第20讲：工程问题（提高）—通用版2025年秋季学期六年级数学思维专题训练30讲

通用版六年级数学思维专题训练 第20讲:工程问题（提高） 概念回顾 数量关系式 1.全程合作 工作效率×工作时间=工作总量 工作总量÷工作效率=工作时间 工作总量÷工作时间=工作效率 部分合作 1.准确找出每一部分工作的工作量、工作时间和工作效率。 2.有时两人或多人分别做，可以合在一起作为合作情况分析。 常见方法 “分合法”是解决工程问题的一种主要方法，适合的解题的条件是： ①已知两者的工作效率及完成同一工程各自的工作时间，可用“合”的方法； ②已知两者合作的工作时间及一个人的工作效率（或时间），可拆“分”求解。 典型例题 1.一项工程，甲单独做18天完成，乙单独做24天完成，甲、乙合作了几天后，乙因事请假，甲继续做，从开工到完成任务共用了15天，那么乙请假了多少天？ 【解析】把修这条公路的工作总量看作单位“1”，从“甲单独修18天完成，乙单独修24天完成”，可知： 甲的工效：1÷18= 乙的工效：1÷24= 方法一：假设甲、乙合修了15天，那么15天完成了这项工程的：，超出这项工程总工作量的：，这个就是乙因事请假导致少完成的工作量，乙请假的天数：（天）。 方法二：由于甲全程工作，甲共做，乙完成的工作量为，乙工作的天数：（天），乙请假的天数：15-4=11（天）。 答案：乙请假11天。 2.一项工程，甲独做30天完成，乙独做要12天完成，这件工程先由甲做了若干天，然后由乙继续做完，从开工到完成任务共用了15天，这件工作由甲先做了几天？ 【解析】将整个工程的工作量看作“1”个单位，那么甲每天完成总量的，乙每天完成总量的。 方法一：假设15天全部由甲做，共做，实际完成了总量单位“1”的工作，每将甲工作一天换成乙工作一天，可以多做，可得乙工作的天数：（（天），甲工作的天数：15-10=5（天）。 方法二：假设甲先做了天，则乙又做了（15-）天，可得： 解得=5 答案：这件工作由甲先做了5天。 同类练习 1.有一条公路，甲队独修需21天，乙队独修需18天，丙队独修需15天。现在让3个队合修，但中途甲队撤出去到另外工地，结果用了7天才把这条公路修完。当甲队撤出后，乙、丙两队又共同合修了多少天才完成? 2.甲、乙两队合作制作一批零件要27天完成，若甲队先干5天后，再由乙队单独干13天，共生产这批零件的。如果这批零件由甲、乙两队单独完成，各需要多少天？ 拓展练习 1.一件工程，甲、乙两人合作10天可以完成，乙、丙两人合作8天可以完成，丙、丁两人合作16天可以完成。那么甲、丁两人合作多少天可以完成? 2.某工程先由甲独做55天，再由乙单独做30天即可完成；如果由甲、乙两人合作，需45天完成。现在甲先单独做35天，然后再由乙来单独完成，那么乙还需要做多少天？ 方法总结 解题思路 1.明确任务：首先需要明确任务的内容和要求，包括需要完成哪些任务、任务的时间限制等。 2.分析工作效率：根据任务的实际情况，分析各个阶段的工作效率，确定完成任务所需的时间和数量。 3.考虑实际情况：在实际工程中，可能会出现各种不可预见的情况，如机器故障、人员缺勤等，需要考虑这些因素对工程的影响。 4.立式子求解：“分合法”是解决工程问题的主要方法之一，包括“分”和“合”两种思路。“合”可以单独使用，“分”一般是先“分”后“合”。 5.整合答案：根据求解结果，整合答案，注意单位的转换和表达方式。 在解决工程问题时，需要根据具体问题选择合适的公式进行计算。同时，还需要注意单位和取值等问题。 专项练习 1.甲、乙两队合作挖一条水渠要30天完成，若甲队先挖4天后，再由乙队单独挖16天，共挖了这条水渠的。如果这条水渠由甲、乙两队单独挖，各需要多少天? 2.一项工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成。如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙两人合作I天。问这项工程由甲独做需要多少天? 3.抄一份书稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相当甲、乙每天工作效率和的。如果3人合抄只需8天就完成了，那么乙一人单独抄需要多少天才能完成? 4.甲、乙两人合作清理400米环形跑道上的积雪，两人同时从同一地点背向而行各自进行清理。最初甲清理的速度比乙快,后来乙用10分钟去调换工具，回来继续清理，但工作效率比原来提高了一倍，结果从甲、乙开始清理时算起，经过1小时，就完成了清理积雪工作，并且两人清理的跑道一样长。问乙换工具后又工作了多少分钟? 5.为了创建绿色学校，科学俱乐部的同学设计了一个回收食堂的洗菜水来浇花草的水池，要求单独打开进水管3小时可以把水池注满，单独打开出水管4小时可以排完池水。水池建成后，发现水池漏水，这时。若同时打开进水管与出水管14小时才能把水池注满。则当水池注满，并且关闭进水管与出水管时，经过多少小时这池水就会漏完? 6.修筑一条高速公路。若甲、乙、丙合作，90天可以完工；若甲、乙、丁合作，120天可以完工；若丙、丁合作，180天可以完工；若甲、乙合作36天后，剩下的工作由甲、乙、丙、丁合作完成，还需要多少天? 7.某工程先由甲独做63天，再由乙单独做28天即可完成；如果由甲、乙两人合作，需48天完成。现在甲先单独做42天，然后再由乙来单独完成，那么乙还需要做多少天? 8.一个水池，甲、乙两管同时开，5小时灌满；乙、丙两管同时开，4小时灌满。现在先开乙管6小时，还需甲、丙两管同时开2小时才能灌满。乙管单独开几小时可以灌满? 9.一件工作，甲、乙两人合作36天完成，乙、丙两人合作45天完成，甲、丙两人合作要60天完成。请问甲一人单独做需要多少天完成? 10.甲打一篇文稿，打完一半后吃晚饭，晚饭后每分钟比晚饭前多打32个字。前后共打50分钟，前25分钟比后25分钟少打640个字。这篇文稿一共多少字? 参考答案 同类练习 1.解析：将整个工程的工作量看作“1”个单位，那么甲每天完成总量的，乙每天完成总量的，丙每天完成总量的，三队合修每天完成总量的，若甲不撤出，三队7天共做：，多出的部分即为甲撤出后少做的部分，也即乙丙又合作的天数，可得。 乙丙又合作的天数：（天） 答案：乙丙两队又合作了天。 2.解析：根据已知条件甲队先干5天后，再由乙队单独干13天，可以把甲干活的5天和乙干活的前5天看作是合作干活，由此先计算甲、乙合作5天的工作量，用两人已经完成得减去合作5天的工作量，就可得到乙后8天完成的工作量，从而可得乙队的效率，甲、乙合作完成的工作量：，乙队后8天生产了：，乙队效率：，故乙单独完成的时间：（天），甲的工作效率：，甲单独完成的时间：（天）。 答案：甲单独完成需要54天，乙单独完成的时间是54天。 拓展练习 1.解析：甲、乙，乙、丙，丙、丁合作的工作效率依次是，，，对于工作效率有（甲，乙）+（丙，丁）-（乙，丙）=（甲，丁），即：，甲丁合作工作时间：（天）。 答案：甲丁合作需要天。 2.解析：先对比如下：甲做55天，乙做30天；甲做45天，乙做45天，就知道甲少做：55-45=10（天），乙要多做：45-30=15（天），即甲做2天的工作量和乙做3天的工作量一样，甲先单独做35天，比55天少做了：55-35=20（天），20天即10个“2天”，则乙要多做：10×3=30天，因此，乙还要做：30+30=60（天）。 答案：乙还需要做60天。 专项练习 1.答案：甲队单独做需要90天，乙队单独做需要45天。 解析：甲、乙合作完成工程的需要：（天）。甲队先做4天，比合作少了：12-4=8(天）；乙队后做16天，比合作多了：16-12=4（天），所以甲队做8天相当于乙队做4天，甲、乙两队工作效率的比是4:8=1:2。 甲队单独工作需要：30+30×2=90（天）；乙 队单独工作需要：30+30÷2=45（天）。 2.答案：这项工程由甲独做需要26天。 解析：丙做2天，乙要做4天，也就是说丙做1天乙要做2天，那么丙13天的工作量乙要：2×13=26（天）完成。 乙做4天相当于甲乙合作1天，也就是乙做3天等于甲做1天。 设甲单独完成需要a天，那么乙单独做需要3a天，丙单独做需要天。 根据题意： 解得a=26 故这项工程由甲独做需要26天。 3.答案：乙一人单独抄需要24天才能完成。 解析：已知甲、乙、丙合抄一天完成书稿的，又已知甲每天抄写量等于乙、丙两人每天抄写量之和，因此甲两天抄写书稿的，即甲每天抄写书稿的；由于丙抄写5天相当于甲乙合抄一天，从而丙6天抄写书稿的：，即丙每天抄写书稿的；于是可知乙每天抄写书稿的，所以乙一人单独抄写需要:（天）才能完成。 4.答案：乙换工具后又工作了30分钟。 解析：首先求出甲的工作效率，甲1个小时完成了200米的工作量，因此每分钟完成:(米)，开始的时候甲的速度比乙快，也就是说乙开始每分钟完成：（米），换工具之后，工作效率提高一倍，因此每分钟完成:2.5×2=5(米），问题就变成了，乙50分钟扫完了200米的雪，前若干分钟每分钟完成2.5米，换工具之后的时间每分钟完成了5米，求换工具之后的时间。这是一个鸡免同笼类型的问题，我们假设乙一直都是每分钟扫2.5米，那么50分钟应该能扫:2.5×50=125（米），比实际少了:200-125=75（米），这是因为换工具后每分钟多扫了:5-2.5=2.5（米)；因此乙换工具后的工作时间为:75÷2.5=30（分钟）。 5.答案：经过84小时这池水就会漏完。 解析：令工程总量为1，则进水管的工作效率为，出水管的工作效率为，所以同时打开I4个小时，应该有水量为：，则漏水效率为：，（小时），所以如果水池注满后经过84小时，水就会漏完。 6.答案：还需要60天。 解析：由题意可知，令工作总量为“1”，则有工作效率：，，，则甲、乙、丙、丁的工作效率之和为：，丙的工作效率为：，甲、乙的工作效率之和为：；则甲、乙合作36天后完成全部工作的，还余下工作的，要合作完成还需要：（天） 7.答案：乙还需要做56天。 解析：先对比如下：甲做63天，乙做28天;甲做48天,乙做48天，就知道甲少做:63-48=15(天），乙要多做:48-28=20（天），由此得出乙的工作效率是甲的，甲先单独做42天，比63天少做了:63-42=21（天)，相当于乙要做:（天），因此，乙还要做:28+28=56（天)，乙还需要做56天。 8.答案：乙管单独开20小时可以灌满。 解析：设水池灌满时，池水总量为“1”由题意可知，甲乙两管同时开1小时能灌，乙、丙两管同时开1小时能灌。可得甲、丙同时开1小时，乙开2小时能灌：，即甲、丙同时开2小时，乙管开4小时能灌：。所以乙管单独开:6-4=2（小时）能灌:，故乙管单独开灌满水池需要：（时）。 9.答案：甲一人独做需要90天完成。 解析：设这件工作的工作量是1。甲乙两人合作每天完成，甲丙两人合作每天完成，乙丙两人合作每天完成。甲、乙、丙三人合作每天完成，减去乙、丙两人每天完成的工作量，甲每天完成，甲独做需要：（天)。 10.答案：这篇文稿一共3840个字。 解析：由“后25分钟比前25分钟多打640个字”，可知多打了640个字需要的时间是：640÷32=20（分钟），那么就知饭前用了：50-20=30（分钟），晚饭后用了20分钟，因晚饭前和晚饭后各打文稿的一半，所以打的字数相同。而晚饭前比晚饭后多花了：30-20=10(分钟），另外20分钟打的字和晚饭后按先前速度打的字数相同，因此多花的10分钟内打了640个字，因此晚饭前共打的字数为：640×3=1920（个），因此整篇文稿的字数为：1920×2=3840（个）。 学科网（北京）股份有限公司 $