第8讲：圆柱与圆锥—通用版2025年秋季学期六年级数学思维专题训练30讲

通用版六年级数学思维专题训练 第8讲：圆柱与圆锥 概念回顾 圆锥的组成 圆锥的底面是一个圆，侧面是一个扇形。从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。 圆锥的体积 圆锥的体积=×底面积×高，用字母表示：V=πr2h 圆柱和圆锥的关系 1.圆柱与圆锥等底等高，圆柱的体积是圆锥的3倍； 2.圆柱与圆锥等底等体积，圆锥的高是圆柱的3倍； 3.圆柱与圆锥等高等体积，圆锥的底面积是圆柱的3倍； 4.圆柱与圆锥等底等高，体积相差S圆柱。 圆柱圆锥浸没问题 水面上升（下降）的体积=物体浸没部分的体积 典型例题 1.等底等高的圆柱和圆锥体积相差4.6立方分米，圆柱与圆锥的体积分别是多少？（π取3.14） 【解析】一个圆柱的体积是与它等底等高的圆锥体积的3倍，也就是它们体积相差2倍，已知体积相差4.6立方分米，可求出圆柱体的体积是多少，接着求出圆锥体积。要熟练运用“等底等高的圆柱和圆锥体积之间3倍或的关系”。 圆柱体积：4.6÷2×3=6.9（立方分米） 圆锥体积：6.9-4.6=2.3（立方分米） 答案：圆柱体积是6.9立方分米，圆锥体积是2.3立方分米。 2.以AC为轴旋转一周，所得到的几何体是什么，该几何体的体积为多少？（π取3.14） 【解析】如图，根据点动成线，线动成面，面动成体的道理，及三角形的特征，将三角形ABC绕AC旋转一周，所得到的是一个以AC为高，BC为底面半径的圆锥，根据圆锥的体积公式V=πr2h即可求出它的体积。 ×3.14×4×4×6 =3.14×4×4×2 =100.48（立方厘米） 答案：该几何体为圆锥，故体积为100.48立方厘米 同类练习 1.一个圆锥的底面周长是18.84厘米，高是4厘米。从圆锥的顶点沿着高将它切成两半后，表面积之和比原圆锥的表面积增加了多少平方厘米?（π取3.14） 2.将一个底面半径是10厘米的金属圆锥体，全部浸没在直径是40厘米的圆柱体玻璃水槽中，这时水槽水面比原来升高了2厘米，问这个金属圆锥体的高是多少？（π取3.14） 拓展练习 1.如图，圆锥形容器中装有38升水，水面高度正好是圆锥高度的一半，这个容器最多能装多少升水? 2.一个直角三角形的三条边的长度分别为6厘米、8厘米和10厘米，以其中的某一条边为轴，将三角形旋转一周，得到的立体图形的体积最大是多少立方厘米? 方法总结 易错点 1.圆锥只有一个顶点，到底面圆心的距离叫作高，圆锥只有一条高。 2.等底等高的圆柱和圆锥的体积之差等于圆锥体积的2倍；等底等高的圆柱和圆锥的体积之和等于圆锥体积的4倍。 公式 1.圆锥的体积=Sh 2.逆推公式： ①圆锥的高=圆锥的体积×3÷底面积 ②圆锥的底面积=圆锥的体积×3÷高 等体积转换问题 一个圆柱融化后做成圆锥，或圆柱中的溶液倒入圆锥，都是体积不变的 问题，注意不要再乘。 专项练习 1.等底等高的圆柱和圆锥，它们的体积相差 40立方分米，圆柱和圆锥的体积分别是多少？ 2.一个圆锥的底面半径是3厘米，体积是56.52平方厘米，高是多少厘米? 3.把一个棱长是4分米的正方体木块削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是多少？ 4.一个圆锥和一个圆柱的底面积相等，体积也相等，已知圆柱的高是1厘米，圆锥的高是多少厘米？ 5.一个圆锥的高不变，底面半径扩大2倍，它的体积扩大多少倍？ 6.一个圆柱削成一个最大的圆锥，削去部分与剩下部分的体积比是多少? 7.把一个圆锥的底面半径和高都扩大3倍，则它的体积扩大几倍？ 8.一个圆锥形容器中装有38升水，水面高度正好是圆锥高度的，这个容器还能装多少升水？ 9. 1个圆柱形木块切成4块，表面积增加48平方厘米，切成3块,表面积增加了50.24平方厘米，削成一个最大的圆锥形，体积减少了多少立方厘米？ 10.一个直角三角形的三条边的长度分别为3厘米，4厘米和5厘米，以其中的某一条边为轴将三角形旋转一周，得到的立体图形的体积最大是多少立方厘米？ 参考答案 同类练习 1.解析：从圆锥的顶点沿着高把它切成两半后，表面积比原来圆锥的表面积增加了2个以圆锥的底面直径为底，以圆锥的高为高的三角形的面积，由此利用圆锥的底面周长18.84厘米求出它的底面直径即可解决问题。 圆锥的底面直径为：18.84÷3.14=6（厘米） 则切割后表面积增加了：6×4÷2×2=24（平方厘米） 答案：表面积之和比原来圆锥表面积增加24平方厘米。 2.解析：根据题意知道，杯中升高的2厘米水的体积就是金属圆锥的体积，由此先求出圆柱形玻璃杯中2厘米水的体积，再根据圆锥的体积公式的变形 h=3v÷πr2，即可求出金属圆锥的高。 圆柱半径为20厘米，圆锥半径为10厘米。 根据题意可知，此题是完全浸没类型，圆锥的体积=水面上升的体积，可得， 圆锥的高为：= 水面上升的体积×3÷圆锥底面积 =（3.14×20×20×2）×3÷3.14×10×10 =7536÷314 =24（厘米） 答案：金属圆锥的高是24厘米。 拓展练习 1.解析：圆锥容器的高是现在装水部分圆锥的高的2倍，那么圆锥容器的底面半径也是现在装水部分圆锥的底面半径的2倍，因此圆锥容器的底面积是现在装水部分圆锥的底面积的4倍，所以容器容积是水的体积的2×4=8倍，即容积为38×8=304（升）。 答案：这个容器最多能装304升水。 2.解析：根据点动成线，线动成面，面动成体的道理，及三角形的特征，将三角形绕直角边旋转一周，所得到的是两个分别以两条直角边为直径的圆锥，根据圆锥的体积公式V=πr2h即可求出它的体积。 （1）以6厘米的边为轴旋转一周如图所示，可得到一底面半径是8厘米，高是6厘米的圆锥。 V=πr2h=π×8×8×6=128π（立方厘米） （2）以8厘米的边为轴旋转一周如图所示，可得到一底面半径是6厘米，高是8厘米的圆锥。 V=πr2h=π×6×6×8=96π（立方厘米） （3）以10厘米的边为轴旋转一周如图所示，可得到两个圆锥底面重合。该底面半径为原直角三角形斜边上的高，r=6×8÷10=4.8（厘米），两个底面重合的圆锥的高的总和是10厘米。 V=πr2h=π×4.8×4.8×10=76.8π（立方厘米） 76.8πく96π<128π 综上所述，体积最大的是128π立方厘米。 答案：旋转后所形成的圆锥体积最大是128π立方厘米。 专项练习 1.答案：圆柱的体积是60立方分米，圆锥的体积是20立方分米。 解析：已知圆柱体积公式为：V=s×h，圆锥体积公式为：V=×s×h，圆柱的体积： 40÷（1-）=60（立方分米） 圆锥的体积：60×=20（立方分米） 2.答案：高是6厘米。 解析：由圆锥体积公式：V=×s×h， 可得如下式子：56.52×3÷3.14÷32=6（厘米） 3.答案：圆柱的体积是16.75立方分米。 解析：由题意得，此时圆锥的高即为正方体的边长，圆锥底面圆的直径即为正方体的边长，由圆锥体积公式：V=×s×h，可得如下式子： ×3.14×(4÷2)2×4=6.75(立方分米） 4.答案：高是3厘米。 解析：设圆柱和圆锥的体积相等为V，底面积相等为S，则由圆锥、圆柱的体积公式可推出如下关系： 圆柱的高为： 圆锥的高为：3 所以圆柱的高与圆锥的高的比是：:3=1：3 因为圆柱的高是1厘米， 所以圆锥的高为：3×1=3(厘米）。 5.答案：它的体积扩大了四倍。 解析：设圆锥的底面半径为r，高为h，则扩大后的半径为2r，由圆锥体积公式：V=×s×h，可得原来的体积：πr²h，现在的体积：π(2r）2h=πr²h，体积扩大：πr²h÷πr²h=4倍。 6.答案：削去部分与剩下部分的体积比是2:1。 解析：因为削成的最大圆锥与原来圆柱等底等高，所以圆锥的体积是圆柱的体积的，削去部分的体积是圆柱体积的1-=，削去部分与剩下部分的体积比是：:=2:1。 7.答案：27倍。 解析：圆锥的体积=πr²h，半径r扩大3倍，则r2就扩大9倍，高h扩大3倍，根据积的变化规律可得，圆锥的体积就扩大了：9×3=27倍 8.答案：如果圆锥的尖头朝下，这个容器还能装水 988升；如果圆锥的尖朝上，这个容器还能装水16升。 解析：此题考察学生分类讨论的数学思想，第一种情况，圆锥的尖头朝下，圆锥形容器的容积： sh=πR²h，水面高度正好是圆锥高度的，所以r:R=1:3，水的体积=×π××=×π×R2×h×，所以剩余空间的容积占容器容积的1-=，还能盛水:38×26=988（升）； 第二种情况，圆锥的尖头朝上，水的体积： ×π×R2×h-×π××h×=16(升)。 9.答案：体积减少了25.12平方厘米。 解析：50.24-4=12.56(平方厘米) 48÷4=12（平方厘米） 因为12.56=3.14×2×2，所以圆柱的底面半径是2厘米。 12÷(2×2）=3（厘米） 12.56×3×（1-）=25.12（平方厘米） 10.答案：得到的立体图形的体积最大是50.24平方厘米。 解析：（1）以3厘米的边为轴旋转一周如图所示，可以得到一个圆锥，体积为：×π×42×3=16π(平方厘米) （2）以4厘米的边为轴旋转一周如图所示，可以得到一个圆锥，体积为： ×π×3²×4=12π(平方厘米) （3）以5厘米的边为轴旋转一周如图所示，可以得到两个圆锥，设斜边上的高为h，根据三角形的面积相等，得:3×4=5×h,h=（厘米），体积为：××π××5=9.6π（平方厘米) 所以最大的是16π=16×3.14=50.24（平方厘米) 学科网（北京）股份有限公司 $