第17讲：不变量统一—通用版2025年秋季学期六年级数学思维专题训练30讲

通用版六年级数学思维专题训练 第17讲:不变量统一 概念回顾 解题时要找准题目的不变量，共有三种形式，一是抓住相差量不变，二是抓住部分不变，三是抓住总量不变，以不变应万变。 总量不变时，通常把总量看成单位量“1”。 典型例题 1.有A、B两本书，A书页数比B书页数多30页，而A、B两本书的页数比为3：2，求两本书一共有多少页？ 【解析】由题意可得到A书页数占总页数的比例：，那么B书页数占比：，A、B比值的差对应30页，进而求得两本书总页数。 （页） 答：两本书一共有150页。 2.甲、乙、丙三人的年龄之比为2:3:5，三人年龄加起来一共90岁，求他们三人各自的年龄。 【解析】由题意可知，甲占总年龄的：，乙占总年龄的：3÷（2+3+5）=，丙占总年龄的：5÷（2+3+5）=。 甲的年龄：×90=18（岁） 乙的年龄：×90=27（岁） 丙的年龄：×90=45（岁） 答：甲的年龄是18岁，乙的年龄是27岁，丙的年龄是45岁。 同类练习 1.小明新买了一个文具盒，文具盒的长与宽的比是5:1，宽与高的比是2:1，已知这个文具盒的全部棱长之和是104厘米，求这个文具盒的体积。 2.甲、乙两包糖的质量比是4:1，从甲包中取出130克放入乙包后，两包的质量比是7:5，原来甲包有多少克？ 拓展练习 1.参加运动会的同学共有99人，已知六班与五班人数的比是4:3，六班比四班多22人，三个班参加运动会的各有多少人？ 2.某学校将男生和女生分成两组，女生调走6人后，男生与女生的人数之比为3:1；若再调走24名男生后，男生与女生的人数比为1:3，求开始时男生与女生各有多少人？ 方法总结 总量不变：两个变化量中一个增加，另一个减少，但增加和减少的量一样，所以两个量的总和保持不变。解题时，一般把两个量的总和看做单位“1”，或把其中一个量看做是1倍的量。 相差量不变：题目中两个量同时增加或同时减少，但是这两个量的差始终保持不变。 部分量不变：根据这个不变量灵活解决问题。 专项练习 1.某班男生人数与女生人数的比是4:3，女生有15人，全班共有多少人？ 2.如果减数与被减数的比是6:13，那么差与减数的比是多少? 3.两个相同的瓶子都装满了酒精溶液，一个瓶中酒精与水的体积比是2:1，另一个瓶中酒精与水的体积比是4:3。如果把这两个瓶中酒精溶液混合，混合后酒精和水的比是多少？ 4.小明读一本书，已读页数与未读页数之比为1:5。如果再读30页，则已读和未读页数之比是3:5。这本书其有多少页？ 5.今年小红的年龄是爸爸的；4年后，小红的年龄是爸爸的。小红、爸爸今年各多少岁？ 6.育英小学原来男、女人数比为7:5，后来转入12名女生，这时男、女人数比为9:7，学校现有女生有多少人？ 7.操场上有108名同学在锻炼身体，其中女生占，后来又来了几个女生，使女生人数和男生人数的比是3:7，问后来又来了几名女生？ 8.六（1）班体育达标人数占未达标人数的，经过一段时间的训练后，又有5名学生达标，这时达标人数是未达标人数的。六（1）班有学生多少人？ 9.仙桃小学五年级有学生480人，其中男生占总人数的，后来又转来一些男生，这时男生占总人数的，现有学生多少人？ 10.甲乙两包糖的质量比是4:1，从甲包中取出130克放入乙包后，两包的质量比是7:5。原来甲包有多少克糖？ 参考答案 同类练习 1.解析：由条件长与宽的比为5:1=10:2，所以这个文具盒的长、宽、高的比为10:2:1。由于文具盒的所有棱中，长、宽、高各有4条，所以： 文具盒的高：（厘米） 文具盒的长：（厘米） 文具盒的宽：（厘米） 文具盒的体积：20×4×2=160（立方厘米） 答：这个文具盒的体积为160立方厘米。 2.解析：先求出甲包糖占总量的分率，再求出从甲包中取出130克放入乙包后，甲包占总量的分率。两个分率的差值就是130克所对应的分率。再用分数的乘法取得甲包有多少克。 4÷（4+1）= 7÷（7+5）= 130÷（-）×4=480（克） 答：原来甲包有480克。 拓展练习 1.解析：假设四班和六班人数同样多，则参加运动会的同学共有人数：97+22=119（人），此时四、五、六三个班级的人数比为4:3:4，这样就可分别求出五、六班级参加运动会的人数，之后也就得出了四班的人数。 假设四班和六班人数同样多，则 六班：（人） 四班：44-22=22（人） 五班：99-44-22=33（人） 答：四、五、六班参加运动会的人数分别为：22人、33人、44人。 2.解析：男生与女生的人数之比从3:1，变成1:3，减少的是24名男生，女生的人数没有变，据此解答即， 女生调走6人后：男生:女生=3:1=9:3 男生又调走24人后：男生:女生=1:3=1:3 则减少的24名男生对应的就是（9-1）份， 则每份是：24÷（9-1）=3（人） 原有女生：3×3+6=15（人） 原有男生：3×9=27（人） 答：原有男生27人，女生15人。 专项练习 1.答案：全班共有35人。 解析：男生人数与女生人数的比是4:3，男生的人数看成4份，女生的人数看成3份，先用女生的人数除以3，求出每份的数量，再乘上4份，求出男生的人数，再把男生和女生的人数相加即可求出全班的人数。 列式：（人），15+20=35（人）。 2.答案：7:6。 解析：已知减数与被减数的比为6:13，减数占总数的，被减数占总数的，所以：差=，得出差与减数的比为： 3.答案：混合液中酒精和水的体积比为13:8。 解析：将一个酒精瓶容积看成一个单位，则在一个瓶中，酒精占比为：，水占比为：；而在另一个瓶中，酒精占比为：，水占比为：于是在混合液中，酒精和水的体积比是： 4.答案：这本书一共有144页。 解析：首先求出这本书的总份数：1+5=6（份)，已读的是这本书的，再读30页时，又把这本书分成了：3+5=8（份），已读的是这本书的，两次读的分数差：，正好是30页的对应分率，用除法解答即可。 列式：1+5=6（份），3+5=8（份）， （页） 5.答案：小红今年11岁，爸爸今年44岁。 解析：由于年龄差不变，所以把年龄差看作单位“1”，今年小红的年龄是年龄差的，四年后，小红的年龄是年龄差的，所以年龄差为：(岁），小红的年龄为：(岁），爸爸的年龄是11÷44(岁）。 6.答案：现在女生有147人。 解析：由题意可知，原来的女生人数占男生人数的，增加12人后，女生人数占男生人数的，男生的人数没变，则有：，就是12人对应的分率，由此根据分数除法的意义即可求出男生的人数是：（人），再根据此时男女生人数的比是9:7，即可求出现在的女生人数：189×=147(人)。 7.答案：后来来了12名女生。 解析：由题意可知，原来男生占总人数的，由此求出男生的人数：108×（）=84（人）；再根据后来女生人数和男生人数的比是3:7，知道后来男生占总数的，又因为男生的人数不变，所以可以求出后来的总人数：84÷=120（人），后来的总人数减去原来的总人数，即为新来的女生人数：120-108=12（人）。 8.答案：六（1）班有学生50人。 解析：六（1）班学生总数是一个不变量，把六（1）班学生总数看作单位"1"，根据六（1）班体育达标人数与未达标人数的比是3:2，可知达标人数占全班人数的，根据这时达标人数与未达标人数的比是7:3，可知达标人数占全班人数的，再根据量率对应，用除法计算，即可求出全班人数。 列式：,,（人)。 9.答案：现有学生560人。 解析:由题可知，女生占原来总人数的，所以女生人数为:480×=360(人)。又由“转来一些男生，这时男生占总人数的”，可知，这时女生占总人数的，用女生人数除以女生人数占现有人数的分率，可求出现有人数为：360÷=560（人）。 10.答案：原来甲包有480克糖。 解析：由题可知，甲包糖的质量占总质量的，从甲包取出130克放入乙包后，甲包糖的质量占总质量的，取出的130克所对应的分率是-=，用分数除法求出甲、乙两包糖共有:130÷=600（克)，最后得到甲包原来的质量：600×=480（克）。 学科网（北京）股份有限公司 $