第6讲：圆与扇形—通用版2025年秋季学期六年级数学思维专题训练30讲

通用版六年级数学思维专题训练 第6讲：圆与扇形 概念回顾 定义 1.由圆的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。 2.圆心角：顶点在圆心的角。 3.弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。 扇形有一条对称轴，是轴对称图形。 圆的周长和面积 1.圆的周长：圆的周长是指围绕圆的一圈的长度，用公式C=2πr=πd表示，其中d是圆的直径。 2.圆的面积：圆的面积是指圆所占的平面的大小，用公式S=πr2表示，其中r是圆的半径。 扇形的周长和面积 1.扇形的周长：扇形的周长是指围绕扇形的一圈的长度，包括弧长和两条半径的长度，用公式C=+2r表示，其中是扇形的弧长，r是扇形的半径。 2.扇形的面积：扇形的面积是指扇形所占的平面的大小，用公式S=r表示，其中是扇形的弧长，r是扇形的半径。 典型例题 1.一个圆形钟表的半径是3厘米，求这个钟表的周长和面积。（π取3.14） 【解析】圆的周长公式为：C=2×π×r 圆的面积公式为：S=π×r2，其中，r是圆的半径，π是圆周率，我们这里取值为3.14。 根据题目，我们知道钟表的半径r=3厘米。 C=2×3.14×3=18.84（厘米）；S=3.14×32=28.26（平方厘米） 答案：圆形钟表的周长为：18.84厘米；圆形钟表的面积为：28.26平方厘米。 2.一根绳子绕一个圆柱一圈多出0.3米，这根绳子长16米，求圆柱的周长和直径。（π取3.14） 【解析】已知绳子的长度为：16米。 已知绳子绕圆柱一圈多出的长度为：0.3米。 根据圆柱周长=绳子长度-多出的长度，可计算圆柱的周长： 16-0.3=15.7（米） 根据圆的周长公式：C=πd，可计算圆柱的直径：米 答案：这个圆柱的周长为15.7米，直径为5米。 同类练习 1.量得一张圆桌的周长是3.14米，这张圆桌的面积是多少平方米？（π取3.14） 2.如图，大小两圆相交部分是大圆面积的6分之1，是小圆面积的3分之2，已知小圆半径是6厘米，求大圆半径是多少厘米?（π取3.14） 拓展练习 1.已知阴影部分的面积为50，求圆环的面积。（π取3.14） 2.已知扇形的圆心角是60°，弧长是9.42cm，求扇形的面积。（π取3.14） 方法总结 扇形的计算 1.扇形的面积：S=πr2× 2.扇形的弧长：=2πr× 3.扇形的周长：C=2r+2πr× 4.圆心角扩大（或缩小）n倍，扇形面积扩大（或缩小）n倍。 5.半径扩大（或缩小）n倍，扇形面积扩大（或缩小）n2倍。 旋转对称性 1.旋转对称性是指把一个平面图形绕着平面上一个定点旋转一定角度后，仍然与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角。 2.圆绕圆心旋转任意角度后仍然与原来的圆重合；扇形绕圆心旋转360°后仍然与原来的扇形重合。 专项练习 1.小红沿直径6.4米的圆形花圃边走一周，需要走多少米？ 2.一自行车轮胎的外直径60厘米，小红骑车车轮每分钟转动100周。她骑车每分钟行使多少米？ 3.两个小圆的周长的和与大圆的周长相比，哪个长？（单位：厘米） 4.下图池塘的周长251.2米，池塘周围（阴影）是一条5米宽的水泥路，在路的外侧围一圈栏杆。水泥路的面积是多少？栏杆长多少米？ 5.求图中阴影部分面积（单位：厘米） 6.先画一个半径为1.5cm的圆，再在圆中画一个圆心角是120°的扇形，并求出扇形的面积。 7.计算下面图形的周长。 8.一个面积为20平方厘米的正方形内部，正好有一个四分之一个圆，求阴影部分的面积。 9.求阴影部分的周长。 10.求阴影部分面积。（单位：厘米） 参考答案 同类练习 1.解析：圆的面积计算公式是：面积=π×r2，其中r是圆的半径。 圆的周长计算公式是：周长=2×π×r。 半径：3.14÷3.14÷2=0.5（米） 面积：3.14×0.52=3.14×0.25=0.785（平方米） 答案：这张圆桌的面积是：0.785平方米。 2.解析：相交部分面积为：π×62×=24π（平方厘米） 大圆面积为：24π×6=144π（平方厘米） 大圆半径为：=12（厘米） 答案：大圆半径为12厘米。 拓展练习 1.解析：设小圆半径为r，大圆半径为R， 阴影面积为：R2÷2×4-r2÷2×4=2（R2-r2）=50，R2-r2=50÷2=25 圆环面积为：π×（R2-r2）=3.14×25=78.5。 答案：圆环的面积是78.5。 2.解析：扇形面积=×π×r2，可以理解为扇形面积是整个圆的面积的=，其中，r是扇形的半径。 圆心角=60°和弧长=9.42cm。 弧长=×2πr，可以理解为扇形弧长是整个圆的周长的=，所以可以从这里求出半径r。 9.42=×2×3.14×r 半径r=9cm，面积=×3.14×92=42.39（cm2） 答案：扇形的面积为42.39平方厘米。 专项练习 1.答案：需要走20.096米。 解析：由题意可知，需求圆形花圃的周长由圆的周长公式C=2πr可得花圃的周长为：3.14×6.4=20.096(米） 2.答案：经过10分钟这辆自行车所走的路程是188.4米。 解析：每分钟转动100周即需要求出轮胎周长，然后乘100因此，由题意可得如下式子： 3.14×60×100 =188.4×100 =18840(厘米） =188.4(米) 3.答案：一样长。 解析：小圆的周长和：3.14×6+3.14×10=50.24(厘米)；大圆的周长:3.14×(6+10)=50.24(厘米)；50.24=50.24；所以一样长。 4.答案：水泥路的面积是1334.5平方米，栏杆长282.6米。 解析:251.2÷3.14÷2=40（米）即小圆半径是40米，由题可知大圆半径是45米，因此:水泥路的面积： 3.14×(40+5)2-3.14×402 =3.14×(452-402) =3.14×425 =1334.5(平方米) 栏杆长为： 3.14×2×(40+5) =6.28×45 =282.6(米) 5.答案：阴影部分的面积是9.12平方厘米。 解析：该题特点是用最常用的方法解最常见的题，为方便起见，我们把阴影部分的每一个小部分称为“叶形”，是用两个圆减去一个正方形。 3.14×(2×2)×2-16==9.12（平方厘米） 6.答案：扇形的面积是2.355cm²。 解析：由扇形公式S= ×r×1=,得如下式子： 120×π×1.5× = 2.355(cm²) 7.答案：周长分别是25.7cm，31.4cm。 解析：①观察第一幅图，该图周长包含两部分，半圆周以及圆直径。已知圆直径是1Ocm，由圆周长公式：C=πd，可求得半圆周长为： ×C=5π=15.7(cm）因此，第一幅图周长为：15.7+10=25.7（cm） ②观察第二幅图，该图周长包含三部分，分别是直径不同的三个半圆长，由图可知，三个半圆直径分别为：lOcm，6cm，4cm。所以该图的周长为： ×π×1O+ ×π×6+ ×π×4=1Oπ=31.4(cm) 8.答案：阴影部分的面积是15.7平方厘米。 解析：设正方形的边长为a，扇形的半径为r。 由图可知，正方形边长a等价于扇形半径r，即a=r。 正方形面积=a×a=20（平方厘米） 扇形面积=π×r×r=4=20×π÷4=5π=15.7(平方厘米） 9.答案：阴影部分的周长是36.56cm 解析：图中阴影部分为三个相同的扇形，等腰三角形的角为60度，由等腰三角形的边长可知，扇形的两条半径为8cm，所以扇形的半径为4cm。 由扇形周长公式：C=，可得如下式子： 3×[8+（）×π×4]=（×3.14+8)×3=4×3.14+24=36.56(cm) 10.答案：阴影部分的面积是176.625平方厘米。 解析：由图可知，阴影部分的面积即为大扇形的面积减去小扇形的面积。 由扇形面积公式:S=(n×π×r×r）÷360可得如下式子： ×3.14×(252-202) =0.785×（625-400) =0.785×225 =176.625（平方厘米)） 学科网（北京）股份有限公司 $