专题17 复合函数的性质、嵌套函数的零点问题（压轴题5大类型专项训练）高一数学人教A版2019必修第一册

专题17 复合函数的性质、嵌套函数的零点问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、复合函数的单调性（含参数、值域问题） 1 类型二、复合函数的奇偶性（含解不等式、对称性问题） 3 类型三、型 5 类型四、型 6 类型五、型 7 压轴专练 8 类型一、复合函数的单调性（含参数、值域问题） 1、复合函数的单调性 在上的单调性如下表所示，简记为“同增异减” 增 增 增 增 减 减 2、复合函数的值域求解 ①指数型复合函数值域的求法 （1）形如（，且）的函数求值域：令，将求原函数的值域转化为求的值域，但要注意“新元”的范围． （2）形如（，且）的函数求值域：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域． ②对数型复合函数值域的求法 （1）形如（，且）的函数求值域：令，先求出的值域，再利用在上的单调性，再求出的值域． （2）形如（，且）的函数的值域：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域． 1．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知函数，则（    ） A．在上单调递增且值域为 B．在上单调递减且值域为 C．在上单调递增且值域为 D．在上单调递减且值域为 2．（25-26高一上·四川成都·期中）已知函数的定义域是A，则函数的最大值是（    ） A． B． C．0 D．8 3．（24-25高一上·江苏南通·月考）设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·湖南·期中）若函数的值域为，且在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·重庆万州·月考）函数的最小值为 ． 6．（25-26高一上·江西鹰潭·期中）已知函数的值域为，的值域为，则 7．（25-26高一上·北京·期中）已知函数，其定义域记为集合，且.以下所有正确结论的序号是 . ①； ②是减函数： ③若，则； ④对任意，都存在使得. 8．（25-26高一上·浙江杭州·月考）已知函数，其中. (1)求函数的单调区间和值域； (2)解关于的不等式. 9．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知函数， (1)当时，求函数的值域； (2)若函数的最小值为，求实数a的值. 类型二、复合函数的奇偶性（含解不等式、对称性问题） 单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题 ①在上是奇函数，且单调递增 若解不等式 ，则有 ； 在上是奇函数，且单调递减 若解不等式 ，则有 ； ②在上是偶函数，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 在上是偶函数，且在单调递减 若解不等式 ，则有（变号加绝对值）； ③关于对称，且单调递增 若解不等式 ，则有 ； 关于对称，且单调递减 若解不等式 ，则有 ； ④关于对称，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 关于对称，且在单调递减 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 1．（25-26高一上·广东中山·月考）已知定义在上的奇函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·湖北·月考）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·月考）设函数，若存在使不等式成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知函数，则不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·辽宁·月考）已知定义在上的函数满足，且当时，，则不等式的解集为 . 6．（25-26高一上·福建厦门·期中）已知函数 (1)求函数的定义域； (2)判断奇偶性，并加以证明； (3)若，求实数的取值范围． 7．（25-26高一上·四川成都·期中）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)试判断的单调性，并用定义证明； (3)解关于的不等式. 8．（25-26高一上·江西景德镇·期中）已知函数． (1)判断函数的单调性，并利用定义证明； (2)求证：函数的图象关于点中心对称； (3)若对，且，恒有成立，求实数的取值范围． 类型三、型 对于嵌套型复合函数的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数和外层函数； （2）确定外层函数的零点； （3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为，则函数的零点个数为. 注意：抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质． 1．（24-25高一上·湖南邵阳·期末）已知函数若关于的方程有4个不相等的实数解，则实数的取值范围为 ． 2．（24-25高一上·山西晋城·期中）已知，函数则关于的方程的实根的个数为 .；若关于的方程有7个不同的实根，则正数的取值范围是 . 3．已知函数，其中.若方程有且只有一个解，则实数的取值范围是 . 4．（24-25高一上·甘肃天水·期末）已知函数，若函数恰有两个零点，则的取值范围是 . 类型四、型 1．（24-25高一上·甘肃·期末）（多选题）已知函数若函数所有零点的乘积为1，则实数的值可以为（    ） A． B．2 C．3 D．4 2．（23-24高一上·福建厦门·月考）已知函数，若有两个不同的零点，则实数的取值范围是 ． 3．（23-24高一上·福建·月考）已知函数，若关于x的方程有5个不同的实数根，则实数m的取值范围为 . 4．设函数，，若函数有六个不同的零点，则实数的取值范围为 . 类型五、型 1．（24-25高一上·河北石家庄·期末）（多选题）已知函数，关于的方程有6个不同的实数根，则下列选项正确的是（   ） A．函数的零点个数为1 B．实数的取值范围为 C．函数无最值 D．函数在区间上单调递增 2．（24-25高一上·安徽黄山·期末）（多选题）已知函数，若关于的方程有4个不同的实根，则实数可能的取值有（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·江苏镇江·期中）（多选题）已知函数，若函数恰有5个零点，则m的值可以是（    ）． A．0 B． C．1 D． 4．（24-25高一上·江西宜春·期末）已知函数，若关于的方程恰有个不同的实数根，则实数的取值范围是 ． 1．（24-25高一上·甘肃白银·期末）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏·月考）已知函数，且，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．已知函数，则不等式的解集为（    ）. A． B． C． D． 4．（24-25高一上·天津·月考）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．，若实数，满足，则为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（25-26高一上·天津滨海新·月考）已知函数，则下列选项正确的是（   ） A．若的定义域为，则 B．若的值域为，则 C．若的定义域为，则 D．若在上单调递增，则 7．（多选题）已知函数，则（     ） A．函数的图象关于对称 B．函数的单调递减区间是 C．函数的值域是 D．不等式的解集是 8．（24-25高一下·河北石家庄·期中）（多选题）已知函数，则下列结论正确的是（　　） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的图象关于轴对称 D．函数在上单调递增 9．（24-25高一上·黑龙江鸡西·期末）（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．为偶函数 B．的定义域为 C． D．在定义域上单调递减 10．（25-26高一上·浙江温州·期中）（多选题）关于函数，下列说法正确的是（   ） A．的定义域是 B．是偶函数 C．的值域为 D．在单调递减 11．（24-25高一上·重庆·期中）（多选题）已知函数（为常数）是定义域为的奇函数，则下列选项中正确的是（    ） A． B．在上单调递减 C．的值域为 D．的解集为 12．（24-25高一上·四川成都·期末）（多选题）已知函数，函数，则（    ） A．函数的值域为 B．不存在实数，使得 C．若恒成立，则实数的取值范围为 D．若函数恰好有5个零点，则函数的5个零点之积的取值范围是 13．（24-25高一上·河北邯郸·期末）（多选题）已知函数，，则下列说法正确的是（   ） A．函数的图象关于点对称 B．函数的图象关于点对称 C．函数在上单调递增 D．若函数在区间上的最大值为，最小值为，则 14．（24-25高一上·浙江宁波·期末）（多选题）已知函数，若关于x的方程有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为，，，，则（   ） A． B． C． D． 15．若函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数.则的对称中心为 不等式的解集为 . 16．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知函数，若关于的方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围为 ． 17．（24-25高一上·上海宝山·期末）已知函数，若函数 恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是 . 18．已知（其中为自然对数的底数），若在上有三个不同的零点，则的取值范围是 . 19．（24-25高一上·山东青岛·月考）已知函数，若有6个零点，则实数m的取值范围为 . 20．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数，设方程（a为常数）的实数解的个数为n，则n的取值构成的集合为 ． 21．（25-26高一上·河北·期中）函数若关于的方程有6个不同的实数根，则实数的取值范围是 ，这6个实数根的和为 ． 22．已知函数. (1)证明：函数的图象关于点对称； (2)若存在正数，使得不等式能成立，求实数的取值范围. 23．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知函数. (1)若，解不等式； (2)若，求在区间上的值域； (3)若，设，若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 24．（25-26高一上·河北邢台·期中）已知函数． (1)设． （i）求的最小值，并求出当取得最小值时的值； （ii）求的单调递减区间． (2)对任意、，恒成立，求的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17 复合函数的性质、嵌套函数的零点问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、复合函数的单调性（含参数、值域问题） 1 类型二、复合函数的奇偶性（含解不等式、对称性问题） 8 类型三、型 16 类型四、型 23 类型五、型 28 压轴专练 32 类型一、复合函数的单调性（含参数、值域问题） 1、复合函数的单调性 在上的单调性如下表所示，简记为“同增异减” 增 增 增 增 减 减 2、复合函数的值域求解 ①指数型复合函数值域的求法 （1）形如（，且）的函数求值域：令，将求原函数的值域转化为求的值域，但要注意“新元”的范围． （2）形如（，且）的函数求值域：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域． ②对数型复合函数值域的求法 （1）形如（，且）的函数求值域：令，先求出的值域，再利用在上的单调性，再求出的值域． （2）形如（，且）的函数的值域：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域． 1．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知函数，则（    ） A．在上单调递增且值域为 B．在上单调递减且值域为 C．在上单调递增且值域为 D．在上单调递减且值域为 【答案】B 【分析】利用指数函数，二次函数，复合函数的性质求解单调性和值域即可. 【详解】令， 则视为由和构成的复合函数， 由二次函数性质得在上单调递减，在上单调递增， 由指数函数性质得在上单调递增， 由复合函数性质得在上单调递减， 而，故，故B正确. 故选：B 2．（25-26高一上·四川成都·期中）已知函数的定义域是A，则函数的最大值是（    ） A． B． C．0 D．8 【答案】C 【分析】根据题意，求得，令，得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由函数有意义，则满足，即， 解得，即函数的定义域为，即， 又由函数， 令，可得且， 因为函数的图像开口向上，且对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又由，所以函数的最大值为，即函数的最大值为. 故选：C. 3．（24-25高一上·江苏南通·月考）设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题转化为恒成立问题，分离参数求最值即可. 【详解】函数由和复合而成， 因为在区间上单调递减，而单调递增， 所以在区间上单调递减， 因为，如图， 所以 解得，即实数的取值范围是. 故选：D. 4．（25-26高一上·湖南·期中）若函数的值域为，且在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用对数函数的性质，结合二次函数的图象性质列式求解. 【详解】由函数的值域为，得函数的值域包含， 则函数的图象与轴有交点，即方程有实根， 因此，解得或； 由函数在上单调递增，而函数是减函数， 则函数在上单调递减且恒为正，则有， 解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A 5．（25-26高一上·重庆万州·月考）函数的最小值为 ． 【答案】-2 【分析】先求出函数的定义域，然后求出二次函数的值域，最后根据对数函数的单调性求出最小值即可. 【详解】要使函数有意义，则，化简得， 解得. 令，根据二次函数的性质可知. 因为在上单调递减， 所以当时，取最小值，即为. 故答案为：-2. 6．（25-26高一上·江西鹰潭·期中）已知函数的值域为，的值域为，则 【答案】0 【分析】由的值域为，得到的值域为，则有，从而求得；由的值域为，得到的最小值为9，则有，从而求得，计算的值得解. 【详解】因为函数的值域为， 所以函数的值域为，所以，解得； 因为的值域为， 所以的最小值为9，所以，解得， 所以. 故答案为：. 7．（25-26高一上·北京·期中）已知函数，其定义域记为集合，且.以下所有正确结论的序号是 . ①； ②是减函数： ③若，则； ④对任意，都存在使得. 【答案】①③ 【分析】根据函数有意义求解判断①；根据复合函数的单调性判断②；由，可得，，，进而得到，结合指数函数的值域及不等式的性质可判断③；取，可得，即可判断④. 【详解】由，得，则，故①正确； 由， 因为函数在和上为增函数， 且在和上为减函数， 则函数在和上为减函数，故②错误； 对于③，由，则，，， 则 ， 由，则且，所以且， 则或，即或， 所以，故③正确； 对于④，当时，， 对任意的，， 则，故④错误. 故答案为：①③. 8．（25-26高一上·浙江杭州·月考）已知函数，其中. (1)求函数的单调区间和值域； (2)解关于的不等式. 【答案】(1)增区间为，减区间为，值域为 (2) 【分析】（1）根据对数型复合函数的单调性求单调区间，利用单调性求值域； （2）根据单调性转化为，分类讨论去掉绝对值号求解即可. 【详解】（1）由，有，可得函数的定义域为， 又由二次函数的增区间为，减区间为， 当时，函数在上单调递增， 可得函数的增区间为，减区间为. 当时，，有， 故函数的值域为. （2）当时，关于的不等式可为， 可化为或. 可得或， 故关于的不等式的解集为. 9．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知函数， (1)当时，求函数的值域； (2)若函数的最小值为，求实数a的值. 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）利用换元法将函数转化为二次函数进行求值域； （2）对换元后的二次函数的对称轴位置进行讨论，根据最值表达式求出参数a的值． 【详解】（1），， 令，，则化为，， 当时，，， 对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当时，； 则，， 所以函数的值域为； （2）由（1），令，， 化为，，对称轴为， 若，则在上单调递增， 当时，，得，符合题意； 若，则在上单调递减，在上单调递增， 当时，，得舍去，符合题意； 若，则在上单调递减， 当时，，得，与矛盾，舍去； 综上，或 类型二、复合函数的奇偶性（含解不等式、对称性问题） 单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题 ①在上是奇函数，且单调递增 若解不等式 ，则有 ； 在上是奇函数，且单调递减 若解不等式 ，则有 ； ②在上是偶函数，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 在上是偶函数，且在单调递减 若解不等式 ，则有（变号加绝对值）； ③关于对称，且单调递增 若解不等式 ，则有 ； 关于对称，且单调递减 若解不等式 ，则有 ； ④关于对称，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 关于对称，且在单调递减 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 1．（25-26高一上·广东中山·月考）已知定义在上的奇函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用奇函数的性质求得参数，再根据的函数解析式直接判断的单调性，再根据函数单调性将不等式转化为自变量的大小关系，最后解一元二次不等式即可. 【详解】易知定义在上的奇函数，，即，解得. 故，易在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故在上单调递增. 注意到，，故等价于， 又因为在上单调递增，故，整理得， 解得或， 故选：D. 2．（25-26高一上·湖北·月考）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性，再由解析式及对数函数、复合函数的单调性判断的单调性，应用奇偶性、单调性解不等式即可. 【详解】由解析式知，函数的定义域为， 且， 所以在上为奇函数，且为连续函数， 由在上单调递增，在定义域上单调递增， 所以在上单调递增， 结合奇函数的对称性，在上单调递增， 由， 所以不等式的解集为. 故选：B 3．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·月考）设函数，若存在使不等式成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先判断出函数为奇函数，再结合单调性将题意转化为存在使不等式成立，结合含参二次函数的性质解题即可. 【详解】函数定义域为，定义域关于原点对称， 由于， 所以函数为奇函数， 又因为函数和均为上的减函数， 所以为上的减函数， 所以存在使不等式成立， 即成立，等价于存在使不等式成立， 当时显然满足； 当时，则，即， 综上可得实数的取值范围是， 故选：B. 4．已知函数，则不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的对称性可得函数图象关于对称，设，则为奇函数且单调递增，结合函数的奇偶性和单调性解不等式即可. 【详解】函数定义域为R，且在R上单调递增，值域为， ， 所以函数图象关于对称， 设函数，则函数图象关于原点对称 所以函数为R上的奇函数，且单调递增， 由，得， 即，得， 所以，解得，即原不等式的解集为. 故选：A． 5．（25-26高一上·辽宁·月考）已知定义在上的函数满足，且当时，，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，可得函数的图象关于对称，再利用复合函数单调性求出函数在上的单调性，再借助性质解不等式. 【详解】因为，所以的图象关于对称， 当时，，且单调递增，又在上单调递减. 由复合函数单调性知在上单调递减， 又因为的图象关于点对称，所以在上单调递减. 又，则， 所以由，可得， 即，所以，即， 解得，所以该不等式的解集为. 故答案为: 6．（25-26高一上·福建厦门·期中）已知函数 (1)求函数的定义域； (2)判断奇偶性，并加以证明； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)偶函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据函数的定义域求法列式求解即可； （2）根据函数的奇偶性求解即可； （3）利用函数的奇偶性及对称性解抽象不等式即可. 【详解】（1）由题意可得， 解得，所以的定义域为. （2）因为的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为上的偶函数， （3）， 在上单调递增，在上单调递减， 函数为增函数， 所以在上单调递减， 等价于， ，解得或， ，解得， 所以的取值范围是. 7．（25-26高一上·四川成都·期中）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)试判断的单调性，并用定义证明； (3)解关于的不等式. 【答案】(1)1 (2)在上单调递减，证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）由奇函数性质求参数，并验证结果即可； （2）任取，且，应用作差法比较的大小，即可证明； （3）根据函数的奇偶性及单调性将问题转化为解不等式，进而根据一元二次不等式解法求解即可. 【详解】（1）由题意，则， 此时， 则，即为奇函数，满足题意， 所以. （2）在上单调递减，证明如下： 由（1）知，， 任取，且， 则， 因为，所以，，， 故，即， 所以在上单调递减. （3）由， 则， 由（2）知，在上单调递减， 所以，则，即， 当时，不等式为，解得； 当时，，不等式可化为，解得； 当时，不等式可化为， 当时，，解得或； 当时，，解得； 当时，，解得或. 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 8．（25-26高一上·江西景德镇·期中）已知函数． (1)判断函数的单调性，并利用定义证明； (2)求证：函数的图象关于点中心对称； (3)若对，且，恒有成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)为定义在上的增函数，证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）任取，由可得结论； （2）验证可知，由此可得结论； （3）根据，将恒成立的不等式化为，解分式不等式可求得结果. 【详解】（1）为定义在上的增函数，证明如下： 由题意知：的定义域为， 任取，则， ，，，， 为定义在上的增函数. （2）， ， 图象关于点中心对称. （3），，又为上的增函数，， ，， ， 要使得恒成立，只需， ，解得：或， 实数的取值范围为. 类型三、型 对于嵌套型复合函数的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数和外层函数； （2）确定外层函数的零点； （3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为，则函数的零点个数为. 注意：抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质． 1．（24-25高一上·湖南邵阳·期末）已知函数若关于的方程有4个不相等的实数解，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设，，作出函数的简图，结合函数图象，分情况列出不等式求解即可. 【详解】  设，，则的图象如图所示： 当时，显然不成立； 当时，有一个解，设为，由图可知，当时，显然无四个解，不成立． 当时，有三解，设为，由图可知． 无解，有三解，有一解，故满足题意． 当或时，显然不满足题意． 综上所得，实数的取值范围为：. 故答案为：. 2．（24-25高一上·山西晋城·期中）已知，函数则关于的方程的实根的个数为 .；若关于的方程有7个不同的实根，则正数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由函数解析式作图，结合图象可得空一的答案；根据图象化简方程，分情况讨论，可得答案. 【详解】的大致图象如图所示： 方程的根为，共3个. 由可得，或，或， 由图象可得，显然有3个根，显然有1个根， 又有7个不同的实根， 所以必有3个根，而， 为使有3个根，只需，解得或（舍）. 故答案为：；. 3．已知函数，其中.若方程有且只有一个解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】作出函数的图象，令，则，再分和两种情况讨论，结合图象即可得出答案. 【详解】如图，作出函数的图象， 令，则， 当时，由，得或， 即或， 若方程只有一个解， 则，解得， 若方程只有一个解， 则，解得， 此时方程必有解，与题意矛盾，所以， 当时，由，得，即， 令，解得， 要使方程只有一个解， 则，解得， 综上所述，a的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 4．（24-25高一上·甘肃天水·期末）已知函数，若函数恰有两个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】作出函数的图象，令，根据函数图象讨论方程的根的个数，由题意可得，作出函数的图象，再结合图象，分类讨论，进而可得出答案. 【详解】如图，因为和均为上的减函数，所以函数在上单调递减， 所以作出函数的图象如下：    令，由图知，当时，方程有2个不同的解， 当时，方程有1个解， 因为， 令，即，即， 即， 如图所示，作出函数的图象，    函数恒过定点， 当函数的图象只有一个交点时， 即，即只有一个解， 则，解得（舍去）， 当时，由图知函数的图象有2个交点， 即方程有2个根，且一个在上，一个为1， 所以方程有4个不同的解， 即函数有4个零点， 所以不符合题意； 当时，由图知函数的图象只有一个交点， 即方程有且仅有一个根，且这个根在上， 所以方程有2个不同的解， 即函数有两个零点， 所以符合题意； 当时，由图知函数的图象有3个交点， 即方程有3个根，且一个在上，另外两个在上， 所以方程有6个不同的解， 即函数有6个零点， 所以不符合题意； 当时，方程没有正数根， 此时令，则， 当时，方程无解， 所以方程无解， 即函数没有零点， 所以不符合题意； 当时，， ①当时，， 即方程的解为， 所以方程有2个不同的解， 即函数有两个零点， 所以符合题意； ②当时，， 则由，得，则， 所以方程有2个不同的解， 即函数有两个零点， 所以符合题意； ③当时，， 则由，得，则， 所以方程只有2个解， 即函数有2个零点， 故符合题意； ④当时，， 则由，得， 则， 所以方程有3个不同的解， 即函数有3个零点， 故不符题意， 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：判定函数的零点个数的常用方法： （1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果； （2）数形结合法：先令，将函数的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果. 类型四、型 1．（24-25高一上·甘肃·期末）（多选题）已知函数若函数所有零点的乘积为1，则实数的值可以为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】BD 【分析】令，可得，讨论与图象位置关系求解即可. 【详解】由题意，作出函数的图象如图. 令，则函数，即，即，即. 由题意函数所有零点的乘积为1， 可知的所有解的乘积为1， 而的解可看作函数的图象与直线的交点的横坐标. 结合的图象可知， 当时，函数的图象与直线有2个交点， 不妨设交点横坐标为，则， 且，即，所以，所以，符合题意； 当时，函数的图象与直线有3个交点， 其中只有最左侧交点的横坐标小于等于0， 则的所有解的乘积小于等于0，不合题意； 当时，函数的图象与直线有2个交点， 不妨设交点横坐标为，则， 且，即，所以，所以，符合题意. 综合以上，可知实数的取值范围为， 故选：BD. 【点睛】方法点睛：（1）转化法：利用换元法，令，将函数所有零点的乘积为1，转化为的所有解的乘积为1； （2）数形结合法：作出函数的图象，数形结合，分类讨论解决问题. 2．（23-24高一上·福建厦门·月考）已知函数，若有两个不同的零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用换元法,设，根据复合函数的零点个数求实数的范围即可. 【详解】时,， 时,, 的值域为， 且在区间上单调递增，在区间上单调递减， 设， , ,即， 故，， 方程有两个不同的零点，则，且 解得. 故答案为： 3．（23-24高一上·福建·月考）已知函数，若关于x的方程有5个不同的实数根，则实数m的取值范围为 . 【答案】 【分析】作出函数的图象，把复合方程根的问题化为函数与三条直线有5个交点问题，结合图象，列不等式组计算即可. 【详解】作出函数图象如下： 令，则，所以，，， 所以，，， 所以，，， 即，，， 因为关于x的方程有5个不同的实数根， 所以函数与直线，，共有5个交点， 所以，解得，即实数m的取值范围为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：将方程根的个数问题转化成函数图象交点个数问题是解决此类问题的方法，画出函数图象并利用数形结合列式求解即可. 4．设函数，，若函数有六个不同的零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据给定的函数解析式，分析新函数的对称性与单调性，可得其图象，结合函数的图象变换，可得答案. 【详解】令，即，解得或，易知，可得， 可得， 当时，设，且， 点关于直线的对称点为， ； 当时，设，且， 点关于直线的对称点为， ； 综上所述，函数的图象关于直线对称. 当时，由单调递增，单调递增， 则函数在上单调递增； 当时，由单调递增，单调递减， 则函数在上单调递减； 当时，由单调递增，单调递增， 则函数在上单调递增. 当时，由，，则； 当时，由，则. 可得下图：    由函数的图象可由函数的图象平移个单位， 则. 故答案为：. 类型五、型 1．（24-25高一上·河北石家庄·期末）（多选题）已知函数，关于的方程有6个不同的实数根，则下列选项正确的是（   ） A．函数的零点个数为1 B．实数的取值范围为 C．函数无最值 D．函数在区间上单调递增 【答案】BC 【分析】对于ACD，由题可画出大致图象，据此可判断选项正误；对于B，由有6个不同根，可得和共有6个根，其中的两根为，然后由数形结合思想结合二次方程根的分布知识可得答案. 【详解】由题可得的图象大致如下. 对于A，由图可得零点有3个，故A错误； 对于B，由题可得和共有6个根， 即图象与直线，共有6个交点. 其中的两根为，则判别式为或. 注意到，结合图象可得，同号，且一个大于1，一个小于1大于0. 设，则，由图可得， 又函数在上单调递增，则，故B正确； 对于C，由函数图象可得无最值，故C正确； 对于D，由图可得在上单调递减，在上单调递增，故D错误. 故选：BC 2．（24-25高一上·安徽黄山·期末）（多选题）已知函数，若关于的方程有4个不同的实根，则实数可能的取值有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】将方程的根的问题转化为图象交点问题，由一元二次方程解得或，要想有个交点，则两条直线与图象各有个交点，根据图象得到的范围，进而得到可能的取值. 【详解】由得或， 根据二次函数和指数函数图象得到图象，当时，， 并在同一坐标系中画出，与图象有个交点， 要使得关于的方程有4个不同的实根，则直线与图象有个交点，且两条直线不重合， 根据图象可知且，解得且，所以ACD符合， 故选：ACD. 3．（23-24高一下·江苏镇江·期中）（多选题）已知函数，若函数恰有5个零点，则m的值可以是（    ）． A．0 B． C．1 D． 【答案】BCD 【分析】先作出函数的图象，然后结合函数的零点与方程的根的关系，得到方程的一个根在，一个根在，结合一元二次方程的根的分布问题即可求解． 【详解】记，作出函数的图象如图所示， 令，则由图可知， 当时，方程只有一个根； 当时，方程有两个根； 当时，方程有三个根； 显然不是方程的根， 若是方程的根，则，此时另一个根为， 结合图象可知，此时方程和方程共有4个根，则函数有4个零点，不满足题意； 所以恰有5个零点等价于方程恰有5个实根， 等价于方程的一个根在，一个根在， 令，则，解得， 结合选项可知，的值可以是. 故选：BCD. 【点睛】思路点睛：对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数和外层函数； （2）确定外层函数的零点； （3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、、，则函数的零点个数为. 4．（24-25高一上·江西宜春·期末）已知函数，若关于的方程恰有个不同的实数根，则实数的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】在同一直角坐标系下画出函数与的图象，可知方程有三个实根，故方程有且仅有一个实数根.结合图象即可求解. 【详解】由方程可知或. 在同一直角坐标系下画出函数与的图象如下图： 可知方程有三个实根. ∵关于的方程恰有个不同的实数根， ∴方程有且仅有一个实数根. 所以由函数的图象可知或. 故答案为：或. 1．（24-25高一上·甘肃白银·期末）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复合函数单调性来确定单调减区间即可. 【详解】因为函数在上单调递减，在上单调递增， 是减函数，根据复合函数的单调性，可得的单调递减区间为． 故选：D. 2．（24-25高一上·江苏·月考）已知函数，且，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性、单调性可得答案. 【详解】因为，所以函数的定义域为， 关于原点对称，且，所以为偶函数， 又时，是单调递增函数，所以是单调递减函数， 根据对称性知时，所以是单调递增函数， 由得，解得. 故选：C. 3．已知函数，则不等式的解集为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】得出在上单调递增，，然后将不等式等价变形为即可求解. 【详解】设函数，则函数是定义域为， 因为是增函数，是减函数，是增函数， 所以在上单调递增； 因为， 所以其图象关于点对称，即有，即． 由得 ， 即， 即，所以 ，解得 ． 故选：A． 4．（24-25高一上·天津·月考）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的奇偶性、单调性、对数函数的图象与性质分析运算即可得解. 【详解】由题可知函数的定义域为， ∵， ∴是偶函数， ∴由可得，即. 当时，， ∵和在上都是单调递增的， ∴在上单调递增，又因是偶函数， ∴在上单调递减. 又∵，由函数的定义域知有， ∴由可得，解得：； 由可得，解得：. 综上，不等式的解集为. 故选：D. 5．，若实数，满足，则为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先利用定义判断出函数是奇函数，且为增函数，由奇函数的定义可求出的值. 【详解】对任意，，函数的定义域为， ，则函数为奇函数， 当时，由于函数为增函数， 所以，函数在上为增函数， 由于该函数为奇函数，则函数在上也为增函数， 所以，函数在上为增函数，由，得， 可得出，故A正确. 故选：A. 6．（25-26高一上·天津滨海新·月考）已知函数，则下列选项正确的是（   ） A．若的定义域为，则 B．若的值域为，则 C．若的定义域为，则 D．若在上单调递增，则 【答案】C 【分析】分别根据定义域、值域、单调性的要求，结合二次函数的性质分析各选项，通过韦达定理、判别式等工具验证结论. 【详解】选项A：若定义域为，则对恒成立. 当时，恒成立； 当时，需且，即. 故，选项A错误. 选项B：若值域为，则需取遍所有正实数， 需且，即. 选项B中漏掉，错误. 选项C：若定义域为，则是方程的根. 由韦达定理，根的积为，解得. 验证：的解集为，符合，选项C正确. 选项D：在上递增，需在上递增且恒正. 的对称轴为，故，且， 即，选项D错误. 故选：C 7．（多选题）已知函数，则（     ） A．函数的图象关于对称 B．函数的单调递减区间是 C．函数的值域是 D．不等式的解集是 【答案】AC 【分析】利用函数对称性的定义可判断A选项；根据复合函数单调性的“同增异减”原则结合对数函数和一元二次函数性质可判断B选项； 由真数部分函数的值域，结合对数函数的基本性质可判断C选项；利用对数函数的单调性解不等式，可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为， 所以函数的图象关于对称，故A正确； 对于B选项，由可得或， 所以函数的定义域为， 因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且函数为增函数，所以函数的单调递减区间是，故B错误； 对于C选项，由B知函数的定义域为， 当或时，函数值域为，所以函数的值域是，故C正确； 对于D选项，由可得， 解得或，所以不等式的解集是，故D错误. 故选：AC. 8．（24-25高一下·河北石家庄·期中）（多选题）已知函数，则下列结论正确的是（　　） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的图象关于轴对称 D．函数在上单调递增 【答案】ABD 【分析】根据指数函数的性质，结合函数关于轴对称定义、单调性的性质逐一判断即可. 【详解】对A：由恒成立，故函数的定义域为，故A正确； 对B：，由，则， 故，则，故B正确； 对C：，故关于对称，故C错误； 对D：，由且为增函数， 则为减函数，则在上单调递增，故D正确. 故选：ABD. 9．（24-25高一上·黑龙江鸡西·期末）（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．为偶函数 B．的定义域为 C． D．在定义域上单调递减 【答案】BC 【分析】先由对数的真数大于0求得函数定义域，由函数的奇偶性的定义得到函数的奇偶性，将自变量代入函数解析式求得函数值，由复合函数的单调性得到函数的单调性. 【详解】，则，∴， ∴的定义域为，B选项正确. ，则为奇函数，A选项错误. ，， ∴，C选择正确. 令， ∵在区间上单调递减且，∴在区间上单调递增， ∴在区间上单调递增，D选项错误. 故选：BC. 10．（25-26高一上·浙江温州·期中）（多选题）关于函数，下列说法正确的是（   ） A．的定义域是 B．是偶函数 C．的值域为 D．在单调递减 【答案】AC 【分析】根据函数的定义域、值域、奇偶性以及单调性的相关知识逐一进行分析即可. 【详解】要使函数有意义，则，解得，的定义域是，正确. 函数的定义域不关于原点对称，函数既不是奇函数也不是偶函数，错误. 令，，则，， 令，，则在定义域上单调递增， 当时，；当时，， 的值域为，正确. 令，，在单调递增，在单调递减， 令，，则在定义域上单调递增， 根据复合函数的单调性的原则，可得在单调递增，在单调递减，错误. 故选：. 11．（24-25高一上·重庆·期中）（多选题）已知函数（为常数）是定义域为的奇函数，则下列选项中正确的是（    ） A． B．在上单调递减 C．的值域为 D．的解集为 【答案】BCD 【分析】A选项，根据函数为奇函数得到，得到；B选项，利用定义法判断函数的单调性；C选项，先得到当时，，结合函数的奇偶性得到函数值域；D选项，由，解不等式即可. 【详解】A选项，由题意得，即，解得， 经检验，当时，为奇函数，所以，故A不正确； B选项，， 因为在R上单调递增，所以在定义域R上单调递减，故B正确； C选项，当时，，∴， 故，， 由为奇函数，故时，， 又，故函数的值域为，故C正确； D选项，由，，解得，故D正确. 故选：BCD. 12．（24-25高一上·四川成都·期末）（多选题）已知函数，函数，则（    ） A．函数的值域为 B．不存在实数，使得 C．若恒成立，则实数的取值范围为 D．若函数恰好有5个零点，则函数的5个零点之积的取值范围是 【答案】ACD 【分析】根据指数以及对数函数的性质即可求解A，根据即可求解B，根据二次函数的性质即可求解C，根据函数图象，结合对数的运算即可求解D. 【详解】对于A，由于,，故函数的值域为，A正确， 对于B，当时，有，故B错误， 对于C， 由于，要使恒成立，则或，解得，故C正确 对于D， 令，则或， 作出的图象如下：要使有5个零点，如图，则， 由于，同理可得， 故，故D正确，    故选：ACD 【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 13．（24-25高一上·河北邯郸·期末）（多选题）已知函数，，则下列说法正确的是（   ） A．函数的图象关于点对称 B．函数的图象关于点对称 C．函数在上单调递增 D．若函数在区间上的最大值为，最小值为，则 【答案】AB 【分析】对A：令，验证是否为奇函数即可得；对B：令，验证是否为奇函数即可得；对C：由题意可将变形，结合基本函数的单调性与函数的对称性即可得的单调性；对D：结合函数及函数的对称性，可得图象关于对称，结合对称性即可得解. 【详解】对A：因为，有恒成立， 故的定义域为，， 设，，， 所以为奇函数，故函数的图象关于对称，故A正确； 对B：因为， 设，则，则为奇函数， 所以， 即函数的图象关于对称，故B正确； 对C：因为， 当时，单调递增， 故单调递减， 又函数的图象关于对称， 故当时，也单调递减， 所以在上单调递减，故C错误； 对D：因为的图象关于对称，则， 的图象关于对称，则， 由，得， ， 所以， 所以图象关于对称， 所以在对称区间上的最大值为，最小值为，且，故D错误． 故选：AB． 【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论： （1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立； （2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为. 14．（24-25高一上·浙江宁波·期末）（多选题）已知函数，若关于x的方程有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，探求出函数的性质，作出函数图象，令，,利用 二次函数根与系数的关系解决即可. 【详解】令，则， 当时，，在单调递减，， 在单调递增，； 当时，，在单调递减，， 在单调递增，，作出的图象如下： 若关于x的方程有四个不同的实数解，结合图像可知，在只有一个解， 记， ①当有两个零点时，则一个零点为负数，另一个零点在， 由题意，有，解得； ②当有且仅有一个零点时，，即或时，需要才行，无解， 所以综上①②，a的取值范围是，故D正确. 因为，由得，所以，故B正确； 又，根据韦达定理可知中， ，， 所以，故C错误，A正确. 故选：ABD 【点睛】思路点睛：涉及给定函数零点个数求参数范围问题，等价转化为直线与函数图象交点个数，数形结合推理作答. 15．若函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数.则的对称中心为 不等式的解集为 . 【答案】 【分析】设函数的对称中心为，再由奇函数的定义代入计算，即可得到其对称中心，可化为即，结合单调性从而求解． 【详解】设函数的对称中心为，则为奇函数， 所以，所以， 即， 整理可得， 所以恒成立，则， 即，所以， 所以函数的对称中心为， 所以，从而可化为，即， 由为上单调递减函数， 所以，即． 故的解集为． 故答案为：；. 16．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知函数，若关于的方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】因为，所以或只需的图象与直线有3个交点，利用数形结合即可得. 【详解】因为，所以或， 因为关于的方程共有5个不同的实数根． 所以的图象与直线和直线共有5个不同的交点． 如图，的图象与直线有2个交点， 所以只需的图象与直线有3个交点，所以． 故答案为： 17．（24-25高一上·上海宝山·期末）已知函数，若函数 恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】函数恰有三个不同的零点，令，可以看成函数恰有三个不同的零点，即函数的图像与直线有三个交点．根据函数的单调性和最值，结合函数的图像即可求解． 【详解】当时，函数是对勾函数， 因为，当且仅当，即时，取最小值． 所以函数最小值为2，且在上为减函数，在上为增函数． 当时，是减函数，且，所以为增函数，且， 所以函数为增函数，且， 故函数图像如图所示． 令，函数恰有三个不同的零点，可以看成函数恰有三个不同的零点， 故函数的图像与直线有三个交点． 由图像可知. 故答案为：. 18．已知（其中为自然对数的底数），若在上有三个不同的零点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先按照和两种情况求出，再对和分别各按照两种情况讨论求出，最后令，求出函数的零点，恰好有三个.因此只要求出的三个零点满足各自的范围即可. 【详解】（1）当时，， 当时，由，可得， 当时，由，可得. （2）当时，， 当时，由，可得无解， 当时，由，可得， 因为在上有三个不同的零点， 所以，解得， 故答案为：. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于分和两种情况，直接求出零点，再结合题设进行求解. 19．（24-25高一上·山东青岛·月考）已知函数，若有6个零点，则实数m的取值范围为 . 【答案】 【分析】令，由题意可得有两不同的实数根，作出函数的图象，根据分及或分别求解即可. 【详解】因为当时，， 可知函数在内单调递减，且， 作出函数的图象，如图所示： 令， 因为有6个零点，可知有两不同的实数根， 所以，解得或， 令， 结合函数的图象可知： 当，时，则，解得； 当时，则，解得； 综上所述：实数m的取值范围为. 故答案为：. 20．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数，设方程（a为常数）的实数解的个数为n，则n的取值构成的集合为 ． 【答案】 【分析】画出的图象，讨论，，，，，结合函数图象求解. 【详解】作出的图象如下： 当时，若，则，此时满足的有一个实数根，所以， 当时，若，则或，此时满足有3个实数根，满足的有1个实数根，故共有4个实数根，所以， 当时，若，则或，或，满足有1个实数根，满足有2个实数根，满足有3个实数根，故此时满足条件的共有6个实数根，所以， 当时，若，则或，或，满足有1个实数根，满足有1个实数根，或有2个实数根，此时满足条件的共有4个实数根，所以， 当时，若，则或，此时满足有1个实数根，满足有1个实数根，故满足条件的共有2个实数根，所以， 当时，若，则，此时满足条件的有1个实数根，所以， 当时，若，则，此时满足条件的有1个实数根，所以， 综上可得的取值集合为， 故答案为： 21．（25-26高一上·河北·期中）函数若关于的方程有6个不同的实数根，则实数的取值范围是 ，这6个实数根的和为 ． 【答案】 【分析】令，可得或，分类讨论，结合的图像，可得实数的取值范围，计算可求得6个实数根的和. 【详解】函数的图象如图所示， 令可得方程， 解得或， 由即，方程的四个解和； 当即时，方程另两解； 若，，此时， 方程另两解， 则， 所以， 故填    22．已知函数. (1)证明：函数的图象关于点对称； (2)若存在正数，使得不等式能成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明可得； （2）由中心对称函数的性质结合复合函数的单调性可得. 【详解】（1）， ， 所以函数的对称中心为. （2）由（1）可知， 所以即， 由复合函数的单调性可得函数在上单调递增， 又，所以原不等式能成立等价于在上能成立， 所以，， 由复合函数的单调性可得在时的值域为， 所以. 23．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知函数. (1)若，解不等式； (2)若，求在区间上的值域； (3)若，设，若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用换元法令，结合指数函数的单调性和二次不等式可得； （2）利用换元法设，结合指数函数和二次函数的单调性可得； （3）先由指数幂的运算得到为奇函数，再判断其单调性，然后利用奇函数的性质结合二次函数的单调性可得. 【详解】（1）若，解不等式, 令，则不等式变为，解得或， 所以由指数函数的单调性可得或， 所以不等式的解集为. （2）若，， 设，因为，所以， 则，对称轴为，开口向上， 所以最小值为，最大值为， 所以在区间上的值域为. （3）若，设，定义域为， ，所以为奇函数， 又由复合函数的单调性可得为递增函数， 所以， 所以恒成立，即恒成立， 令，对称轴为，开口向下， 所以其最大值为， 所以实数的取值范围. 24．（25-26高一上·河北邢台·期中）已知函数． (1)设． （i）求的最小值，并求出当取得最小值时的值； （ii）求的单调递减区间． (2)对任意、，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)（i）最小值为，；（ii） (2) 【分析】（1）（i）令，，则，利用二次函数的基本性质可求出的最小值及其对应的的值； （ii）利用复合函数法可求得函数的单调递减区间； （2）令，则可化为，记函数在上的最大值为，最小值为，问题可化为，对实数的取值进行分类讨论，分析二次函数在上的单调性，结合可求得实数的取值范围. 【详解】（1）（i）当时，， 的定义域为， 令，，则， 当，即当时，即时，取得最小值，最小值为. （ii）在上单调递增， 在上单调递减，令，解得， 所以的单调递减区间为. （2）当时，令， 可化为． 记函数在上的最大值为，最小值为， 由对任意、，恒成立，得恒成立． ，其图象开口向上且对称轴为直线． ①当时，在上单调递增， 可得，， 由，得，解得，不符合题意； ②当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则，， 当时，由，可得，所以， 解得，此时； 当时，由，可得，解得，此时； ③当时，， 由，可得，解得，不符合题意． 综上，的取值范围为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $