江苏省南通市如皋市2025-2026学年高三上学期教学质量调研（二）数学试题

高三数学调研二参考答案及评分标准 一、 单选题 1 2 3 4 5 6 8 C D A B C 二、 多选题 9 10 11 ABD AD ACD 三、填空题 12.(0,2) 13.60 14.4V5 四、解答题 15.(本题13分) (1sin(A-C)+2c0sA sinC sin AcosC-cos Asin C+2cos Asin C sin C =sin AcosC+cos AsinC sin C sin(A+C)sin B=sin B sinC sinC …4分 .B∈(0，π)，.sinB≠0 ·snC=V ,又C∈0，刚，c=威2. …6分 2 4 4 (2)法一：因为角C为锐角，则C=刀 4 △4CM中，由余弦定理，得4C+4-8√2 即AC2-2√2AC-4=0 4AC 2 解得AC=√2+√6或AC=√2-6（舍）， …11分 Se=x3x(W5+V同×m空-3+35 2 2 …13分 （第2小问正弦定理亦可) 16.(本题15分) (1)a=S+S,-S,=S+S. .(S-S.)(S+.)=+s.,a0S>0 ∴VS1-VS.=l,又VS=Va=1 “数列{√S,}是以1为首项，1为公差的等差数列 …6分 (2)由(1)可得VSn=1,则Sn=n ∴.n≥2时，an=Sn-Sn-1=-(n-1)2=2n-1,4=1满足， …8分 4n a,=21-l,neN,b.=(-) z-+后店〔* =1+(- 2n+1 …11分 当n为奇数时，T=1+ >1 2n+1 当n为偶数时，I,=1- [ 因为A<工对任意正竖致n恒成立，<（亿）。号 ∴.入的取值范围为 -00, 5 …15分 17.（本小题满15分) (1)延长BA,FE,CD交于点P .圆面O∥圆面O,平面PBF∩圆面O=AE,平面PBF∩圆面O,=BF .AE∥BF …4分 (2)轴截面ABCD中，BC=2AD=4,AE=√2，O,E=1 x品设5-25 连FC,则BF⊥FC,∴.O,F=2,又BO,=2,BF=2N2 ∴.O,F⊥BC，,·,PO,⊥圆面O, 02 以O,F,O,C,O,P为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系 则O,(0,0,0),F(2,0,0),C(0,2,0),B(0-2,0),设E(1,0,) 则BC=(0,4,0),EF=1,0,-),.BC.EF=0 .BC⊥EF,则异面直线EF与BC所成角为90° …9分 (3)设平面BEF的法向量为m=(a,b,c) 又BF=(2,2,0),EF=1,0,-) 。a1顺=2 …11分 设平面CEF的法向量为n=(x,y,) 又C℉=(2，-2,0)，EF=1,0,-m 22°9s,-a哈 …13分 1 1 .'.cos<m,n>= h h21 1-3 2+ 2+ .2=1,即h=1(舍负) .002=1 …15分 18(本题17分) (1)xER,f(x)=e*-ke *-2,..f'(x)=e*+ke 1°k≥0时，f(x)≥0恒成立，∴.f(x)在R上单调递增，∴.f(x)无极值…2分 2°k<0时，令f(x)=e+kex<0 行c(m号()，则在(m()上单调减 令f'(x)=e+kex>0 得xe兮(-)，+)，则f)在（兮n(-,+)上单调递增 “f(x)极小值为f1n(-)》=2√k-2,无极大值 …5分 综上，k≥0时，f()无极值：k<0时，f()极小值为f(片1n(-)=2√-2，无极 大值 …6分 (2) ①：f(x)为偶函数，f(x)=f(-) .e-kex-2=ex-e-2,即(e-ex)I+)=0,.'e-ex不恒为零 .k=-1 …10分 ②∴.f(x)=e*+ex-2 要证f(x)+xnx>x2+x-1 即证e+ex+xnx-x2-x-1>0 Ah(x)=e*+e *-x2,x>0,h(x)=e*-e *-2x,h'(x)=e*+e*-2 ,e+ex>2,(x>0)恒成立，∴.h(x)>0在xe(0,+o)时恒成立 则i(x)在(0，+oo)上单调递增，.i(x)>h(O)=0,则h(x)在(0，+o)上单调递增 ∴.h(x)>h(0)=2,即e+ex-x2>2 ..e*+e*+xlnx-x2-x-1>2+xInx-x-1=xInx-x+1 令g(x)=xnx-x+1,x>0,则g(x)=nx g(x)<0,得x∈(0,1)，则g(x)在(0,1)单调递减 g(x)>0,得x∈(1，+o),则g()在(1，+o)单调递增 ∴.g(x)≥g1)=0 得证 …17分 19.(本题17分) 4=2+b2 a2=2 (1) 42 得 (a26-1 b2=2 双曲线的方程为： -=1 22 …3分 (2)()当直线MN斜率存在时，设直线M,N。:y=k(x-x)+y。 y=k(x-x)+% 联立{戈_上=1 ，得0-k2)r2-2(%-c,)x-0-,)-2=0 22 1-2≠0 △=(2k(0%-x)2+41-2)[。-x)2+2]=0 即△=(。-x)2+2-2k2=(x,2-2)k2-2xyk+y,2+2=0 又x02-y,2=2,⅓2k2-2xyk+x2=0,即为y2K2-2xyk+x2=0 六(0yk-x)2=0,⅓k-七=0，k= ÷y=(x-x)+%,即6y=xx-x2+%2=x-2, % .xox-yoy=2 当直线MN。斜率不存在时，也满足. 直线MN。方程：xx-yy=2 ……7分 双曲线的渐近线：y=士x 2 2 2 2 联立得交点M。 N -y。x-yo xo+yo xo+yo M∥ON,NB∥OM。,∴.OP=OM。+OW。 六B(2,2),B(6o,),ks=ko= Xo 可得O,P,P三点共线且方程为：yx-xy=0 …9分 由于MN。∥MN∥.…∥MnNn, ∴.OM=0M,ON=0N, .OM+ON=2OMn-1+ONn-1，又MnDn1∥ON,NnPn1∥OMn ∴.OP=OM+ON,∴.OP1=0P ∴OP,OD,O卫…OPn共线，∴O,B,D,…Pn共线 O,卫，共线，∴.O,日，，，B…Pn共线且轨迹方程为yx-xy=0 …11分 (i词 .P(x,),(2x,2y),直线MN方程：xx-yy=4 wd-w2- 2 Vx2+% V2+% 由于O,,,且OR=2OP,∴.MN∥MM且MN1=2MN 2 由MN 2 2 ,2 2 =2Wx2+2 x。-x+y x0-y。x+o 则MN=2M,N。=4Vx2+ S4=×42+万× 4 x2+1 …13分 设P(uxo,4yo),直线MnNn:xx-yoy=2u,与y=±x联立 得交点Mm元-yx-% 72μ2 2u 2u N+%x+6 :.OP=OM+ON=(22),OP=20P. 即OMH=ON=OP=MV1=d=2 OM,ON OP MN d SPMN da×MnN 2 =4,≥1 SMN. d×MN S出w4,S4x4=4b=9=0-42=D 1-4 …15分 法一： ,13 所以五4(4-0 因为‘停到品） 1 41-1 42刊 这…哈行 111 =341-13 得证 …………17分2025一2026学年度高三年级第一学期教学质量调研（二) 数学试题 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上) 1.已知复数z=1+2i)i,则z=() A.1+2i B.1-2i C.2-i D.2+i 2.已知全集U=x1长≤4，集合A=红写可，则C4=（) A.{x|1≤x≤2或3≤x≤4} B.{x|1≤x<2或3<x≤4} C.{x|1≤x≤2或3<x≤4} D.{x1≤x<2或3≤x≤4} 3.一组从小到大排列的数据：1,2,3,4,6,8，x,18,22,23.若它们的70百分位数是 中位数的两倍，则x的值为() A.10 B.11 C.12 D.14 4.已知双曲线C:芹广-1a>0b>0,顶点到新近线的距离为号，则商心率e() A.√2 B.23 3 C.5 D.2 5.已知等比数列{a},若2a2=aa,,S2n=S2+2Sn,则S=(） A.128 B.255 C.256 D.511 6.在△ABC中，A,B,C的对边分别为ab,G,a=5,c=acosB,simB+cosB=子，则 △ABC面积为() A.12 B.9 C.6 D.3 7.已知函数f(x)=(x+1)(x2+ax+b)的图象关于点(1,0)对称，则a+2b=() A.-10 B.10 C.2 D.-2 8.已知半径为5，圆心角为π的扇形铁片P-AB如图一，将其裁剪成如图二的形状并制成 一个倒立的圆锥桶（如图三，含盖，且连接处损耗不计），该圆锥桶内能放入的最大球内 注满了水（球厚薄忽略不计），将水倒入圆锥筒内，则水面高度为() 高三数学第1页（共5页） 图一 图二 图三 A.23 B.2 C.26 D.2 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知函数f(x)=Asi血(or+p)4>0,o>0,pk的部分图象如图所示，则下列结论正确 的是() A.f(x)=2sin(2x+) 11元 12 B.若f()=f6,)=1,则-la=罗 C.将函数f)的图象向右平移需个单位长度得到函数8()=2sin2x D.当x∈[0,2π时，曲线y=sinx与f(x)有4个交点 10.在棱长为1的正方体ABCD-AB,C,D,中，点E,F满足DE=ED, BF=AA+uAD(0≤元1,0≤u1),则（) A.BD∥平面AEC B.若AF与平面BCC,B所成角为牙，则P点的轨迹长度为 2 C.当元+u=1时，满足到直线AB与到平面ABCD的距离相等的点F有两个 D.当1=4=时，四面体BB,4外接球体积为弧 2 11.甲、乙两个盒子中分别装有大小、形状、质地相同的1个黑球和2个红球，现从两个盒子 中各任取一个球放入对方盒子中称为一次操作，重复进行（∈N)次操作后，甲盒子中恰 有0个黑球，1个黑球，2个黑球分别记为事件A,B,，C。·则() A.P(B)= B.P(4B)=号 C.P(4+R)2 D.P(B,)+x( 高三数学第2页（共5页） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 12.若函数f(x)=e“-2x有大于零的极值点，则实数a的取值范围是▲一 13.已知随机变量X~N(2,4),且P(X<0)=P(X>a),则(x-V)的展开式中常数项为 14.已知F是抛物线C:x2=4y的焦点，1是准线，过F作圆A:x2+y2-6y十6=0的切线，与 抛物线C交于点M,N两点(M在N的上方)，过M作I的垂线，垂足为P,则△MFP 的面积为▲一· 四、解答题（本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分13分) △ABC中， sin(A-C)2c0-sinB. sin C (1)求角C; (2)若角C为锐角，M是BC边上的一点，CM=2MB=2,AM=2√2， 求△ABC的面积. 16.(本小题满分15分) 已知数列{a}的各项均为正数，前n项和为Sn,且a=1,at1=√Sn1+√S.· (1)证明：{√S是等差数列； (2)设6=←1y2(a+ aan ,数列{b}的前n项和为T.,不等式元<Tn对任意正整数n 恒成立，求实数入的取值范围. 高三数学第3页（共5页） 17.(本小题满分15分) 如图，已知圆合O,O,AB,CD,EF均为母线，四边形ABCD为圆台的轴截面，且 BC=2AD=4,AE=√2. (1)证明：AE∥BF; (2)求异面直线EF与BC所成角； (3)已知二面角B-BF-C的余弦值为}，求圆合的商00，的长。 02 18.(本小题满分17分) 已知函数fw)=e-2e-k,k∈R. (1)求函数f(x)的极值； (2)若函数f(x)为偶函数. ①求k的值； ②证明：不等式f(x)+xlnx>x2+x-1恒成立. 高三数学第4页（共5页） 19.(本小题满分17分) 知双曲线C活片1(a>0b>0,R2,0,R心0分别为左，有焦点，点42. 在双曲线C上. (1)求双曲线的方程； (2)如图，在双曲线的右支上任取一点P(。,y,)，以为切点作双曲线右支的切线，交 两渐近线于M。,N。两点，过M。,N。两点分别作两渐近线的平行线交于点P,过P作 直线MN。的平行线分别交两渐近线于M,N两点，再过M,N两点分别作两渐近线 的平行线交于点卫，一直反复操作，可得P,,P…P· ①证明：点O,卫，，P,卫，…，卫在同一条直线上，并求该直线方程； ②记△P4V=120的面积为S,记6空9，证明：言+合++女号 1=1 Po No 高三数学第5页（共5页）