 12. 如图，和中，，要使，若根据“”判定，则还需要添加条件：______．  【答案】（或） 【解析】 【分析】根据题意，是公共边，只需添加或即可解答． 本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】解：根据题意，是公共边，只需添加或． 故答案为：或． 13. 如图为的方格，其中有、、三点，现有一点在其它格点上，且、、、为轴对称图形，则共有____________个这样的点符合题意． 【答案】4##四 【解析】 【分析】本题考查了利用轴对称设计图案，正确把握轴对称图形的定义是解题关键． 利用轴对称图形的性质得出符合题意的点即可． 【详解】解：如图所示，、、、为轴对称图形，共有4个这样的点． 故答案为：4． 14. 如图，的平分线与中的相邻外角的平分线相交于点，过作，交于，交于，若，，求的长为____________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据角平分线的定义得到，，根据平行线的性质得到，，再利用等角对等边得到，，最后利用线段的和差即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴． 故答案：5． 15. 重心是一个物体受力的平衡点，在探究平面图形的重心时发现：把一个平面组合图形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，，重心分别为，，原图形的重心坐标为，则有，．如图，若，，，，以点为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则此“L”形的重心坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查图形与坐标，解题的关键是理解题意；由题意先画出平面直角坐标系，然后根据题意可得点，，，进而根据中点坐标公式可得，，最后代入题中所给重心坐标公式可进行求解． 【详解】解：所建平面直角坐标系如图所示： ∵，，，， ∴，，， ∵是矩形的对角线，且交于一点， ∴点是的中点， ∴根据中点坐标公式可得，即， 同理可得， ∴，， ∴此“L”形的重心坐标为； 故答案． 三、解答题（本大题共8小题，满分90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 如图，在中，是的角平分线，点在边上（不与点，重合），与交于点． （1）若是中线，，，则与的周长差为_____； （2）若，是角平分线，求_____； （3）若，是高，求的度数． 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，熟记它们的概念是解题的关键； （1）根据三角形的中线的概念得到，再根据三角形周长公式计算； （2）根据三角形内角和定理得到，再根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算； （3）根据直角三角形的性质求出，再根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算． 【小问1详解】 解：是的中线， ， ，， 与的周长差为：， 故答案为：2； 【小问2详解】 解：， ， 是的角平分线，是角平分线， ，， ， ， 故答案为：； 【小问3详解】 解：是高， ， ， ， 平分， ， 在中，． 17. 已知如图：在和中，，，． （1）求证：； （2）求的大小． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定与性质． （1）先证明，再由证明，然后结合全等三角形的性质即可得答案； （2） 由可得，再结合图形，利用角的和差可得的度数． 【小问1详解】 证明：， ， 即， 在与中， ， ； 【小问2详解】 ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ． 18. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD．求△ABC各角的度数． 【答案】∠A=36°，∠ABC=∠C=72° 【解析】 【分析】设∠A=x，根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质、三角形的内角和定理即可求得各个角的度数． 【详解】解：设∠A=x， ∵AD=BD， ∴∠ABD=∠A=x， ∴∠BDC=∠ABD+∠A=2x， ∵BD=BC， ∴∠C=∠BDC=2x， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C=2x， ∴在△ABC中，x+2x+2x=180°， ∴x=36°，2x=72°， 即∠A=36°，∠ABC=∠C=72°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质、三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质和外角性质是解答的关键． 19. 已知，如图，在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线，AB=A'B'，BC=B'C'，AD=A'D'．求证：△ABC≌△A'B'C'． 【答案】见解析 【解析】 【分析】依据BD=B'D'，AB=A'B'，AD=A'D'，即可判定△ABD≌△A'B'D'，再根据∠B=∠B'，AB=A'B'，BC=B'C'，即可得判定△ABC≌△A'B'C'． 【详解】证明：∵AD，A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线，BC=B'C'， ∴BD=B'D'， 又∵AB=A'B'，AD=A'D'， ∴△ABD≌△A'B'D'（SSS）， ∴∠B=∠B'， 又∵AB=A'B'，BC=B'C'， ∴△ABC≌△A'B'C'（SAS）． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，能求出△ABD≌△A′B′D′是解此题的关键． 20. 小明同学在折纸时发现：可以用一张纸折出一个等边三角形．他的折纸方式如下： （1）对折纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； （2）再一次沿折叠纸片，使点B落在上的点N处； （3）连接，则为等边三角形． 小明将折法与小云分享，小云发现小明的方法也可以通过尺规作图的方式来呈现． 请你完成下面小云的作图（保留作图痕迹）及证明过程并在括号中填写推理依据． 如图，已知长方形 ①尺规作图：作的垂直平分线； ②以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点； ③连接、，则为等边三角形． 证明：直线垂直平分 ____________（ ） ____________ 为等边三角形． 【答案】图见解析；，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等， 【解析】 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的作图、线段垂直平分线的性质及等边三角形的判定，先按要求完成作图，再根据线段垂直平分线的性质进行证明即可． 【详解】解：如下图即为所求作； 证明：直线垂直平分， （线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）， ， ， 为等边三角形． 21. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别，，． （1）在图中作出关于x轴的对称图形，并写出点C关于y轴的对称点的坐标：________； （2）点P为y轴上一动点，且使得周长最小，请在图中标出P点位置（不写作法，保留作图痕迹）； （3）点F在x轴上，若，请直接写出点F的坐标：________． 【答案】（1）图见解析， （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形—轴对称变换，熟练掌握轴对称性质是解答的关键． （1）根据轴对称的性质得到对应点，再顺次连接即可画图； （2）问题转化为求的最小值，作C关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，则点P即为所求； （3）先由割补法求得，再根据求得，进而可求解． 【小问1详解】 解：如图，即为所求，则点C关于y轴的对称点的坐标为； 【小问2详解】 解：如图，点P即为所求； 【小问3详解】 解：， ∴， ∴， ∴点F的坐标为或． 22. 阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． 图1 图2 图③ （1）问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证：； （2）问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，，，求的长； （3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，第一象限内是否存在一点P，使为等腰直角三角形？如果存在，请求出点P的坐标． 【答案】（1）见解析 （2） （3）第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）根据余角的性质得到，即可根据证明； （2）同（1）证明，得到，，求出即可； （3）分三种情况：①当时，；②当时，；③当时，；分别构造全等三角形，由全等三角形的性质即可解决问题． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 证明：∵于D，于E， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴，， ∵， ∴ ∴； 【小问3详解】 第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，理由如下： 分三种情况： ①当时，，如图③， 分别过点B、点P作y轴的垂线交过点A作y轴的平行线于点E、点F 同（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴点P的横坐标为，纵坐标为， ∴； ②当时，，如图④， 分别过点A、点P作x轴的垂线交过点B作x轴的平行线于点E、点F， 同(1)得：， ∴， ∵， ∴， ∴点P的横坐标为，纵坐标为， ∴； ③当时，，如图⑤， 分别过点A、点B作x轴的垂线交过点P作x轴的平行线于点E、点F， 同(1)得：， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴，解得， ∴； 综上，第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或． 【点睛】此题是三角形综合题目，考查了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质，直角三角形的性质，平行线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型． 23. （1）性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，如图1：OP平分∠MON，PC⊥OM于C，PB⊥ON于B，则PB_______PC（填“”“”或“=”）； （2）探索：如图2，小明发现，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，则，请帮小明说明原因． （3）应用：如图3，在小区三条交叉的道路AB，BC，CA上各建一个菜鸟驿站D，P，E，工作人员每天来回的路径为P→D→E→P， ①问点P应选在BC的何处时，才能使PD+DE+PE最小？ ②若∠BAC=30°，S△ABC=10，BC=5，则PD+DE+PE的最小值是多少？ 【答案】（1）=；（2）证明见解析；（3）①当AP⊥BC于P时，PD+DE+PE最小；②4． 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质即可得出结论； （2）过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线的性质可得DE=DF，然后根据三角形的面积公式即可证出结论； （3）①过点A作AP⊥BC于P，分别作点P关于AB、AC的对称点P1、P2，连接P1P2分别交AB、AC于D、E，连接PD、PE、AP1、AP2即可； ②根据三角形的面积公式即可求出AP，然后根据对称的性质可得AP1=AP=AP2=4，DP1=DP，EP2=EP，∠DAP1=∠DAP，∠EAP2=∠EAP，从而证出△P1AP2是等边三角形，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵OP平分∠MON，PC⊥OM于C，PB⊥ON于B， ∴PB=PC 故答案为：=； （2）理由：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F ∵AD是∠BAC的平分线， ∴DE=DF ∴； （3）①过点A作AP⊥BC于P，分别作点P关于AB、AC的对称点P1、P2，连接P1P2分别交AB、AC于D、E，连接PD、PE、AP1、AP2， 由对称的性质可得AP1=AP=AP2，DP1=DP，EP2=EP， ∴PD+DE+PE= DP1+DE+ EP2= P1P2，根据两点之间，线段最短和垂线段最短，即可得出此时PD+DE+PE最小，即P1P2的长 即当AP⊥BC于P时，PD+DE+PE最小； ②∵S△ABC=10，BC=5， ∴BC·AP=10 解得：AP=4 由对称的性质可得AP1=AP=AP2=4，DP1=DP，EP2=EP，∠DAP1=∠DAP，∠EAP2=∠EAP ∴∠DAP1＋∠EAP2=∠DAP＋∠EAP=∠DAE=30° ∴∠P1AP2=60° ∴△P1AP2是等边三角形 ∴P1P2= AP1=4 即PD+DE+PE的最小值是4． 【点睛】此题考查的是角平分线的性质、对称的性质、两点之间线段最短、垂线段最短的应用和等边三角形的判定及性质，掌握角平分线的性质、对称的性质、两点之间线段最短的应用和等边三角形的判定及性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第一学期八年级期中考试数学（问卷） 试卷满分：150分 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 汉字是中华文化的瑰宝，下列汉字是轴对称图形的是 （ ） A. B. C. D. 2. 如图，以D为顶点的三角形的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 如图，的三边长分别是，，，则的值不可能是（    ） A B. C. D. 4. 如图，，，请问添加下面哪个条件不能判断的是（） A. B. C. D. 5. 下列选项所给条件能画出唯一的是（ ）． A. ， B. ，， C. ，， D. ，， 6. 如图，，，连接，若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是高，AE⊥AB交BC于E，则DE与BC之间的数量关系是（　　） A. BC＝3DE B. BC＝6DE C. BC＝2DE D. BC＝5DE 8. 某小组开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，作图痕迹如下图．其中射线为的平分线的共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 如图，在中，，点为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于点，下列结论：①；②若，则；③当时，则为中点；④当为等腰三角形时，；其中正确的有（ ） A ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 10. 已知等腰三角形的一个角为，则它的顶角为______． 11. 一副三角板按如图方式叠合在一起，与相交于点，则的度数为____________． 12. 如图，在和中，，要使，若根据“”判定，则还需要添加条件：______．  13. 如图为的方格，其中有、、三点，现有一点在其它格点上，且、、、为轴对称图形，则共有____________个这样的点符合题意． 14. 如图，平分线与中的相邻外角的平分线相交于点，过作，交于，交于，若，，求的长为____________． 15. 重心是一个物体受力的平衡点，在探究平面图形的重心时发现：把一个平面组合图形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，，重心分别为，，原图形的重心坐标为，则有，．如图，若，，，，以点为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则此“L”形的重心坐标为__________． 三、解答题（本大题共8小题，满分90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 如图，在中，是的角平分线，点在边上（不与点，重合），与交于点． （1）若是中线，，，则与周长差为_____； （2）若，是角平分线，求_____； （3）若，是高，求的度数． 17. 已知如图：在和中，，，． （1）求证：； （2）求的大小． 18. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD．求△ABC各角的度数． 19. 已知，如图，在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线，AB=A'B'，BC=B'C'，AD=A'D'．求证：△ABC≌△A'B'C'． 20. 小明同学在折纸时发现：可以用一张纸折出一个等边三角形．他的折纸方式如下： （1）对折纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； （2）再一次沿折叠纸片，使点B落在上的点N处； （3）连接，则等边三角形． 小明将折法与小云分享，小云发现小明的方法也可以通过尺规作图的方式来呈现． 请你完成下面小云的作图（保留作图痕迹）及证明过程并在括号中填写推理依据． 如图，已知长方形 ①尺规作图：作的垂直平分线； ②以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点； ③连接、，则为等边三角形． 证明：直线垂直平分 ____________（ ） ____________ 为等边三角形． 21. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别，，． （1）在图中作出关于x轴的对称图形，并写出点C关于y轴的对称点的坐标：________； （2）点P为y轴上一动点，且使得周长最小，请在图中标出P点位置（不写作法，保留作图痕迹）； （3）点F在x轴上，若，请直接写出点F的坐标：________． 22. 阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． 图1 图2 图③ （1）问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证：； （2）问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，，，求的长； （3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，第一象限内是否存在一点P，使为等腰直角三角形？如果存在，请求出点P的坐标． 23. （1）性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，如图1：OP平分∠MON，PC⊥OM于C，PB⊥ON于B，则PB_______PC（填“”“”或“=”）； （2）探索：如图2，小明发现，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，则，请帮小明说明原因． （3）应用：如图3，在小区三条交叉的道路AB，BC，CA上各建一个菜鸟驿站D，P，E，工作人员每天来回的路径为P→D→E→P， ①问点P应选在BC的何处时，才能使PD+DE+PE最小？ ②若∠BAC=30°，S△ABC=10，BC=5，则PD+DE+PE的最小值是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $