专题06 一次函数（期末复习知识清单）七年级数学上学期新教材鲁教版五四制

专题06 一次函数（3知识&12题型&4易错） 【清单01】函数的概念 1、变量与常量：在变化过程中，数值发生变化的量叫变量，数值始终不变的量叫常量。 2、函数：在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就说x是自变量，y是因变量，也称y是x的函数。 3、 画函数图象的步骤：列表，描点，连线。 【清单02】一次函数的定义和性质 1、一次函数：形如y=kx+b(k,b是常数，且k≠0)的函数。 正比例函数：特殊的一次函数，即当b = 0时，形式为y=kx(k≠0)。 2、一次函数的图象是一条直线。找到直线上的任意两点（通常选择与坐标轴的交点或易于计算的点），连接并延长即可。 3、系数k（斜率）的作用： 增减性：k>0时，y随x的增大而增大（直线从左向右上升）；k<0时，y随x的增大而减小（直线从左向右下降）。 决定倾斜程度：|k|越大，直线越陡峭；|k|越小，直线越平缓。 4、常数项b的几何意义：它表示直线与y轴交点的纵坐标，即图象恒过点 (0, b)。 5、直线的位置关系： 平行：若两直线y= k₁x+b₁与y=k₂x+b₂平行，则k₁ = k₂且b₁ ≠ b₂。 【清单03】一次函数的应用步骤 建立函数模型：将生活中的实际问题（如行程、价格、工程等）中的数量关系，分析、抽象并转化为一次函数解析式y=kx+b。关键是识别出哪些是常量（k, b），哪个是自变量（x），哪个是因变量（y）。 利用性质解决问题：建立模型后，利用一次函数的图象和性质来分析和解决问题。例如： 利用增减性判断哪种方案更省钱、更高效。 求最值问题（如最大利润、最小成本）。 进行方案选择与决策。 【题型一】画函数图象 【例1】（24-25八年级下·山东泰安·期末）数学兴趣小组根据以往的函数学习经验，决定对函数的图象和性质进行探究．下面是他们的探究过程，请按要求补充完整： (1)函数的自变量x的取值范围是：______； (2)下列表格是y与x几组对应值． x … 0 2 3 4 5 … y … m … 直接写出m的值______． (3)在如图所示的坐标系中描点，并画出函数的大致图象（小方格的边长为1）： (4)结合函数图象，发现函数的下列特征： ①该函数随着x的值接近1，其图象越来越靠近直线而永不相交，该函数图象还与直线______越来越靠近而永不相交； ②请再写出该函数的一条性质． 【答案】(1) (2)1 (3)见解析 (4)①；②当时，随着的增大而减小；当时，随着的增大而减小 【分析】本题考查了函数的自变量、描点法画函数图象、从函数的图象获取信息，正确画出函数图象是解题的关键． （1）对于函数，自变量x应满足，即可求出自变量x的取值范围； （2）代入到函数，即可求出的值； （3）利用描点法画函数图象即可； （4）①结合函数图象即可得出答案；②结合函数图象即可写出该函数的性质． 【详解】（1）解：对于函数，自变量x应满足，解得， ∴自变量x的取值范围是． 故答案为：； （2）解：当时，， ∴的值为1． 故答案为：1； （3）解：函数的大致图象如图所示： （4）解：①该函数随着x的值接近1，其图象越来越靠近直线而永不相交，该函数图象还与直线越来越靠近而永不相交； 故答案为：； ②当时，随着的增大而减小；当时，随着的增大而减小． 【变式1-1】（24-25八年级下·山东临沂·期末）某班“数学兴趣小组”结合自己的学习经验，对新函数的图象、性质及应用进行了探究，探究过程如下： (1)作出函数的图象． ①列表： … 0 1 … … 0 2 1 0 … 其中，表格中的值为 ； ②描点：根据表格数据，以自变量的值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点； ③连线：画出该函数的图象． (2)观察函数的图象，请你写出该函数的两条性质：① ；② ． (3)结合该函数图象，利用该函数的性质，解决问题：若点与都在函数的图象上，总有，则的取值范围为 ． 【答案】(1)①；②见解析；③见解析 (2)①图象关于直线成轴对称；②当时，随增大而增大 (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系． （1）依据题意，结合函数的解析式及表格数据即可计算判断得解； （2）根据函数图象的增减性和最值求解； （3）根据“跟对称轴越近函数值越大”列不等式求解． 【详解】（1）解：①当时，， 故答案为：1； ②③图象如下： （2）解：①图象关于直线成轴对称； ②当时，随增大而增大． 故答案为：①图象关于直线成轴对称； ②当时，随增大而增大． （3）解：由题意，结合图象可，得图象上的点离对称轴直线越近函数值越大， 又∵点与都在函数的图象上，总有， ∴， ∴或． 故答案为：或． 【变式1-2】（24-25七年级下·山东济南·期末）生活垃圾水解法是一种科学处理生活垃圾的技术．有研究表明，在生活垃圾水解过程中添加一些微生物菌剂能够加快原料的水解．某小组为研究微生物菌剂添加量对某类生活垃圾水解率的影响，设置了六组不同的菌剂添加量，分别为，，，，，，每隔测定一次水解率，部分实验结果如下： ．不同菌剂添加量的生活垃圾，在水解时，测得的实验数据如图所示： 为提高这类生活垃圾在水解时的水解率，在这六组不同的菌剂添加量中，最佳添加量为______； ．当菌剂添加量为时，生活垃圾水解率随时间变化的部分实验数据记录如下： 时间 0 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 水解率 0 通过分析表格中的数据，发现当菌剂添加量为时，可以用函数刻画生活垃圾水解率y和时间t之间的关系，在平面直角坐标系中画出此函数的图象．结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当水解时，生活垃圾水解率______超过（填“能”或“不能”) ．根据以上实验数据和结果，解决下列问题： (1)请填出上文中的两个空，并画出上文中要求画出的函数图象． (2)请直接写出p的值，______； (3)当菌剂添加量为时，生活垃圾水解率达到所需的时间为小时，当菌剂添加量为时，生活垃圾水解小时的水解率______（填“大于”“小于”或“等于”) ． 【答案】(1)6；不能；图见解析 (2)4 (3)小于 【分析】本题主要考查了画函数图象，从函数图象获取信息，正确读懂函数图象和画出对应的函数图象是解题的关键． （1）观察函数图象可得，当菌剂添加量为时，生活垃圾在水解时的水解率最高；根据表格中的数据画出函数图象，由函数图象可知，随着时间的增加，生活垃圾水解率增长变缓，则可推出当水解时，生活垃圾水解率在的基础上增加将不超过，据此可得答案； （2）由表格可知当时，对应的水溶解率为，再由所给函数图象即可得到答案； （3）当菌剂添加量为时，生活垃圾水解率在水解48小时，达到约，那么；而当菌剂添加量为时，第96小时的水解率为，那么小时的水解率小于 【详解】（1）解：观察函数图象可得：当菌剂添加量为时，生活垃圾在水解时的水解率最高， 在这六组不同的菌剂添加量中，最佳添加量为 故答案为： 把表格中的数据描点，连线． 从实验数据看，随着时间的增加，生活垃圾水解率增长变缓，当水解时，生活垃圾水解率在的基础上增加将不超过， ∵， ∴从函数图象看，当时，对应的y的值小于 故答案为：不能． （2）解：通过第二个表格可得：当时，对应的水溶解率为，由第一个图表中的实验数据可得水溶解率在第48小时为的菌剂添加量为， 故答案为： （3）解：由第一个表格可得：当菌剂添加量为时，生活垃圾水解率在水解48小时，达到约，那么； 当菌剂添加量为时，观察第二个表格可得，第96小时的水解率为，那么小时的水解率小于 故答案为：小于． 【题型二】动点问题的函数图象 【例2】24-25六年级下·山东烟台·期末）如图①，在长方形中，动点从点出发，沿的方向运动至点处停止，设点运动的路程为，的面积为，如果与的关系图象如图②所示，则长方形的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，根据图象结合图形得出，，即可得出长方形的周长，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图形可得，当点在上时，的面积逐渐增大，当点在上时，的面积不变，结合图象可得，， ∴长方形的周长是． 故答案为：． 【变式2-1】（24-25七年级下·山东青岛·期末）如图1，长方形的一边向右匀速平行移动，运动一段时间之后停留了，又向左匀速平行移动，直至与边重合，图2反映了它的边的长度随时间变化而变化的情况，图3反映了变化过程中长方形的面积随时间的变化情况．请根据图象回答下列问题： (1)初始时，边的长度是_____；边的长度是_____； (2)边向左匀速平行移动时的速度是_____； (3)在变化过程中，长方形面积的最大值_____； (4)求边向左平移时，长方形的面积与时间之间的关系式． 【答案】(1)2，3 (2)4 (3)36 (4) 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，列函数关系式，正确读懂函数图象是解题的关键． （1）由图2可得初始时，边的长度，由图3可得初始时，长方形的面积，据此结合长方形面积计算公式可得边的长度； （2）由图2可知第6秒到第9秒为向左平移的过程，此时的长度由变为，据此求解即可； （3）当最大时，长方形的面积最大，据此求解即可； （4）用含t的式子表示出的长，再根据长方形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）解；由图2可知，移动前，由图3可知，移动前， ∴； （2）解：， ∴边向左匀速平行移动时的速度是； （3）解：由题意得，； （4）解：由题意得，． 【变式2-2】（24-25七年级下·重庆·期末）如图，已知八边形相邻的两边互相垂直，且，．动点从八边形顶点出发，沿着八边形的边以每秒的速度逆时针运动，当运动到点时调头，以原来的速度原路返回，到点处停止运动．的面积为，运动时间为（秒），与的图象如图所示，请回答以下问题： (1) ， ， ； (2)当点第一次在边上运动时，求与的关系式； (3)点在返回过程中，面积为时，求时间的值． 【答案】(1)1；； (2)； (3)的值为或时，面积为． 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，等腰三角形的性质，勾股定理，根据函数图象分析点的位置解题的关键． （1）根据图2中的面积最大值为，根据图1得出此时，求出结果即可；延长交于点N，延长交于点M，得，根据图1，结合图2求出，得出，根据图2，得出点P从点运动时间为：，再求出a的值即可； （2）先表示出，然后再根据求出结果即可； （3）分点P在CD上和点P在AB上两种情况，利用三角形的面积公式构造一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：观察图象可知：面积的最大值为， 根据图1可知，面积的最大值为： ， ∵， ∴， ∴，负值舍去； 延长交于点N，延长交于点M，如图所示： ∵八边形相邻的两边互相垂直， ∴四边形，，为长方形， ∴， 根据图2可知，当点P在上运动时，的面积为， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴， ∵当P运动到点E时调头，以原来的速度原路返回， ∴根据图2可知：点P从点运动时间为： ， ∴； （2）解：点P第一次在边上运动时，如图所示： ， ∴ ； （3）解：根据图可知：当在上时，的面积为，当在上时，的面积为， ∵面积为 ∴点在或上， 当点在上时，如图， 即， 解得， 当点在上时，如图， 即， 解得， 综上，的值为或时，面积为． 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象、等腰三角形的性质、三角形面积公式，熟练掌握根据函数图象分析点的位置并结合相关公式解题是解题的关键． 【题型三】列一次函数解析式 【例3】（24-25七年级下·山东青岛·期末）一个正方形的边长为，它的各边长减少后，得到的新正方形的面积比原来正方形的面积减少了，则与之间的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列函数关系式，完全平方公式的应用，正确理解题目中各个量的关系是关键．首先表示出新正方形的边长，然后利用面积公式即可求解． 【详解】解：各边长减少后，得到的新正方形的边长是， ∵新正方形的面积比原来正方形的面积减少了， ∴； 故答案是：． 【变式3-1】（23-24七年级下·全国·单元测试）一空水池现需注满水，水池深4.9m，现以不变的流量注水，数据如下表．可以推断注满水池所需的时间是 ． 水的深度 0.7 1.4 2.1 2.8 注水时间 0.5 1 1.5 2 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数．熟练掌握表格表示变量间的关系，正比例函数的定义，待定系数法求函数解析式，由函数值求自变量的值，是解决此题的关键． 设，将数对代入，求得，得到，当时，可求得． 【详解】设， 将代入， 得， 解得， ∴， 当时， ， 解得， ∴注满水池所需的时间是． 故答案为：． 【变式3-2】（24-25七年级下·山东枣庄·期末）背景资料： “低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低碳（特别是二氧化）的排放量的一种生活方式．低碳生活的理念也已逐步被人们所接受．相关资料统计了一系列排碳量计算公式．根据图中信息，解决下列问题： 排碳计算公式家居用电的二氧化碳排放量耗电量 开私家车的二氧化碳排放量耗油量 家用天然气二氧化碳排放量天然气使用量 家用自来水二氧化碳排放量自来水使用量 (1)若x表示耗油量，开私家车的二氧化碳排放量为y，则开私家车的二氧化碳排放量与耗油量的关系式为________； (2)在上述关系中，耗油量每增加，二氧化碳排放量就增加________，当耗油量从增加到时，二氧化碳排放量就从________增加到________； (3)小明家本月家居用电约，天然气，自来水，开私家车耗油，请你计算一下小明家这几项二氧化碳排放量的总和． 【答案】(1) (2)2.7； 8.1； 21.6 (3)小明家这几项二氧化碳排放量的总和为 【分析】本题主要考查了列函数关系式，求函数值，正确理解题意是解题的关键． （1）用耗油量乘以即可得到答案； （2）根据开私家车的二氧化碳排放量耗油量可得第一空答案；根据（1）所求函数关系式，分别求出时和时的函数值即可得到答案； （3）根据对应的二氧化碳排放量计算公式分别求出对应的二氧化碳排放量，再求和即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得； （2）解：∵开私家车的二氧化碳排放量耗油量， ∴耗油量每增加，二氧化碳排放量就增加； 在中，当时，； 当时，； ∴当耗油量从增加到时，二氧化碳排放量就从增加到． （3）解： ． 答：小明家这几项二氧化碳排放量的总和为． 【题型四】求一次函数的解析式 【例4】（24-25七年级上·山东泰安·期末）已知一次函数的图象经过，两点，且当时，，则的值为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数图象上点的坐标满足其解析式是解题关键．分别把点，代入一次函数，根据，时，即可得出结论． 【详解】解：一次函数的图象经过，两点， ， ， ， ， ， 即． 故选：C． 【变式4-1】（23-24七年级下·山东威海·期末）已知，点在直线上，过点的直线交轴于点． (1)求的值和直线的函数表达式； (2)点分别在直线，直线上．若，判断是否存在最值，若存在，求出最值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)的值为， (2)存在，最大值 【分析】（1）根据一次函数的性质可知，利用待定系数法即可解答； （2）根据一次函数的性质可知，再利用一次函数的性质可知随的增大而减小即可．本题考查了一次函数的性质，待定系数法，熟练运用一次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵将代入，得：， ∴， ∴设直线解析式为， 将代入， 得， 解得：， ∴直线解析式为； （2）解：存在最大值，理由如下： ∵点在直线上，点在直线上， ∴， ∴， ∵， ∴随的增大而减小， ∵， ∴， ∴存在最大值． 【变式4-2】（23-24七年级上·山东威海·期末）如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中是的函数． 下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组与的对应值： 输入 … 2 5 7 9 11 … 输出 … 5 4 10 16 22 … 根据以上信息，解答下列问题： (1)当输入的值为，输出的值为__________； (2)求的值； (3)当输出的值为8时，求输入的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，求自变量的值或函数值： （1）把代入中进行求解即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）把分别代入和中求出x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴当输入的值为，输出的值为， 故答案为：； （2）解：由题意得，， ∴； （3）解：当时，则，解得，不符合题意； 当时，则，解得； 【题型五】一次函数图象的平移问题 【例5】13．（24-25八年级下·山东聊城·期末）在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向左平移个单位长度后，图象经过点，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的平移，以及正比例函数图象上点的坐标特征，根据正比例函数平移的规律，向左平移m个单位后的解析式为．将点代入解析式即可求解m的值． 【详解】原函数向左平移m个单位后，解析式变为． ∵平移后的图象经过点， ∴将，代入，得方程： 解得：． 故选A． 【变式5-1】（24-25八年级下·山东聊城·期末）把直线（b为常数）向左平移3个单位长度后过点，则b的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的平移，根据平移得，再把代入，解得，即可作答． 【详解】解：∵把直线（为常数）向左平移3个单位长度后过点， ∴， ∴把代入， 得， 解得． 故答案为：． 【变式5-2】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）已知一次函数（、为常数）的图象与直线平行，且将其向下平移3个单位后，经过点，那么此一次函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数图象的平移问题，待定系数法求一次函数解析式，由两直线平行可得，则向下平移3个单位后函数解析式为，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵一次函数与直线平行， ∴， ∴将函数向下平移3个单位后的函数解析式为， ∵平移后的函数图象经过点， ∴，即， 解得， ∴此一次函数解析式为． 故答案为：． 【题型六】一次函数与坐标轴的交点问题 【例6】（24-25八年级下·福建厦门·期末）对于一次函数，下列结论正确的是（　　） A．当时， B．随的增大而减小 C．它的图象与轴交于点 D．它的图象经过第一、二、三象限 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的性质．根据一次函数的性质逐个判断即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，y随x的增大而增大， 当时，，即一次函数的图象与y轴交于点， 当时，，∴当时，， 观察四个选项，选项C符合题意， 故选：C． 【变式6-1】（24-25八年级下·云南普洱·期末）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，则的面积为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据坐标轴上点的坐标特征求A点和B点坐标是解题的关键． 先根据坐标轴上点的坐标特征求得A点和B点的坐标，易得，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点， ∴当时，，则，即；当时，，则，即； ∴的面积为． 故答案为：3． 【变式6-2】（24-25八年级下·山东聊城·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与过点的直线交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)点在直线上，直线轴，交直线于点，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 【分析】本题考查了两条直线相交或平行问题，待定系数法求一次函数的解析式，求得交点坐标是解题的关键． （1）把点P的坐标代入，求出m的值，然后利用待定系数法求出直线的解析式； （2）由已知条件得出M、N两点的横坐标，利用两点间距离公式求出M的坐标． 【详解】（1）解：∵直线与直线交于点， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∵直线过点和， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为； （2）解：在中，令，则，得， ∴， ∵， ∴， 设， ∵轴， ∴ ∴ 即或， 解得：或， ∴点的坐标为或 【题型七】、一次函数图象的规律探究问题 【例7】（23-24八年级下·山东日照·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，以为一边作正方形，使得点在轴正半轴上，延长交直线于点，按同样方法依次作正方形、正方形、正方形．使得点均在直线上，点在轴正半轴上，则点的纵坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型：点的坐标，根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质，可得出点、的坐标，同理可得出、、、、的坐标，根据点的坐标变化可找出变化规律，依此规律即可得出结论． 【详解】解：当时，有， 解得， ∴点的坐标为． ∵四边形为正方形， ∴点的坐标为． 当时，有，解得：， ∴点的坐标为． 同理，可得出：， ∴的纵坐标为（为正整数）， ∴点的纵坐标是． 故答案为：． 【变式7-1】（24-25八年级上·广东河源·期末）如图，直线与轴相交于点，过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，再过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，…，依此类推，得到直线上的点、，，…，与直线上的点，，，…，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查数字规律问题，解题的关键是根据一次函数解析式求出相关点的坐标，然后找出的长的规律，对于直线，令求出的值，确定出纵坐标，即为的纵坐标，代入直线中求出的横坐标，即可求出的长，由与的横坐标相等得出的横坐标，代入求出纵坐标，即为的纵坐标，代入直线中求出的横坐标，即可求出的长，同理求出，，，归纳总结即可得到的长． 【详解】解：对于直线，令，求出，即， 轴， 的纵坐标为， 将代入中得：，即， ， 轴， 的横坐标为， 将代入直线中得：，即， 与的纵坐标为， 将代入中得：，即， ， 同理，，， 则的长为． 故答案为：． 【变式7-2】（24-25八年级下·山东潍坊·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，点，在轴上；都是等腰直角三角形，依次类推，若已知点，则点的纵坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数规律探究，等腰直角三角形的性质，勾股定理；设点、的纵坐标分别为、，先求出，再根据等腰直角三角形的性质、结合函数解析式求解即可． 【详解】解：设点、的纵坐标分别为、， ∵在直线上， ∴， ∴． ∵是等腰直角三角形，， ∴，，则 ∵是等腰直角三角形， 设，代入，得：， 解得： ； 设，代入，得： 解得： …… 依次类推，的纵坐标为 ． ∴点的纵坐标是 故答案为：． 【题型八】一次函数营销问题 【例8】（24-25八年级下·山东临沂·期末）在中国园艺学会樱桃分会主办的2025中国优质樱桃擂台大赛中，我县果农选送的“鲁樱金牛4-8”大樱桃样品被评定为“特级樱桃产品”，荣获“特等奖”．某商贸公司经销甲、乙两个品种的樱桃，甲种樱桃进价为16元/斤；乙品种樱桃的进货总金额y（单位：元）与乙品种樱桃的进货量x（单位：斤）之间的关系如图所示，经过试销，在H城市销售甲、乙两个品种樱桃的售价分别为20元/斤和25元/斤．某日，该商贸公司收购了甲、乙两个品种的樱桃共1000斤，其中乙品种的收购量不低于300斤，且不高于600斤． (1)已知，，求关于的函数表达式． (2)若从收购点运到商场的其他各种费用还需要1800元，收购的樱桃能够全部卖完，设销售完甲、乙两个品种的樱桃所获总利润为w元（利润=销售额成本）．求出w（单位：元）与乙品种樱桃的进货量x（单位：斤）之间的函数关系式，并为该商贸公司设计出获得最大利润的收购方案，最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)，最大利润元，进货方案：甲400斤，乙600斤 【分析】本题考查了一次函数的性质，分段函数． （1）由图可知，关于的函数表达式为分段函数，分别当，时，设出函数关系式求解即可； （2）由题意可知甲品种樱桃的进货量斤，根据题意列出w与x之间的函数关系式，根据一次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：由图可知，关于的函数表达式为分段函数， 当时，设关于的函数表达式为， 将代入得， 解得：，即关于的函数表达式为； 当时，设关于的函数表达式为， 将，分别代入得， 解得：，即关于的函数表达式为； 综上所述，关于的函数表达式为； （2）解：∵乙品种的收购量不低于300斤，且不高于600斤 ∴取函数关系式，且， ∵收购了甲、乙两个品种的樱桃共1000斤，乙品种樱桃的进货量x斤， ∴甲品种樱桃的进货量斤， ∵甲品种樱桃进价为16元/斤，甲品种樱桃的售价为20元/斤， ∴甲品种樱桃利润为4/斤， ∵乙品种樱桃的售价为25/斤，从收购点运到商场的其他各种费用还需要1800元， ∴， ∴w随x增大而增大， 即当时，w取得最大值，此时甲400斤，乙600斤． 【变式8-1】（24-25八年级下·河北邢台·期末）某高校网球俱乐部举办网球比赛，总费用y（元）包括两部分：一部分是租用比赛场地所需的固定不变的费用800元，另一部分耗材费用与参赛人数x（人）成正比例，当时，． (1)求y与x之间的函数解析式； (2)若该次比赛的费用为2400元，求有多少名运动员参加了比赛？ (3)该网球俱乐部将比赛门票进行售卖，并获得收入元，设利润为W元（利润＝收入－比赛的费用）．若，求W的最大值． 【答案】(1) (2)40名 (3)最大值为2800 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的图象性质，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，把，代入求解即可； （2）直接把代入求解即可； （3）根据一次函数的性质结合求解即可． 【详解】（1）解：依题意，设 把，代入， 得， 解得， ∴； （2）解：∵该次比赛的费用为2400元，且由（1）得 把代入，得， 解得， 即该次比赛的费用为2400元，有名运动员参加了比赛； （3）解：∵该网球俱乐部将比赛门票进行售卖，并获得收入元，设利润为W元（利润=收入-比赛的费用）． ∴， ∵， ∴随之的增大而增大， ∵， ∴把代入，得， ∴W的最大值为． 【变式8-2】（24-25八年级下·四川成都·期末）某公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价为6元件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月（30天）的试销售，售价为8元件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图像，图中的折线表示日销售量（件）与销售时间（天）之间的函数关系．已知线段表示的函数关系中，时间每增加1天，日销售量减少5件． (1)第24天的日销售量是__________件，日销售利润是__________元； (2)求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (3)试销售期间，日销售最大利润是多少元？ 【答案】(1)330，660 (2) (3)720 【分析】（1）先确定第24天处于段，利用段“时间每增加1天，日销售量减少5件”的规律计算日销售量，再结合“利润（售价成本价）日销售量”求日销售利润； （2）分段和段分别求函数关系式：段为正比例函数，通过图像上已知点求解析式；段为一次函数，利用待定系数法求解析式，再确定两段的取值范围； （3）根据“利润（售价成本价）日销售量”，结合日销售量的最大值（由段函数性质确定）计算最大利润． 【详解】（1）解：由线段中时间每增加1天，日销售量减少5件，观察图像，当时，（即第22天日销售量为340件）， 第24天与第22天间隔天，因此日销售量减少件， 所以第24天的日销售量为件； 已知产品成本价为6元/件，售价为8元/件，每件利润为元， 日销售利润 每件利润 日销售量，即元． 故答案为：330，660； （2）解：段为过原点的正比例函数，设其解析式为， 由图像可知，当时，，代入得，解得， 段的函数关系式为； 段为一次函数，设其解析式为， 由（1）知，当时，， 将代入，得， 解得，， 段的函数关系式为， 解方程组得，， 综上，； （3）解：日销售利润 每件利润 日销售量，其中售价成本价 元（定值），因此日销售量最大时，利润最大， 段函数中，，随增大而增大；段函数中，，随增大而减小， 因此，日销售量的最大值出现在段的终点（即时）， 当时，代入段函数，得件， 日销售最大利润 元， 【点睛】本题考查了函数的概念及应用，一次函数和正比例函数，函数图像的理解，函数的最大值和最小值，数学建模思想，关键在于理解分段函数的分界点及各段函数的变化规律，通过函数性质确定最值． 【题型九】一次函数行程问题 【例9】（24-25七年级上·山东烟台·期末）今年“十一”假期，小凡一家驾车前往黄果树景区旅游，在行驶过程中，汽车离黄果树景区的路程与所用时间之间的函数关系的图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A．出发第1小时y与x之间的函数表达式是 B．出发第的平均速度为 C．出发后y与x之间的函数图象所在的直线是直线向上平移1个单位 D．小凡从家到黄果树景区的时间共用了 【答案】D 【分析】根据速度＝路程时间求出出发第1小时汽车的平均速度，并写出y与x之间的函数表达式即可判断A、B；写出出发后y与x之间的函数关系式可判断C；根据C选项中求出的函数关系式，当时，求出对应x的值即可判断D． 本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键． 【详解】解：第一小时内汽车的平均速度为，则y与x之间的函数表达式是， ∴A、B不正确，不符合题意； 出发后汽车的速度为，则y与x之间的函数表达式是，可由直线向上平移75个单位得到， 不正确，不符合题意； 当时，解得， 小凡从家到黄果树景区的时间共用了， ∴D正确，符合题意． 故选：D 【变式9-1】（24-25七年级下·山东济南·期末）甲、乙两车从A地出发，匀速驶往B地，甲车出发0.5小时后，乙车才沿相同的路线开始行驶，乙车先到达B地并停留30分钟后，又以原速按原路线返回，直至与甲车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇为止，两车之间的距离S与乙车行驶时间t的函数关系图象，则下列说法正确的是（   ） A．乙车的速度为 B．两地相距 C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图像，分别求出甲、乙行驶的时间，速度，以及不同状态下两车之间的距离，再判断各项即可． 本题考查函数图像与行程问题，理解其数量关系是解题的关键． 【详解】解：A、由题意可知，折线段表示从开始到相遇为止，两车之间的距离S与乙车行驶时间t的函数关系，则甲的行驶时间为， ∴甲用行驶了， ∴甲的速度为 由可知乙用追上了甲， 此时甲行驶了，路程是， ∴乙用了行驶了， ∴乙的速度是， 故A选项错误，不符合题意； B、由可知，时甲、乙两车相距， ∴，即A、B两地相距， 故B选项错误，不符合题意； C、，即甲、乙两车最远相距， 故C选项错误，不符合题意； D、∵乙车先达到B地并停留30分钟后， ∴， ∴，， ∴ ∴乙车出发与甲车相遇， 故D选项正确，符合题意； 故选：D． 【变式9-2】（24-25七年级下·山东济南·期末）2025端午节济南大明湖举行龙舟赛活动，参赛队伍有15支．设若甲、乙两个龙舟队分别同时从起点出发，划行的路程y（米）与划行的时间x（分）（其中）之间满足的关系如图所示，根据图象所提供的信息，解答下列问题： (1)甲队划行的速度为 ；当时，乙队划行的速度为 ；当时，乙队划行的速度为 ； (2)当 分钟时，甲、乙两队划行的路程相等； (3)求出当甲、乙两队划行的路程相差100米时x的值． 【答案】(1)200米/分，300米/分，100米/分 (2)4 (3)1，3或5 【分析】本题考查函数的图象，一元一次方程，利用数形结合的思想解答和分类讨论的思想解答是解答本题的关键． （1）结合图象，利用速度等于路程除以时间，即可求出甲队的速度以及乙队在时和时的速度； （2）结合图象，可知在时间2分钟后，两者划行的路程相等，根据路程相等列方程求解即可； （3）结合图象，可知在和两个时间段内，都存在甲、乙两队划行的路程相差100米的情况，分两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：由图象可知，甲队划行的速度为：（米/分）； 当时，乙队划行的速度为：（米/分）； 当时，乙队划行的速度为：（米/分）； 故答案为：200米/分，300米/分，100米/分． （2）设时间为x时，甲、乙两队划行的路程相等， 由图象可知，在2分钟后，即划行600米后，甲、乙两队的图象相交，此时对应路程相等， ， 解得， 即分钟时，甲、乙两队划行的路程相等； （3）根据甲、乙的函数图象可知， ①当，乙比甲快，在时，两者划行的路程相差最大为(米)， 在存在一个时刻，两者划行的路程相差100米，设时间为x分，则， 解得，符合题意； ②当，由于在时，两者划行的路程相差为200米，甲、乙相遇后，甲超过乙，并在时，两者划行的路程相差为， 在存在两个时刻，两者划行的路程相差100米， 设时间为x分，则 或 解得或，符合题意； 综上所述，即当，3或5分钟时，甲、乙两队划行的路程相差100米． 【题型十】一次函数方案问题 【例10】（24-25八年级下·湖北孝感·期末）A市和B市分别有库存的某种联合收割机12台和6台，现决定运往C市和D市各9台，已知从A市运往C市、D市的运费分别为每台400元和600元，从B市运往C市、D市的运费分别为每台200元和500元．设A市运往C市的联合收割机为x台，总运费为w元． (1)求w关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (2)求总运费w最低的调运方案，并求出最低总运费． 【答案】(1)， (2)A市运3台联合收割机到C市，运9台联合收割机到D市，B市6台联合收割机全部运往C市，7800（元）． 【分析】本题考查一次函数的应用，求出一 函数的解析式是解题的关键 （1）基本关系：运费=单价数量，总运费=A市运往C市的运费+ A市运往D市的运费，据此列出一次函数，并建立不等式组求取值范围； （2）根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）， 解得：； （2）∵，∴随x的增大而增大 ∴当时，（元） 此时的调运方案为：A市运3台联合收割机到C市，运9台联合收割机到D市，B市6台联合收割机全部运往C市． 【变式10-1】（24-25八年级下·北京大兴·期末）某公司拟采购一批车辆，现面临传统燃油（汽油）车与氢能源车两种选型方案．该公司对两种车型在购置及整个生命周期使用过程中的费用进行了系统性分析：若总费用只受购车费用和行驶过程中燃料使用费用影响，其他因素忽略不计（即总费用=购车费用+行驶过程中燃料使用费用），调研信息如下： 设车辆行驶路程为（单位：万公里），总费用为（单位：万元） ①下表是调研中的两组数据： 车辆类型 传统燃油车 氢能源车 行驶路程（万公里） 10 10 总费用 23 28 ②两类车型各自的总费用与行驶路程的函数关系的图象如图所示，两函数图象交于点，且与轴分别交于点，点． 结合上述调研信息，回答问题： (1)传统燃油车购车费用是___________万元； (2)根据车辆行驶路程的变化，怎样选择车型使总费用较低． 【答案】(1) (2)当时，选传统燃油车总费用较低；当时，两种车总费用一样；当时，选氢能源车总费用较低 【分析】本题主要考查一次函数的运用，掌握待定系数法，一次函数图象的性质是关键． （1）根据两类车型各自的总费用与行驶路程的函数关系的图象， （2）运用待定系数法算出各自总费用与行驶路程的函数解析式，，当两种车总费用相等时，即，得到行驶路程，结合图形判定即可求解． 【详解】（1）解：，即当时，传统燃油车的总费用为万元，氢能源车的总费用为万元， ∴传统燃油车购车费用是万元； （2）解：设传统燃油车总费用与行驶路程的解析式为， 把代入得，， 解得，， ∴传统燃油车总费用与行驶路程的解析式为， 同理，设氢能源车总费用与行驶路程的解析式为， 把代入得，， 解得，， ∴氢能源车总费用与行驶路程的解析式为， 当时，， 解得，， ∴当时，选传统燃油车总费用较低； 当时，两种车总费用一样； 当时，选氢能源车总费用较低． 【变式10-2】（25-26八年级上·陕西渭南·期中）“谷雨前后，种瓜种豆”是一句广泛流传的农谚，此时春耕春播进入了关键期．琪琪家计划在某一天（一天以24小时计）租用播种机播种花生．现有两家农机公司可提供播种机租赁，按播种机租赁时间计费，每小时的租赁费标价都是40元，他们的优惠方案如下： 甲公司：按标价的8折租赁； 乙公司：一次性租赁时间不超过4小时的，按标价租赁；若超过4小时，则超过4小时的部分按标价的七折租赁． 根据以上信息，解答下列问题： (1)设租赁时间为小时，租用甲公司的播种机每日所需费用为元，租用乙公司的播种机每日所需费用为元，分别求出，与x之间的关系式； (2)当播种机的租赁时间为多少小时时，这两家公司提供的优惠方案所需租赁费用相同？ (3)琪琪家一次性拿出480元用于租赁播种机，选择哪家公司，能使租赁的时间更长？ 【答案】(1)；当时，；当时， (2)12小时 (3)乙公司，能使租赁的时间更长 【分析】本题考查了一次函数的表达式，方程的应用及函数值的计算与比较． （1）根据题意分别列出与x的关系式和与x的关系式，需注意分情况讨论； （2）由于两家公司提供的方案所需租赁费用相同，列出方程，解得x的值即为播种机的租赁的时间； （3）一次性用480元租赁播种机时，租赁时间一定超过4小时，将代入到和中，通过比较选择出租赁时间更长的公司即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 当时，； 当时，． （2）解：∵两家公司提供的方案所需租赁费用相同， 根据题意，得，解得， ∴当播种机的租赁时间为12小时时，这两家公司提供的优惠方案所需租赁费用相同． （3）解：由题可得，一次性用480元租赁播种机时，租赁时间一定超过4小时， 在中，当时，， 在中，当时，， ∵， ∴选择乙公司，能使租赁的时间更长． 【题型十一】一次函数其他应用问题 【例11】（24-25八年级下·福建福州·期末）文博校园科艺节上，同学们在操场进行无人机表演，甲、乙两架无人机离操场地面的高度y（单位：米）与表演时间x（单位：秒）的图象如图所示，表演开始时甲、乙离地的高度分别是5米、15米，在1分钟的表演过程中甲、乙两架无人机的高度差不超过6米的时间可持续 秒． 【答案】24 【分析】 本题主要考查一次函数的应用，用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．用待定系数法分别求出甲、乙两架无人机离操场地面的高度y与表演时间x的函数解析式，再分情况讨论，即当时，，当时，，解得x的值，作差即可． 【详解】 解：设， 将，分别代入， 即， 解得：， 则， 设， 将，分别代入， 即， 解得， ， 当时，， 即， 解得：， 当时，， 即， 解得：， (秒）， 答：在1分钟的表演过程中甲、乙两架无人机的高度差不超过6米的时间可持续24s． 故答案为：24． 【变式11-1】（24-25八年级下·山东日照·期末）探究蜡烛在密闭容器中的燃烧时间与容器中的含氧量之间的关系． 素材一 在蜡烛燃烧过程中会消耗氧气．因此，随着燃烧时间的不断增长，容器内的氧气含量越来越低，当容器内的含氧量约为时，蜡烛会熄灭． 素材二 使用氧气含量检测仪器定时测量密闭容器中的氧气含量，记录数据，并根据数据绘制出如图所示的函数图象．其中为燃烧时间，为氧气含量．    完成下列任务 任务一 当燃烧时间为时，密闭容器中的氧气含量是多少？ 任务二 请预测当蜡烛燃烧多长时间时，会因为氧气不足而熄灭？ 【答案】任务一：；任务二：340s 【分析】本题考查了一次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 任务一：先利用待定系数法求出一次函数解析式，然后再进行计算即可解答； 任务二：利用（1）的结论进行计算，即可解答． 【详解】解：任务一：设蜡烛熄灭前，氧气含量与燃烧时间之间的函数关系式为： 把代入中得： ， 解得， ， 当时，， ∴当燃烧时间为时，密闭容器中的氧气含量是； 任务二：当容器内的含氧量约为时，蜡烛会熄灭， ∴把代入中得：， 解得：， ∴当蜡烛燃烧340s时，会因为氧气不足而熄灭． 【变式11-2】（24-25七年级下·山东聊城·期末）近日，小米汽车惊艳上市，智能化和新能源越来越受到人们的追捧．为了解某新能源汽车的充电速度，我校数学兴趣小组经调查研究发现：如图，用快速充电器时，汽车电池电量单位：与充电时间单位：的函数图象是折线；用普通充电器时，汽车电池电量单位：与充电时间单位：的函数图象是线段．根据以上信息，回答下列问题： (1)普通充电器对该汽车每小时的充电量为______； (2)当和时，分别求出与x的函数解析式； (3)若将该汽车电池电量从充至，快速充电器比普通充电器少用多长时间？ 【答案】(1) (2)当时，；当时， (3)将该汽车电池电量从充至，快速充电器比普通充电器少用小时 【分析】本题考查一次函数综合应用，解题的关键是能从函数图象中获取有用的信息． 由，知普通充电器对该汽车每小时的充电量为； 根据图象，分别求出当和时，与x的函数解析式即可； 求出汽车电池电量从充至，快速充电器需要小时，普通充电器需要小时，即可列式得到答案． 【详解】（1）解：， 普通充电器对该汽车每小时的充电量为； 故答案为：； （2）解：当时，； 当时，； （3）解：在中，令得， 汽车电池电量从充至，快速充电器需要小时， （小时）， 汽车电池电量从充至，普通充电器需要小时， （小时）， 将该汽车电池电量从充至，快速充电器比普通充电器少用小时． 【题型十二】一次函数与几何问题 【例12】（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，直线分别与、轴交于、两点，点在线段上，线段沿翻折，点落在边上的点处．以下结论：①；②点的坐标为；③直线的解析式为；④点的坐标为．正确的有（   ）． A．①②③ B．①③ C．①④ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题是一次函数的综合题、考查了利用待定系数法求解析式，折叠的性质，面积法，勾股定理等知识，灵活应用这些性质解决问题是关键．根据直线的解析式求出点、点的坐标，由勾股定理求出的长即可判断①；由折叠的性质可得：，，，由勾股定理可求出的长，进而求出点的坐标，可判断②；利用待定系数法可求的解析式，可判断③；由面积公式可求的长，从而得出点的纵坐标，将其代入直线的解析式中即可求出点的坐标，可判断④． 【详解】解：直线分别与、轴交于点、， 点，点， ，， ，故①正确； 线段沿翻折，点落在边上的点处， ，，， ， ， ， ， 点，故②不正确； 设直线的解析式为：， ， ， 直线的解析式为：，故③正确； 如图，过点作于，   ， ， ， ， 当时，， ， 点的坐标为，故④不正确． 故选：B． 【变式12-1】（24-25八年级下·山东潍坊·期末）如图，一次函数的图象经过点，与轴相交于点一次函数的图象与直线相交于点，与轴相交于点，若点是直线上一动点，且满足的面积是面积的倍，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数的性质、两条直线相交或平行问题、三角形的面积计算，熟练掌握以上知识点是关键． 先求出点的坐标，再求出，根据待定系数法求出直线的解析式，设点，利用三角形面积关系建立方程求出值，继而得到点的坐标． 【详解】解：在中，当时，， ， ∵ ∴， 由图象得：， ， 由条件可知：， 解得， 直线的解析式为， 设点， ， 解得或， 或． 故答案为：或． 【变式12-2】（23-24八年级上·浙江·期末）【观察发现】 如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线l作雨线，这样就得到了两个全等的直角三角形．这种三个直角的顶点都在同一条直线上的基础图形在数学解题中被广泛使用． 【探究迁移】 （1）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点． ①则　 ； ②C，D是正比例函数图象上的两个动点，连接，若，则的最小值是 　 ； （2）如图2，一次函数的图象与y轴，x轴分别交于A，B两点．将直线绕点A逆时针旋转得到直线l，求直线l对应的函数表达式； 【拓展应用】 （3）如图3，点A在x轴负半轴上，，过点A作轴交直线于点B，P是直线上的动点，Q是y轴上的动点，若是以动点Q为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 【答案】（1）①；②；（2）；（3）点Q的坐标为或 【详解】（1）①求出，可得是等腰直角三角形，故；②当时，取得最小值，求出的值，证明，即得，即的最小值是； （2）过B作直线l于H，过H作轴交x轴于N，过A作于M，求出，设，可证，则，求出，即可得直线l的函数表达式； （3）设，分两种情况求解：当P在x轴的上方时和当P在x轴的下方时． 【解答】解：（1）①在中，令得，令得； ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 故答案为：； ②由垂线段最短知，当时，取得最小值，如图： ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，即的最小值是， 故答案为：； （2）过B作直线l于H，过H作轴交x轴于N，过A作于M，如图： 在中，令得，令得， ∴， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 设直线l的函数表达式为，把，代入得： ， 解得， ∴； （3）设， 当P在x轴的上方时，过P作轴于M，如图： 由，同（2）可证， ∴； ∴， 解得， ∴； 当P在x轴的下方时，过Q作轴交于N，过P作于M，如图： 则， 同（2）可证， ∴； 即， 解得， ∴， 综上，点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，涉及等腰直角三角形的性质、垂线段最短、全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． 【题型一】函数有关概念的辨析 【例1】（24-25六年级下·山东泰安·期末）在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的水温随所晒时间的长短而变化，这个问题中自变量、因变量分别是（     ） A．热水器里水的温度、所晒时间 B．热水器里水的温度、太阳光强弱 C．所晒时间、热水器的容积 D．所晒时间、热水器里水的温度 【答案】D 【分析】本题考查的是函数的概念，根据函数的定义，自变量是主动变化的量，因变量是随之变化的量．题目中水温的变化是由所晒时间的长短引起的，因此时间为自变量，水温为因变量． 【详解】解：在太阳能热水器加热过程中，水的温度随着所晒时间的增加而变化． 根据函数关系，所晒时间（自变量）是主动变化的量，水的温度（因变量）受时间影响而变化． 选项中只有D正确指出自变量为所晒时间，因变量为水温． 其他选项混淆了变量关系或引入无关量（如太阳光强弱、热水器容积），均不符合题意． 故选D． 【变式1-1】（24-25八年级下·北京·期中）下列曲线中表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查函数定义的应用，由函数定义，我们可以在有图象的部分作一条垂直于轴的直线，如果这条直线与图象有且只有一个交点，则满足函数定义，反之不满足，从而确定答案，掌握这种由函数定义判定曲线是否为函数图象的方法是解决问题的关键． 【详解】解：A、如图所示： 选项图象与直线有多个交点，不满足函数定义，不符合题意； B、如图所示： 选项图象与直线有多个交点，不满足函数定义，不符合题意； C、如图所示： 选项图象与直线有且只有一个交点，满足函数定义，符合题意； D、如图所示： 选项图象与直线有多个交点，不满足函数定义，不符合题意； 故选：C． 【变式1-2】（24-25六年级下·山东济南·期末）弹簧挂上物体后会伸长，在弹性限度内，测得一弹簧长度与所挂物体质量满足如下关系： 物体质量 0 1 2 3 4 … 弹簧长度 10 11 12 … 下列说法错误的是（   ） A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量 B．当弹簧长度为时，所挂物体质量为 C．y与x的关系式为 D．当物体质量为时，弹簧长度为 【答案】D 【分析】本题考查常量与变量，用表格表示变量之间的关系，理解和发现表格中数据的变化规律是解决问题的关键． 根据表格数据，弹簧原长，每增伸长，可得关系式．逐一验证选项，找出错误说法即可． 【详解】解：选项A：与均为变量，且是自变量，因变化而变化，正确，故本选项不符合题意． 选项C：由数据可知，弹簧原长，每增伸长，关系式为，正确，故本选项不符合题意． 选项B：当时，代入，解得kg．虽然表格数据仅到kg，但题目明确“在弹性限度内”，故关系式仍成立，B正确，故本选项不符合题意． 选项D：当kg时，，计算错误，故本选项符合题意． 故选：D． 【题型二】从函数图象中获取信息 【例2】（24-25六年级下·山东烟台·期末）A、B两个工程组同时修建一段公路，每组每天修建长度均保持不变，合作几天后，B工程组另有任务，A工程组单独完成剩下的路段．A、B两个工程组修路的长度之和y（单位：m）与A工程组修路的时间x（单位：天）之间的关系如图，当A工程组修建的总长度与B工程组修建的总长度相等时，则B工程组修建该路已停工的天数为（   ） A．12天 B．11天 C．10天 D．9天 【答案】C 【分析】本题考查从函数图象获取信息，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据函数图象中的数据，可以计算出A组和B组的工作效率，然后即可得到A工程组修建的总长度与B工程组修建的总长度相等时，他们需要的天数，再将这两个天数作差即可． 【详解】解：由图象可得， A工程组每天可以完成， B工程组每天可以完成， B工程组完成的总长度为， A工程组完成需要的天数为：（天）， ∴当A工程组修建的总长度与B工程组修建的总长度相等时，则B工程组修建该路已停工的天数为（天）， 故选：C． 【变式2-1】（24-25六年级下·山东烟台·期末）如图1，一条细线的一端固定，另一端悬挂着一个小球，我们把点称为平衡位置，把小球拉开一个小角度至A处，放开小球后，理想状态下，小球将沿着圆弧左右往返摆动，A、B两点为摆动过程中的最高点（往返摆动一次的时间称为周期）．我们规定小球在平衡位置左侧到平衡位置的水平距离s记为一个正数，小球在平衡位置右侧到平衡位置的水平距离s记为一个负数．通过记录相关数据，描绘了小球到平衡位置的水平距离s（）关于时间t（s）的图象，如图2所示，则下列说法中，正确的是（    ） A．小球摆动一个周期需要 B．当时，小球在最高点B处 C．当时，小球处在下降过程中 D．当时，小球在平衡位置O处 【答案】C 【分析】本题考查了由函数图象读取相关信息，掌握函数的图象是解题的关键．根据函数的图象解答即可． 【详解】解：由题图可知当小球从点A放开到第一次回到点A处时，需要，即小球摆动一个周期需要，故选项A不符合题意； 由题图可知当时．，即小球摆动到平衡位置左侧最高点A处，故选项B不符合题意； 由题图可知，当时，小球由右侧最高点向平衡位置摆动，结合题意，可知当时，小球处在下降过程中，故选项C符合题意； 由题图可知当时．，即小球摆动到平衡位置右侧最高点B处，故选项D不符合题意， 故选：C． 【变式2-2】（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图1，在中，点D为的中点，动点P从点D出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点B，在此过程中线段的长度y随着运动时间x的函数关系如图2所示，则m的值为（   ） A．4 B． C． D．5 【答案】B 【分析】本题考查的是根据函数图象解决问题，掌握图象和图形的对应关系、垂线段最短和勾股定理是解决此题的关键．根据图象和图形的对应关系即可求出的长，从而求出，然后根据图象和图形的对应关系和垂线段最短即可求出时，根据勾股定理即可求出，即可解答． 【详解】解：依题意，动点从点出发，线段的长度为，运动时间为， 根据图象可知，当时， ∴， ∵点为边中点， ∴， 由图象可知，当运动时间时，y最小，即最小， ∴根据垂线段最短，此时， 如图所示，此时点P运动的路程， ∴， ∴在中，， 即． 故选：B． 【题型三】正比例函数的定义辨析 【例3】（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末）下列函数中，属于正比例函数的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正比例函数定义，根据正比例函数的定义进行解答即可，解题的关键是熟练掌握正比例函数的定义：一般地，形如（其中为常数且）的函数为正比例函数． 【详解】解：A．是一次函数，但不是正比例函数，故A不符合题意； B．不是正比例函数，故B不符合题意； C．是正比例函数，故C符合题意； D．不是正比例函数，故D不符合题意． 故选：C． 【变式3-1】（23-24八年级下·四川内江·期中）若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的定义，根据一次函数形如，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵关于的函数是一次函数， ∴ ∴ 即 故选：C 【变式3-2】（23-24八年级上·江苏·期末）若是正比例函数，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，求代数式的值，熟练掌握定义是解题的关键．根据题意，得，据此解答即可． 【详解】解：是正比例函数， 得， 解得， 故， 故 故答案为：． 【题型四】一次函数图形判断问题 【例4】（23-24八年级上·山东青岛·期末）一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象与性质．根据题中选项的图，假定其中一条直线的解析式为，由一次函数图象与性质得到符号，再判断另一条直线是否满足即可得到答案． 【详解】解：A、如图所示： 假设①的表达式为，则， ， 对于一次函数，图象下降、且与轴负半轴相交，图②能表示一次函数图象，该选项符合题意； B、如图所示： 假设①的表达式为，则， ， 对于一次函数，图象上升、且与轴负半轴相交，图②不能表示一次函数图象，该选项不符合题意； C、如图所示： 假设①的表达式为，则， ， 对于一次函数，图象与轴负半轴相交，图②不能表示一次函数图象，该选项不符合题意； D、如图所示： 假设①的表达式为，则， ， 对于一次函数，图象与轴正半轴相交，图②不能表示一次函数图象，该选项不符合题意； 故选：A． 【变式4-1】（24-25八年级上·山东青岛·期末）已知点在第三象限，则直线图象大致是下列的（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象、点所在的象限，熟练掌握一次函数的图象特点是解题关键．先根据点所在的象限可得，则可得，再判断出一次函数图象经过的象限，由此即可得． 【详解】解：∵点在第三象限， ∴， ∴， ∴直线图象经过第一、二、四象限， 故选：D． 【变式4-2】（24-25七年级上·山东威海·期末）小丽根据画出了函数的图象，你认为正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、分段函数等知识．根据x的取值范围确定函数图象即可得到答案． 【详解】解：当时，，图象为直线在y轴右侧部分，y随着x的增大而减小， 当时，，即为点， 当时，，图象为直线在y轴左侧部分，y随着x的增大而增大， 只有选项B符合题意， 故选：B 试卷第20页，共57页 学科网（北京）股份有限公1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 一次函数（3知识&12题型&4易错） 【清单01】函数的概念 1、变量与常量：在变化过程中，数值发生变化的量叫 ，数值始终不变的量叫 。 2、函数：在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的 ，y都有 的值与其对应，那么就说x是 ，y是 ，也称 的函数。 3、 画函数图象的步骤： ， ， 。 【清单02】一次函数的定义和性质 1、一次函数：形如 (k,b是常数，且 )的函数。 正比例函数：特殊的一次函数，即当b = 0时，形式为 。 2、一次函数的图象是 。找到直线上的任意两点（通常选择与坐标轴的交点或易于计算的点），连接并延长即可。 3、系数k（斜率）的作用： 增减性：k>0时，y随x （直线从 ）；k<0时，y随x的 （直线从 ）。 决定倾斜程度：|k|越大， ；|k|越小，直线 。 4、常数项b的几何意义：它表示直线与y轴交点的纵坐标，即图象恒过点 。 5、直线的位置关系： 平行：若两直线y= k₁x+b₁与y=k₂x+b₂ ，则 且 【清单03】一次函数的应用步骤 建立函数模型：将生活中的实际问题（如行程、价格、工程等）中的数量关系，分析、抽象并转化为一次函数解析式y=kx+b。关键是识别出哪些是常量（k, b），哪个是自变量（x），哪个是因变量（y）。 利用性质解决问题：建立模型后，利用一次函数的图象和性质来分析和解决问题。例如： 利用增减性判断哪种方案更省钱、更高效。 求最值问题（如最大利润、最小成本）。 进行方案选择与决策。 【题型一】画函数图象 【例1】（24-25八年级下·山东泰安·期末）数学兴趣小组根据以往的函数学习经验，决定对函数的图象和性质进行探究．下面是他们的探究过程，请按要求补充完整： (1)函数的自变量x的取值范围是：______； (2)下列表格是y与x几组对应值． x … 0 2 3 4 5 … y … m … 直接写出m的值______． (3)在如图所示的坐标系中描点，并画出函数的大致图象（小方格的边长为1）： (4)结合函数图象，发现函数的下列特征： ①该函数随着x的值接近1，其图象越来越靠近直线而永不相交，该函数图象还与直线______越来越靠近而永不相交； ②请再写出该函数的一条性质． 【变式1-1】（24-25八年级下·山东临沂·期末）某班“数学兴趣小组”结合自己的学习经验，对新函数的图象、性质及应用进行了探究，探究过程如下： (1)作出函数的图象． ①列表： … 0 1 … … 0 2 1 0 … 其中，表格中的值为 ； ②描点：根据表格数据，以自变量的值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点； ③连线：画出该函数的图象． (2)观察函数的图象，请你写出该函数的两条性质：① ；② ． (3)结合该函数图象，利用该函数的性质，解决问题：若点与都在函数的图象上，总有，则的取值范围为 ． 【变式1-2】（24-25七年级下·山东济南·期末）生活垃圾水解法是一种科学处理生活垃圾的技术．有研究表明，在生活垃圾水解过程中添加一些微生物菌剂能够加快原料的水解．某小组为研究微生物菌剂添加量对某类生活垃圾水解率的影响，设置了六组不同的菌剂添加量，分别为，，，，，，每隔测定一次水解率，部分实验结果如下： ．不同菌剂添加量的生活垃圾，在水解时，测得的实验数据如图所示： 为提高这类生活垃圾在水解时的水解率，在这六组不同的菌剂添加量中，最佳添加量为______； ．当菌剂添加量为时，生活垃圾水解率随时间变化的部分实验数据记录如下： 时间 0 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 水解率 0 通过分析表格中的数据，发现当菌剂添加量为时，可以用函数刻画生活垃圾水解率y和时间t之间的关系，在平面直角坐标系中画出此函数的图象．结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当水解时，生活垃圾水解率______超过（填“能”或“不能”) ．根据以上实验数据和结果，解决下列问题： (1)请填出上文中的两个空，并画出上文中要求画出的函数图象． (2)请直接写出p的值，______； (3)当菌剂添加量为时，生活垃圾水解率达到所需的时间为小时，当菌剂添加量为时，生活垃圾水解小时的水解率______（填“大于”“小于”或“等于”) ． 【题型二】动点问题的函数图象 【例2】24-25六年级下·山东烟台·期末）如图①，在长方形中，动点从点出发，沿的方向运动至点处停止，设点运动的路程为，的面积为，如果与的关系图象如图②所示，则长方形的周长是 ． 【变式2-1】（24-25七年级下·山东青岛·期末）如图1，长方形的一边向右匀速平行移动，运动一段时间之后停留了，又向左匀速平行移动，直至与边重合，图2反映了它的边的长度随时间变化而变化的情况，图3反映了变化过程中长方形的面积随时间的变化情况．请根据图象回答下列问题： (1)初始时，边的长度是_____；边的长度是_____； (2)边向左匀速平行移动时的速度是_____； (3)在变化过程中，长方形面积的最大值_____； (4)求边向左平移时，长方形的面积与时间之间的关系式． 【变式2-2】（24-25七年级下·重庆·期末）如图，已知八边形相邻的两边互相垂直，且，．动点从八边形顶点出发，沿着八边形的边以每秒的速度逆时针运动，当运动到点时调头，以原来的速度原路返回，到点处停止运动．的面积为，运动时间为（秒），与的图象如图所示，请回答以下问题： (1) ， ， ； (2)当点第一次在边上运动时，求与的关系式； (3)点在返回过程中，面积为时，求时间的值． 【题型三】列一次函数解析式 【例3】（24-25七年级下·山东青岛·期末）一个正方形的边长为，它的各边长减少后，得到的新正方形的面积比原来正方形的面积减少了，则与之间的关系式为 ． 【变式3-1】（23-24七年级下·全国·单元测试）一空水池现需注满水，水池深4.9m，现以不变的流量注水，数据如下表．可以推断注满水池所需的时间是 ． 水的深度 0.7 1.4 2.1 2.8 注水时间 0.5 1 1.5 2 【变式3-2】（24-25七年级下·山东枣庄·期末）背景资料： “低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低碳（特别是二氧化）的排放量的一种生活方式．低碳生活的理念也已逐步被人们所接受．相关资料统计了一系列排碳量计算公式．根据图中信息，解决下列问题： 排碳计算公式家居用电的二氧化碳排放量耗电量 开私家车的二氧化碳排放量耗油量 家用天然气二氧化碳排放量天然气使用量 家用自来水二氧化碳排放量自来水使用量 (1)若x表示耗油量，开私家车的二氧化碳排放量为y，则开私家车的二氧化碳排放量与耗油量的关系式为________； (2)在上述关系中，耗油量每增加，二氧化碳排放量就增加________，当耗油量从增加到时，二氧化碳排放量就从________增加到________； (3)小明家本月家居用电约，天然气，自来水，开私家车耗油，请你计算一下小明家这几项二氧化碳排放量的总和． 【题型四】求一次函数的解析式 【例4】（24-25七年级上·山东泰安·期末）已知一次函数的图象经过，两点，且当时，，则的值为（   ） A．2 B．3 C． D． 【变式4-1】（23-24七年级下·山东威海·期末）已知，点在直线上，过点的直线交轴于点． (1)求的值和直线的函数表达式； (2)点分别在直线，直线上．若，判断是否存在最值，若存在，求出最值，若不存在，请说明理由． 【变式4-2】（23-24七年级上·山东威海·期末）如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中是的函数． 下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组与的对应值： 输入 … 2 5 7 9 11 … 输出 … 5 4 10 16 22 … 根据以上信息，解答下列问题： (1)当输入的值为，输出的值为__________； (2)求的值； (3)当输出的值为8时，求输入的值． 【题型五】一次函数图象的平移问题 【例5】13．（24-25八年级下·山东聊城·期末）在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向左平移个单位长度后，图象经过点，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【变式5-1】（24-25八年级下·山东聊城·期末）把直线（b为常数）向左平移3个单位长度后过点，则b的值为 ． 【变式5-2】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）已知一次函数（、为常数）的图象与直线平行，且将其向下平移3个单位后，经过点，那么此一次函数的解析式为 ． 【题型六】一次函数与坐标轴的交点问题 【例6】（24-25八年级下·福建厦门·期末）对于一次函数，下列结论正确的是（　　） A．当时， B．随的增大而减小 C．它的图象与轴交于点 D．它的图象经过第一、二、三象限 【变式6-1】（24-25八年级下·云南普洱·期末）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，则的面积为 ． 【变式6-2】（24-25八年级下·山东聊城·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与过点的直线交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)点在直线上，直线轴，交直线于点，若，求点的坐标． 【题型七】、一次函数图象的规律探究问题 【例7】（23-24八年级下·山东日照·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，以为一边作正方形，使得点在轴正半轴上，延长交直线于点，按同样方法依次作正方形、正方形、正方形．使得点均在直线上，点在轴正半轴上，则点的纵坐标是 ． 【变式7-1】（24-25八年级上·广东河源·期末）如图，直线与轴相交于点，过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，再过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，…，依此类推，得到直线上的点、，，…，与直线上的点，，，…，则的长为 ． 【变式7-2】（24-25八年级下·山东潍坊·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，点，在轴上；都是等腰直角三角形，依次类推，若已知点，则点的纵坐标是 ． 【题型八】一次函数营销问题 【例8】（24-25八年级下·山东临沂·期末）在中国园艺学会樱桃分会主办的2025中国优质樱桃擂台大赛中，我县果农选送的“鲁樱金牛4-8”大樱桃样品被评定为“特级樱桃产品”，荣获“特等奖”．某商贸公司经销甲、乙两个品种的樱桃，甲种樱桃进价为16元/斤；乙品种樱桃的进货总金额y（单位：元）与乙品种樱桃的进货量x（单位：斤）之间的关系如图所示，经过试销，在H城市销售甲、乙两个品种樱桃的售价分别为20元/斤和25元/斤．某日，该商贸公司收购了甲、乙两个品种的樱桃共1000斤，其中乙品种的收购量不低于300斤，且不高于600斤． (1)已知，，求关于的函数表达式． (2)若从收购点运到商场的其他各种费用还需要1800元，收购的樱桃能够全部卖完，设销售完甲、乙两个品种的樱桃所获总利润为w元（利润=销售额成本）．求出w（单位：元）与乙品种樱桃的进货量x（单位：斤）之间的函数关系式，并为该商贸公司设计出获得最大利润的收购方案，最大利润是多少？ 【变式8-1】（24-25八年级下·河北邢台·期末）某高校网球俱乐部举办网球比赛，总费用y（元）包括两部分：一部分是租用比赛场地所需的固定不变的费用800元，另一部分耗材费用与参赛人数x（人）成正比例，当时，． (1)求y与x之间的函数解析式； (2)若该次比赛的费用为2400元，求有多少名运动员参加了比赛？ (3)该网球俱乐部将比赛门票进行售卖，并获得收入元，设利润为W元（利润＝收入－比赛的费用）．若，求W的最大值． 【变式8-2】（24-25八年级下·四川成都·期末）某公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价为6元件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月（30天）的试销售，售价为8元件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图像，图中的折线表示日销售量（件）与销售时间（天）之间的函数关系．已知线段表示的函数关系中，时间每增加1天，日销售量减少5件． (1)第24天的日销售量是__________件，日销售利润是__________元； (2)求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (3)试销售期间，日销售最大利润是多少元？ 【题型九】一次函数行程问题 【例9】（24-25七年级上·山东烟台·期末）今年“十一”假期，小凡一家驾车前往黄果树景区旅游，在行驶过程中，汽车离黄果树景区的路程与所用时间之间的函数关系的图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A．出发第1小时y与x之间的函数表达式是 B．出发第的平均速度为 C．出发后y与x之间的函数图象所在的直线是直线向上平移1个单位 D．小凡从家到黄果树景区的时间共用了 【变式9-1】（24-25七年级下·山东济南·期末）甲、乙两车从A地出发，匀速驶往B地，甲车出发0.5小时后，乙车才沿相同的路线开始行驶，乙车先到达B地并停留30分钟后，又以原速按原路线返回，直至与甲车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇为止，两车之间的距离S与乙车行驶时间t的函数关系图象，则下列说法正确的是（   ） A．乙车的速度为 B．两地相距 C． D． 【变式9-2】（24-25七年级下·山东济南·期末）2025端午节济南大明湖举行龙舟赛活动，参赛队伍有15支．设若甲、乙两个龙舟队分别同时从起点出发，划行的路程y（米）与划行的时间x（分）（其中）之间满足的关系如图所示，根据图象所提供的信息，解答下列问题： (1)甲队划行的速度为 ；当时，乙队划行的速度为 ；当时，乙队划行的速度为 ； (2)当 分钟时，甲、乙两队划行的路程相等； (3)求出当甲、乙两队划行的路程相差100米时x的值． 【题型十】一次函数方案问题 【例10】（24-25八年级下·湖北孝感·期末）A市和B市分别有库存的某种联合收割机12台和6台，现决定运往C市和D市各9台，已知从A市运往C市、D市的运费分别为每台400元和600元，从B市运往C市、D市的运费分别为每台200元和500元．设A市运往C市的联合收割机为x台，总运费为w元． (1)求w关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (2)求总运费w最低的调运方案，并求出最低总运费． 【变式10-1】（24-25八年级下·北京大兴·期末）某公司拟采购一批车辆，现面临传统燃油（汽油）车与氢能源车两种选型方案．该公司对两种车型在购置及整个生命周期使用过程中的费用进行了系统性分析：若总费用只受购车费用和行驶过程中燃料使用费用影响，其他因素忽略不计（即总费用=购车费用+行驶过程中燃料使用费用），调研信息如下： 设车辆行驶路程为（单位：万公里），总费用为（单位：万元） ①下表是调研中的两组数据： 车辆类型 传统燃油车 氢能源车 行驶路程（万公里） 10 10 总费用 23 28 ②两类车型各自的总费用与行驶路程的函数关系的图象如图所示，两函数图象交于点，且与轴分别交于点，点． 结合上述调研信息，回答问题： (1)传统燃油车购车费用是___________万元； (2)根据车辆行驶路程的变化，怎样选择车型使总费用较低． 【变式10-2】（25-26八年级上·陕西渭南·期中）“谷雨前后，种瓜种豆”是一句广泛流传的农谚，此时春耕春播进入了关键期．琪琪家计划在某一天（一天以24小时计）租用播种机播种花生．现有两家农机公司可提供播种机租赁，按播种机租赁时间计费，每小时的租赁费标价都是40元，他们的优惠方案如下： 甲公司：按标价的8折租赁； 乙公司：一次性租赁时间不超过4小时的，按标价租赁；若超过4小时，则超过4小时的部分按标价的七折租赁． 根据以上信息，解答下列问题： (1)设租赁时间为小时，租用甲公司的播种机每日所需费用为元，租用乙公司的播种机每日所需费用为元，分别求出，与x之间的关系式； (2)当播种机的租赁时间为多少小时时，这两家公司提供的优惠方案所需租赁费用相同？ (3)琪琪家一次性拿出480元用于租赁播种机，选择哪家公司，能使租赁的时间更长？ 【题型十一】一次函数其他应用问题 【例11】（24-25八年级下·福建福州·期末）文博校园科艺节上，同学们在操场进行无人机表演，甲、乙两架无人机离操场地面的高度y（单位：米）与表演时间x（单位：秒）的图象如图所示，表演开始时甲、乙离地的高度分别是5米、15米，在1分钟的表演过程中甲、乙两架无人机的高度差不超过6米的时间可持续 秒． 【变式11-1】（24-25八年级下·山东日照·期末）探究蜡烛在密闭容器中的燃烧时间与容器中的含氧量之间的关系． 素材一 在蜡烛燃烧过程中会消耗氧气．因此，随着燃烧时间的不断增长，容器内的氧气含量越来越低，当容器内的含氧量约为时，蜡烛会熄灭． 素材二 使用氧气含量检测仪器定时测量密闭容器中的氧气含量，记录数据，并根据数据绘制出如图所示的函数图象．其中为燃烧时间，为氧气含量．    完成下列任务 任务一 当燃烧时间为时，密闭容器中的氧气含量是多少？ 任务二 请预测当蜡烛燃烧多长时间时，会因为氧气不足而熄灭？ 【变式11-2】（24-25七年级下·山东聊城·期末）近日，小米汽车惊艳上市，智能化和新能源越来越受到人们的追捧．为了解某新能源汽车的充电速度，我校数学兴趣小组经调查研究发现：如图，用快速充电器时，汽车电池电量单位：与充电时间单位：的函数图象是折线；用普通充电器时，汽车电池电量单位：与充电时间单位：的函数图象是线段．根据以上信息，回答下列问题： (1)普通充电器对该汽车每小时的充电量为______； (2)当和时，分别求出与x的函数解析式； (3)若将该汽车电池电量从充至，快速充电器比普通充电器少用多长时间？ 【题型十二】一次函数与几何问题 【例12】（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，直线分别与、轴交于、两点，点在线段上，线段沿翻折，点落在边上的点处．以下结论：①；②点的坐标为；③直线的解析式为；④点的坐标为．正确的有（   ）． A．①②③ B．①③ C．①④ D．①③④ 【变式12-1】（24-25八年级下·山东潍坊·期末）如图，一次函数的图象经过点，与轴相交于点一次函数的图象与直线相交于点，与轴相交于点，若点是直线上一动点，且满足的面积是面积的倍，则点的坐标为 ． 【变式12-2】（23-24八年级上·浙江·期末）【观察发现】 如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线l作雨线，这样就得到了两个全等的直角三角形．这种三个直角的顶点都在同一条直线上的基础图形在数学解题中被广泛使用． 【探究迁移】 （1）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点． ①则　 ； ②C，D是正比例函数图象上的两个动点，连接，若，则的最小值是 　 ； （2）如图2，一次函数的图象与y轴，x轴分别交于A，B两点．将直线绕点A逆时针旋转得到直线l，求直线l对应的函数表达式； 【拓展应用】 （3）如图3，点A在x轴负半轴上，，过点A作轴交直线于点B，P是直线上的动点，Q是y轴上的动点，若是以动点Q为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 【题型一】函数有关概念的辨析 【例1】（24-25六年级下·山东泰安·期末）在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的水温随所晒时间的长短而变化，这个问题中自变量、因变量分别是（     ） A．热水器里水的温度、所晒时间 B．热水器里水的温度、太阳光强弱 C．所晒时间、热水器的容积 D．所晒时间、热水器里水的温度 【变式1-1】（24-25八年级下·北京·期中）下列曲线中表示是的函数的是（   ） A．B．C．D． 【变式1-2】（24-25六年级下·山东济南·期末）弹簧挂上物体后会伸长，在弹性限度内，测得一弹簧长度与所挂物体质量满足如下关系： 物体质量 0 1 2 3 4 … 弹簧长度 10 11 12 … 下列说法错误的是（   ） A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量 B．当弹簧长度为时，所挂物体质量为 C．y与x的关系式为 D．当物体质量为时，弹簧长度为 【题型二】从函数图象中获取信息 【例2】（24-25六年级下·山东烟台·期末）A、B两个工程组同时修建一段公路，每组每天修建长度均保持不变，合作几天后，B工程组另有任务，A工程组单独完成剩下的路段．A、B两个工程组修路的长度之和y（单位：m）与A工程组修路的时间x（单位：天）之间的关系如图，当A工程组修建的总长度与B工程组修建的总长度相等时，则B工程组修建该路已停工的天数为（   ） A．12天 B．11天 C．10天 D．9天 【变式2-1】（24-25六年级下·山东烟台·期末）如图1，一条细线的一端固定，另一端悬挂着一个小球，我们把点称为平衡位置，把小球拉开一个小角度至A处，放开小球后，理想状态下，小球将沿着圆弧左右往返摆动，A、B两点为摆动过程中的最高点（往返摆动一次的时间称为周期）．我们规定小球在平衡位置左侧到平衡位置的水平距离s记为一个正数，小球在平衡位置右侧到平衡位置的水平距离s记为一个负数．通过记录相关数据，描绘了小球到平衡位置的水平距离s（）关于时间t（s）的图象，如图2所示，则下列说法中，正确的是（    ） A．小球摆动一个周期需要 B．当时，小球在最高点B处 C．当时，小球处在下降过程中 D．当时，小球在平衡位置O处 【变式2-2】（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图1，在中，点D为的中点，动点P从点D出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点B，在此过程中线段的长度y随着运动时间x的函数关系如图2所示，则m的值为（   ） A．4 B． C． D．5 【题型三】正比例函数的定义辨析 【例3】（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末）下列函数中，属于正比例函数的是（   ）． A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24八年级下·四川内江·期中）若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A． B．2 C． D．1 【变式3-2】（23-24八年级上·江苏·期末）若是正比例函数，则的值是 ． 【题型四】一次函数图形判断问题 【例4】（23-24八年级上·山东青岛·期末）一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【变式4-1】（24-25八年级上·山东青岛·期末）已知点在第三象限，则直线图象大致是下列的（　　） A．B．C． D． 【变式4-2】（24-25七年级上·山东威海·期末）小丽根据画出了函数的图象，你认为正确的是（    ） A．B．C． D． 试卷第20页，共57页 学科网（北京）股份有限公1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $