培优02 分式方程含参问题5大题型（大单元专项训练）数学人教版2024八年级上册

专题02 分式方程含参问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、 根据分式方程的解求参 1 题型二、 根据分式方程的解的范围求参 4 题型三、 与不等式组综合求参 13 题型四、 分式方程有增根或无解问题 28 题型五、 分式方程整数解问题 40 B综合攻坚・能力跃升 题型一、根据分式方程的解求参 1．关于的分式方程的解是．那么的值是（　　） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的解，将已知解代入分式方程求解即可． 【详解】∵关于的分式方程的解是， ∴代入得， ∴． 故选：D． 2．已知关于的分式方程的解为，则的值为（    ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的解、解一元一次方程等知识点，掌握分式方程的解是使分式方程成立的未知数的值是解题的关键． 将代入得到关于a的方程求解即可． 【详解】解：将代入可得：， 解得：． 故选：A． 3．关于的方程的解为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的解和解分式方程，因为方程的解为，可得关于的分式方程，解方程可得：，经检验可知是分式方程的解，所以的值为． 【详解】解：方程的解为， ， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 的值为． 故选：B． 4．若关于x的分式方程的解为2，则m的值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考出了分式方程的解、解分式方程等知识点，掌握方程的解使方程左右两边相等的未知数的值成为解题的关键． 将代入方程可得，然后解关于m的分式方程即可． 【详解】解：将代入方程可得，即， ， ， 经检验，是分式方程的解， 所以m的值为2． 故选D． 5．若是方程的根，则m的值为（    ）． A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解的定义是解题关键．将代入分式方程，解方程即可得． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， 解得， 故选：B． 6．已知关于的方程的解为0，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解，熟知分式方程的解即为能使分式方程成立的未知数的值是解本题的关键． 将方程的解代入原方程，得到关于的分式方程，通过解分式方程得到的值，并验证分母不为零． 【详解】解：将代入方程， 得：，即， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：当时，， 故是原方程的解． 故答案为：． 7．若分式方程的解是，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了分式方程的解，理解分式方程的解是解题的关键；把代入分式方程中，得到关于m的方程，解方程即可． 【详解】解：∵分式方程的解是， ∴，即， 解得：， 故答案为：3． 8．若关于x的方程的解为，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查分式方程的解．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键． 将代入方程进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程的解为， ∴， ∴． 故答案为：1． 9．已知是关于x的分式方程的解，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的解的应用，熟练掌握分式方程的解的定义（使分式方程左右两边相等的未知数的值）是解题的关键．将方程的解代入分式方程，得到关于的方程，再求解这个方程． 【详解】解：∵ 是分式方程的解， ∴ 把代入方程，得， 解得． 故答案为：． 10．若是分式方程的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解，解一元一次方程，把代入分式方程得，然后解一元一次方程即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是分式方程的解， ∴，整理得， 解得：， 故答案为：． 11．若是关于x的分式方程 的解，则a的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式方程的解，分式方程的解即为能使分式方程左右两边相等的未知数的值．分式方程去分母后将代入即可求出的值． 【详解】解：， 去分母得：， 即， 将代入得：， 解得：． 故答案为：． 题型二、根据分式方程的解的范围求参 12．如果关于x的分式方程 的解是正数，那么实数 m的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，先解分式方程，得到解的表达形式，再根据解为正数且分母不为零，列出不等式求解． 【详解】∵ ， 去分母得，， ∴ ，且，即． ∵ 解是正数， ∴ ，即 ， ∴ ． 综上，， 故选：C． 13．已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围为（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0，表示出分式方程的解是解本题的关键． 先求解分式方程，得到解，根据解为负数且分母不为零的条件，列出不等式和排除条件即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得， ∴分母， ∴， ∵解为负数， ∴，即， 又∵， ∴，即， ∴且． 故选：B． 14．已知关于x的方程解为正数，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的解及解的取值范围，解题的关键是先将分式方程化为整式方程求解，再结合分式有意义的条件（分母不为0）和解的正负性确定参数范围． 先将分式方程化为同分母形式，转化为整式方程求解关于的表达式，再根据＂解为正数＂和＂分母不为0＂列不等式，最终确定的取值范围． 【详解】解：∵方程， 又∵， ∴， ∴原方程化为． 左边合并：， 两边同时乘以得：， 解得． 由，得，即． 又∵解为正数，∴，即，． 综上，且． 故选：D． 15．已知关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 【答案】A 【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，熟练掌握分式方程的解法以及分式有意义的条件是解题的关键． 通过解分式方程，得到，再根据解为非负数和分母不为零的条件，确定的取值范围． 【详解】解：∵， 方程两边乘，得 ， ， ， ∴ ． ∵ 解为非负数， ∴ ，即 ， ∴ ． 又 ∵ 分母 ， ∴ ，即 ， ∴ ． 综上， 且 ． 故选：A． 16．若关于x的分式方程的解是非负数，则a需满足的条件是（   ） A．.且 B．.且 C． D． 【答案】A 【详解】∵原方程，且分母不为零， ∴且． 化简左边：， ∴方程化为， 两边同乘（）：， 整理得：， 若，则，无解， 若，则． ∵解为非负数， ∴（因为），即， ∵， ∴，即， 又∵， ∴，即，解得， ∴且． 故选：A． 17．已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 【答案】A 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况，求参数的范围，先解分式方程，得到，再根据解为非负数和分母不为零的条件，确定的取值范围即可． 【详解】解： 去分母，得：， 化简：， 解得 ∵解为非负数， ∴，即，解得 ∵ 分母， ∴，即，解得 ∴且； 故选A． 18．已知关于的方程的解是正数，则的取值范围为（   ） A． B． C．且 D． 【答案】C 【分析】本题考查的是根据分式方程的解的情况求解参数的取值范围，注意解分式方程时要保证分母不能是0是解题的关键．通过求解分式方程，得到解，再根据解为正数且分母不为零的条件，确定的取值范围． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵解是正数， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 综上，且． 故选：C． 19．已知关于的分式方程的解为非正数．则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】该题考查了分式方程，先解分式方程，得到x关于k的表达式，再根据解为非正数（）和分母不为零（）的条件，求k的取值范围． 【详解】解：∵方程， 两边同乘公分母，得：， 展开并简化：， ∴， ∴， ∴， ∵解为非正数， ∴，即，解得：， ∵分母不为零，∴且， 当时，，解得， 当时，，解得， 但，故自动满足，只需， ∴且， 故选：C． 20．已知关于的方程的根是负数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查根据分式方程的解情况求参数，将原方程去分母并解得的值，然后根据题意得到关于的不等式，解不等式即可． 【详解】解：原方程去分母并整理得：， 解得： 原方程的根是负数， 且， 解得：且， 故答案为：且． 21．关于x的分式方程的解是非正数，那么a的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题考查根据分式方程的解求参数，通过解分式方程得到的表达式，根据解为非正数且分母不为零的条件，列出不等式求解． 【详解】解：解分式方程， 两边同乘（需保证），得， 所以， 由于分母，即， 代入，得，即， 又因为解为非正数，即， 所以，即， 因此，且， 故答案为：且． 22．若关于的分式方程的解为非正数，则的取值范围是 ． 【答案】 且 【分析】本题考查根据分式方程解的情况求值．再解答时注意分母不能为0的条件．将分式方程化为整式方程，解得，根据解为非正数且分母不为零的条件，确定的取值范围． 【详解】解：， ， ， ， ， 解得， 由于解为非正数，即， 所以， 即， 又因为分母且，即且， 当时，，解得，但此时，不符合非正数条件； 当时，，解得，但此时分母，分式无意义， 因此需排除， 故的取值范围是且． 故答案为：且． 23．关于的方程的解为正数，则的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了解分式方程，含字母系数的分式方程的解：先去分母，再移项，合并同类项，用含有a的代数式表示x，然后根据，且，求出解即可． 【详解】解：即， 去分母，得， 移项，合并同类项，得． ∵这个分式方程的解是正数， ∴，且， 即，且，     解得，且． 故答案为：且． 24．若关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式，先将方程中的分式化简，利用分母互为相反数的关系合并分式，然后求解关于的方程，得到解的表达形式，根据解为负数的条件列出不等式，同时考虑分母不为零的约束，排除使解为1的值，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 去分母可得：， 解得：， ∵解为负数， ∴， 解得：， 同时，分母不为零要求，即， 解得， 综上所述，的取值范围为， 故答案为：． 25．关于x的分式方程的解是负数，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了解分式方程、分式有意义的条件，正确求解分式方程是解题关键． 先解分式方程得到的表达式，再根据解为负数列不等式，并考虑分母不为零的条件． 【详解】解：解方程，两边乘（注意），得， 即，解得， 由解为负数，得，即，解得， 又分母 ，即，代入，得，解得． 故答案为：且． 26．已知关于x的分式方程的解是正数，则a的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查解分式方程，根据分式方程解的情况求参数的范围，掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键． 先把原方程化为整式方程，解方程得到，根据方程的解为正数且分母不为0列式求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 解得：， ∵原方程的解是正数，且分母不为0，即， ∴，且， ∴且． 故答案为：且． 27．已知关于x的方程：． (1)当m为何值时，方程无解． (2)当m为何值时，方程的解为负数． 【答案】(1)或4 (2)且 【分析】（1）分式方程无解，即化成整式方程时无解，或者求得的x能令最简公分母为0，据此进行解答； （2）通过解分式方程得到x的值，然后根据已知条件列出关于m的不等式，通过解不等式可以求得m的值． 本题考查了分式方程的解法，以及分式方程无解的问题，理解分式方程无解的条件是解题的关键． 【详解】（1）由原方程，得， ①整理，得， 当即时，原方程无解； ②当分母即时，原方程无解， 故， 解得， 综上所述，或4； （2）由（1）得到， 当时．， 解得， 由（1）知：时，原方程无解； 所以综上所述，且． 28．已知关于x的分式方程的解是非负数，求m 的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数的值，求出分式方程的解，根据解是非负数结合分式有意义的条件，进行求解即可． 【详解】解：去分母，得， 解得． ∵分式方程的解是非负数， ∴． 解得． 又∵， ∴ ∴m的取值范围是且． 29．已知关于的分式方程． (1)若，求分式方程的根； (2)若分式方程的根为正数，求的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题主要考查了解分式方程，解一元一次不等式，解题的关键是掌握解分式方程的步骤． （1）利用解分式方程的步骤进行求解即可； （2）整理出方程的根，然后解一元一次不等式即可． 【详解】（1）解：当时，分式方程为 ， 经检验，当时，， ∴是原分式方程的根； （2）解： ， ∵分式方程的根为正数， ∴，且，即 解得且． 题型三、与不等式组综合求参 30．关于x的分式方程有负整数解，且关于y的不等式组无解，则符合条件的所有整数a的和为（    ） A．2 B．0 C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了解分式方程，不等式组无解问题． 首先解分式方程得到 ，根据有负整数解且 ，得 ， 为偶数且 ．再解不等式组，由无解条件得 ．综合得 或 ，求和即可． 【详解】解：， 去分母得 ， 化简得， ∴， 即 ． ∵方程有负整数解且， ∴ 且为整数，且 ， ∴， 为偶数，且 ． ∵不等式组 ， 解第①不等式，得， 解第②不等式得 ∵不等式组无解， ∴， 即 ， ∴（ 为整数）． 综合得 为偶数， 且 ， ∴ 或 ． ∴和为． 故选：C． 31．如果关于x的不等式组有且只有两个奇数解，且关于y的分式方程 的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为（　　） A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法和分式方程的解法，解不等式组可得，解分式方程可得，再结合已知不等式组和分式方程解的情况即可求解． 【详解】解：不等式组整理得：， 解得：， 由不等式组有且只有两个奇数解，得到， 解得：， 即整数，3，4，5，6，7，8，9， 分式方程去分母得：， 解得：， 由分式方程解为非负整数， 得到，6，8，之和为16， 故选：B． 32．若关于的分式方程的解为正整数，且关于的不等式组有且仅有个整数解，则满足条件的所有整数的和是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解分式方程，找出能使分式方程的解为正整数的的值，注意分式方程无解的情况；解一元一次不等式组，找出不等式组有且仅有个整数解时的取值范围，综合起来找出符合所有条件的整数后即可得解． 【详解】解：， 去分母，得， 移项和合并同类项，得， 当时，分式方程无解， 当时， 系数化为，得， ∵，， ∴或， 即， 关于的分式方程的解为正整数， 或或； ， 由得， ， 由得， 要使关于的不等式组有且仅有个整数解， 即范围内有个整数解， ， ， 综上，满足条件的所有整数为，，和为． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是根据分式方程解的情况求值、由不等式组解集的情况求参数，解题关键是熟练掌握分式方程及不等式组 的解法． 33．若数a使关于x的不等式组至少有五个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有整数a之和是（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解，分式方程的解，以及解一元一次不等式组和分式方程，本题需要注意的地方是必须对分式方程的根进行检验． 解不等式组，根据整数解的个数判断a的取值范围，解分式方程，用含a的式子表示y，利用分式方程有解，且有非负整数解，确定符合条件的整数a，相加即可． 【详解】解：解不等式组，得， 不等式组至少有五个整数解， ， 解分式方程，得， ， ， ， ， ， ， ， ，且，a为整数， 又为整数， 可以取，3，5， 所有整数a之和为：． 故选：D． 34．若实数使关于的不等式组，有解且至多有3个整数解，且使关于的分式方程有整数解，则满足条件的整数的和为（   ） A． B．7 C．12 D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，一元一次不等式组的整数解，掌握相应的运算法则是关键． 解出不等式组的解集，根据不等式组有解且至多个整数解，求得的取值范围；解分式方程，检验，根据方程有整数解求得的值，最后求和即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵不等式组有解且至多有个整数解， 所以， 解得：， ， 方程两边同时乘得：， 化简得：， 当时，， ∵是分式方程的增根，此时分式方程无解， ∴，解得：， ∵方程有整数解， ∴或， 解得：或或或， 又∵且，， ∴或或， ∴， 故选：B． 35．若整数a使关于x的不等式组有且只有3个整数解，且使关于y的分式方程 的解满足，则所有满足条件的整数a的值之和为（  ） A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，根据分式方程的解的情况求参数，先解不等式组的两个不等式，再根据不等式组只有3个整数解得到，则，再解分式方程得到，根据，且，求出，且，由此确定整数a的值，最后求和即可． 【详解】解：解不等式组 ， 解得 该不等式组有且只有个整数解，即三个整数解为，，1， 解得． 解分式方程 得． ，且， ，，解得且． 综上，且． 为整数， 或，即满足条件的整数的值之和为． 故选：A． 36．已知关于的分式方程的解为正数，且关于的不等式组的解集为，则所有满足条件的整数的值之和是（   ） A．25 B．28 C．30 D．33 【答案】B 【分析】本题考查含参数的分式方程和含参数的不等式组，掌握由解集倒推参数范围是本题关键． 先通过分式方程求出a的一个取值范围，再通过不等式组的解集求出a的另一个取值范围，两个范围结合起来就得到a的有限个整数解． 【详解】解：， 去分母得：， 解得：， ∵关于的分式方程的解为正数， ∴且， ∴且， ， 由得：， 由得：； ∵不等式组的解集为， ∴， 解得：； 综上可知a的整数解有：3，4，6，7，8， ∴， ∴所有满足条件的整数的值之和是28． 故选：B． 37．若关于的不等式组有解，关于的分式方程有非负数解，则符合条件的所有整数的值的和为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式组的解集，掌握分式方程的解法，一元一次不等式组的解法是正确解答的关键．根据不等式组的解集确定的取值范围，再根据分式方程的解法和增根的定义进一步确定的值即可． 【详解】解：不等式的解集为， 关于的不等式的解集为， 由于不等式组有解， ， 解得， 将关于的分式方程的两边都乘以得， ， 解得， 又分式方程的解为有非负数解， ， 即， 又分式方程的增根是， ， 解得， 综上所述，且， 即或或或或， 符合条件的所有整数的值的和为． 故选：A ． 38．若关于的方程有非负实数解，关于的一次不等式组，有解，则满足这两个条件的所有整数的值的和是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式组的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．先将分式方程去分母转化为整式方程，表示出分式方程的解，根据分式方程有非负实数解，确定出的范围，再解不等式组，根据不等式组有解，确定出的范围，进而确定出的具体范围，求出所有满足题意整数的值，求出其和即可． 【详解】解：， 去分母得：， 解得， ∵分式方程有非负实数解， 故，， 解得且； ， 解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式组，有解， ∴存在满足且， 故， 即； 综上，且． 故所有满足题意整数的值为：，，，，，，，， ∵． 故满足条件的所有整数的值的和是． 故选：A． 39．若a使得关于x的分式方程有正整数解，且关于x的不等式组的解集为，则满足条件的所有整数a的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况，求参数的范围，根据不等式组的解集的情况求参数的范围，先根据方程的解，每个不等式的解集，再根据题意，求出的范围，进而求出符合题意的整数，求和即可． 【详解】解：解，得：， ∵关于x的分式方程有正整数解， ∴为正整数，， ∴， ∴； 解，得：， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴， ∴； 故选A． 40．若不等式组的解集为，且关于y的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了一元一次不等式组的求解，分式方程的求解及正整数解的应用．首先解不等式组，根据解集确定a的取值范围为，然后解分式方程，得到，要求y为正整数且，结合a的取值范围，得到满足条件的整数a为3 和5，求和即可． 【详解】解：解不等式组 ， 由得， ①当时，第二不等式解为，解集为，需，解得，故， ②当时，第二不等式为，恒成立，解集为， ③当时，解集不能为， 因此a的取值范围为， 解分式方程，化简得，解得， 要求y为正整数，故且为整数，即，结合，需为正整数且， 代入a值验证： ，，非整数； ，，正整数； ，，非整数； ，，正整数； ，，非整数； ，，为增根， ∴满足条件的整数a为3和5，和为8． 故答案为：8． 41．若关于的不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为 ． 【答案】 且 【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组．先解不等式组，根据至少有2个整数解，得到；再解分式方程，得到，由解为非负数且分母不为零，得到且；综合可得的取值范围． 【详解】解不等式组，得， ∵至少有2个整数解， ∴， 解得． 解分式方程，得， ∵解为非负数， ∴， ∴． ∵ ∴， ∴． ∴的取值范围是 且． 故答案为： 且． 42．若关于x的不等式组有三个整数解，且关于y的分式方程的解是负整数，则满足条件的整数a的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了求不等式组的解集、解分式方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 首先解不等式组，根据有三个整数解的条件，确定a的取值范围为，且a为整数，即a可能为7、8、9，然后解分式方程，得到y关于a的表达式，根据分式方程的解为负整数且分母不为零的条件，分情况讨论即可得出答案． 【详解】解：解不等式组得，， ∵不等式组有三个整数解， ∴， 解得， ∵是整数， ∴， 去分母，得， 整理得， 解得， 当时，，方程的解为正整数，不符合题意； 当时，无意义，不符合题意； 当时，，方程的解为负整数，符合题意； 故满足条件的整数a的值为9． 故答案为：9． 43．若关于x的分式方程的解为正整数，且关于y的不等式组有且仅有4个整数解，则满足条件的所有整数a的和是 ． 【答案】 4 【分析】本题考查了分式方程，不等式组，整数解的分析及代数运算与逻辑推理．首先解分式方程，得到解为正整数的整数a值，注意排除使分母为零的情况；再解不等式组，根据有且仅有4个整数解的条件确定a的取值范围；最后取交集得到满足条件的整数a，并求它们的和． 【详解】解：分式方程，去分母得，整理得， 当 时方程无解，故，解得， 解为正整数且，则为正整数且（即）， 8的正因数为1、2、4、8，对应 ，得， 排除， 故， 不等式组， 解第一个不等式得， 解第二个不等式得， ∴不等式组解集为，有且仅有4个整数解， 则整数解为0、1、2、3， 故， 解得， ∴整数a为， 取交集，满足条件的整数a为， 和为． 故答案为：4． 44．如果关于的不等式组至少有个整数解，且关于的分式方程的解是非负数，则符合条件的所有整数的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了由不等式组的解的情况求参数的取值范围，由分式方程解的情况求参数的取值范围，有理数的加法运算，先求出不等式组的解集，根据解的情况可得，再求出分式方程的解，根据分式方程解的情况可得且，进而得到的取值范围，即可求出符合条件的所有整数的值，最后相加即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：解不等式组，得， ∵不等式组至少有个整数解， ∴， 解分式方程，得， ∵分式方程的解是非负数， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴且， ∴符合条件的整数的值为，，，， ∴符合条件的所有整数的和是， 故答案为：． 45．若关于的不等式组有且仅有3个整数解，且关于的分式方程的解为正数，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解和分式方程的解，解题的关键是分别求解不等式组和分式方程，再根据条件确定整数的取值范围． 先解不等式组，根据整数解的个数确定的范围；再解分式方程，根据解为正数且分母不为零确定的另一范围，最后找出符合条件的整数并求和． 【详解】解：解不等式组 解得：． 不等式组有且仅有3个整数解， 这3个整数解为、， ， 解得：， 解分式方程 解得：， 分式方程的解为正数， 且． 由得， ； 由得，即． 结合不等式组和分式方程的条件，的取值范围为且， 整数为， 符合条件的所有整数的和为． 故答案为：． 46．若关于x的分式方程的解为整数，关于y的不等式组有且仅有2个偶数解，则所有满足条件的整数m的值之和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解和不等式组的整数解，理解题意是解题的关键． 先分别解分式方程和不等式组，再根据题意求出整数m的值，再求解． 【详解】解：分式方程可化为：， 解得：， ∵分式方程的解为整数， ∴为2的倍数，即m为奇数， 解不等式组，得， ∵关于y的不等式组有且仅有2个偶数解， ∴不等式组的偶数解为：2，0， ， 解得：， 满足条件的整数m的值为、、， 当时，，此时分式无意义，不合题意， ， 故答案为：． 47．若整数既使得关于的分式方程的解为正数，又使得关于的不等式组有且只有个整数解，求符合条件的所有整数的和的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程与求不等式组的整数解，解题的关键是掌握分式方程和不等式组的解法．解分式方程得到，进而得到，且，解不等式组得到，进而得到，求出，且，且，即可求解． 【详解】解：， 解得， 整数使得关于的分式方程的解为正数，且， ，且， ， 解得， 不等式组有且只有个整数解， ， ， ∵，且， 可取和， 满足条件的和为． 48．若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式的解是非负整数，求符合题意的整数a的所有取值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式组和一元一次不等式组的解，正确确定不等式组的解集是解题的关键，解分式方程要注意有产生增根的可能．利用关于的一元一次不等式组的解集为，通过解不等式组确定的一个取值范围；再利用关于的分式方程有非负整数解，确定的取值，同时满足两个条件的整数解即为答案． 【详解】解：， 解不等式①的解集为， 不等式②的解集为， ∵不等式组的解集为， ； 解关于的分式方程， ， ， 解得， ∵， ， 关于的分式方程的解是非负整数， ， ，，， 但时，是原方程的增根，舍去， ，， 符合条件的所有整数的所有取值为，． 题型四、分式方程有增根或无解问题 49．已知关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查分式方程有增根的问题，去分母将方程转化为整式方程，将增根代入整式方程，进行求解即可． 此题主要考查了分式方程的增根，以及解分式方程，正确理解相关概念，准确计算是解题关键． 【详解】解：方程两边同乘以，得， 整理得， ∴ ， ∵ 方程有增根，且增根为 ， ∴ ， 解得：， ∴ ， 故k的值为， 故选：B． 50．关于x的分式方程会产生增根，则m的值为（   ） A． B．6或 C．或4 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键；分式方程产生增根时，增根为使分母为零的值，即或，代入去分母后的整式方程求解m即可． 【详解】解：方程两边同乘公分母，得： ， 化简得：， ∵增根为或， 当时，代入得：，解得； 当时，代入得：，解得； ∴m的值为6或； 故选B． 51．若解分式方程会产生增根，那么的值是（    ） A．或 B．或2 C．1或2 D．1或 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程增根问题，增根是使原方程分母为零的根，即 或 ；通过解方程并代入这些值，求出； 【详解】解：∵ 原方程：，且 ， ∴ 公分母为 ； 两边乘 得： ， 即 ， 整理得：； 增根为 或 ，代入方程： 当 时：，解得 ； 当 时：，即 ，解得 ； 故选：D 52．若关于x的分式方程 有增根，则m的值为（   ） A．0 B．2 C．3 D．1 【答案】C 【分析】本题主要是考查了分式方程的增根，先将原式去分母整理得到关于x的整式方程，根据方程有增根可得x的值，代入整式方程可得m的值． 【详解】解：方程 两边都乘，得 ∵原方程有增根， ∴最简公分母， 解得， 当时，， 解得：， 故m的值是3． 故选：C． 53．若关于的方程有增根，则的值是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查分式有增根求参数，涉及解分式方程，熟记分式方程的解法、分式方程增根的定义是解决问题的关键． 先解分式方程，得到，再由关于的方程有增根，得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：， 方程两边同时乘以，则， ， 则， ， 关于的方程有增根， ， 解得， 故选：A． 54．关于x的方程  去分母转化为整式方程后产生增根，则m的值是（   ） A． B．4 C．或 D．或4 【答案】C 【分析】本题主要考查分式方程的解法和增根的定义，根据分式方程的解法，化简成整式方程，再根据增根的定义算出增根代入整式方程，即可求得答案； 【详解】解：， 方程两边同时乘以， ， ， ， 令时，是方程的增根； ∴或 故答案选：C． 55．若关于的分式方程无解，则的值为（） A．3 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程无解的条件就是分母等于0或化简后整式方程无解是解题的关键． 把原方程去分母化为整式方程，求出方程的解得到x的值，由分式方程无解得到分式方程的分母为0，求出x的值，两者相等得到关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值． 【详解】解：， 方程两边同乘以，得 ， 整理得 ， ∴， 解得 ． ∵关于的分式方程无解， ∴，即， 令， 解得． 故选：D． 56．关于x的分式方程无解，则n的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数的取值范围，分式方程无解的情况包括：解出的根使分母为零（增根），或化简后的整式方程无解（矛盾），由此计算即可得解，熟练掌握分式方程无解的情况是解此题的关键． 【详解】解：去分母可得：， 移项并合并同类项可得：， ∵关于x的分式方程无解， ∴当，即时，原分式方程无解； 当时，， 当，即时，原分式方程无解； 综上所述，n的值为1或， 故选：C． 57．已知关于的分式方程，若这个方程无解，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是分式方程无解的情况，解题关键是熟练掌握解分式方程． 分式方程无解的情况有两种：一是化简后的整式方程矛盾（如非零常数），二是解出的根使原方程分母为零，先将方程化简为 ，再求解整式方程，并考虑分母不为零的条件． 【详解】解：原方程， 又， ， 方程化为，即， 两边同乘得，， 整理得，， ， ， 当时，， 方程无解的情况： ①当时，方程化为，即，矛盾，无解； ②当时，原方程分母为零，无解，即 ，解得，， 综上，或时方程无解． 故选：． 58．关于的分式方程无解，则实数的取值是（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程无解问题，分式方程无解的情况通常包括解为增根（使分母为零）或化简后矛盾． 首先化简方程，解出x关于m的表达式，然后检查x的取值是否使分母为零． 【详解】解：方程两边乘得：， 解得， 由分式方程无解，得到， 解得． 故选：D． 59．题目：“已知关于的分式方程无解，求的值．”对于其答案，甲答：，乙答：，则正确的是（    ） A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙答案合在一起也不完整 【答案】C 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程无解需考虑整式方程无解和增根两种情况，缺一不可． 根据分式方程无解的情况有两种：一是化简后的整式方程无解（矛盾），二是解出的根使分母为零（增根）．通过化简方程，分别讨论m的值． 【详解】解：∵ 去分母，， 整理得： ， 情况一：当 ，即 时，无解． 情况二：当 时， ，若 ，则分母为零，无解，此时 ，解得 ∴ 当 时，方程有增根 ，无解． 综上， 或 时，方程无解． 甲答 ，乙答 ，两者合在一起才完整． 故选C． 60．若关于的分式方程无解，则的值是 ． 【答案】 2 【分析】此题考查已知分式方程的解求参数，分式方程无解的情况有两种：一是化简后的整式方程无解；二是解出的根使原方程的分母为零（增根），本题需通过化整式方程并讨论增根情况求解 【详解】原方程为 ， 两边同乘 ，得：， 即 ， 若方程无解，则需 为增根，即 ，解得 ； 当 时，原方程化为 ，即 ，矛盾，方程无解， 综上， 时方程无解， 故答案为 2 61．若关于 x 的分式方程无解，则 k 的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程无解问题，正确理解方程无解的含义、掌握求解的方法是关键．将分式方程化为整式方程，解出的表达式，令其等于分母为零的值，从而求出． 【详解】解：方程，两边同乘（），得， 整理得， 解得， 当时，分母为零，方程无解，故， 解得． 故答案为：． 62．若关于x的方程无解，则a的值是 ． 【答案】1或 【分析】将分式方程转化为整式方程，然后根据整式方程中x的系数为零时方程无解及分式方程的分母为零时方程无解两种情况确定a的值． 本题考查分式方程的解，掌握分式方程无解情况下字母的取值是解题的关键． 【详解】解：， 原方程去分母，得：， ， 当，即时，原分式方程无解， ， 解得：， 当时，无解，即原分式方程无解， ， 综上，a的值为或1， 故答案为：或 63．若关于的方程无解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的解，分式方程无解的条件． 把分式方程化为整式方程，求增根，代入整式方程，即可得的值． 【详解】解： 去分母得， ∵关于的方程无解， ∴， 解得， 把代入， 可得， 解得， ∴的值为． 故答案为：． 64．若关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或3 【分析】本题主要考查了分式方程无解，先根据去分母，去括号，移项，合并同类项，当的系数为0时，方程无解，求出的值；当的系数不等于0时，求出方程的解，最简公分母等于0时方程无解，求出的值即可． 【详解】解： 去分母后，， 整理得，， 当时，方程无解，此时； 当时，，此时； 综上，或； 故答案为：或3． 65．若关于x的分式方程无解，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的解以及解分式方程，先将关于x的分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，再根据分式方程的增根进行解答即可． 【详解】解：关于x的分式方程化为整式方程为， 解得， 由于原方程无解，即分式方程有增根， ∴， 解得：， 故答案为：． 66．若解关于x的分式方程会产生增根，则m的值为 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到，进而求出x的值，代入整式方程求出m的值即可 【详解】解：原分式方程去分母得：， 由分式方程有增根，得到， 解得：或， 当时，，即； 当时，，即， 综上，m的值是或． 故答案为：或． 67．若关于的方程有增根，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查分式方程的增根问题，将分式方程化为整式方程，求出使最简公分母的值为0的未知数的值，代入整式方程，求出的值即可． 【详解】解：， 去分母，得， ∵方程有增根， ∴，解得， 把代入，得，解得； 故答案为：1． 68．关于的分式方程有增根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根，注意增根问题可按如下步骤进行： 化分式方程为整式方程；让最简公分母为确定增根； 把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．方程两边都乘， 得，由分式方程有增根，得到最简公分母，求出的值，代入整式方程求出的值即可． 【详解】解：方程两边都乘， 得：， ， 原方程有增根， 最简公分母， 解得， 当时，即， ． 故答案为： ． 69．已知关于x的方程有增根，则常数m的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②让最简公分母为0确定增根；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．先去分母可得，再根据关于的方程有增根，可得，代入计算即可求解． 【详解】解：， 去分母得：，即， ∵关于的方程有增根， ∴， ∴， 将代入， 得， 故答案为：6． 70．关于的方程有增根，则增根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的增根，熟练掌握增根的定义是解题的关键． 先明确增根的定义，即分式方程化为整式方程后，使原分式方程分母为的根，然后据此求解． 【详解】解：分式方程的分母为和，． 令分母， 解得． 故答案为：． 71．若关于的分式方程有增根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数，先把去分母整理得，结合，得，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， 整理得， ∴去分母得， 整理得， 即， ∵关于的分式方程有增根， ∴， 故， ∴ ∴， 故答案为： 72．关于的方程有增根，对于该方程的增根有如下说法： 嘉嘉 增根为 淇淇 增根为或 你认为___________（填“嘉嘉”或“淇淇”）的说法正确，请说明理由并求出的值． 【答案】嘉嘉，理由见解析， 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程有增根时，一定存在使最简公分母等于0的整式方程的解． 【详解】解：嘉嘉的说法正确 理由如下： 将的两边同时乘约去分母化简得． 若分式方程有增根，增根可能是或． 当时，． 当时，得到，该式子不成立，则该分式方程的增根不可能为． 故嘉嘉的说法正确，并求得． 故答案为：嘉嘉． 73．关于的方程． (1)若方程的解为，求的值； (2)若此方程有增根，求的值． 【答案】(1)； (2)的值为或． 【分析】本题考查的知识点是根据分式方程解的情况求值、解分式方程（化为一元一次）、分式方程无解问题，解题关键是熟练掌握解分式方程的方法． （1）先将分式方程化为整式方程得，再把代入整式方程即可求出； （2）由分式方程有增根，得到，解出，将的值代入整式方程求出即可． 【详解】（1）解：原方程整理，得， 把代入整式方程得， 解得． （2）解：由分式方程有增根，得到， 解得或， 把代入整式方程得； 把代入整式方程得． 综上，的值为或． 74．已知关于x的分式方程，回答下列问题： (1)原分式方程去分母后，整理成关于x的整式方程，得________________． (2)若原分式方程无解，求a的值． 【答案】(1) (2)a的值为1或 【分析】（1）方程两边同乘以最简公分母，切记不要漏乘即可； （2）分式方程无解有两种情况：一是其化简成的整式方程（设为 ）本身无解，即 且 ；二是整式方程的解是原分式方程的增根． 【详解】（1）解：方程两边同乘以最简公分母得， 整理得：． 故答案为：． （2）解：当， 即时，原分式方程无解； 当时，由原分式方程无解， 得， 解得． 把代入， 解得． 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查了已知含参分式方程的解的情况，求参数值，掌握分式方程无解的两种情况是解题的关键． 75．已知关于x的分式方程：． (1)当时，解该分式方程； (2)若该分式方程无解，求m的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）去分母化为一元一次方程即可求解，最后对求出的根进行检验即可； （2）先直接求出分式方程的根，然后根据分式方程无解可知该根为增根，列出关于m的方程即可求解． 本题考查了解分式方程、根据分式方程解的情况求参数． 【详解】（1）解：当时，分式方程为，即 方程两边乘，得， 解得． 检验：当时，， 故是原分式方程的解； （2）解： 方程两边乘，得，解得． ，解得． ∴分式方程的增根为 ， 分式方程无解， ∴，解得， ∴若该分式方程无解，m的值为4． 题型五、分式方程整数解问题 76．如果关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为正数，则符合条件的所有整数m的和为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】此题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则，求得m的取值范围是解本题的关键． 根据已知不等式的解集确定出m的范围，再由分式方程解为正数，确定出m的范围，进而确定出满足题意整数m的值，求出之和即可． 【详解】解：不等式组整理得， 不等式组的解集为， ， 分式方程去分母，得：， 解得：， 分式方程的解为正数， ，且， 解得：且， 且， 符合条件的整数m的值有0，1，3，4这4个， 这4个整数的和为8， 故选：C． 77．若关于的分式方程有整数解，则符合条件的整数所有值的和为（    ） A．4 B．3 C．8 D．7 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的解，根据分式方程解的情况求字母的值；先去分母化简分式方程，再求解关于的方程，根据为整数且分母不为零的条件，确定的取值，最后求和. 【详解】解：， ， 两边同乘（）， ， ， 整理得：， ， ∵为整数且， ∴为的约数，即或或或， 当即，则， 当即，则（舍去）， 当即，则， 当即，则， ∴或4或0， 其和为. 故选：D. 78．已知关于的一元一次不等式组无解，且关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的解、解一元一次不等式组，解决本题的关键是按照解一元一次不等式组的方法解出不等式组．首先判断不等式组无解的条件，再求解分式方程的正整数解．将满足两个条件的整数a求和． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 因为不等式组无解，即， 解得：， ， 去分母，得：， 解得：， 关于y的分式方程的解为正整数， 所以， 因为a为整数， 所以：时；时，满足题意； 所有满足条件的整数a的和为：． 故选：A． 79．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解均为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（     ） A．12 B．18 C．30 D．42 【答案】A 【分析】此题考查了一元一次不等式组和分式方程的求解能力，先通过解一元一次不等式组和分式方程确定所有满足条件的整数的值，再进行相加求解． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 由题意得， 解得； 解方程得，，且， ∵关于y的分式方程的解均为负整数， ∴，解得， ∴， 当时，； 当时，（不合题意，舍去）； 当时，， ∴符合条件的有 8，4 ， ∴， 即所有满足条件的整数的值之和是 12 ． 故选：A． 80．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 【答案】 【分析】此题考查解一元一次不等式组，解分式方程，由一元一次不等式组的解集为 ，可求出 ；解分式方程得 ，根据分式方程的解为负整数且 ，即可得出整数 的值，再求它们的和． 【详解】解不等式组： 第一个不等式 ，两边乘 2 得 ，即 ，解得 ， 第二个不等式 ，解得 ， ∵ 不等式组的解集为 ， ∴ ， 解得 ； 解分式方程 ： 两边乘 （）得 ，即 ，整理得 ，故 ， ∵ 分式方程的解为负整数且 ， ∴ 且 为负整数，且 ， 结合 且 为整数，得 或 ， 所有满足条件的整数 的值之和为 ， 故答案为： ． 81．若整数使关于的分式方程的解为非负数，且使关于的不等式组的解集为，则符合条件的整数有 （写出所有符合条件的a）． 【答案】，，， 【分析】本题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式，根据分式方程的解为非负数结合不等式组的解集为，找出的取值范围是解题的关键．先求解分式方程，得到解用 表示，根据解为非负数且分母不为零，得到 且 ；再解不等式组，第一个不等式解为 ，第二个不等式解为 ，根据解集为 ，得到 ；综合可得整数 为，，，． 【详解】解：分式方程 可化为 ，即 ， 两边乘 （），得 ， 解得 ， 又解为非负数，故 ，即 ， 且 ，故 ，即 ． 在不等式组中， 第一个不等式去分母得，，化简得 ； 第二个不等式解得 ，， 解集为 ， ． 综上，整数 满足 且 ，即 ． 故答案为：，，，． 82．若关于x的不等式组有解且仅有两个奇数解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则满足条件的所有整数a的值的和为 ． 【答案】9 【分析】本题考查解一元一次方程组、解分式方程，理解一元一次不等式组的解和分式方程的解是解答的关键．先求得每个一元一次不等式的解集，再根据不等式组的解集得到a的不等式，进而可求得a的取值范围；再解分式方程，再根据分式方程的解，以及a的取值条件可得到a的取值，进而求和即可解答． 【详解】解：解第一个不等式得：， 解第二个不等式得：， ∵原不等式组有解且仅有两个奇数解， ∴这两个奇数解为，， ∴， 解得：， 原分式方程去分母得：， 解得：， ∵原分式方程的解为非负整数，∴且为整数，解得且为奇数， ∴，即且a为整数， ∴或3或5， 则， 故答案为：9． 83．若关于x的一元一次不等式组有且仅有2个奇数解，且关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数a的值之积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，解分式方程，解题的关键是掌握各运算步骤． 先解一元一次不等式组，得到解集范围，根据有且仅有2个奇数解的条件确定整数a的取值范围；再解分式方程，根据解为整数且分母不为零的条件筛选a的值，最后求满足条件的整数a的积． 【详解】解： 解不等式①得，； 解不等式②得， ； ∴不等式组的解集为， 有且仅有2个奇数解，即奇数解为和，需满足， 解得，整数为， ， ， ， ， ， ， 解为整数且，故为整数，需为偶数， 结合取值范围，偶数值为， 经检验：当时，为整数且；当时，分母为零，舍去；当时，为整数且， 满足条件的整数为和，积为， 故答案为：． 1．如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整值”．如分式，，，则与互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断与是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”； (2)已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整值”，若为正整数，分式的值为正整数． ①求所代表的代数式； ②求的值； (3)在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于的方程无解，求实数的值． 【答案】(1)2 (2)①；②1 (3)或 【分析】本题考查了异分母分式加减法，分式化简求值，分式方程无解问题等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）先求，再得出“和整值”； （2）①先求得，再根据与互为“和整分式”，且“和整值”，求得所代表的代数式； ②先求得，再根据题意求出的值； （3）先由（2）求出代入，得到分式方程，再分与两种情况讨论，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴与互为“和整分式”， ∴“和整值”； （2）①∵，， ∴， ∵与互为“和整分式”，且 “和整值”， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴，且， ∴，且， ∵分式的值为正整数， ∴，且，正整数， ∴可以取1，2， 当时，， 当时，， 又为正整数， ∴不符合， 故； （3）由（2）得， ∴ ∵，，， ∴， 情况1：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 当时，方程无解， 此时； 情况2：当时，方程有增根， 则增根为， 将代入， 得， 解得：； 综上所述，或． 2．我们把形如（a、b不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如：为“十字分式方程”，可化为，，． 再如：为“十字分式方程”，可化为，，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为“十字分式方程”，则______，______； (2)若“十字分式方程”的两个解分别为，，求代数式的值； (3)若关于x的“十字分式方程”的两个解分别为、，其中，，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查解分式方程、分式的化简求值，正确理解“十字分式方程”的定义是解题的关键． （1）根据“十字分式方程”的定义进行求解即可； （2）根据题意得，、，通过提公因式和完全平方公式进行化简计算即可； （3）关于x的“十字分式方程”转换为关于的 “十字分式方程”，再进行化简求值即可． 【详解】（1）解：可化为， 则， 故答案为：，； （2）解：根据题意得，的两个解分别为，， 则、， ； （3）解：可化为， 设，则原方程可化为， 令的解为、， 由于可得，， 则、， ， 由于， 则， 解得、， ∵， 即、， 则、， 因此，． 3．给出定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“k相关系数”． 例如：当时，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对称为关于x的分式方程的一个“1相关系数”． (1)在数对①；②；③中，______（只填序号）是关于x的分式方程的“1相关系数”； (2)若数对是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，求t的值； (3)若数对（且）是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，且关于y的方程有整数解，直接写出整数c的值． 【答案】(1)① (2) (3)或 【分析】本题考查了分式的新定义，熟练掌握定义是解题的关键． （1）根据定义，计算判断即可． （2）根据定义，分式方程的解为，代入方程求t的值即可． （3）根据数对（且）是关于的分式方程的一个“1相关系数”，得关于的分式方程的解是，回代方程，得，结合关于的方程的解为，且方程有整数解，解答即可． 【详解】（1）解：当，时，使得关于的分式方程的解是成立， 所以数对是关于的分式方程的一个“1相关系数”， 故①正确； 当，时，使得关于的分式方程的解是， ， 所以数对不是关于的分式方程的一个“1相关系数”； 故②错误； 当，时，使得关于的分式方程的解是， 无意义， 所以数对不是关于的分式方程的一个“1相关系数”； 故③错误； 故答案为：①； （2）解：根据定义，分式方程的解为， 故． 解得； （3）解：根据数对（且）是关于的分式方程的一个“1相关系数”， 得关于的分式方程的解是， 回代方程，得， 整理，得， ∴， ∵且， ∴， ∴， ∵方程的解为， ∴， ∵方程有整数解， ∴ 当时，，（舍去）； 当时，，（舍去）； 故或． 4．阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式 的值为零，则解得 又因为 所以关于x的方程 的解为 (1)理解应用：方程 的解为： (2)知识迁移：若关于x的方程 的解为 求 的值； (3)拓展提升：若关于x 的方程 的解为 求 的值． 【答案】(1)3； (2) (3)12 【分析】（1）根据题意可得或； （2）由题意可得，再由完全平方公式可得； （3）方程变形为，则方程的解为或，则有，整理得，再将所求代数式化为 ． 【详解】（1）解：∵关于x的方程 的解为 ， ∴的解为或， 故答案为：3，； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：可化为， ∵方程的解为， 则有或， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握题干知识，求分式方程的解，完全平方公式变形求值，整体代入法求代数式求值，是解题的关键． 5．阅读下列材料并解决问题：，，，，． (1)______ ______ (2)利用上述结论计算： ； (3)解方程：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了解分式方程，分数的混合运算，理解题意，熟练掌握分数混合运算法则以及分式方程的解法是解题的关键． （1）将原式化为，即进行计算即可； （2）将原式化为…，即进行计算即可； （3）将原方程化为，再根据分式方程的解法进行解答即可． 【详解】（1）解：，，，…，， ； 故答案为：，； （2）解：原式… ； （3）解：， ， ， 即， 解得， 经检验，是原方程的解， 所以原方程的解为． 6．某同学在解方程后，得到，他又解了方程，发现，通过观察，他猜想出了方程和的解（表示不同的数，且），请你也猜出这两个方程的解． 【答案】两个方程的解分别为和或 【分析】本题考查了解分式方程，利用分式的减法运算把方程两边分式的分子变成相同，进而得出分母相等，解所得整式方程即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：猜想：这两个方程的解为和或，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， 整理得，， 解得， 即方程的解为； ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∴， 整理得，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴或， ∴或， 即方程的解为或． 7．解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程和数字的变化类规律探究．先把方程左边的每一项拆分为两个分式的差，方程即可化简，最后解方程并检验即可． 【详解】解：， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 原方程的解是． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 分式方程含参问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、 根据分式方程的解求参 1 题型二、 根据分式方程的解的范围求参 1 题型三、 与不等式组综合求参 3 题型四、 分式方程有增根或无解问题 4 题型五、 分式方程整数解问题 6 B综合攻坚・能力跃升 题型一、根据分式方程的解求参 1．关于的分式方程的解是．那么的值是（　　） A．4 B．2 C． D． 2．已知关于的分式方程的解为，则的值为（    ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 3．关于的方程的解为，则的值是（   ） A． B． C． D． 4．若关于x的分式方程的解为2，则m的值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 5．若是方程的根，则m的值为（    ）． A．1 B． C．3 D． 6．已知关于的方程的解为0，则的值为 ． 7．若分式方程的解是，则 ． 8．若关于x的方程的解为，则 ． 9．已知是关于x的分式方程的解，则a的值为 ． 10．若是分式方程的解，则的值为 ． 11．若是关于x的分式方程 的解，则a的值为 ． 题型二、根据分式方程的解的范围求参 12．如果关于x的分式方程 的解是正数，那么实数 m的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 13．已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围为（    ） A． B．且 C． D．且 14．已知关于x的方程解为正数，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 15．已知关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 16．若关于x的分式方程的解是非负数，则a需满足的条件是（   ） A．.且 B．.且 C． D． 17．已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 18．已知关于的方程的解是正数，则的取值范围为（   ） A． B． C．且 D． 19．已知关于的分式方程的解为非正数．则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 20．已知关于的方程的根是负数，则的取值范围是 ． 21．关于x的分式方程的解是非正数，那么a的取值范围为 ． 22．若关于的分式方程的解为非正数，则的取值范围是 ． 23．关于的方程的解为正数，则的取值范围为 ． 24．若关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是 ． 25．关于x的分式方程的解是负数，则m的取值范围是 ． 26．已知关于x的分式方程的解是正数，则a的取值范围为 ． 27．已知关于x的方程：． (1)当m为何值时，方程无解． (2)当m为何值时，方程的解为负数． 28．已知关于x的分式方程的解是非负数，求m 的取值范围． 29．已知关于的分式方程． (1)若，求分式方程的根； (2)若分式方程的根为正数，求的取值范围． 题型三、与不等式组综合求参 30．关于x的分式方程有负整数解，且关于y的不等式组无解，则符合条件的所有整数a的和为（    ） A．2 B．0 C． D．4 31．如果关于x的不等式组有且只有两个奇数解，且关于y的分式方程 的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为（　　） A．12 B．16 C．18 D．20 32．若关于的分式方程的解为正整数，且关于的不等式组有且仅有个整数解，则满足条件的所有整数的和是（   ） A． B． C． D． 33．若数a使关于x的不等式组至少有五个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有整数a之和是（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 34．若实数使关于的不等式组，有解且至多有3个整数解，且使关于的分式方程有整数解，则满足条件的整数的和为（   ） A． B．7 C．12 D． 35．若整数a使关于x的不等式组有且只有3个整数解，且使关于y的分式方程 的解满足，则所有满足条件的整数a的值之和为（  ） A．6 B．7 C．8 D．10 36．已知关于的分式方程的解为正数，且关于的不等式组的解集为，则所有满足条件的整数的值之和是（   ） A．25 B．28 C．30 D．33 37．若关于的不等式组有解，关于的分式方程有非负数解，则符合条件的所有整数的值的和为（ ） A． B． C． D． 38．若关于的方程有非负实数解，关于的一次不等式组，有解，则满足这两个条件的所有整数的值的和是（   ） A． B． C． D． 39．若a使得关于x的分式方程有正整数解，且关于x的不等式组的解集为，则满足条件的所有整数a的和为（   ） A． B． C． D． 40．若不等式组的解集为，且关于y的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 41．若关于的不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为 ． 42．若关于x的不等式组有三个整数解，且关于y的分式方程的解是负整数，则满足条件的整数a的值为 ． 43．若关于x的分式方程的解为正整数，且关于y的不等式组有且仅有4个整数解，则满足条件的所有整数a的和是 ． 44．如果关于的不等式组至少有个整数解，且关于的分式方程的解是非负数，则符合条件的所有整数的和是 ． 45．若关于的不等式组有且仅有3个整数解，且关于的分式方程的解为正数，则符合条件的所有整数的和为 ． 46．若关于x的分式方程的解为整数，关于y的不等式组有且仅有2个偶数解，则所有满足条件的整数m的值之和是 ． 47．若整数既使得关于的分式方程的解为正数，又使得关于的不等式组有且只有个整数解，求符合条件的所有整数的和的值． 48．若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式的解是非负整数，求符合题意的整数a的所有取值． 题型四、分式方程有增根或无解问题 49．已知关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 50．关于x的分式方程会产生增根，则m的值为（   ） A． B．6或 C．或4 D．6 51．若解分式方程会产生增根，那么的值是（    ） A．或 B．或2 C．1或2 D．1或 52．若关于x的分式方程 有增根，则m的值为（   ） A．0 B．2 C．3 D．1 53．若关于的方程有增根，则的值是（    ） A．1 B． C． D．2 54．关于x的方程  去分母转化为整式方程后产生增根，则m的值是（   ） A． B．4 C．或 D．或4 55．若关于的分式方程无解，则的值为（） A．3 B． C．1 D． 56．关于x的分式方程无解，则n的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．或 57．已知关于的分式方程，若这个方程无解，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 58．关于的分式方程无解，则实数的取值是（   ） A． B． C．0 D．2 59．题目：“已知关于的分式方程无解，求的值．”对于其答案，甲答：，乙答：，则正确的是（    ） A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙答案合在一起也不完整 60．若关于的分式方程无解，则的值是 ． 61．若关于 x 的分式方程无解，则 k 的值为 ． 62．若关于x的方程无解，则a的值是 ． 63．若关于的方程无解，则的值为 ． 64．若关于的分式方程无解，则的值为 ． 65．若关于x的分式方程无解，则m的值是 ． 66．若解关于x的分式方程会产生增根，则m的值为 ． 67．若关于的方程有增根，则 ． 68．关于的分式方程有增根，则的值为 ． 69．已知关于x的方程有增根，则常数m的值为 ． 70．关于的方程有增根，则增根是 ． 71．若关于的分式方程有增根，则的值是 ． 72．关于的方程有增根，对于该方程的增根有如下说法： 嘉嘉 增根为 淇淇 增根为或 你认为___________（填“嘉嘉”或“淇淇”）的说法正确，请说明理由并求出的值． 73．关于的方程． (1)若方程的解为，求的值； (2)若此方程有增根，求的值． 74．已知关于x的分式方程，回答下列问题： (1)原分式方程去分母后，整理成关于x的整式方程，得________________． (2)若原分式方程无解，求a的值． 75．已知关于x的分式方程：． (1)当时，解该分式方程； (2)若该分式方程无解，求m的值． 题型五、分式方程整数解问题 76．如果关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为正数，则符合条件的所有整数m的和为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 77．若关于的分式方程有整数解，则符合条件的整数所有值的和为（    ） A．4 B．3 C．8 D．7 78．已知关于的一元一次不等式组无解，且关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的和为（   ） A． B． C． D． 79．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解均为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（     ） A．12 B．18 C．30 D．42 80．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 81．若整数使关于的分式方程的解为非负数，且使关于的不等式组的解集为，则符合条件的整数有 （写出所有符合条件的a）． 82．若关于x的不等式组有解且仅有两个奇数解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则满足条件的所有整数a的值的和为 ． 83．若关于x的一元一次不等式组有且仅有2个奇数解，且关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数a的值之积为 ． 1．如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整值”．如分式，，，则与互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断与是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”； (2)已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整值”，若为正整数，分式的值为正整数． ①求所代表的代数式； ②求的值； (3)在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于的方程无解，求实数的值． 2．我们把形如（a、b不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如：为“十字分式方程”，可化为，，． 再如：为“十字分式方程”，可化为，，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为“十字分式方程”，则______，______； (2)若“十字分式方程”的两个解分别为，，求代数式的值； (3)若关于x的“十字分式方程”的两个解分别为、，其中，，求的值． 3．给出定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“k相关系数”． 例如：当时，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对称为关于x的分式方程的一个“1相关系数”． (1)在数对①；②；③中，______（只填序号）是关于x的分式方程的“1相关系数”； (2)若数对是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，求t的值； (3)若数对（且）是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，且关于y的方程有整数解，直接写出整数c的值． 4．阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式 的值为零，则解得 又因为 所以关于x的方程 的解为 (1)理解应用：方程 的解为： (2)知识迁移：若关于x的方程 的解为 求 的值； (3)拓展提升：若关于x 的方程 的解为 求 的值． 5．阅读下列材料并解决问题：，，，，． (1)______ ______ (2)利用上述结论计算： ； (3)解方程：． 6．某同学在解方程后，得到，他又解了方程，发现，通过观察，他猜想出了方程和的解（表示不同的数，且），请你也猜出这两个方程的解． 7．解方程：． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $