抛物线 课时作业-2026届高三数学一轮复习

2026届高考数学一轮复习课时作业：抛物线 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的) 1,已知点N(1,1),抛物线C:x2=4y的焦点为F,P是C上的动点，则PW+PF的最小值为() 3 5 A. B.2 C. D.3 2 【答案】B 【分析】利用抛物线定义与三角形两边之和大于第三边计算即可得. 【详解】过点P作PQ⊥抛物线C的准线：y=-1于点O, 由抛物线定义可得PO=PF,则PW+PF=PW+P9≥Ng, 当且仅当N、P、Q三点共线，NQ⊥抛物线C的准线，即xp=1时，PW+PO有最小值2.故选：B 2.己知M为抛物线G:y2=4x上的动点，P,Q为圆C:y2+(x-2)=1上的两个不同点，若MP,M0均与圆C 相切，则MP.MO的最小值为() 3 A.2W2-3 B.2 c D.3 【答案】B 分析】设∠CMP=8,CM=m,根据题意可求而，M0=-3+m+设M(,火)，则y=4比，·进而可得m2 再结合双勾函数单调性即可求解 【详解】如图，设∠CMP=8,CM=,设M(x,),则y=4x。, 所以CM=m=Vx。-2)+=√x好-4x。+4+4x,=V话+4≥2， 又MP,MQ均与圆C相切，所以MP=MQ,CP⊥MP,CQ⊥MQ, 则∠P0-2,AM=A0=-1,m6=a 所以m-Mo=MP.MO cos∠PM0=u2-1os20 =or-0-2m0列=od-0-品)-成+品，又=+子在2+o)单调港道。 1 所以亚M0=-3+m+2 ≥-3+4+ 弓当且仅当m=2时取等号，所以亚M0的最小值为？故选：B 2_3 2 3.设抛物线y=4x的焦点为F,准线为l,过抛物线上的一点P作1的垂线，垂足为9，若∠PQF=30°，则P9= () 1 A.3 B.3 C. D.5 3 3 【答案】C 2 【分析】由题意可得PP的倾斜角为120，进而可得lP= ,1,计算即可. 1+ 2 【详解】作出示意图如图所示： 则抛物线的性质，可得PF=PQ,又∠PQF=30°，所以可得PF的倾斜角为120， 则可得Pr+P吧=引F+1PFFp=2,从而P,名} 13.故选：C 1+ 2 4.己知抛物线C:y2=2x(p>0)的焦点为F,准线为1，点A,B在1上，直线AF与抛物线C交于M,N,M到 准线的距离为3，M,O,B三点共线，若|A=2NF,则IB=() A.1 B.9 C.1或9 D.9或18 【答案】c 【分析】由题意根据抛物线的定义得到∠AH=30°，MA=6,MF=3,根据M,N的位置分两种情况分别求得N,B的 坐标即可得结果。 【详解】 H G 图1 图2 分别过点M,N作MG⊥L,NH⊥L,垂足为G,H,则MG=3,由抛物线的定义，得MG=MFH=NF 由|A=2|NFI,得NA=2NH,∠NAH=30°，则MA=2MG=6,MF=MG=3, 图=叫3.号3导w保9） 4’2 2 由图2h=+M网=G=9,H=3o,Pr}p号 -=24N-h+w=9-=2N=9,=号=9-； 44,心yw=号3 等-子99 2,1 42 993 ,M,O,B三点共线，∴.B 4’2 8=2 9 9.综上，|B上1或9.故选：C 4 5.已知等边三角形的一个顶点位于抛物线y2=2x的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为 () A.2-V5 B.2±V3 C.4-25 D.4±23 【答案】D 【分析】假设边长，然后利用抛物线定义计算即可. 【详解】由题可知： 焦点 20 准线方程为x-分假设等边三角形的边长为a,所以acos30+1=a或 1-ac0s30°=a,则a=4±2√3.故选：D 6.在平面直角坐标系xOy中，点F为抛物线C:y2=2x(p>0)的焦点，点M在C上，若cos∠OFM= 则M的 3 横坐标为() A号 B. P C. 6 6 D. 16 【答案】C 【详解】由题意可知： F 因为cos∠OFM= ，且∠OMe(Q),可知∠OM为锐角， 3 则n∠0a1=i-cosz0RM=青aL0BM= sin∠OFM4 cos∠OFM3' 设Mc),则0<<号： yo=2pxo 则)以-手整理可得8-17代+2p=0,解得%=发或无=2p(合去).所以M的横坐标为号故选：C 3 7.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,过点F的直线1与C交于A,B两点，则下列说法正确的是() 1.11 A.焦点P到抛物线C的准线的距离为8B.A网B4 C.若AB的中点的纵坐标为4，则AFBF列=8D.若2BF=AF,则SAo=4V2 【答案】D 【分析】由抛物线方程确定焦点坐标，及准线方程可判断A:通过斜率存在，或不存在两种情况讨论，结合焦半径 公式可判断B;结合B,及焦半径公式可判断C;通过2BF=AF确定直线AB的斜率为2√2，得到直线AB的方 程为x=2, y+2,联立抛物线方程求得A坐标，即可求解 【详解】抛物线C:y2=8x的焦点为F(2,0),准线1：x=-2,P(-2,0), 所以焦点F到抛物线C的准线的距离为4，A错误； 设A(,乃)，B(x2,2),当直线AB垂直于y轴，可得x=x2=2, 111 所以A-BF-4,得A十B网2：当直线A8不垂直于y轴，设方程为x=m+2,由 2=8x x=+2'得 r8咖60，则g4=发发-4 88 1 1 11(5+x)+4($+x)+41 AF可BF+25+2+20+5片425+5+8B错误： 对于C,AB的中点的纵坐标为y+y2=8=8,则m=1,可得：x+x2=y+2+y2+2=8+4=12, 11 AF+BF 1 A+B=++4=16,又丽B网BF2所以hB=32,C错误： 对于D,不妨设点A在第一象限，分别过点A,B作AA,BB垂直于准线，垂足分别为A,B, 直线AB与准线交于点E,准线与x轴交于点H,设AF=2FB=2,则BB=m,AA=2, 因BB/1AA,则 BE T远得阳=m,则cB BB 1 BE3,则tan☑EBB,=2V2, 故直线AB的斜率为2反，直线4B的方程为x= 4+2, ON B- B 与y2=8x联立得y2-2√2y-16=0,解得y=4W2,,=-22,所以x=4,可得：A(4,4V2), 1 所以S4o=×2×4W2=4N2,D正确：故选：D 2 E 8.如图，设抛物线y2=8x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点 A,B在该抛物线上，点C在y轴上，若|FA=9,|FB=4,则 4B=() BC A. B.3 C. 2 D.4 【答案】A 【分析】根据抛物线方程，求出准线方程，根据抛物线上的点到焦点距离求出点的横坐标，在 根据相似三角形求出边长的比值即可。 【详解】如图所示，设A(x4,yA),B(xB,y),由FA=9,|FB卡4， 由y2=8x可知准线方程为x=-2,根据抛物线定义可得xA+2=9,x2+2=4,故x4=7,x。=2, 过A,B分别作y轴的垂线AG,BM垂足为G,M,过B作AG的垂线，垂足为E, 明显△ABE~△BCM,所以 AB|_x4-x2-7-2_5 BC-七=2=2，故选：A. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，有选错的得0分) 9.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,点P在C上且位于第一象限，PM⊥1，垂足为M,PM=4,则() A.准线1的方程为x=-2 B.点F到1的距离为2 C.△PM是等边三角形 D.直线PF的斜率为1 【答案】BC 【分析】根据抛物线方程，可得准线方程，即可判断A、B的正误；根据PM的长，结合焦半径公式，可得P点坐 标，可得MF的长，根据抛物线定义，可判断C的正误；根据△PMF是等边三角形，即可求得直线PF的倾斜角， 即可判断D的正误， 【详解】由题意，准线1的方程为x=-1,点F到1的距离为2，故A错误，B正确， 因为PM=x+1=4,所以点P的横坐标为3，由x。=3,得y,=23,即P(3,23): 记1与x轴交于点A,则AM=2W3,AF=2,所以MF=√AMP+AF2=4, 所以MF=PM=PF,所以△PMF是等边三角形，故C正确. 由C选项得：∠PFM=∠FMP=∠MFA=60°， 所以∠PFx=60°，直线PF的斜率为√5，故D错误.故选：BC 10.已知抛物线C:y2=2x(p>0)的焦点为F,O为坐标原点，动点P在C上，若点M2,V3)满足MF=2OF,则 () A.C的准线方程为x=-1 B.△PMF周长的最小值为5 C.直线MF的倾斜角为 D.四边形OPMF不可能是平行四边形 【答案】ABD 【分析】首先表示出抛物线的焦点坐标与准线方程，由距离公式得到方程，即可求出P,求出抛物线方程，即可判 断A、C,根据抛物线的定义判断B,求出P点坐标，即可判断D 【详解】抛物线C:y2=2Px(p>0)的焦点为F ，准线方程为x=号 又点M2V5)满是M=2,所以号-2+(0-=2×号 即3p2+8p-28=0,解得p=2或p=-片（含去）. 所以抛物线C:y2=4x,则准线方程为x=-1,焦点为F(1,0),故A正确： 过点P作准线x=-1的垂线，垂足为H,由抛物线的定义可知PH=PF, 所以C△s=PM+|MF+PF=|PM+MF+|PH=|PM+PH+2≥MH+2=5, 当且仅当M、P、H三点共线时取等号， 所以△PMF周长的最小值为5，故B正确： 因为k。-5-0-5,所以直线的领斜角为弩，故c错误： 2-1 过点M作OF的平行线，交抛物线于点P, y2=4x 3 ,解得 y=V3 ，印P子：则0=2-子子oP,所以四边形0不是平行四边形，版D正 x=- 确.故选：ABD 11.已知抛物线C:y=8x的焦点为凡，点F关于原点O的对称点为E,第一象限内的点A,B在C上，且匠=B, 则() A.点E的坐标为(-4，O) C.直线AB的斜率为 D.直线A,FB关于x轴对称 3 【答案】BD 【分析】据抛物线焦点坐标公式，结合抛物线定义、直线斜率公式逐一判断即可. 【详解】对于A,由抛物线的标准方程可知：F(2,O),所以点E的坐标为（一2,0），故A错误： 对于B,由A=】E历，可得点A为线段B的中点，点B为C的准线与x轴的交点，所以点A到准线的距离是点B 到准线的距离的；，由抛物线定义可得B正确；对于C,设A(5,),B(K,片)，由点A为EB的中点， 可得=29，片=4，所以七=4，又名+2+2)， 联立解得=1=4，所以4L2②)，B44,所以.-5-25_25，数c错误： 4-13 行D.ka2222达a22ka士E0故D正确，散D 1-2 VA B 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上） 12.设点A(3,)在抛物线C:y2=4x上，F为C的焦点，则AF= 【答案】4 【分析】确定抛物线的准线方程，利用抛物线的定义即可求解出 【详解】由题意知抛物线C:y2=4x,则p=1,准线x=-1, 又点A(3,)在C上，则点A到焦点F的距离等于该点到准线的距离，所以AF=x4-(-1)=4.故答案为：4 13.已知F是抛物线y2=4x的焦点，P是抛物线C上一动点，9是曲线x2+y2-8x-2y+16=0上一动点，则 PF+PO的最小值为 【答案】4 【分析】求出圆心和半径，再利用抛物线的定义及圆的性质求出最小值， 【详解】曲线(x-4)2+(y-1)2=1是以M(4,1)为圆心，r=1为半径的圆，抛物线的准线为l:x=-1, 过点P作PA⊥1，垂足为A,过点M作MA⊥1，垂足为A,交抛物线于点P,如图， 根据抛物线的定义，得PF+P②≥PA+PM-1,当且仅当点P与P重合，此时点A与A重合，点Q与只，重合， 即PA+PM≥RA+RM=5,当且仅当M,P,2,A在一条直线上时等号成立，所以PF+P②的最小值为5-1=4. 故答案为：4 14.抛物线C:y2=2Px(p>0)的顶点为O,斜率为1的直线l过点(2P,0),且与抛物线C交于A,B,两点，若△OAB 的面积为8√5，则该抛物线的焦点坐标为 【答案】(L,0) 【分析】直线1的方程为y=x-2p,A(x1,y),B(x2,y2),联立直线与抛物方程，得到y2-2y-4p2=0,从而有 y+y2=2P,yy2=-4中，再结合题设条件可求得p=2,即可求解 【详解】设直线l的方程为y=x-2p,A(x1,y),B(x2,y2), )=2px,消x得到2-2Pm-4p2=0,则y+4=2my=4F, y=x-2p 又3.os-×(2p-=P+)广-4y=p4p+16p=25p=85,解得p=2,所以焦点坐标为(1,0)， 故答案为：(1,0) 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)已知抛物线C:y2=2(p>0),直线y=x-1过抛物线焦点F,且与抛物线交于A,B两点. (1)求抛物线C的方程； (2)若x轴上一点S在以AB为直径的圆上，求点S的坐标. 【答案】(1)y2=4x (2)S3+2W3,0)或S3-2W3,0). 【分析】(1)求出焦点F的坐标，由焦点坐标即可得出抛物线的方程： (2)由点s在以AB为直径的圆上，得到A.SB=0,联立方程根据韦达定理求解 【详解】(1)由题意得直线方程为y=x-1,即y-0=x-1, 则直线必过定点1,0)，得到点F的坐标为(1,0)，即p=2, 所以抛物线C的方程为y2=4x. (2)如图，设S.0,4,）.B(5,联立=4红可得-4-4=0，则A=32>0, y+y2=4, y=x-1, y2=-4. 因为点s在以AB为直径的圆上，所以有SB=0,且x=乃+1x=⅓+1， 可得S4=(y,+1-t,y),SB=y,+1-t,y2), :SASB=0,.(y1+1-t)y2+1-t)Hyy2=0, 化简可得2y2+0-0(0y+y2)+1-}=0,即2-6t-3=0,解得t=3±2W5,所以S3+2W3,0)或S3-2V3,0): 16.(15分)在平面直角坐标系中，O为原点，己知抛物线「：y=x2的焦点为F,点A的坐标为(1,2) (1)若点E在T上，且OE=√2，求点E的坐标： (2)若P是T上的任意一点，求AP+PF的最小值： (3)过点A的动直线与抛物线T交于B、C两点，过点B、C分别作T的切线，切线交点为D,求证：点D的轨迹是 一条直线 9 【答案】(1)EL,1)或(-1,1)： (3)证明见解析 【分析】(1)令E(x,x),应用两点距离公式求参数值，即可得点的坐标： (2)若PG垂直抛物线厂的准线于G,结合抛物线的定义得AP+PF=AP+PG,数形结合确定其最小值： (3)设BC:y-2=k-少，B(k,y).C,),应用导数几何意义求过B,C的切线，进而得到x。=三，y,=x, 2 联立直线BC与抛物线并应用韦达定理得x+x2=k，xx=k一2，即可证， 【详解】(1)由题设，令E(x,x2),则OE=√x2+x=√2，即x+x2-2=(x2+2(x2-1)=0, 所以x2=1一x=±1，故E1,1)或E(-1,1): B (2)若PG垂直抛物线r的准线y=-4于G,由抛物线的定义知PG日PP, 所以AP+PF=AP+PG≥AG,当且仅当A,P,G三点共线时取等号， 又4G地物线I的准钱时，14G袋小为2-（宁-号所以A-PF的最小值为 (3)由题设，直线BC的斜率一定存在，设BC:y-2=k(x-1),B(x,y),C(x2,y2), 而y=2x,则过B的切线斜率为2x1,对应切线为y-乃=2x(x-x),即y=(2x-x), 同理过C的切线为y-y2=2x2(x-x2),即y=x,(2x-x2), 联立 =,（2x-)可得24x-=2-对，整理得2x(k-x)=2-巧， y=x(2x-x) 由腮意飞≠，则，=十，y。=西， 2 联立 y-2x-D,得x-+k-2=0,且△=2-4k-2-=-2刃+4>0， y=x2 所以与+5-，化-k-2则，今儿=大-2，显然点D在直线y-2-2,即2x-y-2=0上符证 17.(15分)已知F是抛物线C:y=2x(p>0)的焦点，P(2,m)为C上一点，PF=3, B (1)求C的方程； (2)过F的直线1与C和圆(x-1)2+y2=1依次交于点A,M,N,B(如图所示)，求AM·BN 【答案】(1)y2=4x (2)1 【分折11根据P2,P3,利用抛物线的定义，由号+2-3求解 (2)可设1的方程为x=y+1,A(x,y),B(x2,y2),与抛物线方程联立，再利用抛物线的定义得到AM=%+1, BW=y,+1求解. 【详解】(1)由P(2,m),且PF=3及抛物线的定义，得号+2=3，所以p=2,所以抛物线的方程为y2=4x, (2)由(1)得F(1,0),由题意知1的斜率不为0， 「x=y+1, 故可设1的方程为x=y+1,A(5,乃)，B(x2,y2),由 y=4消去x并整理得2-4-4=0， 则△=16t+16>0,且y+y2=4t,y2=-4,又AM=AF-MF=1+x-1==y+1, 同理BW=y2+1,所以AMBW=(y+1)(y+1)=t2yy,+t(y+y2)+1=-4t2+4t2+1=1. 18.(17分)已知抛物线T:y2=2匹(p>0)的焦点为F,点E(4,m)在T上，且EF=5. (1)求抛物线T的方程： (2)直线I经过点F,且与T交于A、B两点. ①点P是抛物线上位于A、B之间的动点，设点P到直线l的距离d的最大值为d,,求d的最小值； ②设线段AB的垂直平分线与T交于MN两点，若A、MB、N四点共圆，求直线1的方程. 【答案】(1)y2=4x (2)①1：②x+y-1=0或x-y-1=0 【分析】(1)根据抛物线定义EF=4+即可求解： 2 (2)①设t=cota,A(,乃)，B(x2,y2),P(x,),直线1的方程为x=y+1,联立得y=2t-2Wt2+1, y2=2t+2W2+1,再利用点到直线的距离求解： ②设AB方程为x=y+1,A(:,),B(x2,y2),AB中点C(x,),联立得到y。=2k,y2=-4,再由AMAN=0 得到k=1即可. 【详解】(1)E=4+=5,所以p=2,抛物线的方程为y=4x. 2 (2)①F(1,0),设t=cota,A(x,y),B(2,y2),P(化，y),a为直线1与x轴正半轴的夹角， 则直线1的方程为x=y+1，将直线方程代入抛物线方程得y2-4y-4=0, 不妨设y<y2,则y=2t-2WP2+1,y,=2t+2W2+1,y<。<y,所以。-2<2VP+1,即(%-2)<4(+1)， 点P到直线1的距离d--+_,+4_4+-(2列_4+-2≤P当%=2x Vt+14Wt2+1 4Wt2+1 4Wt2+1 时取等).所以d=2+1≥1(1=0，a-时取等)，所以4的最小值为1. 2026届高考数学一轮复习 课时作业：抛物线 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知点，抛物线：的焦点为F，P是C上的动点，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】利用抛物线定义与三角形两边之和大于第三边计算即可得. 【详解】过点作抛物线的准线于点， 由抛物线定义可得，则， 当且仅当、、三点共线，抛物线的准线，即时，有最小值.故选：B. 2．已知M为抛物线G：上的动点，P，Q为圆C：上的两个不同点，若MP，MQ均与圆C相切，则的最小值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】设，根据题意可求，设，则，进而可得，再结合双勾函数单调性即可求解. 【详解】如图，设，设，则， 所以， 又MP，MQ均与圆C相切，所以， 则， 所以 ，又在单调递增， 所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为.故选：B. 3．设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上的一点作的垂线，垂足为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得的倾斜角为，进而可得，计算即可. 【详解】作出示意图如图所示： 则抛物线的性质，可得，又，所以可得的倾斜角为， 则可得，从而.故选：C. 4．已知抛物线的焦点为，准线为，点A，B在上，直线AF与抛物线交于M，N，到准线的距离为3，M，O，B三点共线，若，则（    ） A．1 B．9 C．1或9 D．9或18 【答案】C 【分析】由题意根据抛物线的定义得到，根据的位置分两种情况分别求得的坐标即可得结果. 【详解】    分别过点M，N作，垂足为，则，由抛物线的定义，得 由，得，则， 由图1，，， ∵M，O，B三点共线，∴, . 由图2，，， ,， ∵M，O，B三点共线，∴综上，或9.故选：C. 5．已知等边三角形的一个顶点位于抛物线的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】假设边长，然后利用抛物线定义计算即可. 【详解】由题可知：焦点，准线方程为，假设等边三角形的边长为，所以或，则.故选：D 6．在平面直角坐标系中，点为抛物线的焦点，点在上，若，则的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知：， 因为，且，可知为锐角， 则， 设，则， 则，整理可得，解得或（舍去），所以的横坐标为.故选：C. 7．已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（ ） A．焦点到抛物线的准线的距离为8 B． C．若的中点的纵坐标为4，则 D．若，则 【答案】D 【分析】由抛物线方程确定焦点坐标，及准线方程可判断A；通过斜率存在，或不存在两种情况讨论，结合焦半径公式可判断B；结合B，及焦半径公式可判断C；通过确定直线的斜率为，得到直线的方程为，联立抛物线方程求得坐标，即可求解. 【详解】抛物线的焦点为，准线，， 所以焦点到抛物线的准线的距离为4，A错误； 设，当直线垂直于轴，可得， 所以，得；当直线不垂直于轴，设方程为，由，得，则，， ，B错误； 对于C，的中点的纵坐标为，则，可得：， ，又，所以，C错误； 对于D， 不妨设点在第一象限，分别过点作垂直于准线，垂足分别为， 直线与准线交于点，准线与轴交于点，设，则， 因，则，得，则，则， 故直线的斜率为，直线的方程为， 与联立得，解得，所以，可得：， 所以，D正确；故选：D 8．如图，设抛物线的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在该抛物线上，点C在y轴上，若，，则（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】根据抛物线方程，求出准线方程，根据抛物线上的点到焦点距离求出点的横坐标，在根据相似三角形求出边长的比值即可. 【详解】如图所示，设，由，， 由可知准线方程为，根据抛物线定义可得，，故，， 过A，B分别作y轴的垂线垂足为，过B作的垂线，垂足为E， 明显，所以，故选：A． 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分) 9．已知抛物线的焦点为，准线为，点在上且位于第一象限，，垂足为，则（    ） A．准线的方程为 B．点到的距离为2 C．是等边三角形 D．直线的斜率为1 【答案】BC 【分析】根据抛物线方程，可得准线方程，即可判断A、B的正误；根据的长，结合焦半径公式，可得P点坐标，可得的长，根据抛物线定义，可判断C的正误；根据是等边三角形，即可求得直线的倾斜角，即可判断D的正误. 【详解】由题意，准线的方程为，点到的距离为2，故错误，B正确． 因为，所以点的横坐标为3，由，得，即， 记与轴交于点，则，所以， 所以，所以是等边三角形，故C正确． 由C选项得：， 所以，直线的斜率为，故D错误．故选：BC 10．已知抛物线的焦点为为坐标原点，动点在上，若点满足，则（    ） A．的准线方程为 B．周长的最小值为5 C．直线的倾斜角为 D．四边形不可能是平行四边形 【答案】ABD 【分析】首先表示出抛物线的焦点坐标与准线方程，由距离公式得到方程，即可求出，求出抛物线方程，即可判断A、C，根据抛物线的定义判断B，求出点坐标，即可判断D. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 又点满足，所以， 即，解得或（舍去）， 所以抛物线，则准线方程为，焦点为，故A正确； 过点作准线的垂线，垂足为，由抛物线的定义可知， 所以， 当且仅当、、三点共线时取等号， 所以周长的最小值为，故B正确； 因为，所以直线的倾斜角为，故C错误； 过点作的平行线，交抛物线于点， 即，解得，即，则，所以四边形不是平行四边形，故D正确.故选：ABD 11．已知抛物线的焦点为F，点F关于原点O的对称点为E，第一象限内的点A，B在C上，且，则（   ） A．点E的坐标为 B． C．直线的斜率为 D．直线关于x轴对称 【答案】BD 【分析】据抛物线焦点坐标公式，结合抛物线定义、直线斜率公式逐一判断即可. 【详解】对于A，由抛物线的标准方程可知：，所以点E的坐标为，故A错误； 对于B，由，可得点A为线段的中点，点E为C的准线与x轴的交点，所以点A到准线的距离是点B到准线的距离的，由抛物线定义可得B正确；对于C，设，由点A为的中点， 可得，，所以，又， 联立解得，所以，，所以，故C错误； 对于D，，故D正确．故选：BD 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上) 12．设点在抛物线C：上，F为C的焦点，则 ． 【答案】4 【分析】确定抛物线的准线方程，利用抛物线的定义即可求解出. 【详解】由题意知抛物线C：，则，准线， 又点在C上，则点A到焦点F的距离等于该点到准线的距离，所以.故答案为：. 13．已知是抛物线的焦点，是抛物线上一动点，是曲线上一动点，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】求出圆心和半径，再利用抛物线的定义及圆的性质求出最小值. 【详解】曲线是以为圆心，为半径的圆，抛物线的准线为， 过点作，垂足为，过点作，垂足为，交抛物线于点，如图， 根据抛物线的定义，得，当且仅当点与重合，此时点与重合，点与重合， 即，当且仅当在一条直线上时等号成立，所以的最小值为． 故答案为：4 14．抛物线的顶点为，斜率为的直线过点，且与抛物线交于，，两点，若的面积为，则该抛物线的焦点坐标为 ． 【答案】 【分析】直线的方程为，，联立直线与抛物方程，得到，从而有，再结合题设条件可求得，即可求解. 【详解】设直线的方程为，， 由，消得到，则， 又，解得，所以焦点坐标为， 故答案为：. 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．（13分）已知抛物线，直线过抛物线焦点F，且与抛物线交于两点． (1)求抛物线C的方程； (2)若x轴上一点S在以为直径的圆上，求点S的坐标． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）求出焦点的坐标，由焦点坐标即可得出抛物线的方程； （2）由点在以为直径的圆上，得到，联立方程根据韦达定理求解. 【详解】（1）由题意得直线方程为，即， 则直线必过定点，得到点的坐标为，即， 所以抛物线的方程为． （2）如图，设，联立可得，则 因为点在以为直径的圆上，所以有，且， 可得， ， 化简可得，即，解得，所以或． 16．（15分）在平面直角坐标系中，为原点，已知抛物线的焦点为，点的坐标为. (1)若点在上，且，求点的坐标； (2)若是上的任意一点，求的最小值； (3)过点的动直线与抛物线交于、两点，过点、分别作的切线，切线交点为，求证：点的轨迹是一条直线. 【答案】(1)或； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）令，应用两点距离公式求参数值，即可得点的坐标； （2）若垂直抛物线的准线于，结合抛物线的定义得，数形结合确定其最小值； （3）设，，应用导数几何意义求过的切线，进而得到，，联立直线与抛物线并应用韦达定理得，，即可证. 【详解】（1）由题设，令，则，即， 所以，故或； （2）若垂直抛物线的准线于，由抛物线的定义知， 所以，当且仅当三点共线时取等号， 又抛物线的准线时，最小为，所以的最小值为； （3）由题设，直线的斜率一定存在，设，， 而，则过的切线斜率为，对应切线为，即， 同理过的切线为，即， 联立，可得，整理得， 由题意，则，， 联立，得，且， 所以，则，，显然点在直线，即上，得证. 17．（15分）已知是抛物线的焦点，为上一点，.    (1)求的方程； (2)过的直线与和圆依次交于点（如图所示），求. 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据，，利用抛物线的定义，由求解. （2）可设的方程为，与抛物线方程联立，再利用抛物线的定义得到，求解. 【详解】（1）由，且及抛物线的定义，得，所以，所以抛物线的方程为. （2）由（1）得，由题意知的斜率不为0， 故可设的方程为，由消去并整理得， 则，且，又， 同理，所以. 18．（17分）已知抛物线的焦点为F，点在上，且． (1)求抛物线的方程； (2)直线l经过点F，且与交于A、B两点． ①点P是抛物线上位于A、B之间的动点，设点P到直线l的距离d的最大值为，求的最小值； ②设线段的垂直平分线与交于M、N两点，若A、M、B、N四点共圆，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)①1 ；②或 【分析】（1）根据抛物线定义即可求解； （2）①设，，，，直线l的方程为，联立得，，再利用点到直线的距离求解； ②设方程为，，，AB中点，联立得到，，再由得到即可． 【详解】（1），所以，抛物线的方程为． （2）①，设，，，，为直线l与x轴正半轴的夹角， 则直线l的方程为，将直线方程代入抛物线方程得， 不妨设，则，，，所以，即， 点P到直线l的距离 （当时取等），所以 （，时取等），所以的最小值为1． ②设方程为，，，AB中点， 直线的方程为，，， 因为垂直平分，且四点共圆，所以关于对称，且MN是直径， 将方程代入抛物线方程得，所以，， 因为C既在AB上，又在MN上，所以，，得， 将方程代入抛物线方程得， 因为，所以， 得，即，进而， 又因为，所以， 因为，所以，得，所以直线l的方程为或． 19．（17分）设抛物线E：的焦点为F，过点的动直线l交抛物线E于，两点，点，当直线垂直于轴时，． (1)求抛物线E的标准方程； (2)若直线l过点T，求的面积； (3)若直线平分，求直线l的斜率． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据题意得到，解出即可； （2）首先计算出的方程：，再将其与抛物线方程联立得到韦达定理式，最后利用面积公式即可得到答案； （3）设直线，将其与抛物线方程联立得到韦达定理式，再利用，代入计算得，最后代入，以及韦达定理式即可得到方程，解出即可. 【详解】（1）由题意，当点横坐标为2时，点到准线的距离为3，即，解得， 所以拋物线的标准方程为：． （2）点，设．此时直线的斜率为，的方程可写为． 与抛物线方程联立得：． 由韦达定理，，， 此时面积为． （3）设直线的斜率为，显然，则设直线方程为：， 将其与抛物线方程联立得：．，由韦达定理，. 由题意：． 又，所以．又因为，， 代入化简得：．即． 又，故．即，解得：．      学科网（北京）股份有限公司 $2026届高考数学一轮复习课时作业：抛物线 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的) 1.己知点N(1,1),抛物线C:x2=4y的焦点为F,P是C上的动点，则PW+PF的最小值为() A. 3 B.2 D.3 2.己知M为抛物线G:y2=4x上的动点，P,Q为圆C:y2+(x-2)=1上的两个不同点，若MP,MQ均与圆C 相切，则MP.MO的最小值为() A.25-3 B c.21 D.3 3.设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,过抛物线上的一点P作1的垂线，垂足为2，若∠PQF=30°，则P9= () A. 1 B.3 D.5 3 4.己知抛物线C:y2=2x(p>0)的焦点为F,准线为l,点A,B在l上，直线AF与抛物线C交于MN,M到 准线的距离为3，M,O,B三点共线，若A=2NF|,则|B=() A.1 B.9 C.1或9 D.9或18 5.已知等边三角形的一个顶点位于抛物线y2=2x的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为 () A.2-V5 B.2±√3 C.4-25 D.4±2W3 E平面直角坐标系xOy中，点F为抛物线C:y=2px(p>0)的焦点，点M在C上，若cos∠OM-,则M 横坐标为() A是 B. 6 c.2 8 n.后 7.己知抛物线C:y2=8x的焦点为F,过点F的直线l与C交于A,B两点，则下列说法正确的是() 1.11 A.焦点F到抛物线C的准线的距离为8 B.AFB可4 C.若AB的中点的纵坐标为4，则AFBF=8 D.若2BF=AF,则SAo=4V2 8.如图，设抛物线y2=8x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在该抛物线 上，点C在y轴上，若|FA=9,|FB=4,则 AB=) 5 A. B.3 D.4 2 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，有选错的得0分) 9.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,点P在C上且位于第一象限，PM⊥1，垂足为M,PM=4,则() A.准线1的方程为x=-2 B.点F到1的距离为2 C.△PM是等边三角形 D.直线PF的斜率为1 10.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点，动点P在C上，若点M2,V3)满足MF=2OF,则 () A.C的准线方程为x=-1 B.△PMF周长的最小值为5 C.直线M的倾斜角为 D.四边形OPMF不可能是平行四边形 6 11.已知抛物线C:y=8x的焦点为R,点F关于原点O的对称点为B,第一象限内的点A,B在C上，且E=上EB, 则() A.点E的坐标为(-4，O) B.1 C.直线AB的斜率为2 D.直线A,FB关于x轴对称 3 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上） 12.设点A(3,y,)在抛物线C:y2=4x上，F为C的焦点，则AF=一 13.已知F是抛物线y2=4x的焦点，P是抛物线C上一动点，2是曲线x2+y2-8x-2y+16=0上一动点，则 PF+P②的最小值为· 14.抛物线C:y2=2px(p>0)的顶点为O,斜率为1的直线1过点(2P,0),且与抛物线C交于A,B,两点，若△OAB 的面积为8√5，则该抛物线的焦点坐标为. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)已知抛物线C:y2=2(p>0),直线y=x-1过抛物线焦点F,且与抛物线交于A,B两点. (1)求抛物线C的方程： (2)若x轴上一点S在以AB为直径的圆上，求点S的坐标. 16.（15分)在平面直角坐标系中，O为原点，已知抛物线：y=x2的焦点为F,点A的坐标为(1,2) (1)若点E在T上，且OE=√2，求点E的坐标； (2)若P是T上的任意一点，求AP叫+PF列的最小值； (3)过点A的动直线与抛物线T交于B、C两点，过点B、C分别作T的切线，切线交点为D,求证：点D的轨迹是 一条直线 17.(15分)已知F是抛物线C:y=2Px(p>0)的焦点，P(2,m为C上一点，PF=3, (1)求C的方程： W (2)过F的直线1与C和圆(x-1)2+y2=1依次交于点A,M,N,B(如图所示)，求AMBW. B 18.(17分)已知抛物线T:y2=22x(p>0)的焦点为F,点E(4,m)在T上，且EF=5. (1)求抛物线Γ的方程； (2)直线I经过点F,且与T交于A、B两点. ①点P是抛物线上位于A、B之间的动点，设点P到直线l的距离d的最大值为d,,求d,的最小值： ②设线段AB的垂直平分线与T交于MN两点，若A、MB、N四点共圆，求直线I的方程. 19.(17分)设抛物线E:y2=2Px(p>0)的焦点为F,过点P(30)的动直线1交抛物线E于A,B两点，点T(2,2), 当直线AT垂直于x轴时，AF=3. (1)求抛物线E的标准方程： (2)若直线1过点T,求△FAB的面积： (3)若直线FT平分∠AFB,求直线1的斜率. 2026届高考数学一轮复习 课时作业：抛物线 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知点，抛物线：的焦点为F，P是C上的动点，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．3 2．已知M为抛物线G：上的动点，P，Q为圆C：上的两个不同点，若MP，MQ均与圆C相切，则的最小值为（   ） A． B． C． D．3 3．设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上的一点作的垂线，垂足为，若，则（   ） A． B． C． D． 4．已知抛物线的焦点为，准线为，点A，B在上，直线AF与抛物线交于M，N，到准线的距离为3，M，O，B三点共线，若，则（    ） A．1 B．9 C．1或9 D．9或18 5．已知等边三角形的一个顶点位于抛物线的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系中，点为抛物线的焦点，点在上，若，则的横坐标为（    ） A． B． C． D． 7．已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（ ） A．焦点到抛物线的准线的距离为8 B． C．若的中点的纵坐标为4，则 D．若，则 8．如图，设抛物线的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在该抛物线上，点C在y轴上，若，，则（    ） A． B．3 C． D．4 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分) 9．已知抛物线的焦点为，准线为，点在上且位于第一象限，，垂足为，则（    ） A．准线的方程为 B．点到的距离为2 C．是等边三角形 D．直线的斜率为1 10．已知抛物线的焦点为为坐标原点，动点在上，若点满足，则（    ） A．的准线方程为 B．周长的最小值为5 C．直线的倾斜角为 D．四边形不可能是平行四边形 11．已知抛物线的焦点为F，点F关于原点O的对称点为E，第一象限内的点A，B在C上，且，则（   ） A．点E的坐标为 B． C．直线的斜率为 D．直线关于x轴对称 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上) 12．设点在抛物线C：上，F为C的焦点，则 ． 13．已知是抛物线的焦点，是抛物线上一动点，是曲线上一动点，则的最小值为 ． 14．抛物线的顶点为，斜率为的直线过点，且与抛物线交于，，两点，若的面积为，则该抛物线的焦点坐标为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．（13分）已知抛物线，直线过抛物线焦点F，且与抛物线交于两点． (1)求抛物线C的方程； (2)若x轴上一点S在以为直径的圆上，求点S的坐标． 16．（15分）在平面直角坐标系中，为原点，已知抛物线的焦点为，点的坐标为. (1)若点在上，且，求点的坐标； (2)若是上的任意一点，求的最小值； (3)过点的动直线与抛物线交于、两点，过点、分别作的切线，切线交点为，求证：点的轨迹是一条直线. 17．（15分）已知是抛物线的焦点，为上一点，.   (1)求的方程； (2)过的直线与和圆依次交于点（如图所示），求. 18．（17分）已知抛物线的焦点为F，点在上，且． (1)求抛物线的方程； (2)直线l经过点F，且与交于A、B两点． ①点P是抛物线上位于A、B之间的动点，设点P到直线l的距离d的最大值为，求的最小值； ②设线段的垂直平分线与交于M、N两点，若A、M、B、N四点共圆，求直线l的方程． 19．（17分）设抛物线E：的焦点为F，过点的动直线l交抛物线E于，两点，点，当直线垂直于轴时，． (1)求抛物线E的标准方程； (2)若直线l过点T，求的面积； (3)若直线平分，求直线l的斜率． 学科网（北京）股份有限公司 $