第5讲：圆的计算—通用版2025年秋季学期六年级数学思维专题训练30讲

通用版六年级数学思维专题训练 第5讲：圆的计算 概念回顾 圆的定义 一条线段围绕着它固定的一端在平面内转动一周，它的另一端就会画一条封闭的曲线，这条封闭的曲线就叫做圆。曲线上每一点到圆心的距离都相等。 圆的认识 1.圆有无数条对称轴。 2.圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 圆的半径 r是圆的半径，是从圆心到圆上任意一点的距离。 圆的直径 d是圆的直径，是从圆心到圆上任意两点之间的最长的距离。 圆周率 圆的周长与直径的比值叫做圆周率。圆周率用希腊字母“π”表示。圆周率π是一个无限不循环小数。经过精密计算，π=3.1415926…一般取圆周率的近似值π≈3.14。 圆的周长 1.围成圆的曲线的长叫做圆的周长，用字母C表示。 2.公式为：C=2πr。 圆的面积 1.圆所占平面的大小叫做圆的面积，用字母S表示。 2.公式为：S=πr2 圆环 两个半径不等的圆，当圆心重合时，两圆之间的部分叫做圆环。 外圆和内圆 我们通常把半径较大的圆叫做外圆，半径用R表示；半径较小的圆叫做内圆，半径用r表示。 典型例题 1.把一个圆平均分成1000个大小相同的扇形，将它们拼成近似的长方形，若圆的半径为2厘米，那么拼成的长方形周长是多少？（π=3.14） 【解析】从图中可以看出长方形的周长等于圆的周长和2个圆半径的和。 圆的周长：2π×2=4π（厘米） 长方形周长：4π+2×2=4π+4=16.56（厘米） 答案：拼成的长方形周长是16.56厘米。 2.一个操场，两端是半圆形，中间是长方形，圆的半径为 20 米，长方形长为50米，如果用绳子将它完全封住，需要准备多长的绳子？（π=3.14） 【解析】根据题意，所需绳子的长度是一个圆的周长和长方形的2个长之和。 圆的周长：2π×20=40π（米） 绳子的长度：40π+2×50=40π+100=225.6（米） 答案：需要准备225.6米长的绳子。 同类练习 1.有一堵墙，将一个半径为6分米的球沿一条直线垂直滚到墙边，需要转 动12圈，求球出发位置到墙的距离。（π取3.14） 2.一个圆外环半径是8厘米，内环半径是6厘米，求环形的面积。（π取 3.14） 拓展练习 1.正方形面积是16平方厘米，求阴影部分面积。（π取3.14） 2.图中正方形边长为4厘米，求图中阴影部分的周长。（π取3.14） 方法总结 圆的周长：C=2πr=πd 圆的面积：S=πr2 圆的周长与直径的比值：，其中C是圆的周长，d是圆的直径。 圆的面积与半径的比值：r，其中S是圆的面积，r是圆的半径。 半圆的周长：C半圆=πr+2r，其中r是半圆的半径。 半圆的面积：S半圆=，其中r是半圆的半径。 圆环的面积：S环=π（R2-r2），其中R是大圆的半径，r是小圆的半径。 与圆相关的实际问题：如圆弧长的计算、圆心角的计算、管道的流量等。 专项练习 1.一个半径10米的圆形花坛，它的占地面积是多少？在它的一周围一圈离笆，离笆长多少米？（π≈3.14） 2.种麦田的自动旋转喷灌器的射程是20米，它能喷灌的面积是多少平方米？(π≈3.14)） 3.一个圆形水池的半径6米。小明沿着水池边走了5圈，一共走了多少米？(π≈3.14) 4.一个半圆的半径为8分米，这个半圆的周长多少分米？(π≈3.14) 5.一个半圆的周长是30.84厘米，那么半圆的半径是多少厘米？(π≈3.14) 6.一个半圆形的花坛，它的周长是10.28厘米，它的面积是多少平方厘米？(π≈3.14) 7.用一根长30分米的绳子绕一根圆柱形柱子三圈后还多1.74分米，这根圆柱形柱子直径是多少米？(π≈3.14) 8.有两个圆，如果大圆和小圆的直径比是8：6，则小圆与大圆的面积比是多少？ 9.大圆半径是小圆半径的2倍，大圆面积比小圆面积多|2平方厘米，小圆面积是多少平方厘米？ 10.阳光小区有一个圆形花坛，现在沿着它的外沿修一条宽2米的石子路，已知花坛的周长是125.6米。求这条石子路的占地面积是多少平方米？(π≈3.14) 参考答案 同类练习 1.解析：出发位置到墙的距离等于12个圆球的周长。 圆的周长：2π×6=12π（分米）。 出发位置到墙的距离：12π×12=144π=144×3.14=452.16（分米）。 答案：球出发位置到墙的距离为 452.16 分米。 2.解析：本题考查圆形面积公式。环形面积等于外环面积减去内环面积。 圆外环面积：π×8×8=64π（平方厘米） 内环面积：π×6×6=36π（平方厘米） 环形面积：64π-36π=28π=87.92（平方厘米） 答案：环形的面积是87.92平方厘米。 拓展练习 1.解析：由图可知阴影部分的面积等于正方形的面积减去圆形面积。 圆的半径=正方形边长=4（厘米） 圆面积=π×4×4=16π（平方厘米） 阴影部分面积=16-×16π=16-4π=3.44（平方厘米） 答案：阴影部分面积是3.44平方厘米。 2.解析：根据图形得知，阴影部分的周长为圆的周长和正方形2个边长的和。 圆的直径为：4（厘米） 圆的周长：π×4=4π（厘米） 阴影部分的周长为：4π+4×2=4π+8=4（π+2）=20.56（厘米） 答案：阴影部分周长是20.56厘米。 专项练习 1.答案：占地面积是314平方米；篱笆长62.8米。 解析：由圆的面积公式可得S=πr2=3.14×10×10=314(平方米）； 由圆的周长公式可得： C=2πr =2×3.14×10 =62.8(米)） 2.答案：它能喷灌的面积是1256平方米。 解析由题意可知：它能喷洒的面积是半径为20米的圆的面积。 则由圆的面积公式可得： S=πr² =3.14×20×20 =1256（平方米） 3.答案：小明一共走了188.4米。 解析:由圆的周长公式可得C=2πr=2×3.14×6=37.68(米） 即沿水池走一圈是37.68米，则走5圈一共走了37.68×5=188.4(米) 4.答案：这个半圆的周长是41.12分米。 解析：注意：半圆的周长=圆的直径+圆的周长的一半。 则周长=2r+πr ≈16+8×3.14 =41.12（分米） 5.答案：半圆的半径是6厘米。 解析：由半圆的周长=圆的直径+圆的周长的一半，即设半圆半径为r，则此时半圆周长=2r+πr。 则半径为30.84÷(3.14+2）=6(厘米) 6.答案：它的面积是6.28平方厘米。 解析：由半圆的周长=圆的直径+圆的周长的一半，即设半圆半径为r，则此时半圆周长=2r+Ir。 则半径为10.28÷(3.44+2）=2(厘米）。 由圆的面积公式可得： 半圆的面积=πr2÷2 =3.14×2×2÷2 =6.28（平方厘米) 7.答案：这根圆柱形柱子直径是0.3米。 解析：根据题意可知，绕这根圆柱形柱子 三圈用了：30-1.74=28.26（分米）。 则一圈的长度（即圆柱的底面周长）=28.26÷3=9.42（分米） 根据圆周长公式（C=2πr=πd）可求得： 圆柱直径=9.42÷3.14=3(分米）=0.3(米) 8.答案：小圆与大圆的面积比是16：9。 解析：因为直径d=2r。所以由题意得大圆和小圆的半径之比为8:6=4:3。由圆的面积公式（S=πr²）可得大圆与小圆的面积之比即为半径平方的比16：9。 9.答案：小圆面积是4平方厘米。 解析：由题意可得，小圆的面积=πr²，则大圆的面积=4πr²，所以由两圆面积的大小关系可得4πr²-πr²=12(平方厘米）。 可得出小圆的面积为12÷3=4（平方厘米)。 10.答案：这条石子路的占地面积是263.76平方米。 解析：求石子路的面积就是在求圆环的面积，内圆是花坛，外圆是花坛十石子路。 由圆的周长公式C=2πtr可得花坛的半径为125.6÷3.14=2=20(米）； 外圆的半径为20+2=22(米）； 圆环的面积=外圆的面积-内圆的面积=3.14×(22×22-20×20）=263.76（平方米） 学科网（北京）股份有限公司 $