精品解析：辽宁省实验中学2025-2026学年高一上学期第二次月考（12月）数学试卷

辽宁省实验中学2025-2026学年上学期高一年级 第二次月考考试数学学科试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则下列条件中使成立的充要条件是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，，如图是下列四个函数中某个函数的大致图象，则该函数是（ ） A. B. C. D. 4. 定义在上的函数，并且满足，则下列一定正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 是奇函数 D. 是偶函数 5. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，曲线和恰有一个交点，则（ ） A. 1 B. -1 C. D. 0 8. 函数的图象关于对称，则的最大值为（ ） A. 16 B. C. D. 36 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的零点为，函数的零点为，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，的定义域均为，且，.若是偶函数，，则（ ） A. 是奇函数 B. 4是的一个周期 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 幂函数没有零点，则函数恒过定点___________ 13. 已知函数，则不等式的解集为___________ 14. 已知函数满足，其中表示中最大的数，表示中最小的数，则___________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）计算： （2）计算：； （3）设正实数满足，求的值 16. 已知函数 （1）若，求的值域； （2）若，函数的最小值为，求的值． 17. 某医药公司研发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，由监测数据可知，服用后6小时内每毫升血液中含药量（单位：微克）与时间（单位：小时）之间的关系满足如图所示的曲线，当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数图象的一部分，根据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于2微克时，治疗有效. （1）试求服药后6小时内每毫升血液中含药量与时间之间的函数关系式； （2）问服药多久后开始有治疗效果？治疗效果能持续多少小时？（精确到0.1）（参考数据） 18. 已知函数的反函数为 （1）求的解析式，并判断单调性（无需证明）； （2）当时使得关于不等式有解，求的取值范围： （3）若关于的不等式恰有2个整数解，求的取值范围． 19. 已知 （1）证明：为定值； （2）函数在上只有一个零点，求的取值范围； （3）证明：有唯一的正零点，并比较和的大小，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省实验中学2025-2026学年上学期高一年级 第二次月考考试数学学科试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数定义域求出集合，由函数值域求出集合，由并集的定义求得结果. 【详解】∵，∴，即， ∵指数函数，即， ∴. 故选：A. 2. 已知，则下列条件中使成立的充要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】逐一分析各选项条件和能否互相推出即可求解. 【详解】对于A，因为是上的增函数，所以，故A正确； 对于B，不能推出，如，故B错误； 对于C，不能推出，如，故C错误； 对于D，不能推出，如，故D错误. 故选：A. 3. 已知函数，，如图是下列四个函数中某个函数的大致图象，则该函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象得到对应的函数的定义域为和当时，，再一一判断各个选项即可. 【详解】由图象可得，该图象对应的函数的定义域为， 对于A选项：的定义域为，所以A选项错误； 对于B选项：的定义域为，所以B选项错误； 又知当时，， 对于C选项，的定义域为， 当时，，所以C选项错误； 对于D选项，的定义域为， 当时，，所以D选项符合题意. 故选：D. 4. 定义在上的函数，并且满足，则下列一定正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 是奇函数 D. 是偶函数 【答案】B 【解析】 【分析】令，根据为偶函数得，进而判断即可得答案. 【详解】由函数为定义在上的函数，故函数的定义域也是， 令， 则，即为偶函数， 所以也是偶函数，即， 所以，即是偶函数， 对于函数无法判断函数的奇偶性. 故选：B 5. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数及幂函数的性质判断即可. 【详解】因为，，， 又， 因为在上单调递增，且， 所以，即， 综上可得. 故选：A 6. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对数函数单调性及复合函数单调性，结合真数恒大于0列式求解. 【详解】由，得函数在上单调递减，而函数在上单调递减， 则函数在上单调递增，因此，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：B 7. 已知函数，曲线和恰有一个交点，则（ ） A. 1 B. -1 C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】将转化为，构造函数，利用偶函数的对称性即可确定方程只有一个根时的值. 【详解】由可得， 整理得， 设，则函数的定义域为， 所以，则在上为偶函数， 若方程只有一个根，根据偶函数的对称性可得. 故选：C. 8. 函数的图象关于对称，则的最大值为（ ） A. 16 B. C. D. 36 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的对称性利用特殊值列方程组求解析式，验证对称性即可确定解析式，根据对多项式乘法运算性质，结合二次函数的图像性质，从而得函数的最大值. 【详解】由函数的图象关于直线对称可知， ，即，解得：， 则， 所以对称性成立， ， 令， 所以， 根据二次函数的性质可得，故当，即时函数的最大值为36. 故选：D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用不等式性质判断A；利用基本不等式判断BCD. 【详解】对于A，因为，所以，所以， 所以，故A正确； 对于B，，当且仅当时取等号，故B正确； 对于C，， 当且仅当时取等号，故C不正确； 对于D，， 当且仅当时取等号，所以，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知函数的零点为，函数的零点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，转化为与函数和的图象，作出函数及和的图象，结合图象得到点关于原点对称，且，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】由函数的零点为，函数的零点为， 所以函数与函数的图象交点的横坐标为， 函数与函数的图象交点的横坐标为， 作出函数，以及和的图象，如图所示， 点的横坐标为，点的横坐标为， 因为函数和的图象关于直线对称，且点关于对称， 又因为点关于上，所以点关于原点对称， 对于A，由图象可得，所以，所以A正确； 对于B，，且，所以，所以B正确； 对于C，由函数，可得， 且，当时，， 根据零点的存在性定理，可得，所以， 又由，所以，所以C不正确； 对于D，由，则， 所以，即，所以，所以D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，的定义域均为，且，.若是偶函数，，则（ ） A. 是奇函数 B. 4是的一个周期 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用，，及是偶函数，经过等量代换可推出，可得为偶函数，判断A选项；推出可判断B选项；由的周期性可求解C选项；利用可求解D选项. 【详解】由，用代入，得， 又，两式相加得， 由是偶函数，得，代入上式，得， 可得，所以，即， 因为，则， 所以，所以为偶函数，A选项错误； 由，得， 又，两式相减得， 所以，因此，即4是的一个周期，B选项正确； 由，可得，所以， 由可得，所以， 由，，可得， 由，，可得. 所以，C选项正确； 由上面推导可知， 因为奇数的平方可表示为，所以奇数的平方除以4的余数为1， 同理可得偶数的平方除以4的余数为， 所以，D选项正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 幂函数没有零点，则函数恒过定点___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数系数为求出的值，代入判断函数恒过的定点. 【详解】因为是幂函数，所以系数， 即，化简得，解得或， 当时，指数，幂函数为， 定义域为，函数值恒不为，没有零点，符合题意， 当时，指数，幂函数为，有零点，不符合题意，故， 则函数，令，即， 此时，所以恒过定点. 故答案为： 13. 已知函数，则不等式的解集为___________ 【答案】 【解析】 【分析】借助指数函数、对数函数单调性探讨函数在上单调性，再构造函数，并确定其奇偶性及单调性，再求解不等式. 【详解】依题意，， 则函数定义域为R， 函数在上单调递减， 函数在上单调递增， 则函数在上单调递减， 而函数在上单调递减， 因此函数在上单调递减， 令， ， 函数是R上的奇函数，且在上单调递减，则在上单调递减， 于是函数在R上单调递减， 不等式， 即，因此，解得， 所以所求不等式的解集为. 故答案为： 14. 已知函数满足，其中表示中最大的数，表示中最小的数，则___________ 【答案】31 【解析】 【分析】根据给定条件，取可得，再利用赋值法计算即得． 【详解】由函数满足， 取，则， 因此， ，， 所以． 故答案为：31． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）计算： （2）计算：； （3）设正实数满足，求的值 【答案】（1）100；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算法则，准确运算，即可求解； （2）根据对数的运算法则和对数的换底公式，准确计算，即可求解； （3）设，求得和，结合立方和公式，即可求解. 【详解】（1）由 ； （2）由 . （3）设，可得，则，所以， 又由，可得， 所以. 16. 已知函数 （1）若，求的值域； （2）若，函数的最小值为，求的值． 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）将整理成，代入，利用换元法设，，利用对数函数和二次函数的图像求值域； （2）将整理成，设，利用对数函数和二次函数的图像求值域，分别讨论二次函数的对称轴在区间的左中右这三种情况求解. 【小问1详解】 ， 时，设， 当时，取最小值； 当时，取最大值2； 因此函数的值域为． 【小问2详解】 ， 设，，， ①当，即，函数的最小值为，满足题意； ②当，即， 函数的最小值为，由已知， 解得（舍去）或（舍去）； ③当，即，函数的最小值为， 由已知，故， 综上所述：的值为或. 17. 某医药公司研发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，由监测数据可知，服用后6小时内每毫升血液中含药量（单位：微克）与时间（单位：小时）之间的关系满足如图所示的曲线，当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数图象的一部分，根据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于2微克时，治疗有效. （1）试求服药后6小时内每毫升血液中含药量与时间之间的函数关系式； （2）问服药多久后开始有治疗效果？治疗效果能持续多少小时？（精确到0.1）（参考数据） 【答案】（1） （2）0.3小时后，5.2小时 【解析】 【分析】（1）当时，设，再将代入即可求出的值，当时，将点的坐标代入函数表达式即可求出的值，则可写出答案； （2）分段求出时，对应的的取值范围，即可写出答案. 【小问1详解】 当时，由图象可设， 将点的坐标代入函数表达式，解得， 即当时，， 当时，将点的坐标代入函数， 得，解得，所以， 故. 【小问2详解】 当时，， 令，即，解得，即， 又，∴，故服药0.3小时之后开始有治疗效果， 当时，， 令，即，解得， 又，∴， 综上，，所以服药后的治疗效果能持续5.2小时. 18. 已知函数的反函数为 （1）求的解析式，并判断单调性（无需证明）； （2）当时使得关于不等式有解，求的取值范围： （3）若关于的不等式恰有2个整数解，求的取值范围． 【答案】（1），在上单调递增. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据反函数的求法可求出答案，利用复合函数的单调性可判断单调性； （2）证明为奇函数，将不等式化为，由题意可知，求最大值即可求出答案； （3）利用函数的单调性和奇偶性将不等式化为，结合一元二次不等式解的情况分类讨论，即可求出答案. 【小问1详解】 由得，可化为， 故，在上单调递增. 【小问2详解】 定义域为，， ，所以函数是奇函数， 可化为， 即， 因为在上单调递增，所以， 当时若关于不等式有解， 则， 令，因此有， 在单调递增，所以当时，取得最大值， 即的最大值为, 故. 【小问3详解】 根据函数的单调性和奇偶性，原不等式可化为，即，即， ①当时，不等式解集为，此时不等式有无数个整数解，不满足题意； ②当时，不等式解集为，此时不等式有无数个整数解，不满足题意； ③当时，不等式解集为，不满足题意； ④当时，不等式解集为，此时，不等式无整数解，故不满足题意； ⑤当时，不等式解集为，若不等式有2个整数解，则，解得. 综上所述，的取值范围为. 19. 已知 （1）证明：为定值； （2）函数在上只有一个零点，求的取值范围； （3）证明：有唯一的正零点，并比较和的大小，说明理由． 【答案】（1） 因为，所以， 所以，即为定值； （2）或； （3） 方法一：依题意可得， 因为在上均单调递增，所以在上单调递增， 且，即， 由零点存在定理可得在上存在唯一实数，使得， 可得有唯一的正零点，且， 可得，两边同时取对数可得， 所以， 因为在上单调递增， 所以， 因此，可得． 方法二：依题意， 因为在上均单调递增，所以在上单调递增， 且，即， 由零点存在定理可得在上存在唯一实数，使得， 可得有唯一的正零点，且，即， 所以, 因为，， 所以，即， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算直接证明即可； （2），，方法一：进而将问题转化为的零点个数问题，再结合二次函数零点分布分类讨论求解即可；方法二：分离参数，转化为函数图象交点个数问题，再研究性质，数形结合求解； （3）方法一：由题知，且为增函数，进而根据，得有唯一的正零点，,，,再作差法比较得，最后根据比较大小即可，方法二：同方法一得有唯一的正零点，,，进而比较与的大小即可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，设，由得， 设，则在有且只有一个零点， ①时，不满足题意. ②解得， ③解得无解， ④时，即，此时，满足题意， ⑤时，， 检验，当时，，满足题意． 当时，，不满足题意． 综上所述：的取值范围为或. 方法二：，设， 设，令. 由对勾函数性质知，在单调递减，上单调递增 函数在单调递增，上单调递减. 当时，， 故的图象如图所示， 由图象可知的取值范围为或． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $