解析几何：抛物线及其他曲线专练-2026届高三数学一轮复习

解析几何：抛物线 其他曲线 一、单选题 1．下列可以作为方程的图象的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．关于方程所表示的曲线，下列说法正确的是（    ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于对称 D．关于原点中心对称 3．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（    ） A． B． C．13 D．15 4．如图，已知是圆锥的轴截面，分别为的中点，过点且与直线垂直的平面截圆锥，截口曲线是抛物线的一部分．若在上，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 二、多选题 5．设动直线与抛物线相交于，两点，分别过，作的切线，设两切线相交于点，则（   ） A．直线经过一定点 B．抛物线的焦点为 C．点到坐标原点的距离不小于 D．的面积的最小值为 6．已知曲线，则（    ） A．不是封闭图形 B．有4条对称轴 C．与坐标轴有4个交点 D．与直线有4个交点 7．抛物线的焦点为，直线过且与交于两点，为坐标原点，点为上一点，且，则（    ） A．过点且与抛物线仅有一个公共点的直线有条 B．当的面积为时， C．为直角三角形 D．的最小值为 8．设曲线，抛物线，记抛物线的焦点为，，为分别为曲线，上的动点，为曲线的切线，则（    ） A．若与无公共点，则 B．若过点，则被截得的弦长为 C．当时， D．当时， 三、填空题 9．已知抛物线的焦点为F，准线为过F的直线交C于A，B两点，过A，B分别作l的垂线，垂足分别为M，N，若，则的面积是面积的 倍. 四、解答题 10．已知的三个顶点都在抛物线上，其中． (1)当是直角三角形且时，证明直线过定点； (2)设直线过点，是否有在以弦为底边的等腰？若存在，这样的三角形有几个？若不存在，请说明理由． 11．设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，． (1)求C的方程； (2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程． 12．已知动点到点的距离等于它到直线的距离，记动点的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)为坐标原点，过点且斜率存在的直线与相交于两点，直线与直线相交于点，过点且与相切的直线交轴于点． （i）证明：直线； （ii）满足四边形的面积为12的直线共有多少条？说明理由． 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 解析几何：抛物线 其他曲线参考解析 答案第10页，共11页 8 学科网（北京）股份有限公司 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D D C ACD ACD BD AD 1．B 【难度】0.65 【知识点】由方程研究曲线的性质 【分析】借助排除法，得到、不可能同时成立，即可排除A、C、D. 【详解】当时，， 若，则，即，不符， 故、不可能同时成立，故A、C、D选项错误. 故选：B. 2．D 【难度】0.85 【知识点】由方程研究曲线的性质 【分析】根据给定条件，利用对称变换的方法逐项分析判断即可. 【详解】对于A，用换方程中的，得，方程发生变化，即曲线关于轴不对称，A错误； 对于B，用换方程中的，得，方程发生变化，即曲线关于轴不对称，B错误； 对于C，用换，换，得，方程发生变化，即曲线关于轴不对称，C错误； 对于D，将点代入原方程仍为，因此曲线关于原点中心对称D正确. 故选：D 3．D 【难度】0.65 【知识点】斜率公式的应用、抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线、与抛物线焦点弦有关的几何性质 【分析】求出点的坐标，利用抛物线的光学性质，结合三点共线求出点的坐标即可得解. 【详解】抛物线的焦点为，由轴，点，得， 由抛物线的光学性质，得点共线，设，则， 解得，点，于是，，， 所以的周长为. 故选：D 4．C 【难度】0.4 【知识点】圆锥中截面的有关计算、抛物线方程的四种形式与位置特征 【分析】勾股得到，从而得到当最大时，最大，然后根据截面得到截面，根据勾股得到当最大时，最大，再结合截面得到的最大值，从而得到的最大值. 【详解】 过点作，交底面圆于两点，连接，，， 设，则， 所以当最大时，最大， 由圆锥的性质得底面， 因为底面，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为分别是的中点，所以，则， 因为，平面，所以平面， 则平面为截面， 因为为中点，所以，所以平面， 因为平面，所以，所以， 则当最大时，最大， 如图为截面的平面图， 以为原点，为轴，过点垂直向上的方向为轴正方向建系， ，，，则抛物线方程为， 设，，则， 所以， 则此时，. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于找到截面，然后转化为平面几何求最值. 5．ACD 【难度】0.4 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求点到直线的距离、根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线中的三角形或四边形面积问题 【分析】根据直线的定点求法计算判断A，根据焦点坐标判断B，设l的方程及A、B坐标，利用导数求抛物线切线斜率及切线方程，联立两直线可得P坐标判定C，利用点到直线的距离公式、弦长公式结合幂函数的性质、三角形面积公式可判定D. 【详解】对于A：化简为， 无论为何值时，令，可得定点为，A选项正确； 对于B：的焦点在轴且，所以，所以抛物线的焦点为，B选项错误； 对于C：设，与抛物线方程联立有， 设，，有，， 由，所以的斜率分别为， 又因为,则两切线，， 联立两直线方程解得，所以， 点到坐标原点的距离为， 当时点到坐标原点的最小距离为，所以C正确； 对于D：P到l的距离为， 所以， 当时，此时取最小值，故D正确； 故选：ACD． 【点睛】关键点点睛：解题的关键点时应用弦长公式和点到直线距离得出面积结合二次函数最值计算求解. 6．ACD 【难度】0.65 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、由方程研究曲线的性质、双曲线的方程与双曲线（焦点）位置的特征 【分析】根据曲线方程化简得出曲线表示单位圆及双曲线，可判断A，根据图象特征得出对称轴判断B，根据曲线与坐标轴交点判断C，结合双曲线特征判断交点个数判断D. 【详解】对于A，因为， 所以或， 所以E是由单位圆M和实轴长为2，焦点为的等轴双曲线构成，故A正确； 对于B，由A项分析知，曲线E只关于轴，轴对称，所以E只有两条对称轴，故B错误； 对于C，由A项分析可知，曲线E与坐标轴的交点为，故C正确； 对于D，因为C的一条渐近线方程为且， 根据双曲线的性质可知，直线与双曲线有2个交点， 又直线与圆M有2个交点，故直线与有4个交点，故D正确. 故选：ACD. 7．BD 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、抛物线中的三角形或四边形面积问题、直线与抛物线交点相关问题 【分析】由可得抛物线方程，对于A，注意到与抛物线线有一个公共点的直线有两类，一类是抛物线切线，另一类是与y轴垂直的直线，据此可判断选项正误；对于B，设，由的面积为，可得，由韦达定理可判断选项正误；对于C，由B，验证是否等于0可判断选项正误； 【详解】抛物线的焦点为，准线为 因点为上一点，且，由抛物线定义可得， 则抛物线方程为：. 对于A，注意到，则点M在抛物线外，如图所示，则过M点可做抛物线的两条切线，此外直线过点M，且与抛物线只有一个公共点，故过点且与抛物线仅有一个公共点的直线有条，故A错误； 对于B，设直线AB方程为：，将直线AB方程与抛物线联立，可得： ，设，由韦达定理： ，由图可得， 则. 又由抛物线定义可得 ，故B正确； 对于C，可得注意到，则 ，故为钝角，则为钝角三角形，故C错误； 对于D，由B， ，则由抛物线定义： . 当且仅当，即时取等号.故D正确. 故选：BD 8．AD 【难度】0.4 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参）、求直线与抛物线相交所得弦的弦长、抛物线中的参数范围问题 【分析】选项A将与无公共点转化为无零点，由导数求最小值大于0即得；选项B先求切线方程为，联立，利用韦达定理和弦长公式即可求得；选项C利用导数求得的最小值小于，进而可得；选项D根据的切线方程和抛物线的切线方程为，进而可得. 【详解】选项A：联立得，设， 由题意可知无零点，， 故当时，，当时，， 故，由题意，得，故A正确； 选项B：由题意，由得， 设与曲线的切点为，则切线方程为， 因过点，故，解得， 所以的方程为，即， 与联立得， 设与的交点坐标为， 则，故 ，故B错误； 选项C：当时，，因在曲线上， 可设为，则， 设，， 设，则， 故在上单调递增，又，， 故，使得， 则在上单调递减，在上单调递增， 故的最小值为，又，故，故C错误； 选项D：当时，在处的切线方程为， 将代入得， 而曲线在处的切线方程为， 要使得两曲线上得点M，Q之间距离最小，当时，， ，则，两直线的距离为， 显然两切点为得连线与切线不垂直，故，故D正确. 故选：AD 【点睛】关键点点睛：本题选项A，C关键是把几何问题解析化，然后利用导数求最值. 9． 【难度】0.65 【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】通过设直线方程代入抛物线方程，利用韦达定理得到一些关系式，再结合向量关系求出相关量，进而计算三角形面积并求出它们之间的比例关系. 【详解】设直线， 代入抛物线C方程，消元可得， 设，， 则，，， 由，得，，，则， 因为， ， 所以 ， 由抛物线定义得，， 则， 得， 所以， 即， 又， 则 故答案为：.    10．(1)证明见解析 (2)存在，一个 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究函数的零点、抛物线中的直线过定点问题 【分析】（1）设直线的方程为，、，联立抛物线的方程，根据结合抛物线方程求解即可； （2）由（1）知直线的方程为，且，，设中点坐标为，根据中点坐标公式结合由等腰三角形性质化简可得，再构造函数求导分析单调性与零点即可. 【详解】（1）设直线的方程为，、， 由得：， 所以，且，， 由即得：， 则， 所以或， 从而或， 进而或， 当时，，不合题意，所以， 故直线的方程为，过定点； （2）假设存在以弦为底边的等腰， 由（1）知直线的方程为，且，， 设中点坐标为， 则，， 由等腰三角形性质知，即（*）， 令，则， 所以在R上递增， 又，， 所以在R上有且只有一个零点，即方程（*）在R上有且只有一根， 故存在以弦为底边的等腰，且这样的三角形只有一个． 【点睛】方法点睛： （1）解析几何中两直线垂直可用向量积为0求解； （2）判断根的个数可构造函数利用单调性与零点存在性定理判断. 11．(1)； (2). 【难度】0.4 【知识点】抛物线的焦半径公式、根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中的参数范围问题、抛物线中的定值问题 【分析】（1）由抛物线的定义可得，即可得解； （2）法一：设点的坐标及直线，由韦达定理及斜率公式可得，再由差角的正切公式及基本不等式可得，设直线，结合韦达定理可解. 【详解】（1）抛物线的准线为，当与x轴垂直时，点M的横坐标为p， 此时，所以， 所以抛物线C的方程为； （2）[方法一]：【最优解】直线方程横截式 设，直线， 由可得，， 由斜率公式可得，， 直线，代入抛物线方程可得， ，所以，同理可得， 所以 又因为直线MN、AB的倾斜角分别为，所以， 若要使最大，则，设，则， 当且仅当即时，等号成立， 所以当最大时，，设直线， 代入抛物线方程可得， ，所以， 所以直线. [方法二]：直线方程点斜式 由题可知，直线MN的斜率存在. 设,直线 由 得：，,同理，. 直线MD:,代入抛物线方程可得：，同理，. 代入抛物线方程可得:,所以，同理可得， 由斜率公式可得： （下同方法一）若要使最大，则， 设，则， 当且仅当即时，等号成立， 所以当最大时，，设直线， 代入抛物线方程可得，，所以，所以直线. [方法三]：三点共线 设， 设,若 P、M、N三点共线，由 所以，化简得， 反之，若,可得MN过定点 因此，由M、N、F三点共线，得，       由M、D、A三点共线，得，       由N、D、B三点共线，得， 则，AB过定点（4,0） （下同方法一）若要使最大，则， 设，则， 当且仅当即时，等号成立， 所以当最大时，，所以直线. 【整体点评】（2）法一：利用直线方程横截式，简化了联立方程的运算，通过寻找直线的斜率关系，由基本不等式即可求出直线AB的斜率，再根据韦达定理求出直线方程，是该题的最优解，也是通性通法； 法二：常规设直线方程点斜式，解题过程同解法一； 法三：通过设点由三点共线寻找纵坐标关系，快速找到直线过定点，省去联立过程，也不失为一种简化运算的好方法． 12．(1) (2)（i）证明见解析；（ii）有2条，理由见解析 【难度】0.4 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用抛物线定义求动点轨迹、抛物线中的三角形或四边形面积问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由抛物线得定义即可求解； （2）（i）由题可知，直线的斜率存在且不为0，故设直线的方程为，设直线与相交于两点，不妨设，由直线方程与抛物线方程联立，求得，求出直线的斜率，即可证明；（ii）由（i）得出四边形为平行四边形，根据四边形的面积为12列出关于的方程，根据导数判断方程解的个数即可． 【详解】（1）由抛物线的定义得动点的轨迹为以为焦点，直线为准线的抛物线， 所以，即． （2）（i）证明：由题可知，直线的斜率存在且不为0，故设直线的方程为，则直线的斜率为， 设直线与相交于两点，不妨设， 由得，，则， 由得，，则点处的斜率为， 则点处的切线方程为， 令，得，即点， 直线的方程为，令，得，即， 所以直线的斜率 ， 所以，即直线． （ii）连接， 由（i）得，，所以， 又因为，所以轴，即四边形为平行四边形， 由得， ， 若四边形的面积为12，则， 整理得， 令，则， 设，则， 所以在单调递增，又， 所以存在，使得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，， 所以有2个零点，即有2个根， 其中时，直线AB的斜率不存在，舍去，另一根属于； 由对称性可得，交换AB点的位置也符合题意，所以四边形的面积为12的直线共有2条． 答案第10页，共11页 答案第3页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $