以抛物线为背景的定值问题、定直线问题、参数范围问题专项训练-2026届高三数学一轮复习

以抛物线为背景的定值问题、定直线问题、参数范围问题专项训练 以抛物线为背景的定值问题、定直线问题、参数范围问题专项训练 考点目录 以抛物线为背景的定值问题 定直线问题 参数范围问题 考点一 以抛物线为背景的定值问题 1．（25-26高三上·河北沧州·月考）在平面直角坐标系中，点为抛物线：的焦点，A，B，C为E上三点，且F为的垂心. (1)若点A的纵坐标为，求直线的斜率； (2)若，求的面积； (3)证明：为定值. 2．（25-26高三上·陕西商洛·期中）如图，由椭圆和抛物线组合成曲线，与存在共同焦点，由图形特点，它们的形状像收回四条腿的七星瓢虫，这里称曲线为“七星瓢虫曲线”.特别地，若椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距成等差数列，则称其为“等差椭圆”. (1)求“等差椭圆”的离心率； (2)在“七星瓢虫曲线”中，若是“等差椭圆”，且.直线与相交所得弦的中点为，与相交所得弦的中点为，证明：直线，（为原点）的斜率之积为定值. 3．（2025·甘肃武威·模拟预测）已知椭圆与抛物线的公共焦点为，过点且斜率存在的直线与交于，两点，与交于，两点，记直线，，，（为原点）的斜率分别为，，，. (1)求与的方程； (2)证明：为定值. 4．（2025·四川成都·模拟预测）在直角坐标系中，设为抛物线：（）的焦点，为抛物线上位于第一象限内的点.当时，有. (1)求抛物线的方程； (2)设直线与抛物线的另一个交点为，点，在直线上的射影分别为点，，过点且与垂直的直线与直线相交于点，证明：是线段的中点； (3)设过定点的直线与抛物线交于，两点.若，且，两点的横坐标均与点的横坐标不相等，试判断直线，的斜率之积是否为定值.如果是定值，请求出该定值；如果不是定值，请求出其取值范围. 5．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知点在抛物线上． (1)求抛物线的方程； (2)直线与抛物线交于两点，求弦长； (3)过点的直线交抛物线于两点，设直线的斜率分别为为坐标原点，求的值． 6．（25-26高二上·湖南长沙·期中）已知在平面直角坐标系中，为原点，抛物线的焦点为，、是抛物线上两个不同的点. (1)求抛物线的方程； (2)若直线斜率为1，且过点，求线段的长度； (3)直线与拋物线交于不同于的、两点，若以为直径的圆经过点，且于，证明：存在定点，使为定值. 7．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知直线l：与抛物线C：相切于点P. (1)求C的方程以及点P的坐标. (2)过点的动直线L与C交于A，B两点（均不与点P重合），AB的中点为M. （i）当轴时，求L的方程； （ii）设直线PA，PB的斜率分别为，，证明：为定值. 8．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知抛物线的准线与轴的交点为． (1)求抛物线的方程； (2)若经过点的直线与抛物线相切，求直线的方程； (3)若过点的直线与抛物线交于两点，证明：为定值． 考点二 定直线问题 1．（2025·上海嘉定·一模）如图，在平面直角坐标系中，为原点，已知抛物线的焦点为，点的坐标为. (1)若点在上，且，求点的坐标； (2)若是上的任意一点，求的最小值； (3)过点的动直线与抛物线交于、两点，过点、分别作的切线，切线交点为，求证：点的轨迹是一条直线. 2．（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知是抛物线的焦点，过焦点的最短弦长为． (1)求抛物线的方程； (2)过动点作抛物线的两条切线，切点为，，直线与抛物线交于（在第一象限）． ①求证：点在定直线上； ②记的面积分别为，当时，求点的坐标． 3．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知点，，和动点满足是，的等差中项． (1)求点的轨迹方程； (2)设点的轨迹为曲线按向量平移后得到曲线，曲线上不同的两点M，N的连线交轴于点，如果（为坐标原点）为锐角，求实数的取值范围； (3)在（2）的条件下，如果时，曲线在点和处的切线的交点为，求证：在一条定直线上． 4．（24-25高二上·湖北襄阳·阶段练习）已知抛物线的焦点为，设动点的坐标为． (1)若，求过点与抛物线有且只有一个公共点的直线方程； (2)设过动点的两条直线均与相切，且的斜率分别为，满足．证明：动点在一条定直线上． 5．（24-25高二上·山东济南·月考）已知抛物线：. (1)过抛物线的焦点，且斜率为的直线交抛物线于，两点，求； (2)直线过点且与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，这两条切线交于点.证明：点在定直线上. 6．（2025·海南·模拟预测）已知抛物线的焦点为，直线：与直线与抛物线分别交于点和点. (1)若，求的面积； (2)若直线与交于点，证明：点在定直线上. 考点三 参数范围问题 1．（25-26高三上·福建福州·开学考试）拋物线焦点为，第一象限内点在上，A的纵坐标是. (1)若到焦点的距离为3，求； (2)若，在上，且的重心恰为，求直线的方程； (3)直线，令是第一象限上异于的一点，直线交于是在上的投影，若点满足“对于任意都有”，求的取值范围. 2．（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知函数 (1)若曲线在处的切线平行于直线，求t的值以及函数的最小值； (2)证明：对一切的a，，，都有； (3)当时，若曲线与曲线存在两交点A、B，记直线AB的斜率为k，证明： 3．（2025·湖北·模拟预测）已知F为抛物线：（）的焦点，为在第一象限上的动点，当时，.设的准线与x轴交于点，与交于点N，，，MO与FP交于点，NO与FQ交于点. (1)求的方程； (2)求的轨迹方程； (3)若，求的取值范围. 4．（2025·湖北十堰·三模）已知点、在抛物线上，为原点，且是以为斜边的等腰直角三角形，斜边长为． (1)求抛物线的方程； (2)若点在圆上，过点分别作的直线、与抛物线相切于、两点，求的取值范围． 5．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知抛物线，过点的直线l与C交于P，Q两点，设O为坐标原点，当轴时，的周长为． (1)求C的方程； (2)若点M为抛物线C上异于原点O的一点，且直线OM与直线l的交点D在直线上． （ⅰ）证明：过点M与抛物线C相切的直线平行于直线l； （ⅱ）求面积的取值范围． 6．（24-25高二下·贵州黔南·期中）二次函数与抛物线有着千丝万缕的联系，可以用图象“平移”的方式求解二次函数对应的焦点坐标与准线方程，例如：二次函数的图象可以由的图象向上平移2个单位长度得到；而即是抛物线，其焦点坐标为，准线方程为；故二次函数的焦点坐标为，准线方程为．    (1)利用上述方法求二次函数的焦点F的坐标和准线方程； (2)如图，已知抛物线的焦点在二次函数上，过抛物线上的动点P作二次函数的两条切线、，切点分别为M、N，若直线与直线的斜率乘积为，且，O为坐标原点，求的取值范围． 7．（24-25高二下·安徽安庆·月考）已知抛物线的焦点到直线的距离为.设点为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点. (1)当点为直线与轴交点时，求； (2)证明：直线过定点，并求出定点的坐标； (3)当点在直线上移动时，求的最小值. 8．（2025·陕西榆林·模拟预测）已知平面上的动点到点的距离与到直线的距离相等，点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)设过点的直线交于两点，过点的直线与的另一个交点为，点在与之间. （i）证明：线段垂直于轴； （ii）记的面积为的面积为，求的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $以抛物线为背景的定值问题、定直线问题、参数范围问题专项训练 以抛物线为背景的定值问题、定直线问题、参数范围问题专项训练 考点目录 以抛物线为背景的定值问题 定直线问题 参数范围问题 考点一 以抛物线为背景的定值问题 1．（25-26高三上·河北沧州·月考）在平面直角坐标系中，点为抛物线：的焦点，A，B，C为E上三点，且F为的垂心. (1)若点A的纵坐标为，求直线的斜率； (2)若，求的面积； (3)证明：为定值. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1）由抛物线的焦点为，得抛物线方程为， 由，得点，直线的斜率为， 由为的垂心，得，所以直线的斜率为. （2）由，得点为坐标原点，此时轴， 设，则，由，得，解得， 从而的面积为. （3）设，其中两两相异. 因为为垂心，故， 而，故， 故，而，故， 故，同理， 故， 而，故即， 而， 故.    2．（25-26高三上·陕西商洛·期中）如图，由椭圆和抛物线组合成曲线，与存在共同焦点，由图形特点，它们的形状像收回四条腿的七星瓢虫，这里称曲线为“七星瓢虫曲线”.特别地，若椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距成等差数列，则称其为“等差椭圆”. (1)求“等差椭圆”的离心率； (2)在“七星瓢虫曲线”中，若是“等差椭圆”，且.直线与相交所得弦的中点为，与相交所得弦的中点为，证明：直线，（为原点）的斜率之积为定值. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为，由椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距成等差数列， 得，又，，则， 即有，而，解得， 所以“等差椭圆”的离心率为. （2）由（1）及椭圆是“等差椭圆”，且，得，则，， 解得，于是，， 设直线与相交于点，线段的中点， 则，，两式相减得， ，即， 由已知，，得，因此，， 由消去得，又， 则，，设点， 则，， 即点，，所以，为定值. 3．（2025·甘肃武威·模拟预测）已知椭圆与抛物线的公共焦点为，过点且斜率存在的直线与交于，两点，与交于，两点，记直线，，，（为原点）的斜率分别为，，，. (1)求与的方程； (2)证明：为定值. 【答案】(1)椭圆的方程为，抛物线的方程为 (2)证明见解析 【详解】（1）由题意得，则，所以椭圆的方程为. 由题意得，则，所以抛物线的方程为. （2）证明：由题意可知直线的斜率存在且不为0，    设直线，，，，， 联立得， 则，，， 所以. 联立得，则， 所以，， 所以， 所以为定值. 4．（2025·四川成都·模拟预测）在直角坐标系中，设为抛物线：（）的焦点，为抛物线上位于第一象限内的点.当时，有. (1)求抛物线的方程； (2)设直线与抛物线的另一个交点为，点，在直线上的射影分别为点，，过点且与垂直的直线与直线相交于点，证明：是线段的中点； (3)设过定点的直线与抛物线交于，两点.若，且，两点的横坐标均与点的横坐标不相等，试判断直线，的斜率之积是否为定值.如果是定值，请求出该定值；如果不是定值，请求出其取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)是定值 【详解】（1）由，得， 为抛物线上位于第一象限内的一点， 设，，则，即， 由题知，，解得， 抛物线的方程为； （2）由上可知，点的坐标为， 若直线的斜率不存在，则直线垂直于轴，是与轴的交点，显然是的中点， 若直线的斜率存在，易知该直线斜率不为0，可设直线的方程为，      联立整理得， 设点，的坐标分别为，，则， 则，的坐标分别为，， 直线的方程为，于是点的坐标为， ，，三点在同一直线上，，是线段的中点； （3）可设（）， 由上可得，， 由，得，解得， 点的坐标为，由题意得直线必不垂直于轴， 可设，联立 整理得， 其中恒成立， 设，， 由韦达定理，有，， 进而得， ， ， 综上可得，直线，的斜率之积为定值. 5．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知点在抛物线上． (1)求抛物线的方程； (2)直线与抛物线交于两点，求弦长； (3)过点的直线交抛物线于两点，设直线的斜率分别为为坐标原点，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由点在上， 可得：，即， 所以抛物线方程为：； （2）由方程知，直线过抛物线焦点， 联立消去可得：， 即，则， 所以 （3）由已知直线的斜率不为0，又因为过点，故设其方程为，设. 由得，显然， ，， 则， 所以．    6．（25-26高二上·湖南长沙·期中）已知在平面直角坐标系中，为原点，抛物线的焦点为，、是抛物线上两个不同的点. (1)求抛物线的方程； (2)若直线斜率为1，且过点，求线段的长度； (3)直线与拋物线交于不同于的、两点，若以为直径的圆经过点，且于，证明：存在定点，使为定值. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1）抛物线的焦点为， 则，即， 所以抛物线为； （2）直线的方程为，联立抛物线Γ和直线l的方程：， 得，，设， 由韦达定理得， 故； （3）由题意可知直线斜率不为0，设其方程为， 联立方程得：， 整理得：，， 其中，， 因为以为直径的圆经过点，所以， 又因为， ∵， ∴， 所以直线过定点， 又因为，所以为直角三角形， 所以当为斜边中点时，为定值， 此时， 所以定点为，为定值２． 7．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知直线l：与抛物线C：相切于点P. (1)求C的方程以及点P的坐标. (2)过点的动直线L与C交于A，B两点（均不与点P重合），AB的中点为M. （i）当轴时，求L的方程； （ii）设直线PA，PB的斜率分别为，，证明：为定值. 【答案】(1)， (2)（i）；（ii）证明见解析 【详解】（1）由可得（*）， 由题意知，解得（舍去）， 所以C的方程为. 将代入（*）式可得，解得， 将代入C的方程可得：，即. （2）（i）易知L的斜率存在且不为0，设， 与C的方程联立，得. 由及点P不在L上，得或或. 设，，则，. 当轴时，，即，满足题意， 所以L的方程为. （ii）由（i）可得， . 所以， 即为定值. 8．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知抛物线的准线与轴的交点为． (1)求抛物线的方程； (2)若经过点的直线与抛物线相切，求直线的方程； (3)若过点的直线与抛物线交于两点，证明：为定值． 【答案】(1)； (2)或； (3)证明见解析. 【详解】（1）由题设知， 则； （2）由题意，直线的斜率不存在时，与抛物线只有一个交点，但不相切， 令，联立抛物线得， 所以，则或， 所以直线为或. （3）由题意，斜率一定存在，令为，， 联立抛物线得，显然，所以，， 而，， 所以， 所以为定值． 考点二 定直线问题 1．（2025·上海嘉定·一模）如图，在平面直角坐标系中，为原点，已知抛物线的焦点为，点的坐标为. (1)若点在上，且，求点的坐标； (2)若是上的任意一点，求的最小值； (3)过点的动直线与抛物线交于、两点，过点、分别作的切线，切线交点为，求证：点的轨迹是一条直线. 【答案】(1)或； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1）由题设，令，则，即， 所以，故或； （2）若垂直抛物线的准线于，由抛物线的定义知， 所以，当且仅当三点共线时取等号， 又抛物线的准线时，最小为， 所以的最小值为；    （3）由题设，直线的斜率一定存在，设，， 而，则过的切线斜率为，对应切线为，即， 同理过的切线为，即， 联立，可得，整理得， 由题意，则，， 联立，得，且， 所以，则，， 显然点在直线，即上，得证. 2．（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知是抛物线的焦点，过焦点的最短弦长为． (1)求抛物线的方程； (2)过动点作抛物线的两条切线，切点为，，直线与抛物线交于（在第一象限）． ①求证：点在定直线上； ②记的面积分别为，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【详解】（1）由题知抛物线中过焦点最短的弦长为通径，即，得到， 故抛物线的标准方程为. （2）①设，由，得到，所以， 得到，即，同理，， 又点在线上，所以，故直线的方程为，即， 因为，所以，又，所以，得到， 所以点在定直线上.    ②，由①有直线，过点，直线， 联立，消得到，所以， 又由，消得到，所以， 又因为， 因为在第一象限，所以， 又，且，，得到，两式相乘可得， 又，所以，得到， 所以，即， 由 ，解得或， 当时，，当时，， 又，所以，得到. 3．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知点，，和动点满足是，的等差中项． (1)求点的轨迹方程； (2)设点的轨迹为曲线按向量平移后得到曲线，曲线上不同的两点M，N的连线交轴于点，如果（为坐标原点）为锐角，求实数的取值范围； (3)在（2）的条件下，如果时，曲线在点和处的切线的交点为，求证：在一条定直线上． 【答案】(1)； (2)或； (3)证明见解析. 【详解】（1）由题意可得，，， 则， ， 又是，的等差中项， ， 整理得点的轨迹方程为． （2） 由（1）知， 又，平移公式为即， 代入曲线的方程得到曲线的方程为：， 即． 曲线的方程为． 如图由题意可设M，N所在的直线方程为， 由消去得， 令，，则， ，， 又为锐角，，即， ，又， ，得或． （3）当时，由（2）可得，对求导可得， 抛物线在点， ，处的切线的斜率分别为， ， 在点M，N处的切线方程分别为，， 由，解得交点的坐标． 满足即，点在定直线上． 4．（24-25高二上·湖北襄阳·阶段练习）已知抛物线的焦点为，设动点的坐标为． (1)若，求过点与抛物线有且只有一个公共点的直线方程； (2)设过动点的两条直线均与相切，且的斜率分别为，满足．证明：动点在一条定直线上． 【答案】(1)或； (2)证明见解析 【详解】（1）当经过点P的直线不存在斜率时，直线方程即为， 与抛物线抛物线C：有且只有一个公共点，符合题意， 当经过点P的直线存在斜率时，不妨设直线方程为， 代入抛物线方程化简得：， ，即，直线方程即为 因此所求直线方程为或； （2）证明：设过点P与抛物线C的相切的切线方程为， 由，消去整理得， 因为与抛物线C相切，所以， 即． 又因为，是方程的两根，则有， 由 ，可得，即 从而动点在直线上. 5．（24-25高二上·山东济南·月考）已知抛物线：. (1)过抛物线的焦点，且斜率为的直线交抛物线于，两点，求； (2)直线过点且与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，这两条切线交于点.证明：点在定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1） 设，，由题意可得抛物线焦点，准线，直线：， 联立，得，所以， 所以. （2） 设，， 由题意，过点且与抛物线相切的直线斜率存在且不为0，不妨设为， 则过点且与抛物线相切的直线方程为，① 联立，得， 所以，代入，得， 解得，带入①式即得， 即过点且与抛物线相切的直线方程为， 同理可得过点且与抛物线相切的直线方程为， 联立，可得， 由题意，直线斜率可能不存在但是一定不为0，设直线方程为， 联立，得，所以，即得， 所以点在定直线上. 6．（2025·海南·模拟预测）已知抛物线的焦点为，直线：与直线与抛物线分别交于点和点. (1)若，求的面积； (2)若直线与交于点，证明：点在定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）   依题意，， 联立，得. 设， 故， 故， ， 点到直线的距离， 故. （2）     设，， 联立得， 则. 同理可得，. 则直线， 化简得，， 同理可得，直线， 联立①②消去可得， 故点在直线上. 考点三 参数范围问题 1．（25-26高三上·福建福州·开学考试）拋物线焦点为，第一象限内点在上，A的纵坐标是. (1)若到焦点的距离为3，求； (2)若，在上，且的重心恰为，求直线的方程； (3)直线，令是第一象限上异于的一点，直线交于是在上的投影，若点满足“对于任意都有”，求的取值范围. 【答案】(1) (2)直线的方程为 (3)的取值范围为 【详解】（1）根据题意作图如下：    由已知，得拋物线，则准线为，焦点，且点在第一象限内， 设点. 所以，解得，代入抛物线方程，解得， 所以. （2）根据题意作图如下：    由已知，代入抛物线方程，解得. 设点，又的重心为， 则，解得， 又在上，则，两式相减，得， 即，则直线的斜率. 又线段的中点，即也在直线上， 由点斜式，得，即， 所以直线的方程为. （3）根据题意作图如下：    由已知设且与不重合， 由两点式，得直线的方程，即， 因为直线交于，联立，得点. 又为在上的投影，所以， 所以，化简得， 即对于任意恒成立， 则当时，不等式左边取到最小值， 得，结合，解得， 综上，的取值范围为. 2．（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知函数 (1)若曲线在处的切线平行于直线，求t的值以及函数的最小值； (2)证明：对一切的a，，，都有； (3)当时，若曲线与曲线存在两交点A、B，记直线AB的斜率为k，证明： 【答案】(1)，； (2)证明见解析； (3)证明见解析 【详解】（1）由题意，，，所以，则， 又，当且仅当时取等号， 所以； （2）证明：先证，则， 设， 则， 因为，所以，即在上单调递增， 又，所以当时，， 当，则，所以， 同理，当，则也成立； 综上，对一切的a，，，都有； （3）证明：如图，    设，，其中， 由（2）知，若，，则， 令，，得， ， 所以①， 将和相减，得， ，将代入①， 所以，即 3．（2025·湖北·模拟预测）已知F为抛物线：（）的焦点，为在第一象限上的动点，当时，.设的准线与x轴交于点，与交于点N，，，MO与FP交于点，NO与FQ交于点. (1)求的方程； (2)求的轨迹方程； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)（） (3) 【详解】（1）由，可得，所以， 由抛物线的准线方程为，所以. 解得（其中舍去）.所以的方程为. （2）由题意，知. 设，则. 因为P，，F三点共线，所以，即. 设，由，得，， 所以，即（）. 所以的轨迹方程（）. （3）因为，所以. 因为， 所以.同理. 设，， 则， . 所以，解得. 又，设，有.于是， 解得，即的取值范围是. 4．（2025·湖北十堰·三模）已知点、在抛物线上，为原点，且是以为斜边的等腰直角三角形，斜边长为． (1)求抛物线的方程； (2)若点在圆上，过点分别作的直线、与抛物线相切于、两点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意知，、两点关于轴对称， 设点在轴右侧，则，即点， 将点的坐标代入抛物线方程可得，解得， 故抛物线的方程为. （2）不妨设点、分别在第一、二象限，直线的方程为， 设点、， 联立得，， 由韦达定理可得，， 由得，则直线的斜率为， 所以，直线的方程为，即， 同理可知，直线的斜率为，直线的方程为， 联立直线、的方程得， 解得，则，故点， 因为点在圆上，所以，且，显然成立， 过点作轴的垂线，垂足为点，   ，， ， 令，因为，则，， 所以， 令，则函数在区间上单调递增，在上单调递减， 故当时，取最小值，且最小值为， 当时，取最大值，且最大值为. 因此，的取范围是. 5．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知抛物线，过点的直线l与C交于P，Q两点，设O为坐标原点，当轴时，的周长为． (1)求C的方程； (2)若点M为抛物线C上异于原点O的一点，且直线OM与直线l的交点D在直线上． （ⅰ）证明：过点M与抛物线C相切的直线平行于直线l； （ⅱ）求面积的取值范围． 【答案】(1)； (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【详解】（1）因为轴，所以直线l的方程为， 联立方程得，解得或 故点P，Q的坐标分别为， 所以， 因为的周长为，所以，解得， 故C的方程为； （2）（ⅰ）证明：由题意知直线l不与坐标轴垂直，故设直线l的方程为， 所以l与直线的交点D的坐标为， 所以OD的方程为， 由消去y并化简，得，易得其两根分别为， 设，则，即． 易知过点M与抛物线C相切的直线的斜率存在且不为0，设其方程为， 与联立消去x并整理，得， ， 整理得，即，所以， 即过点M与抛物线C相切的直线的斜率为， 又直线l的斜率也为，且l过C的内部一点， 所以过点M与抛物线C相切的直线平行于直线l；    （ii），由（i）得消去x，得， 设，则，且， 所以 ， 由（i）得，，则M到直线PQ的距离， 所以的面积， 因为幂函数在上单调递增，且， 所以， 故面积的取值范围为． 6．（24-25高二下·贵州黔南·期中）二次函数与抛物线有着千丝万缕的联系，可以用图象“平移”的方式求解二次函数对应的焦点坐标与准线方程，例如：二次函数的图象可以由的图象向上平移2个单位长度得到；而即是抛物线，其焦点坐标为，准线方程为；故二次函数的焦点坐标为，准线方程为．    (1)利用上述方法求二次函数的焦点F的坐标和准线方程； (2)如图，已知抛物线的焦点在二次函数上，过抛物线上的动点P作二次函数的两条切线、，切点分别为M、N，若直线与直线的斜率乘积为，且，O为坐标原点，求的取值范围． 【答案】(1)焦点坐标为，准线方程为 (2) 【详解】（1）二次函数，它的图象可以由抛物线向上平移个单位长度得到； 抛物线，即的焦点坐标为，准线方程为； 所以二次函数的焦点坐标为，准线方程为． （2）抛物线的焦点为，所以，解得，故的方程为． 任取点，设过点P的的切线方程为， 将其代入得， 由，化简得， 记、斜率分别为，，则， 因为，即，所以， 设，， 因为在上单调递增，所以， 则，所以的取值范围为． 7．（24-25高二下·安徽安庆·月考）已知抛物线的焦点到直线的距离为.设点为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点. (1)当点为直线与轴交点时，求； (2)证明：直线过定点，并求出定点的坐标； (3)当点在直线上移动时，求的最小值. 【答案】(1) (2)证明见解析，定点为 (3) 【详解】（1）根据题意有，解得，所以抛物线， 因为点为直线与轴交点，所以点坐标为， 易知直线，的斜率存在，不妨设为， 则其方程为，联立方程有， 消去并整理得， 由题意可知，解得， 所以，得， 所以；    （2）依题意，不妨设，直线的方程为， 联立方程，消去并整理得， 所以，解得，所以， 解得，所以，所以切点坐标为， 直线的方程可写作，所以， 由，得，整理得， ， 所以方程有两个根，，不妨记直线的斜率为，的斜率为， 由韦达定理有，， 且由上述可知，，故直线的斜率为， 且的中点坐标为， 则直线的方程为 ， 当点在坐标轴时，也过定点， 所以直线过定点；    （3）点坐标为，，， 所以，， ， 所以当点在直线上移动时，求的最小值为 8．（2025·陕西榆林·模拟预测）已知平面上的动点到点的距离与到直线的距离相等，点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)设过点的直线交于两点，过点的直线与的另一个交点为，点在与之间. （i）证明：线段垂直于轴； （ii）记的面积为的面积为，求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）. 【详解】（1）设点，由于动点到点的距离与直线的距离相等， 所以点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线. 设此抛物线的方程是，则，故曲线的方程是. （2）（i）因为直线的斜率不为0，故设的方程为， 联立可得：，， 则， . 故，故直线与直线关于轴对称，即点与点关于轴对称，所以线段垂直于轴. （ii）由（i）可知，不妨设，因为点在与之间，所以， ， 则， 令，则， 令，则，解得； 令，解得. 则在上单调递增，在上单调递减， ，所以的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $