第15讲：量率问题—通用版2025年秋季学期六年级数学思维专题训练30讲

通用版六年级数学思维专题训练 第15讲:量率问题 概念回顾 量率对应公式 1.求分量：分量=单位“1”的量×分率 举例：5的是多少? 2.求分率 分率=分量÷单位“1”的量 举例：是的几分之几? 3.单位“1”的量 单位“1”的量=分量（和/差）÷分率（和/差） 举例：一个数的等于18，求这个数? 解题策略 1.画线段图 画线段图能将题目中抽象的数量关系，直观形象地表示出来，进行分析、推理和计算，从而降低解题难度。数形结合是研究数学问题的重要思想。 例如：先修了一条隧道的，又修了全长的，共修了23米，求隧道全长共多少米？ 2.假设法 假设法是一种重要的数学方法。先假设总量，再按照题的条件进行推理，然后调整设定内容，从而得到正确答案。 “量率对应”三步法。 第一步：明确不变量； 第二步：把前后两个分率均转化为以不变量为单位“1”； 第三步：用变化的量÷（大分率-小分率），求出不变量是多少。 注意： 1.大分率和小分率都必须以不变量为单位“1”； 2.在解决量率问题时，需要熟练进行“率”和“量”之间的转化，根据具体问题选择合适的公式进行计算。同时，还需要注意单位换算等问题。 典型例题 1.学校有一些篮球和足球，篮球有60个，足球有70个。 （1）篮球个数是足球个数的几分之几？ （2）足球个数比篮球个数多几分之几？ （3）篮球个数比足球个数少几分之几？ （4）篮球比足球少的个数是所有球个数的几分之几？ 【解析】本题考查量率基础问题，题目中已经给出篮球和足球的个数，相比即可。 （1）60÷70= 答：篮球个数是足球个数的七分之六。 （2）（70-60）÷60= 答：足球个数比篮球个数多六分之一。 （3）（70-60）÷70= 答：篮球个数比足球个数少七分之一。 （4）（70-60）÷130= 答：篮球比足球少的个数是所有球个数的十三分之一。 2.一根绳子，小明剪了全长的，小红剪了米，问两人谁剪得更多？ 【运用知识】 ①理解“比较绳子剪的长短，要么用“量”比较，要么用“率”比较。 ②根据“单位‘1’的量×对应分率=对应的量”，可以假设绳子的长度，求出分率所对应的量，再进行量的比较。 ③注意假设的全面性。 【解答分析】 ①从“率”分析：小明剪的绳子分率已知且未超过“一半”，但是小红剪的分率未知，而且无法求出。 ②从“量”分析：小红剪的量已知，由于单位“1”未知，小明剪的量未知。 ③根据“米”的意义，我们可以“以1米”为分界点，在假设绳子的总长时，需要考虑三种情况：小于1米，等于1米，大于1米。若绳子总长小于1米，则小红剪得多；若总长等于1米，二者相等；若总长大于1米，则小明剪得多。 答：有三种情况，如果绳子总长小于1米，则小红剪得多；如果绳子总长等于1米，则两人剪得一样多；如果绳子长度大于1米，则小明剪得多。 同类练习 1.有吨水，每天用，（  ）天用完？ 2.工程队在一条人行道上铺石砖，已铺的米数是未铺米数的，后来又铺了 66米，这时已铺的米数与总米数的比是5:8，这条人行道长多少米？ 拓展练习 1.一批零件，甲独做6小时完成，乙独做8小时完成。现在两人合做，完成任务时甲比乙多做24个，求这批零件共有多少个？ 2.一个水池，A水管单独注水需要20小时注满，B水管需要15小时，C水管需要30小时。 （1）若不考虑水池有漏水或其它注水源的情况，三个水管同时注水，需多长时间注满水？ （2）若三个水管同时注水，需6个小时注满水，已知水池要么漏水要么有其它注水源。请问水池有漏水还是有其它注水源？漏水或注水源单独注满水或漏完水需多长时间？ （3）若三个水管同时注水，需8个小时注满水，已知水池要么漏水要么有其它注水源。请问水池有漏水还是有其它注水源？漏水或注水源单独注满水或漏完水需多长时间？ 方法总结 正确理解和区分题目中“量”和“率”的不同，熟练进行“率”和“量”之间的转化。 基本数量关系式 单位“1”×对应分率＝对应数量； 对应数量÷单位“1”＝对应分率； 对应数量÷对应分率＝单位“1”。 专项练习 1.某小学学生中是男生，男生比女生少328人，该小学共有学生多少人？ 2.新民小学男生比全校学生总数的少25人，女生比全校学生总数的多15人。求全校总人数。 3.某工厂计划生产一批零件，第一次完成计划的，第二次完成计划的，第三次完成480个，结果超过计划的，计划生产零件多少个？ 4.食堂有一批大米，用去总量的后，又运进260千克，现存大米比原来还多20%，现存大米多少千克？ 5.随着国家防疫新政策的出台，每个人都要做好个人防护工作。张叔叔在网上购买了一些成人口罩和儿童口罩。张叔叔说：“如果成人口罩再增加20%，那么口罩总数目将达到52只。如果儿童口罩再减少20%，那么口罩总数目将只有42只”。张叔叔购买的口罩一共有多少只？ 6.向阳生产队用拖拉机耕地，第一天耕了全部土地的25%，第二天耕了剩下的，第二天比第一天多耕30亩，问：这个生产队共有多少亩土地？ 7.一辆快车和一辆慢车分别从甲、乙两地同时出发相向而行，小时后两车在离中点3千米处相遇，已知快车平均每小时行90千米，那么慢车平均每小时行驶多少千米？ 8.实验小学六年级三个班植树，一班植树的棵数占三个班植树总数的，二班与三班植树棵数的比是3:4，二班比三班少植树24棵，这三个班各植树多少棵？ 9.一辆客车和一辆货车同时从甲、乙两站相对开出，经过6小时两车相遇。相遇后两车各以原速继续前进，客车又行驶了4小时才到达乙站，货车还要几小时到达甲站？ 10.建筑工地运来水泥和沙子共420吨，其中沙子的重量是水泥的五倍还多36吨，问：水泥有几吨，沙子有几吨？ 参考答案 同类练习 1.本题需要注意，后面有单位“吨”，而后面没有单位，说明是“量”，是“率”，每天用掉总量吨水的，共1÷7天用完。 答案：水7天用完。 2.解析： ①明确不变量 又铺66米，那么已铺米数增加，未铺米数减少，不变量是总米数。 ②以不变量总米数为单位“1”转化分率原来已铺米数是总米数的3÷（3+4）=，后来已铺米数是总米数的 ③不变量=变化的量÷（大分率-小分率） 总米数：66÷（）=336（米） 答：这条人行道长336米。 拓展练习 1.解析：假设总工作量为1，则甲每小时完成，乙每小时完成，甲比乙每小时多完成（），二人合做时每小时完成（）。因为二人合做需要［1÷（）］小时，这个时间内，甲比乙多做24个零件，所以： 每小时甲比乙多做零件数为：24÷［1÷（）］＝7（个） 这批零件共有：7÷（）＝168（个） 答案：这批零件共有168个。 2.解析：将水池总量看作1，甲水管速度，乙，丙。 （1）不考虑水池有漏水或其它注水源的情况，总放水速度为： 放水时间为：（小时）。 （2）考虑水池有漏水或其它注水源的情况，由于水池住满需要6小时＜小时，说明有其它注水源。假设注水源单独注满水需小时，则： + = 解得=60 （3）考虑水池有漏水或其它注水源的情况，由于水池住满需要8小时＞小时，说明有其它漏水源。假设漏水源单独漏完水需小时，则： + = 解得=40 专项练习 1.答案：该小学共有学生1312人。 解析：“某小学学生中是男生”即“男生人数是学生总人数的，则女生人数是学生总人数的：；根据题目“男生比女生少328人”，对应的是学生总数的：。所以该小学共有学生：（人）。 2.答案：全校总人数为630人。 解析：设全校学生总数为A，则男生人数为:A×-25，女生人数为：A×+15，根据题目可列出算式： A×-25-25+A×+15=A 解得A=630 3.答案：计划生产零件800个。 解析：设计划生产零件个，则第一次完成计划的零件数为，第二次完成计划的零件数为为，第三次完成计划的零件数为480个。根据题意可列出算式： ++480=+ 解得=800 4.答案：现存大米360千克。 解析：由题意可得，运进260千克大米后，不仅补上了用去的总量的，还多出了原来总量的20%，即260千克大米对应的是原来总量的+20%=。则原有大米总量为：260÷=300（千克），那么现存大米为：300×(1+20%）=360(千克）。 5.答案：张叔叔购买的口罩一共有50只。 解析：根据题意可知： 成人口罩数量+儿童口罩数量+成人口罩数量×20%=52只……① 成人口罩数量+儿童口罩数量-儿童口罩数量×20%=42只……② 那么①-②：成人口罩数量×20%+儿童口罩数量×20%=52-42 （成人口罩数量+儿童口罩数量×20%=10 成人口罩数量+儿童口罩数量=10÷20% 成人口罩数量+儿童口罩数量=50 成人口罩数量+儿童口罩数量即为张叔叔购买的口罩数量，所以张叔叔购买的口罩一共有50只。 6.答案：这个生产队共有120亩土地。 解析：这个问题的关键是要搞清楚第二天的耕地占整个的多少。根据题意“第一天耕了全部土地的25%”，则剩下的土地是总面积的1-25%=75%，所以第二天要耕种总面积75%的三分之二，即75%×=，即第二天耕了总耕地的。则第二天的耕地面积与第一天的耕地面积相差，正好对应30亩，所以生产队共有土地：(亩）。 7.答案：慢车平均每小时行驶80千米。 解析：快车相遇时行驶路程是： （km）；慢车相遇时行驶路程是：54-3×2=48（km)，则慢车平均每小时行驶路程是：(km/h)。 答：慢车平均每小时行驶80千米。 8.答案:一班植树56棵，二班植树72棵，三班植树96棵。 解析：设六年级三个班植树的总棵数为单位“1”，那么一班植树的棵数占单位“1”的，二班与三班植树的棵数共占单位“1”的；又因为二班与三班植树棵数的比是3:4，也就是说将一班植树剩下棵数的分成7份，二班占其中的3份，转化为分率就是，三班占其中的4份，转化为分率是；二班植树的棵数占单位“1”的：，三班植树的棵数占单位“1”的：；求单位“1”，即三个班植树的总棵数是：（棵)；再分别求出三个班植树的棵数： 一班：(棵)； 二班:(棵）， 三班：(棵)。 答：一班植树56棵，二班植树72棵，三班植树96棵。 9.答案：货车还要9小时到达甲地。 解析：设甲、乙两站路程为单位“1”，则两车速度和是，即V客+V货=；又因为客车与货车相遇时已行驶了6小时，相遇后客车行驶4小时到达乙站，所以客车的速度是：；货车的速度是：；则货车走完全程的时间是：（小时），那么货车还需要15-6=9小时到达甲站。 10.答案:水泥有64吨，沙子有356吨。 解析：设水泥的重量为吨，那么沙子的重量为5+36吨，根据题意水泥和沙子共420吨，列方程求解即可。 解：设水泥的重量为吨，那么沙子的重量为5+36吨，根据题意得： +5+36=420 解得=64 则5+36=5×64+36=356(吨） 学科网（北京）股份有限公司 $